复变函数积分变换第1讲

F ()costd
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
25
0
sin cost
d
2 4 0
因此可知当t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
另外，由 F () =2 sin 可作出频谱图:
f
(t
0)
2
f
(t
0)
,
t为 间 断 点
在(,)绝 对 可 积 是 指 的| f (t) | d t 收 敛
20
Fourier 积分公式的三角形式
f (t) 1
2
f
(t )eit dt eit d
1
2
f
(t )ei(tt )dt d
1
2
f
(t
) cos (t
即频谱将连续取值。 因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。
结论 离散频谱变成连续频谱。
13
例如将前例的周期扩大一倍, 令T=8, 得周期为
8的周期函数f8(t)，这时
2
T
2
8
4
, n
n
n
4
cn
1 T
T 2 T 2
fT (t)eint dt
1 8
4 4
f8 (t )eint dt
1 8
F ( ) 反映的是 f (t ) 中各频率分量的分布密度，它 一般为复值函数，故可表示为
F ( ) | F ( )| e jarg F ( ) . 定义 称 F ( ) 为频谱密度函数(简称为连续频谱或者频谱)；
称 |F ( )|为振幅谱； 称 arg F ( ) 为相位谱。
对一个时间函数f (t)作傅氏变换, 就是求 这个时间函数f (t)的频谱密度函数.
F ()
2
k sin 0
2 3
26
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
f (t)
dt
eint
D
T
令
FT
(n
)
T 2 T 2
fT (t )eint
dt
f
(t)
lim
D 0
1
2
FT (n )eintD
n
( ) FT (n )
T2 T 2
fT (t )eint dt
f (t )eit dt DF ()
T
由定积分定义f (t) 1 F()eitd (注：积分限对称)．
bn T T/2 fT (t )sin nω0t d t ,
n 1, 2,
ω0
2π T
,
称之为基频。
改写
令
fT
(t)
a0 2
A0
a0 2
，
An
n1
(an
An
an2
An
cos nω0t bn2 ,
bn
An
sin
nω0t
)
,
cos n
an An
,
sin n
bn An
,
O
则 (A) 式变为 fT (t ) A0 An cos(nω0t θn ).
0
f
(t
) cos (t
t
)dt
d．
22
§2 Fourier变换 2.1 Fourier变换的定义
定义 (1) Fourier 正变换(简称傅氏正变换)
F(ω) f (t)ej td t [ f (t )]
(2) Fourier 逆变换(简称傅氏逆变换)
f
(t)
1 2π
F
(
) e j
t
)dt
d
i
2
f
(t
) s in (t
t
)dt
d
21
因 为 f (t )sin(t t )dt是的 奇 函 数,
所 以 f (t) 1
2
f
(t
)cos (t
t
)dt
d
又考虑到积分
f (t )cos (t t )dt 是的 偶 函 数 ，
于是 f (t) 1
这是周期信号的一个非常重要的特点。 振幅 An 反映了频率为 nω0 的简谐波在信号 fT (t) 中
所占有的份额；
相位 θn 反映了在信号 fT (t)中频率为 nω0 的简谐波 沿时间轴移动的大小。
这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。
5
对
fT
(t)
a0 2
(an
n1
cos
nω
t
bn
s in nω
因此傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
例延拓求为矩Ｔ形周波期函函数数f的(t傅) 立10叶级|| tt ||数 11的复指数11o形f(式t1)
t
和离散频谱． 解：不妨令T=4,
f4(t)
f4(t) f (t 4n)
n
1 1 3 T=4
t
9
cn ein t
n
1 T
n
T2 T 2
t
~ 1 2 n
sinn eint n
10
前面计算出 cn
F (n )
1 sinn 2 n
(n 0,1,2,),
n
n
n 2
T
n
2
,可 将cn以 竖 线 标 在 频 率 图 上
1 F (n )
2
1
1
f4(t)
1 1 3
T=4
t
11
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个
周期函数fT(t)当T时转化而来的.
16
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
fT (t)为T 周 期 函 数 ，
设 在 T 2 ,T 2上 满 足Dirichlet条 件,则
fT (t)可 展 开 为Fourier级 数 ，
fT (t) cneint cneint ,
n
n
n n 2n
T
,
cn
1 T
24
例1
求矩形脉冲函数
f
(t)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
F () f (t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
( ) 1 ei ei 2sin
i
求 Fourier 逆变换，即可得到的 Fourier 积分表达式。
f (t) 1
F ()eitd 1
f
(t )eint dt eint
2
T
2
4
2
,
n
n
2
n
则
1 cn T
T 2 T 2
fT (t )eint dt
1 4
2 2
f4 (t )eint dt
1 4
1 eint dt
1
( )
1
1
e int
1
ein ein 1 sinn
4in
1 4in
2 n
(n 0,1,2,)
于是
( ) f4
n1
(A)
An
bn
n an
4
fT (t ) A0 An cos(nω0t θn ) n1
表明 周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和， 这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 ω0 的倍数。
意义 认为 “ 一个周期为 T 的周期信号fT (t) 并不包含所有的 频率成份，其频率是以基频 ω0 为间隔离散取值的。”
cn
1 sinn 8 n
当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，
(n 0,1,2,)
即频谱将连续取值。
n
n
n 2
16
n
8
, 再 将cn以 竖 线 标 在 频 率 图 上
1
8
将那个频率上的轮廓即sinω/ω函数的形状看作是 方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称作方波函数f (t) 的傅里叶变换。
, cn
an
ibn 2
, cn
an
ibn） 2
＝ cneint． (Fourier级数的复数形式)
n
6
其中
c0
1 T
T2
T 2 fT(t)dt
cn
1 T
T2 T 2
fT(t)cos nt
i sin
ntdt
1
T
T2 T 2
fT(t)eint dt
c
-n
1 T
T2 T 2
fT(t)cos nt
t )引进复数形式
cos nt eint eint , sin nt eint eint
级数化为： 2
2i
a0
2
an
n1
ein t
ein t 2
bn
ein t
ein t 2i
a0 an ibn eint an ibn eint ＝
2 n1 2
2
（记 c0
a0 2
1 eint dt
1
( )
1
1 e int
1
ein ein 1 sinn
8in
1 8in
4 n
(n 0,1,2,)
14
则在T=8时,
cn
1 4
sinn n
(n 0,1,2,)
n
n
n 2
8
n
4
, 再 将cn以 竖 线 标 在 频 率 图 上
1
4
f8(t)
1 1
T=8
7
t
15
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
bn
定义 称 cn为 fT (t) 离散频谱，记为 F (nω) cn .
2c n
称 |cn |为 fT (t) 离散振幅频谱；
称 arg cn 为 fT (t )离散相位频谱；
8
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的
性质，叫做在时域中表示的性质。而频谱 F (n )
描述了这种性质在频域中的表示。
则在 fT (t) 的连续点处有
fT
(t)
a0 2
(an
n1
cos nω0t
bn
sin nω0t) ,
(A)
在
fT (t) 的间断处，上式左端为
1
2
fT (t 0)
fT (t 0).
3
2 T/2
其中, an T T/2 fT (t )cos nω0t d t ,
n 0,1, 2,
2 T/2
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
Байду номын сангаас
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
O n
即 cn 的模与辐角正好是振幅和相位。
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
f
(t)
lim
T
fT
(t)
即非周期函数可视为一个周期为无穷大的“周期函数”。
f (t)
fT (t)
fT (t)
T/2
T/2
t
t
t
12
当T 时，频率特性发生了什么变化？ 分析：
Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份， 其频谱是以 ω 2π为T间隔离散取值的。
当 T 越来越大时，取值间隔越来越小； 当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，
i sin ntdt
( ) 1
T
T2 T 2
D
fT (t)eint dt cn
n 1,2,
( ) 合并为：cn
1 T
T 2 f (t)eintdt n 0,1,2,
T 2 T
7
Fourier级数化为复数指数形式：
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
2
即 f (t) 1
2
f
(t )eit dt eitd
f (t )付氏积分公式
19
定 理(Fourier积 分 存在 定 理) 若f (t)在 任 何有 限 区
间上满足Dirichlet条件，且在( ， )绝对可积，
则 1
2
f
(t )eit dt eitd＝
f (t), t为连续点
2
2
T
T
{ {
O 1 2 3
n-1n
令D n n1 2 T (与n无关)，T 2 D D 0 T ,此时视n为(连续变量)
18
f (t) lim 1
T T
n
T 2 T 2
fT (t )eint
dt
eint
(D 2 )
lim 1
D0 2
n
T 2 T 2
fT (t )eint
T2 T 2
fT
(t )eint dt
f (t) lim T
fT
(t
)
lim
T
1 T
n
T2 T 2
fT
(t
)e
int
dt
e
int
17
f (t) lim T
fT
(t
)
lim
T
1 T
n
T2 T 2
fT
(t
)e
int
dt
e
int
当n取一切整数时,n所对应的点便均匀分
布在整个数轴上, n n 2n T
td
1 [F ( )]
其中，F ( ) 称为象函数，f (t ) 称为象原函数．
f (t ) 与 F ( ) 称为傅氏变换对，记为 f (t) F ( ).
Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的 一种充分条件.
23
与 Fourier 级数的物理意义一样，Fourier 变换同样 刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期 函数的频谱是连续取值的。
积分变换
第八章 Fourier变换
Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够 简化运算 ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等)，又具有 非常特殊的物理意义。
因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。
1
周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 全实轴上的非周期函数不能有Fourier级数表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分来表示非 周期函数(周期趋于无穷时的极限形式). 所以Fourier 变换是在周期函数的Fourier级数的 基础上发展起来的。