《基本不等式》教学设计
教案分析(5篇)
教案分析（优秀5篇）在教学工实际的教学活动中，可能需要进行教案编写工作，借助教案可以让教学工作更科学化。
那么什么样的教案才是好的呢？小编的我精心为您带来了5篇《教案分析》，希望能够给您提供一些帮助。
基本不等式教案篇三【教学目标】1、知识与技能目标(1)掌握基本不等式，认识其运算结构；(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义；(3)能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；(2)体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标(1)感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物；(2)体会多角度探索、解决问题。
【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。
【教学难点】幼儿园基本教案分析篇四幼儿园基本教案分析红色冲刺：一、说教材：中班幼儿是各种动作和能力逐步形成的时期，培养幼儿对信号的反应能力和动作的协调性，是建构式教材的重点之一。
新年刚过，幼儿们对红彤彤的新年还余兴未尽。
红色象征着喜庆热闹、吉祥祝福。
选择这个课题引导幼儿积极向上。
团结协作。
分辨多种颜色和按规律接龙是与建构式教材整合多方面知识相吻合的、让幼儿在生活和游戏中体验快乐，增强幼儿的自信心。
二、说教学目的：1、练习快跑，巩固跑步的正确姿势。
2、培养幼儿对信号的反应能力和动作的协调性。
3、区分颜色、能按规律接龙。
三、教学重点：看颜色做跑、爬、跳等相应的动作。
四、说教法：针对这次教育活动的教学目的，根据幼儿的实际情况，在整个活动过程中以竞赛和游戏的形式进行。
使整个过程动静结合，让幼儿在轻松愉快的环境中学习，做到师幼交融互动。
物我交融互动。
活动是有组织、有规范、有秩序、适合整体发展的活动。
五、说教学过程：1、以热身运动，引发幼儿对体育锻炼的兴趣。
2、以“你追我赶“这个游戏让幼儿知道正确跑步的姿势，和探索怎样跑得快的决窍，通过活动激发幼儿的竞争意识和团结协作共同向上的精神。
基本不等式教案范文
基本不等式教案范文一、教学目标1.知识与技能目标a.掌握基本不等式的定义和基本性质；b.掌握不等式的加减乘除性质；c.能够解决基本不等式的证明和计算问题。
2.过程与方法目标a.通过例题引导学生发现不等式的性质；b.引导学生进行探究性学习，提高独立解决问题的能力；c.培养学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度目标a.培养学生的数学思维和抽象思维能力；b.培养学生的合作意识和团队精神；c.培养学生的实际问题解决能力。
二、教学重点1.不等式的加减和乘除性质；2.不等式的证明和计算方法。
三、教学难点1.不等式的证明方法；2.复杂不等式的解决方法。
四、教学方法1.探究教学法：通过解决例题引导学生发现不等式的性质；2.讲授教学法：通过讲解和示范的方式，介绍不等式的性质和解决方法；3.案例分析法：通过分析实际问题的案例，引导学生解决不等式问题。
五、教学过程1.引入a.导入问题：小明计划购买一款手机，他想知道自己有多少钱可以花在手机上。
请问该怎样计算？b.引导学生讨论，并给予提示，引出不等式的概念。
2.探究不等式的性质a.通过解决一些简单的例题，让学生发现不等式的性质。
b.给出以下几个例题：（1）若a>b，b>0，则a+b>b；（2）若a > b，b > 0，则ab > b；（3）若a>b，b>0，则a/b>1c.让学生在小组内讨论，并找出规律。
d.分组展示结果，学生进行交流与讨论。
e.教师总结不等式的加减和乘除性质。
3.不等式证明a.讲解不等式证明的一般方法，包括逆否命题法、反证法等。
b.通过案例讲解不等式证明的具体步骤和技巧。
c.给出以下例题：（1）证明：若a>b，b>0，则a+b>0。
（2）证明：对于任意实数x，都有x>-1c.引导学生运用之前学到的证明方法进行解答，然后进行讨论。
4.解决不等式问题a.讲解不等式的解决方法，包括绝对值法、区间法等。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计
《§3.4.1基本不等式》的教学设计教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学内容解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。
在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。
二、教学目标设置1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
三、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
四、教学策略分析在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。
在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点五、教学过程：（一）情景引入下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。
探究一：观察上面的会标。
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。
基本不等式教学设计（通用8篇）
基本不等式教学设计（通用8篇）基本不等式教学设计1教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。
课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
基本不等式(第1课时)教学设计
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(第1课时）教学设计一、教材分析《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
二、教学目标与核心素养课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题;5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程.三、教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
四、教学工具：多媒体，交互式电子白板。
五、教学过程（一）引言师：前面我们类比等式的性质研究了不等式的性质及其证明和应用，今天我们来学习一个具体的不等式—基本不等式。
（插入中小学智慧平台）师：我门知道，乘法公式在代数式的运算中有着重要的作用，是否也存在一些不等式，在解军决不等问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面我们就来共同研究这个问题。
其实在不等式里，数学家们也总结了一大堆常用的公式。
今天，我们就来学习最简单，也最常出现的一个不等式，叫作基本不等式。
（展示中小学智慧平台学习任务单）（二）新课探究1、引出基本不等式师：什么是基本不等式呢？大家先来看一个在小学时就学过的一条几何性质：在一组周长相等的矩形形中，正方形的面积最大。
比如，一个长方形的边长为分别为5和3，正方形的边长为4，它们的周长都是16，此时它们的面积呢？S长=15，S正=16。
基本不等式课程设计
基本不等式课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握基本不等式的概念、性质和应用，能够运用基本不等式解决一些简单的问题。
具体目标如下：1.了解基本不等式的定义和性质。
2.掌握基本不等式的证明方法。
3.理解基本不等式在实际问题中的应用。
4.能够运用基本不等式解决一些简单的问题。
5.能够运用基本不等式进行不等式的证明。
情感态度价值观目标：1.培养学生的逻辑思维能力。
2.培养学生的数学美感。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括基本不等式的定义、性质和应用。
具体内容如下：1.基本不等式的定义：介绍基本不等式的定义，解释其含义和作用。
2.基本不等式的性质：讲解基本不等式的性质，包括对称性、单调性等。
3.基本不等式的应用：介绍基本不等式在实际问题中的应用，如求最值、证明不等式等。
三、教学方法为了激发学生的学习兴趣和主动性，本节课将采用多种教学方法：1.讲授法：教师通过讲解基本不等式的定义、性质和应用，引导学生理解并掌握知识。
2.讨论法：教师学生进行小组讨论，让学生通过互动交流，加深对基本不等式的理解。
3.案例分析法：教师通过举例子，让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固知识。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将准备以下教学资源：1.教材：为学生提供《数学课本》等相关教材，作为学习的基本依据。
2.参考书：提供一些数学参考书，供学生课后拓展学习。
3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，帮助学生直观理解基本不等式的性质和应用。
4.实验设备：准备一些实验设备，如白板、黑板等，方便教师进行演示和讲解。
五、教学评估为了全面、客观、公正地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、小组讨论等表现，评估学生的学习态度和理解程度。
2.作业：布置与本节课内容相关的作业，评估学生对基本不等式的掌握情况和应用能力。
3.考试：安排一次考试，测试学生对基本不等式的概念、性质和应用的掌握程度。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
人教A版高中数学必修五《基本不等式》精品教案
《基本不等式：》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A 版）第三章3.4节 一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。
让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。
二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本2a b+≤。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取“=”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。
以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。
以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形ABCD的面积肯定大于4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。
2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当a b时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。
教师利用多媒体展示问题情景：1．（投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标——风车。
2．让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形EFGH缩为一个点时，它们的面积相等”。
）自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积和”。
五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
高中数学教案 第5讲 基本不等式
第5讲基本不等式1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，等号成立的条件：当且仅当□1a ＝b 时取等号．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥□22ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值□32P ．(2)已知x ，y 都是正数，如果x ＋y 的和等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值□414S 2．利用基本不等式求最值要注意：(1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．(2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立)．常用结论1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．2．ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．()(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.()(4)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．回源教材(1)已知x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值为________．解析：x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）×1x ＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立．答案：1(2)若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．解析：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3(ab ≤－1舍去)，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案：9(3)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2，此时矩形场地的长、宽分别是________m.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0＜x＜10，所以面积y ＝x (10－x )≤(x ＋10－x 2)2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立，所以y max ＝25.此时矩形的长与宽均为5m.答案：255，5利用基本不等式求最值配凑法例1(1)已知x ＞2，则4x －2＋x 的最小值是________．解析：由x >2知x －2>0，则4x －2＋x ＝4x －2＋(x －2)＋2≥24x －2·（x －2）＋2＝6，当且仅当4x －2＝x －2，即x ＝4时取“＝”，所以4x －2＋x 的最小值是6.答案：6(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤22x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)，∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.答案：92常数代换法例2(2024·济宁高三月考)若a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，则2a ＋3b的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3解析：C因为a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，所以2a ＋3b ＝16(2a ＋3b )(3a ＋2b )＝16(12＋4b a ＋9a b )≥16(12＋24b a ·9a b )＝4，当且仅当3a ＝2b ＝3时，取等号，即2a ＋3b的最小值为4.消元法例3(2024·菏泽期中)若正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，则4x ＋y 的最小值是()A ．3B ．6C ．23D ．42解析：B因为正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，所以y ＝3x －x ，由y >0，得3x－x >0，因为x >0，所以3－x 2>0，即0<x <3.所以4x ＋y ＝3x ＋3x ≥23x ·3x＝6，当且仅当3x ＝3x，即x ＝1时等号成立．故选B ．反思感悟利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．训练1(1)已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为()A ．16B ．8＋42C ．12D ．6＋42解析：A 由题意可知2x ＋4y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )(2x ＋4y )＝8x y ＋2yx＋8≥28x y ·2yx＋8＝16，当且仅当8x y ＝2yx，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16.(2)(2024·深圳六校质检)已知x>0，y>0，若x＋y＋xy＝3，则xy的最大值为()A．1B．2C．2D．22解析：A法一：由x>0，y>0，得x＋y≥2xy，所以x＋y＋xy＝3≥2xy＋xy，当且仅当x＝y时等号成立．令xy＝t(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，即0<xy≤1，故0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，xy的最大值为1，故选A．法二：由x＋y＋xy＝3，且x>0，得y＝3－xx＋1，则xy＝x（3－x）x＋1＝－x2＋3xx＋1，因为x>0，y>0，则3－xx＋1>0且x>0，解得0<x<3.设t＝x＋1∈(1，4)，则x＝t－1，xy＝－x2＋3xx＋1＝－（t－1）2＋3（t－1）t＝－t2＋5t－4t＝－t－4t＋5＝－(t＋4t)＋5≤－2t·4t＋5＝1，当且仅当t＝4t，即t＝2，也即x＝y＝1时等号成立，所以xy的最大值为1，故选A．(3)已知x>1，则y＝x－1x2＋3的最大值为________．解析：令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x>1，∴t>0，∴y＝t（t＋1）2＋3＝tt2＋2t＋4＝1t＋4t＋2≤124＋2＝16，当且仅当t＝4t，t＝2，即x＝3时，等号成立，∴当x＝3时，y max＝1 6 .答案：1 6利用基本不等式求参数值或取值范围例4(1)当x>a时，2x＋8x－a的最小值为10，则a＝()A．1B．2 C．22D．4解析：A2x＋8x－a＝2(x－a)＋8x－a＋2a≥22（x－a）×8x－a＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.(2)已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)(1x＋ay)的最小值大于或等于9，∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝(a＋1)2，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.答案：4反思感悟利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围．训练2若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则实数m的取值范围是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2，所以4x＋1＋1y＝12[(x＋1)＋y]·(4x＋1＋1y)＝12(5＋4yx＋1＋x＋1y)≥1 2(5＋24yx＋1·x＋1y)＝92，＋1＝2y，＋y＝1，＝13，＝23时，等号成立，所以4x＋1＋1y的最小值为92.因为不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则m2＋32m>92，即2m2＋3m－9>0，即(2m－3)(m＋3)>0，解得m<－3或m>32.答案：(－∞，－3)∪(32，＋∞)基本不等式的实际应用例5长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是mx，所以y＝mx(kx2＋9)＝m(x＋9x)，1≤x≤10.(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000(x＋9x)≥1000×29＝6000(千克)．当且仅当x＝9x，即x＝3时，等号成立，故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克．反思感悟1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解．训练3某校为该校生物兴趣小组分配了一块面积为32m 2的矩形空地，该生物兴趣小组计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区，如图，要求矩形试验区的四周各空0.5m ，各试验区之间也空0.5m ．则每块试验区的面积的最大值为________m 2.解析：设矩形空地的长为x m ，则宽为32xm ，依题意可得，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)0.5×34－x －64x≤34－2x ×64x＝18，当且仅当x ＝64x，即x ＝8时等号成立，易知x ＝8符合题意，所以每块试验区的面积的最大值为18÷3＝6(m 2)．答案：6限时规范训练(五)A 级基础落实练1．下列函数中，最小值为2的是()A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x (0<x <π2)解析：C 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0，π2)时，sin x∈(0，1)，y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，因为sin x∈(0，1)，故D错误．2．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．14B．4C．12D．2解析：D由题意得4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.3．(2024·六安金寨县青山中学期末)已知x>2，y＝4x＋1x－2，则y的最小值为()A．8B．10C．12D．14解析：C∵x>2，∴y＝4x＋1x－2＝4(x－2)＋1x－2＋8≥24（x－2）·1x－2＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝1x－2，即x＝52时取等号，故选C．4．(2024·长沙雅礼中学第三次月考)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为()A ．36B ．25C ．16D ．9解析：B法一：由x ＋y ＝7，得(x ＋1)＋(y ＋2)＝10，则(1＋x )(2＋y )≤（1＋x ）＋（2＋y ）22＝25，当且仅当1＋x ＝2＋y ，即x ＝4，y ＝3时等号成立，所以(1＋x )·(2＋y )的最大值为25.故选B ．法二：因为x ＋y ＝7，所以y ＝7－x ，因为x >0，y >0，所以0<x <7，则(1＋x )(2＋y )＝(1＋x )(9－x )＝－x 2＋8x ＋9＝－(x －4)2＋25≤25，所以当x ＝4，y ＝3时，(1＋x )(2＋y )取得最大值25.故选B ．5．(2023·忻州联考(二))已知0<a <2，则1a ＋92－a 的最小值是()A ．4B ．6C ．8D ．16解析：C 因为0<a <2，所以1a >0，92－a >0，则1a ＋92－a ＝12[a ＋(2－a )](1a ＋92－a )＝12(1＋9a 2－a ＋2－a a ＋9)＝5＋12(9a2－a ＋2－a a)≥5＋9a 2－a ·2－aa＝8，当且仅当9a 2－a ＝2－a a ，即a ＝12时等号成立，所以1a ＋92－a 的最小值为8.6．(多选)(2024·安徽名校联考)已知实数a ，b 满足a >b >0且a ＋b ＝2，则下列结论中正确的有()A ．a 2＋b 2>2B ．8a ＋2b ≥9C ．ln a ＋ln b >0D ．a ＋1a >b ＋1b解析：AB对于A ，因为a >b >0且a ＋b ＝2，由基本不等式a 2＋b 2>2ab ，得a 2＋b 2＝12[a 2＋b 2＋(a 2＋b 2)]>12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝2(或由不等式a 2＋b 22>(a ＋b 2)2直接得到)，故A 正确；对于B ，8a ＋2b ＝12(8a ＋2b )(a ＋b )＝12(10＋8b a ＋2a b )≥12(10＋28b a ·2ab)＝9，当且仅当8b a ＝2a b ，即a ＝43，b ＝23时等号成立，故B 正确；对于C ，ln a ＋ln b ＝ln(ab )<ln(a ＋b 2)2＝ln 1＝0，故C 错误；对于D ，因为ab <(a ＋b 2)2＝1，所以0<ab <1，所以(a ＋1a )－(b ＋1b )＝(a －b )＋b －a ab ＝(a －b )(1－1ab )＝（a －b ）（ab －1）ab<0，故D 错误．故选AB ．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥2（x ＋1）·1（x ＋1）－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0.答案：08．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系式为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－（x ＋25x ）万元，由于x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．答案：89．(2024·张家口部分学校期中)已知a >0，b >0，且有a 2＋4ab ＝16b 2，则a ＋2b 的最小值为________．解析：(a ＋2b )2＝a 2＋4ab ＋4b 2＝16b 2＋4b 2≥216b 2×4b 2＝16，当且仅当16b 2＝4b 2，即b ＝2，a ＝4－22时取等号，由于a >0，b >0，所以a ＋2b ≥4，所以a ＋2b 的最小值为4.答案：410．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时，取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以4－x 2>0，则y ＝x 4－x 2＝x 2·（4－x 2）≤x 2＋（4－x 2）2＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵xy ＝2x ＋8y ≥22x ·8y ，即xy ≥8xy ，即xy ≥64，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，等号成立，∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y)(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 级能力提升练12．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1解析：BC 对于A ，B ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取等号，解得－2≤x ＋y ≤2，所以A 不正确，B 正确；对于C ，D ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，所以x 2＋y 2≤2，所以C 正确，D 不正确．故选BC ．13．(多选)(2023·安徽三模)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当c ab取最小值时，下列说法正确的是()A ．a ＝2bB ．c ＝4b 2C ．2a ＋1b －6c 的最大值为1D ．2a ＋1b －6c 的最小值为12解析：AC ∵正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，∴c ab a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a －1≥2a b ·4b a －1＝3，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b 时等号成立，A 正确；a ＝2b 时，c ＝(2b )2－2b 2＋4b 2＝6b 2，B 错误；2a ＋1b－6c ＝1b ＋1b －66b 2＝－1b 2＋2b ＝－(1b －1)2＋1，当1b ＝1，即b ＝1时，2a ＋1b －6c的最大值1，C 正确，D 错误．故选AC ．14．中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为(50＋1015－0.1x )元，单套利润为x －50－1015－0.1x ＝(x －50－100150－x )元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150.所以单套利润为y ＝x －50－100150－x ＝－（150－x ）＋100150－x ＋100≤100－2（150－x ）·100150－x ＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．。
基本不等式教学设计
基本不等式(第一课时)一. 教学目标知识目标:掌握两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数的定理，初步学会运用定理解题.能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力.情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.二.重点难点重点:几何平均数不大于它们的算术平均数的定理;难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘.三.教学过程（一）创设意境，引出课题实验室中，某同学想用两臂不一样长的天平称量物体的质量，他寻思着，放在左右两边称一个称重了，一个称轻了.于是，他把物体放在左右两盘中各称一次，再把所得的结果平均一下，以其结果作为物体的质量.问：你认为这种称量方法是否正确？问：在两臂不一样长的情况下，你能不能将物体的质量表示出来？如果已知天平的两臂长分别为1l ，2l ，两次称量的结果分别为a ，b .物体的实际重量应该是多少？ 师：那么，要说明该同学的方法是不对的，就是要比较ab 与2b a +的大小关系这样一个数学问题！这就是我们本节课要研究的重点.【设计意图】：创设生活中真实有意义的情景，让学生感受到数学源于生活，体现了数学生活化，激发学生的数学学习兴趣.（二）分析解剖，特例探路师：我们先来分析一下这个式子.若0<a ，0<b ，显然2b a ab +>. 若0<ab ，ab 无意义.若a ，b 至少有一个为零，也容易判断.因此，只需要探讨当0>a ，0>b ，ab 与2b a +的大小关系. 问：同学们能不能猜一猜，ab 与2b a +谁大谁小？你是怎么猜的？ 师：他是通过取了几个特殊值发现ab b a ≥+2的，老师觉得非常好，我们可以通过取特殊值对我们的结论进行探路.那么，他这个结论到底正不正确呢？我们还需要进行严格的证明.【设计意图】：让学生体会到特殊值可以帮助猜想结论，但是不能用于证明.培养学生探究数学结论的意识，掌握探究的方法.（三）推证猜想，形成结论问：如何证明上述结论呢？比较两个数的大小有哪些方法？证明：0>a ，0>b 22)()(222ab b a ab b a -+=-+ 2)(2b a -= 0≥当且仅当b a =时，ab b a =+2成立. 基本不等式：若0>a ，0>b ，那么ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，ab b a =+2成立.（称ab 为a ，b 的几何平均数；称2b a +为a ，b 的算术平均数.它联通了算术平均数与几何平均数的关系，因此把这个不等式称为基本不等式.）拓展：若用2a ，2b 分别代替a ，b ，又有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，ab b a 222=+成立.重要不等式：若R a ∈，R b ∈，，那么ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，ab b a 222=+成立.【设计意图】：通过严谨的证明，让学生掌握基本不等式的内容，进一步巩固比较两个数大小的方法.对基本不等式内涵的揭示，让学生掌握数学学习的本质.（四）数形结合，相见益彰探究：如图的圆O 中：AB 为圆的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =，过点C 作垂直于AB 的弦'DD ，连接AD 、BD .利用图形，给出基本不等式的几何解释.【设计意图】：渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从多方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性.（五）例题示范，学会应用例1:已知1=xy 且0>x ，0>y ，求y x +的最小值.变式1：求函数x x y 1+=(0>x )的最小值.变式2：求函数x x y 1+=(0<x )的最大值.变式3：已知2>x ，求函数21-+=x x y 的最小值. 变式4：已知2>x ，不等式a x x ≥-+21恒成立，则实数a 的范围_______.师：题后小结.例2.已知0>x ，0>y ，且2=+y x ，求xy 的最大值.变式1：已知20<<x ，求函数)2(x x y -=的最大值.变式2：已知320<<x ，求函数)32(x x y -=的最大值.师：题后小结.【设计意图】：让学生初步学会运用基本不等式并注意基本不等式适用范围及等号成立的条件.（六）归纳小结，反思提高问：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？【设计意图】：先由学生小结，再在不当之处由教师点评，有利于学生构建自 己的知识体系，形成知识的正向迁移.（七）布置作业，分层对待.书面作业：P114 习题3.4：A 组1弹性作业：是否还有其他证明不等式ab b a ≥+2（0>a ，0>b ）和ab b a 222≥+方法和几何解释？【设计意图】：作业分必做的书面作业和选做的弹性作业，弹性作业供学有余力的学生思考，使他们有提高发展的空间.。
基本不等式教案
基本不等式教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容及其证明过程。
（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
（2）引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用意识和能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容及证明。
（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点（1）基本不等式的证明。
（2）运用基本不等式求最值时条件的判断和正确应用。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过实际生活中的问题引入，比如：某工厂要建造一个面积为 100 平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙，墙长 16 米，问怎样建造才能使所用材料最省？（二）新课讲授1、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a，b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
证明：＼＼begin{align}（a b)＾2&＼geq 0\＼a^2 2ab ＋ b^2&＼geq 0\＼a^2 ＋ 2ab ＋ b^2&＼geq 4ab\＼（a ＋ b)＾2&＼geq 4ab\＼a ＋ b&＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a b ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，直角边为 a，b，斜边为 c，那么\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
对于基本不等式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），可以看作是以 a，b 为直角边的直角三角形的斜边长大于等于以\（＼sqrt{ab}＼）为边长的正方形的对角线长。
基本不等式教案
基本不等式教案基本不等式教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质和解法。
2. 过程与方法：培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，培养学生的数学兴趣。
二、教学重难点：1. 教学重点：理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质和解法。
2. 教学难点：应用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程：1. 创设情境，引入话题老师可以从学生日常生活中的情境出发，引入基本不等式的话题。
比如，在购物时，我们经常会遇到打折活动，我们可以通过基本不等式来帮助我们选择打折的商品。
2. 提出问题，引导探究老师提出以下问题：如果我们知道一个商品原价为X元，现在打8折，那么能否通过基本不等式确定它的折后价？请同学们思考这个问题，并尝试通过数学的方法来解决。
3. 分组讨论，解答问题将学生分成小组，让他们用已学的不等式知识来解答这个问题。
鼓励学生提出自己的解法，并进行讨论和交流。
4. 总结规律，归纳性质根据学生的讨论和解法，引导学生总结出基本不等式的性质和解法。
比如，原价为X元，打8折后的折后价为0.8X元，可以表示为X > 0.8X，即X > X/5。
5. 练习巩固，拓展应用让学生在课堂上完成一些基本不等式的练习题，巩固所学的知识。
同时，老师也可以引入一些拓展应用的问题，让学生将基本不等式应用到更复杂的实际问题中，培养学生的解决问题的能力。
6. 作业布置布置一些巩固练习题作为课后作业，让学生复习所学的知识。
四、教学反思：本节课通过情境引入的方式，将抽象的数学知识和实际问题相结合，让学生更容易理解和掌握基本不等式的概念和解法。
同时，通过讨论和交流，培养学生的合作和思考能力。
在设计练习题时，要注意题目的难易程度和问题的实际应用性，引导学生理解基本不等式在实际生活中的意义和作用。
2.2基本不等式(1)教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题基本不等式（1）教科书书名：普通高中教科书数学（必修第一册）教材出版社：江苏凤凰教育出版社教学目标1.学会推导并掌握基本不等式定理；2.数学能够应用定理证明不等式并解决一些简单的证明和求最值问题.教学内容教学重点：1. 基本不等式的定义、证明方法和几何解释；2. 用基本不等式解决简单的证明和最值问题。
教学难点：1. 基本不等式的几何解释；2.在解题中灵活使用基本不等式；教学过程一、情景引入将物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量.不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b.思考：如何合理地表示物体的质量呢？表示物体的质量. 做法1：把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=a+b2问题1：这样的做法合理吗？做法2：设天平的两臂长分别为l1,l2,物体实际质量为M，根据力学原理有l1M=l2a, l2M=l1b.将上述两个等式的两边分别相乘，得l1l2M2=l1l2ab,所以M=√ab. 由此可知，物体的实际质量为√ab.对于正数，我们把a+b2称为a,b的算术平均数，√ab称为a,b的几何平均数.二、探索新知问题2：两个正数a,b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？如图，AB是圆⊙O的直径，点C是AB上一点,AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB 垂直交半圆于点D，连接AD，BD.思考：你能在图中找到长度为a+b2、√ab的线段吗？OD =a+b2表示圆的半径.图中三角形均为直角三角形，可证△ACD∼△DCB，因而CD2=AC∙BC(射影定理), 得CD =√ab表示圆的半弦长.问题3： OD与 CD大小关系如何呢？CD ≤OD√ab≤a+b2，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.得到一个猜想：∀a>0,b>0,√ab≤a+b2，当且仅当a=b时等号成立.三、探究—基本不等式的证明问题4：在前面学习不等式性质中，我们已经解决过一些不等式的证明，有哪些常用方法呢？作差法、分析法、利用不等式性质法等. 请同学们尝试用以上方法证明基本不等式.思考:“√ab≤a+b2”还有哪些等价形式？ab≤(a+b2)2思考: 两个数的“平方和与积”的不等关系呢？用a2替换a，b2替换b，得ab≤a 2+b2 2ab≤(a+b2)2当且仅当a=b时等号成立.ab≤a2+b22,当且仅当a=b时等号成立.问：请问上述a、b的范围是多少？四、学以致用例1 设a,b为正数，证明下列不等式成立.（1）ba+ab≥2 ; （2）a+b+1a+1b≥4(1)分析：观察ba 、ab的结构，发现积为定值ba∙ab=1.基本不等式揭示了两个非负数的和与积的不等关系，即它们的几何平均数不大于它们的算术平均数.(2) 分析：观察a、b、1a 、1b的结构，发现a∙1a=1，b∙1b=1.分别使用基本不等式.例2 已知函数y =x +16x+2(x >−2)求此函数的最小值.分析：观察x 、16x+2的结构，发现二者积不为定值，并且从x >−2，有x +2>0，但x 可能为负数，不能直接使用基本不等式.思考：能不能凑成积为定值，且均为正数呢？四、课堂小结最后我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下问题：（1）什么是基本不等式？∀ a >0,b >0,√ab ≤ a+b2，当且仅当a =b 时等号成立.文字语言：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.几何解释：在圆中，半弦长小于或等于半径长.（2）还收获了哪些不等式呢？∀a , b ∈R ，ab ≤(a +b 2)2,当且仅当a =b 时等号成立. ∀a , b ∈R ，ab ≤a 2+b 22,当且仅当a =b 时等号成立. （3）利用不等式解决问题时，需要注意什么？首先用整体思想，看能否转化为两个正数的和或者积的形式，再观察和或积是否为一个定值，最后计算检验不等式中的等号能否取到，简言之就是“一正、二定、三相等”.备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
基本不等式教案范文
基本不等式教案范文教案中对每个课题或每个课时的教学内容，教学步骤的安排，教学方法的选择，板书设计，教具或现代化教学手段的应用，各个教学步骤教学环节的时间分配等等，都要经过周密考虑，精心设计而确定下来，体现着很强的计划性。
接下来是小编为大家整理的基本不等式教案范文，希望大家喜欢!基本不等式教案范文一【教学目标】1、知识与技能目标(1)掌握基本不等式，认识其运算结构;(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义;(3)能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程;(2)体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标(1)感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物;(2)体会多角度探索、解决问题。
【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。
【教学难点】基本不等式等号成立条件。
【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合【教学工具】课件辅助教学、实物演示实验【教学流程】SHAPE MERGEFORMAT【教学过程设计】创设情景，引入新课如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，这是根据赵爽弦图而设计的。
用课前折好的赵爽弦图示范，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积，你会得到怎样的相等和不等关系?赵爽弦图1.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2.得到结论：一般的，如果3.思考证明：你能给出它的证明吗?证明：因为当所以，，即4.基本不等式1)特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2)从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证 (1)只要证 (2)要证(2)，只要证 a+b- 0 (3)要证(3)，只要证 ( - ) (4)显然，(4)是成立的。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
基本不等式课程设计
基本不等式课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握基本不等式的概念，包括算术平均数-几何平均数不等式、均值不等式等。
2. 学生能够运用基本不等式解决实际问题，解释生活中的不等关系。
3. 学生掌握不等式的证明方法，能合理解释不等式成立的数学原理。
技能目标：1. 学生能够准确地运用符号语言表达不等式，并能在数轴上表示出来。
2. 学生通过具体案例，培养观察、分析、解决问题的能力，提高逻辑推理和数学证明技巧。
3. 学生能够运用基本不等式进行简单的数学建模，解决实际问题。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对数学的兴趣，特别是对不等式的学习产生积极情感。
2. 学生在学习过程中，发展合作精神，学会分享解题思路和成果。
3. 学生通过不等式的学习，认识到数学的严谨性和应用的广泛性，增强解决实际问题的自信心。
课程性质分析：本课程属于高中数学范畴，以理论学习和实际应用相结合，着重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
学生特点分析：高中生具有较强的逻辑推理能力和抽象思维能力，能够理解并应用不等式解决复杂问题。
教学要求：教学应结合学生特点，通过案例导入、理论讲解、互动讨论和实际应用，帮助学生达成课程目标，确保学生在理解不等式的基础上，能够灵活运用并解决实际问题。
二、教学内容1. 引言：通过生活中的实例引入不等式的概念，让学生感知不等式在现实中的应用。
- 教材章节：第一章 不等式与不等式组2. 算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：- 定义、性质、证明和应用- 教材章节：1.2 算术平均数与几何平均数3. 均值不等式：- 包括算术平均数、几何平均数、调和平均数等- 教材章节：1.3 均值不等式及其应用4. 不等式的证明方法：- 比较法、分析法、综合法、反证法等- 教材章节：1.4 不等式的证明5. 不等式的应用：- 解决实际问题的数学建模- 教材章节：1.5 不等式的实际应用6. 综合练习与拓展：- 设计不同难度的习题，巩固所学知识- 拓展不等式在其他学科领域的应用教学内容安排与进度：第1课时：引言与不等式的概念第2课时：算术平均数-几何平均数不等式第3课时：均值不等式第4课时：不等式的证明方法第5课时：不等式的应用第6课时：综合练习与拓展教学内容确保科学性和系统性，结合教材章节，逐步引导学生掌握不等式的相关知识。
高中数学教案《基本不等式》
教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。
●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。
●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。
2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。
●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。
●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。
3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。
●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。
●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。
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《基本不等式》教学设计
西安市中铁中学马小辉
一、教材分析
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。
就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
二、学情分析
在初中阶段，学生已经接触了完全平方公式、勾股定理，相似三角形的知识内容，在高中阶段学生已经对不等关系和不等式的性质有了一定的了解，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考查了学生数形结合、转化化归等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高。
三、教法设计
在本节课的教学中，采用观察——感知——抽象——归纳——探究，启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。
我始终坚持以学生为主体，教师为主导的教学原则，通过师生互动、生生互动来体现这一教学原则，在整个教学中我始终比较关注学生的“动”，通过多媒体、模型辅助等多种教学方法相结合的策略组织教学过程。
四、教学目标
知识与技能：（1）理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；（2）理解算数平均数与几何平均数的概念，体会基本不等式使用时所满足的条件；（3）培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
过程与方法：通过类比、归纳、探究基本不等式的过程，培养学生的数学思维能力，体会数学概念的学习方法，体验成功的乐趣。
情感态度与价值观：感受数学就在身边，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
五、教学重难点
重点：应用数形结合思想理解基本不等式，从不同的角度理解认识基本不等式。
难点：基本不等式使用时的条件。
六、教学工具的应用
（1）教学中有效利用多媒体课件，使课堂教学环节的衔接更加流畅，利用形象、
直观的展示方式增强学生对知识的理解。
（2）教学中利用实物模型，使课堂教学内容更具直观，同时激发学生学习数学的积极性。
七、课时安排
1课时
八、教学过程设计
(一)创设情境、提出问题
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明
暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
(二)探究发现、归纳证明
[问1] 你能在这个图中找出一些相等关系或不等关
系吗？
[问2] 大正方形面积和四个直角三角形的面积有相
等的情况吗？什么时候相等？
（分别从数和形的角度探究相等时候的条件）
[问3] b a ,是任意值时，ab b a 22
2≥+成立吗？
[问4] 你能给出证明吗？（得出结论）
[问5] 上述不等式成立的条件有哪些？
（设计意图：利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。
在此基础上，引导学生认识不等式ab b a 222≥+。
）
(三)类比联想、探索新知
特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替b a ,，得到什么？
（设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。
） 归纳总结：
如果b a ,都是正数，那么
ab b a ≥+2
，当且仅当b a =时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中2b a +称为b a ,的算术平均数，ab 称为b a ,的几何平均数，也称此不等式为均值不等式。
(四)合作探究、理解升华
1、代数角度：两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数。
2、几何意义：如图：AB 是圆的直径，点C 是
AB 上一点，CD ⊥AB ，AC=a,CB=b ，几何解释实质可
认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最
长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小
于斜边上的高。
ab 2b a +a b C O A B
D
3、形的角度：类比利用面积法解释ab b a 222≥+这个不等式，引导学生利用面积法解
释基本不等式。
4、数列角度：已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与
G 有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
（1）ab b a 22
2≥+
（2）基本不等式
（3）基本不等式的作用——求最值，基本不等式的条件。
（七）、作业：
十、教学反思。