高等几何模拟试题

《高等几何》试题（A ）

一、 填空题（每题3分共15分）

1、 是仿射不变量， 是射影不变量

2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为

3、 过点（1,i,0）的实直线方程为

4、 二重元素参数为2与3的对合方程为

5、 二次曲线2

2

611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分）

1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）

2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）

3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）

4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ）

5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ） 三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）

变为（-1，2）

四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s 使

,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=

五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/

32

4

x x x +=

+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。

六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

七、（10分）

（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222

123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线

（2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理

九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线

222

123420u u u +-=的直线

十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点，

如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求

《高等几何》试题（B ）

一、 填空题（每题3分共15分）

1、 仿射变换//71

424

x x y y x y ⎧=-+⎨=++⎩的不变点为

2、 两点决定一条直线的对偶命题为

3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为

4、 若交比(,)2AB CD = 则(,)AD BC =

5、 二次曲线中的配极原则 二、判断题（每题2分共10分）

1、不变直线上的点都是不变点 （ ）

2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ）

3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ）

4、射影群⊃仿射群⊃正交群 （ ）

5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ） 三、(7分)

经过(3,2)(6,1)A B -和的直线AB 与直线360x y +-=相交于P ，求 ()ABP 四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群

五、（10

分）已知直线

1234

,,,L L L L 的方程分别为：

210,320,70,510x y x y x y x -+=+-=-=-=求证四直线共点，并求1234(,)L L L L

六、(10分)

利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点

七、（10分）求（1）二阶曲线2

2

2

12313230x x x x x -+-=过点的切线方程 （2）二级曲线222

123170u u u +-=在直线L[1，4，1] 上的切点方程

八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）

九、（10分）已知二阶曲线（C ）：22

1121332460x x x x x x +++=

（1） 求点(1,2,1)P 关于曲线的极线

（2） 求直线123360x x x -+=关于曲线的极点

十、（10分）

试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束

《高等几何》试题（C ）

一、填空题（每题3分共15分）

6、 直线20x y +-=在仿射变换//21

3

x x y y x y ⎧=+-⎨=-+⎩下的像直线

7、 X 轴Y 轴上的无穷远点坐标分别为 8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为 9、 射影变换'

230λλλ--=自对应元素的参数为 10、

二级曲线222

123170u u u +-=在直线上[1,4,1]的切点方程

三、 判断题（每题2分共10分）

1、仿射变换保持平行性不变 （ ）

2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）

3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）

4、 如果P 点的极线过Q 点，则Q 点的极线也过P 点 （ ）

5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7分)已知OX 轴上的射影变换'

21

3

x x x -=

+，求坐标原点，无穷远点的对应点

四、（8分）已知直线,,a c d 的方程分别为123123120,00x x x x x x x +-=-+==， 且

2

(,)3

ab cd =-求直线b 的方程。

五、（10 分）已知同一直线上的三点,,A B C 求一射影变换使此三点顺次变为,,B C A 并判断

变换的类型，