四边形复习讲义精讲

四边形复习讲义

考试目标要求：

1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.

2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的

关系；了解四边形的不稳定性.

3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.

4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.

5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.

6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.

知识考点梳理

知识点一、多边形的有关概念和性质

1.多边形的定义：

在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的性质：

(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)•180°；

(2)推论：多边形的外角和是360°；

(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；

(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

知识点二、四边形的有关概念和性质

1.四边形的定义：

同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形. 2.四边形的性质：

(1)定理：四边形的内角和是360°；

(2)推论：四边形的外角和是360°.

知识点三、平行四边形

1.平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质：

(1)平行四边形的对边平行且相等；

(2)平行四边形的对角相等；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

3.平行四边形的判定方法：

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

4.面积公式：

S=ah(a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高).

知识点四、矩形

1.矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.矩形的性质:

矩形具有平行四边形的所有性质；

(1)矩形的对边平行且相等；

(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；

(3)矩形的对角线互相平分且相等.

3.矩形的判定方法：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；

(2)有三个角是直角的四边形是矩形；

(3)对角线相等的平行四边形是矩形.

4.面积公式：

S=ab(a、b是矩形的边长).

知识点五、菱形

1.菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的性质：

菱形具有平行四边形的所有性质；

(1)菱形的对边平行，四条边都相等；

(2)菱形的对角相等；

(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形的判定方法：

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；

(2)四条边都相等的四边形是菱形；

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

4.面积公式：

S=ah(a是平行四边形的边长，h是这条边上的高)或s= mn(m、n是菱形的两条对角线长). 知识点六、正方形

1.正方形的定义：

有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.

2.正方形的性质:

正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；

(1)正方形的对边平行，四条边都相等；

(2)正方形的四个角都是直角；

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；

3.正方形的判定方法：

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；

(2)有一个角是直角的菱形是正方形；

(3)对角线相等的菱形是正方形；

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.

4.面积公式：

S=a2(a是边长)或s= b2(b正方形的对角线长).

平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系:

知识点七、梯形

1.梯形的定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.

(2)不平行的两边叫做梯形的腰.

(3)梯形的四个角都叫做底角.

2.直角梯形：

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性质：

(1)等腰梯形的两腰相等；

(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.

(3)等腰梯形的对角线相等.

5. 等腰梯形的判定方法：

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；

(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位线：

连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

7.面积公式：

S= (a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).

知识点八、平面图形的镶嵌

1.平面图形的镶嵌的定义：

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.

2.平面图形镶嵌的条件：

(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里

只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.

(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：

①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；

②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数

倍.

四、规律方法指导

1.数形结合思想

多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数形结合思想.尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际中的问题.

2.分类讨论思想

根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同.结合各自的特点进行分类，得出最终的结论.

3.化归与转化思想