行列式PPT课件
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高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义
11
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
行列式及其性质PPT课件
上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
第10页/共32页
下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
第二章(行列式)ppt课件
a 1 1 a 1 2 a 1 3 D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
行列式-课件
(1) b (k1 kp kq kn ) 1k1
bpk p
bqkq
bnkn
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
aqk p
a pkq
ankn
§ 1.2 行列式的性质与计算
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
a pkq
aqk p
ankn
(1) (1) (k1
DT =
(1) b b (i1i2 in ) i11 i2 2
i1i2 in
binn
(1) a a (i1i2 in ) 1i1 2i2
i1i2 in
anin D 证毕
注1.4 性质1.1表明，行列式中行与列的地位是对等的，因此，凡是对行 列式的行成立的性质，对行列式的列也同样成立，反之亦然.
bq1 bq2
bpn ，
bqn
其中i p, q时，bij aij ;bpj aqj , bqj a pj .
bn1 bn2
bnn
§ 1.2 行列式的性质与计算
即有
a11 a12
a1n
aq1 aq2
aqn
det(bij )
a p1 a p2
a pn
an1 an2
ann
由行列式的定义有 det(bij )
为了简化行列式的计算，本节首先讨论行列式的性质，然后利用这些 性质给出若干计算行列式的典型方法和计算技巧.
1.2.1 行列式的性质 1.2.2 行列式的计算 *1.2.3 拉普拉斯定理
§ 1.2 行列式的性质与计算
，
1.2.1 行列式的性质
前一节介绍了n阶行列式的定义，并利用定义计算了一些特殊的n阶行列式. 但当n较大时，用定义计算一般的n阶行列式并不容易. 为能简便计算行列式，需 要研究行列式的性质. 首先给出行列式的转置行列式及行列式中元素的余子式和 代数余子式的概念.
《高等代数行列式》课件
向量的内积和外积的应用：在几何学、物理学等领域中的应用，如向量的加法、减法、数乘等 运算规则
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
线性代数行列式的性质与计算课件
=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2) (-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
Da11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
an1 an2 … ann
推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0. 推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.
行列式的性质
性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，
则此行列式可以写成两个行列式之和.即
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n
row (行)
要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进co行lum计n（算列。）
为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：
1)交换行列式的第 i 行与第 j 行，用 ri rj表示 ； 2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示； 3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.
为了不引起混淆, 每步最好只进行一个 操作. 例如:
D
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
1 0 1 5
1 0 1 5
1 0 1 5
r3 2r2
0 r4 r2 0
1 0
3 3
8
0 r3 r4
19
0
1 0
高中数学《行列式》课件
4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn
《行列式展开定理》课件
行列式展开定理
总结词
外代数中的行列式展开定理是行列式理论的一个重要推广，它涉及到更广泛的代数结构 ，包括向量空间、线性变换和矩阵等。
详细描述
在外代数中，行列式展开定理表述为在任意维度的向量空间中，任意线性变换的行列式 值等于其各个特征值的乘积。这个定理在向量空间和线性变换的研究中具有重要意义，
因为它提供了一种计算行列式值的方法，并且有助于理解线性变换的性质和行为。
多线性代数中的行列式展开定理
总结词
多线性代数中的行列式展开定理是针对 高阶矩阵和多线性映射的行列式值的计 算。
VS
详细描述
在多线性代数中，行列式展开定理表述为 对于一个给定的n阶矩阵A，其行列式值 可以通过对A的每个元素进行求和得到。 这个定理在研究高阶矩阵和多线性映射时 非常有用，因为它提供了一种计算高阶矩 阵行列式值的方法。
《行列式展开定理》ppt课 件
目录
• 行列式展开定理的概述 • 行列式展开定理的证明 • 行列式展开定理的应用 • 行列式展开定理的推广 • 行列式展开定理的习题与解析
01 行列式展开定理 的概述
定义与性质
定义
行列式展开定理是线性代数中的基本 定理之一，它描述了行列式与矩阵元 素之间的关系。
性质
计算多元函数的偏导数
行列式展开定理可以用于计算多元函数的偏导数，通过偏导数的定 义和行列式展开定理，可以方便地计算出偏导数值。
求解多元函数的极值
通过行列式展开定理，可以求解多元函数的极值，利用极值的必要 条件和行列式展开定理，可以找到函数的极值点。
计算高阶导数
利用行列式展开定理，可以方便地计算高阶导数，从而求解一些复 杂的高阶微分方程。
非交换代数中的行列式展开定理
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x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
n(n 1) 2
依题意，有
此即
( xn xn1
x1 )
n(n 1) I . 2
.
11
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
例6
( 31)
(42)
(43)
3421 1423 1243 1234
5 2 1 0
结论： ①对换改变排列的奇偶性. ②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一
系列对换互变.
.
9
思考练习（排列的逆序数）
1.(542163) (24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）
例5 (n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
.
8
对换：在一个排列i1…is…it …in中，若其中某两 数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一排列 i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为( isit).
.
7
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，
记为(i1i2…in).
例4 (2413) =3
(312) =2
奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
2. 若排列的x1x2…xn逆序数为I，求排列xn xn-1…x1 的逆序数.
答 案
继续
1. (1)9
(2)1 3 (2n 1) n2
2. ( xn xn1
x1 )
n(n 1) I . 2
.
详解
10
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式. 数a（ij i, j 1,2,3)称为它的元素。
‘—’三元素乘积取“+”号；
‘…’三元素乘积取“-”
号。
.
5
例2 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1
3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2(2) 21(3) (4)(2) 4 (4) 2(3) 2(2)(2) 11 4
(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的
乘积构成，除符号外可写为 a a a 1 j1 2 j2 3 j3 (ii)符号为 (1) ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列）
(iii)项数为 3！=6 “-” 321 213 132 （奇排列）
.
13
推广之，有如下n 阶行列式定义
D1
b1 b2
a12 a22
, D2
a11 a21
b1 b2
当D a11 a12 0时,方程组的解可表为
a21 a22
x1.
D1 D
，x2
D2 D
4
(2)三阶行列式
主对角线法
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
考虑含有两个未知量x1, x2的线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
为求得上述方程组的解，可利用加减消元得
到：
((aa1111aa2222
a12a21 ) x1 a12a21 ) x2
b1a22 b2a11
b2a12 b1a21
当a11a22 a12a21 0时， 方程组有惟一解
.
3
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
,
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
.
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘 再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
称其为二阶行列式 . 据此，解中的分子可分别记为：
定义： n阶行列式
a11 a12 a1n
记
D a21 a22 ຫໍສະໝຸດ a2n (1) ( j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
anjn
Det(aij
)
an1 an2 ann
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a a 1 j1 2 j2 anjn 并冠以符号 (1) ( j1 j2 jn ) 的项的和.
4 6 32 24 8 4
14
.
6
2.排列及其逆序数
(1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in 称为一个n级排列（. 总数为 n!个）
如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321
注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序.
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要 组成部分.它是研究矩阵、线性方 程组、特征多项式的重要工具.本
章介绍了n阶行列式的定义、性质
及计算方法，最后给出了它的一个 简单应用——克莱姆法则.
.
1
第1章 行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则
.
2
1.二阶与三阶行列式 (1)二阶行列式
此即
( xn xn1
x1 )
n(n 1) 2
I
.
.
12
3. n阶行列式定义
分析：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
(1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和
为
li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 )
(n 1) (n 2) 2 1 n(n 1) 2