离散时间系统的傅里叶变换

∞ 示为正弦信号的加权和：
x t = ������0 +
������ =0
������������ cos ������ω0 ������ + ������������ ������������������ (������ω0 ������)
欧拉公式
ej = cosx + jsinx
用复指数的形式可表示为：
0
7/ 25
内积：对于两个向量，他们的内积就是各个
分量相乘再求和。 正交：内积为0的情况，在二维空间上可以 理解为垂直。
• 例如，在三角函数系中{1, cosx, sinx, cos2x,
sin2x, ...}，任意两个不同元素的内积都为零，因此 这个集合成为正交集合。
8/ 25
空间：该空间的任意元素进行加法和乘法计
32 /2
周期序列的离散傅里叶变换 (DFT)

33 /2
周期序列的离散傅里叶变换 (DFT)

34 /2
周期序列的离散傅里叶变换 (DFT)

35 /2
几种傅里叶形式总结

36 /2
几种傅里叶形式总结

37 /2
几种傅里叶形式总结

38 /2
几种傅里叶形式总结

39 /2
几种傅里叶形式总结
3/ 25
设一个函数是周期性的，周期为T，如果有
一个
f t = f t + nT , n = 0, ±1, ±2, … …
使等式成立，则称T为的最小正周期。
4/ 25
时间周期信号的经典例子是谐波信号：
xa t = Asin(2πft + φ)
将上式采样：
φ 。 • 参数A是振幅，频率是f，相位是
算后的结果仍然属于该空间 如果空间内有一个子集合，子集合的元素两 两正交，那该子集合就是向量空间的基。
• 例如 ������ −j ������ω , 0用于展开傅里叶级数的可以看成是一组
正交的基。
9/ 25
傅里叶变换就是把信号投影到基上。
对于任意的实信号，我们都可以看做是一些
不同频率的正弦波和余弦波的叠加。 求这个信号和傅里叶基内积：
∞
x t =
������ =−∞
X ������ ������ ������������ ω 0 ������
6/ 25
• 两边同时乘以，并从0到T积分，可求出傅 里叶系数Fourier coefficients：
1 X(k) = T
������
x t ������ −j������ ω 0 t dt
j
2 rn N
e
j
2 r 2 N
e
j
2 r ( N 1) N
j
2 rN N 2 j r N
N (r mN时)
25 /2
1 e
周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)
26 /2
周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)

27 /2
周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)


46 /2
DFT参数的选择

47 /2
41 /2



采样
离散性 谐 波性 衰减 性
离散性 谐波性 周期性
连续
周 期 周期 CFS
离散
DFS
周 期

密度性 连续性 周期性
非周期 CFT DTFT 采样
密度性 连续性 衰减性
42/25Hale Waihona Puke Baidu
几种傅里叶形式总结
DFT参数的选择

44 /2
DFT参数的选择

45 /2
DFT参数的选择
28 /2
周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)
29 /2
周期序列的离散傅里叶变换 (DFT)

30 /2
周期序列的离散傅里叶变换 (DFT)

31/25
周期序列的离散傅里叶变换 (DFT)
x(n)
0
~ x (n)
N-1
n
...
0 N-1
...
n
定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。
2
1
x t =
可以算出此信号的傅里叶系数 0
0.5
������ ������1 < |������| < 2
0
1 X(k) = ������
-0.5 -60
������ -40 2 ������ − 2
-20
������
−2������������������������ /������
1 ������������ 1 ������������ = sin⁡ ( ) ������������ ������
< x t ，������ −j ������ω 0 t >=
������ 0
x t ������ −j ������ω 0 t dt
就得到了傅里叶变换的定义。
10 /2
11/ 25
方波信号 6
矩形波
4
2
0 -2
-1.5
-1
1, 0,
-0.5
|������| < T 频谱 图
0
0.5
1
1.5

可以看做是不同 次谐波的叠加。
23 /2
周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)
24 /2
周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)

N 1 n 0 2 rn N
e
N 1 n 0
j
N , r mN , m为任意整数 0，其他 r
1 e
j 2 r N
e 1 e
1/ 25
周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的
加权和； 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。
2/ 25
根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种
重要的傅里叶变换。
• 周期信号 傅里叶级数（Fourier Series） continuous-time Fourier series, CTFS discrete-time Fourier series，DTFS DFS • 非周期信号 傅里叶变换（Fourier transform） continuous-time Fourier transform, CTFT discrete-time Fourier transform，DTFT DFT

40 /2
几种傅里叶形式总结

FS：傅立叶级数展开 ,用于分析连续周期信号 ,时域上任意连续的周期 信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周 期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点 。
FT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的， 它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续 非周期的特点。 DTFT：离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，由于信 号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信 号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的 特点。 DFS：离散时间傅立叶级数 ，离散周期序列信号，取主值序列 ，得出 每个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特 性。
例1:
离散时间信号傅里叶变换性质
解：
17 /2
离散时间信号傅里叶变换性质
18 /2
离散时间信号傅里叶变换性质
19 /2
例2： 解：
离散时间信号傅里叶变换性质
21 /2
随着N
增加，部分和的起伏就向不连续点压
缩 随着N 值增加，起伏的峰值大小保持不变 。
小波变换
22 /2
周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)
连续时间傅里叶变换为
∞
X(k) =
−∞
e−jω t x t dt
13 /2
指在离散时间变量时有定义的信号。如果是
从模拟信号均匀采样，则离散信号可以表示 为
x n = xa nTs = xa T |t=nT s
• Ts为采样周期，n为整数，表明离散信号仅在有值，
在其他时刻没有。
14 /2
15 /2
x n = xa nTs = Asin 2πfTs n + φ = Asin ΩTs n + φ = 2πf 为模拟 • f为模拟频率(Hz)，T为采样周期(s)Ω ， 角频率。
关系表达式如下：
ω = 2πfTs = 2πf/fs = ΩTs = Ω/fs
5/ 25
傅里叶的思想是，所有的周期函数都可以表
20
40
60
12 /2
1 ������������ 1 sin⁡ ( ) ≈ 在T无穷大时， ������������ ������ ������ • 则原来的时域函数就越接近单个矩形脉冲，它的连 续傅里叶级数的系数就趋近对一个无限长的幅值为 零的sin函数的采样。 • 如果将乘以T，则谐波幅值保持不变，轨迹会越来 越宽。