七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第五讲一元一次方程

第五讲一元一次方程

趣面引路】

观察下列演算过程，判断运算过程是否正确，若不正确，请指出错在哪里？ 解方程：x+2=2x+4.

解原方程可化为x+2=2 （x+2）, ① 两边同时除以（x+2）得1二2.

②

解析 1=2显然不正确，问题出在从第①步到第②步的变形，方程两边同时除以一个代数式，要对 （x+2）

的值进行讨论，当x+2二0时，两边不能除。一般地，在等式的两边同时除以一个代数式的时候要 对其分等于零和不等于零两种情况进行讨论。

知识延伸】

一、一元一次方程的解法

一元一次方程的解法一般有去分母，去扌舌号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬 套，往往需要我们活用所学方法，灵活地解决问题.

例 1•解方程：（1） 2003X2004X （x+」一）X2005X2006=0：

2005

2x 2x 2x 2x

--------- 1 ------------ 1 ------------ --- • • + --------------------

1x3 3x5 5x7 2003x2005

解析（1）依题意得x+」一=0,

2005

・

r = __1_

2005

（2）原方程可化为

2004 XX ----------- 2005 x = 2005

点评点评（1）本题的关键是：发现要使左边二0,必有X+」—=0,若按常规去括号可麻烦了；

2005

2 2 2 2

（2） —— + —— +——+•••+ --------------------- = 2004是我们熟悉的式子，于是左边反用乘法分配律,

1x3 3x5 5x7

2003x2005

提出一个X,剩下的就可以用裂项法进行化简.一般的，一-—=丄-一—

n{n + a ） n n + a

(2) = 2004

x(l ——+ ------ --- --------

3 3 5 2003

^)= 2°04

= 2004

二、一元一次方程根的存在性讨论 一元一次方程最终都可化成ax 二b 的形式 显然，当aHO 时，方程有唯一的实数根； 当a 二0且b 二0时，方程有无数根； 当a 二0且1>工0时，方程无根。 反之亦然。

例 2 (第 11 届"希望杯"竞赛试题)If a~+b~>0, then the equation ax+b 二0, for x has (

)

A. only one root (根)

B. no root

C. infinite (无数)roots

D. only one root or no root

解析：T a'+b'X),

•°・a 、b 不全为零，即 aHO, bHO,或 a 二0, bHO,或 aHO, b 二0 当aHO 时，方程ax+b 二0有唯一解； 当a 二0, bHO 时，方程无解. 故选D.

点评 本题是已知系数的关系确定解的情况，关键是从a'+b'>0中得到信息 例3当b 二1时，关x 的方程a (3x-2) +b (2x~3) =8x~7有无数多个解，则a 等于(

2

A. 2

B. ~2

° 一亍

D.不存在

解析 把b 二1代人方程有

(3a-6) x 二2a-4,方程有无数多个解 /. a 二2.故选 A.

点评本题是已如方程解的情况来确定字母参数的取值，注意最后必须同时满足3a-6二0, 2a-4二0,恰好这 两个方程是同解方程，否则会出现无无数多个解解的情况。

例4 如果a 、b 为定值，关于x 的方程卑匕=2 +△尹无论为何值，它的根总是1,解析 求a 、 b 的值解析把沪1代人方程有竺H = 2 +丄二空

3

6

4k+2a 二12+1—bk, (4+b) k 二 13-2a.

I k 取任何值，方程都成立，即关于k 的方程有无数多个解

4+b=0 < 13_2d = 0 13

• •b

=—

4 9 a 二—

2

点评 将方程逖口 = 2 +上空看成是关于k 的方程，则可知方程有无数个解；

3

6

方程mk 二n 有无数解，则必有m 二0且n 二0.

三、一元一次方程的整数解

含字母系数的一元一次方程一般不能求出具体的解，但往往可以综合整数的相关知识讨论方程的整数 解 例5 （第12.届“希望杯”竞赛试题）若k 为整数，则使得方程（k-1999） x=2001-2000x 的解也是整数 的k 值为（

）

故有* 3d —6 =

2—4 = 0

A. 4 个.

B. 8 个

C. 12 个

D. 16 个

解析（kT999） x二2001-2000x,

（k+1） x二2001,

当k+1二0时，无解;

当k+lH0时，有解乳=譽

k + 1

要使x是整数，则a+i）|2oob

而2001=1X3X23X29,

:.k+1 二±1, ±3, ±23, ±29, ±3X23, ±3X29, ±23X29, ±3X23X29,

・•・ k有16个值，故选D.

点评：一元一次方程的整数解问题通常化成含字母参数的代数式整除一个常数的形式，然后将常数分

解成几个数的乘积.

例6 己知p、q都是质数，则以X为未知数的一元一次方程px+5q二97的解是1,求代数式p'-q的值解析将X=1代入方程有p+5q二97,

若p、q全为奇数，则p+5q的值是偶数，所以p、q应为一奇一偶。

又•・• P、q都是质数，:.p二2或q=2.

若p二2,则q二19；若q=2,则p二87,不合题意。

• •p=2 9 Q—19♦

/•p'-q=4-19 二T5 ・

点评：本题从奇偶性，质数、合数之间的关系的角度进行考查，应特别注意唯一的偶质数2,它往往是

解这类习题的突破门.

好题妙解】

佳题新题品味

例1 已知关于x的方程ax+b二c的解为1, ^\c-a-b~]\的值

T x二1是方程ax+b二c的根。

a+b二c, c-a~b=0>

点评：将c-a-b看成一个整体，只要求出c-a-b的值就容易了，由方程的定义易得c-a-b二0. 例2 若方程（2a+l）x'+bx+c二0表示关于字母x的一元一次方程，则有（）.

A. a二丄，bHO, c 为任意数

B. aH 丄，bHO, c二0

2 2

C. a二-一，bHO, cHO

D. a二,bHO, c 为任意数

2 2

解析：°・°（2a+l） x'+bx+c二0是关于x的一次方程，

..0 + 1 = 0 ①

•[bHO②