数学：253解直角三角形(3)教案(华东师大版九年级上)

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华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计3

华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《解直角三角形》是学生在初中阶段最后一节关于三角形的课程，学生在之前的学习中已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的性质以及三角形的分类。

本节课主要让学生了解直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，并用三角函数表示直角三角形的边角关系。

教材通过丰富的情境图和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究直角三角形的性质，培养学生的动手操作能力和数学思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的了解。

但是部分学生对三角形性质的掌握不够扎实，对勾股定理的理解和应用还不够熟练。

此外，学生在学习过程中往往存在对理论知识掌握较好，但实际操作能力较弱的问题。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生运用已有的知识解决实际问题，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，会用三角函数表示直角三角形的边角关系。

2.过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生合作交流、归纳总结的能力，提高学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生在解决实际问题的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学生对数学学科的学习兴趣。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握直角三角形的性质，会用勾股定理计算直角三角形的边长。

2.难点：让学生会用三角函数表示直角三角形的边角关系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过情境图和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究直角三角形的性质。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，激发学生的求知欲，培养学生独立思考的能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和归纳总结能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，解决实际问题，提高学生的动手能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作华师大版数学九年级上册《解直角三角形》的教学课件。

24.4 解直角三角形华东师大版数学九年级上册教案3

第23课时锐角三角函数与解直角三角形考点一：锐角三角函数1. 锐角三角函数定义1、如图，在△ABC中，∠C=90°∠A, ∠B ,∠C的对边分别是a，b，c，则sinA= cosA= tanA 。

2.特殊角的三角函数值：3.三角函数之间的关系：（1）同角三角函数之间的关系：（2）互余两角的三角函数关系4、锐角三角函数的增减性：（同学们总结，教师归纳）典型考题展示：1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．故选：B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2B．8C．2D．4考点：锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解答：解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．5．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2B．1C．D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．6．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．考点二解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时教学设计

（四）课堂练习
1.教学活动设计：
在课堂练习环节，我会提供以下几道题目：
（1）已知直角三角形的两边，求解第三边和两个锐角。
（2）实际问题：测量旗杆的高度、建筑物的高度等。
学生在练习过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
2.教学内容关联：
通过课堂练习，让学生在实际问题中运用解直角三角形的方法，提高解题能力和应用意识。
4.利用计算器进行计算，提高学生的计算速度和准确性，培养学生的信息技术素养。
（三）情感态度与价值。
2.培养学生勇于探索、善于思考的良好学习习惯，增强学生的自信心。
3.培养学生在实际生活中发现数学问题，运用数学知识解决问题的意识。
4.通过解直角三角形的过程，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，增强学生的应用意识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
本节课开始时，我将向学生展示一座高楼和一座距离高楼一定距离的观测塔。提出问题：“如何通过测量地面到观测塔的高度和观测塔到高楼顶部的距离，计算出高楼的高度？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够激发他们的好奇心和学习兴趣。
2.教学内容关联：
通过这个实际问题，引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理。在此基础上，导入本节课的教学内容——解直角三角形。
在教学过程中，注重知识、技能、过程、方法、情感态度与价值观的有机统一，使学生在掌握知识的同时，提高能力，培养良好的学习态度和价值观。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有了初步的了解，掌握了勾股定理及其应用。在此基础上，学生对解直角三角形的学习具备以下特点：
1.学生已经熟悉了三角函数的概念，但对三角函数在实际问题中的应用还需进一步巩固和拓展。

华师大版-数学-九年级上册 25.3解直角三角形导学案

25.3解直角三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握解直角三角形的定义及有关公式；2、掌握解直角三角形的四种类型（详见知识概览图）；3、掌握解直角三角形的应用题的一般步骤；【重点难点】1、解直角三角形的四种类型；2、能通过解直角三角形解决相关实际问题；知识概览图定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形有关公式：222,90,sin ,cos ,tan a b a a b c A B A A A c c b+=∠+∠=︒===解直角三角形的四种类型①弄清题中名词、术语，根据题意画几何图形，建立数学模型②将实际问题中的数量关系归纳为直角三角形各元素之间的关系③寻找基础直角三角形，并解这个直角三角形或设未知数进行求解新课导引如右图所示，为了测量小河对岸的建筑物的高度，请你思考都有哪些测量方法．【问题探究】上述问题可用三角形相似的方法求出建筑物的高度，还可以用解直角三角形的知识来解决．那么，什么叫解直角三角形呢?【解析】在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．教材精华2222tan ,:;90 ;c :90;90;sin sin ;90;-,,sin ;cos cot ;A ab A B a bA c b AB A a A B A b a a c a A A B cA b ac a a c A b A a A c =∠∠=︒-∠=+∠=︒-∠∠=︒-∠=∠∠=︒-∠=====由已知两直角边已知斜边和一锐角已知一直角边和一锐角：已知斜边和直角边：由求出求出A解直角三角形的应用题一般步骤解直角三角形知识点1解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形拓展 (1)三角形每一个内角、每一条边都叫做一个元素． (2)除直角外，如果知道两个元素(其中至少一个是边)，这个三角形就可以确定下来，故解直角三角形的题目类型只有两类：①已知一边一角；②已知两边．(3)解直角三角形要用到的关系(以∠C ＝90°为例)：①∠A +∠B ＝90°②a 2+b 2=c 2; ③sin A =a c ，cos A =bc ，tan A =a b. 在直角三角形中，除直角外的五元素中，若已知其中的两个元素（其中至少有一条边)，就可求出另外三个未知元素．有如下四种类型：在Rt △ABC 中 , ∠C=90°已知选择的边角关系斜边和一直角边c, a由sin =aA c ，求22;90;-AB A b c a ∠∠=︒-∠= 两直角边 a ,b 由tan ,aA b=求22;90;A B A c a b ∠∠=︒-∠=+斜边和一锐角 c, ∠A90;sin ;cos B A a c A b c A ∠=︒-∠==一直角边和一锐角a , ∠A90;cos ;sin aB A b a A c A∠=︒-∠==拓展已知一边和一角求另一边时，应选择合适的边角关系，计算边时可按“有斜用弦，无斜用切”的原则选择，即如果与斜边有关的，那么就用正弦或余弦；如果与斜边无关的，那么就用正切或余切．知识点2解直角三角形的应用解直角三角形在实际生活中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域．有关名词、术语的意义． (1)铅垂线：重力线方向的直线． (2)水平线：与铅垂线垂直的直线．(3)仰角与俯角：视线与水平线的夹角，如图25-43所示．(4)坡度与坡角：斜坡的铅垂高度h 与水平长度ι的比值，记作坡度．坡度也就是坡角α的正切值，如图25-44所示．(5)方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，如图25-45所示的角α.拓展 (1)运用直角三角形的知识解决一些实际应用问题，关键在于如何将问题转化为熟悉的解直角三角形的四种基本题型．对于斜三角形的求解，则应学会通过构造直角三角形来解答．(2)应用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：①弄清题中名词、术语的意义，然后根据题意画出正确的几何图形，建立数学模型； ②将实际问题中的数量关系归纳为直角三角形各元素之间的关系，如果一些三角形不是直角三角形，可适当添加辅助线，将它们转化成直角三角形； ③解直角三角形或设未知数进行求解．课堂检测基础知识应用题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝8，解这个直角三角形．2、在Rt △ABC 中，∠C =90°,b =8, ∠A 的平分线AD =求,,B a c ∠的值综合应用题3、关于x 的方程52x －lO x cos α－7cos α+6＝0(α为锐角)有两个相等的实数根，求边长为10cm ，且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．探索创新题4、某学校为了改善教职工居住条件，准备在教学楼的正南方建一栋住宅楼，要求教学楼与住宅楼等高，均为15.6m ．已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°．假设教学楼与住宅楼的间隔仅有19.2 m，如图所示．(1)此时住宅楼的影子落在教学楼上的有多高?(精确到0.1m).(2)要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙脚，两楼间的距离至少应为多少米?(精确到0.1 m)体验中考1、如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，cos A＝35，BE＝2，则tan∠DBE的值是（）A.12B.2C.52D.552、如图所示，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．(1)求灯塔C到航线AB的距离；(2)若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查解直角三角形．解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由btanaB=，得tan8tan608 3.b a B==⨯+︒=由cos a B c =，得88161cos cos602a c B ====︒. A 30,83,16bc ∴∠=︒==.【解题策略】已知一边、一角（直角除外），直接用三角函数求解2、分析先根据题意画出图形，题设条件中只有一个b =8，无法解出Rt △ABC ，但由于已知AD 的长，可先解Rt △ADC .解：如图所示在Rt △ADC 中，AC ＝8，163,3AD =∴3cos 2AC DAC AD ∠==即30DAC ∠=︒. ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAB ＝60°，∠B ＝30°. 又∵b =8，∴C ＝16，83a =.【解题策略】对涉及直角三角形某锐角的平分线或某边上中线的问题，以及其他方式派生出新的直角三角形的问题往往是抓住已知条件与未知条件的联系，先解新的直角三角形，再解题中要求的直角三角形.3、分析本题主要考查一元二次方程与三角函数的综合应用．由一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0，可求得cos α，再转换为sin α，即可求出菱形一边上的高，于是面积可求.解：∵原方程有两个相等的实数根，∴△＝0，即(－lOcos α)2－20(－7cos α+6)＝0．解得cos α=-2(舍去)，或cos α=35．∵α为锐角，∴sin α＝45．则菱形一边上的高为lOsin α＝8(cm)，∴210880cm S =⨯菱形＝（）解题策略本题应注意○10<cos α<1,故cos α=-2舍去；○2求菱形的面积时，容易从菱形的面积等于两条对角线乘积的一半着手，此时与cos2α 或sin 2α有关，而此时只能求出cos α或sin α，因此此法不可取4、分析 (1)如图25－52所示，设冬至正午太阳最低时，住宅楼楼顶A 点的影子落在教学楼上的C 处，则CD 的长就是住宅楼的影子落在教学楼上的高度．(2)如图25－53所示，BC 的长就是两楼间的最小距离．解：(1)如图25－52所示，作CE ⊥AB 于E ，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝30°，EC ＝19.2 m ，于是AE ＝EC ·tan 30°，而tan 30°≈0.5774，所以AE ≈19.2×0.5774≈11.1(m)．所以CD ＝EB ＝AB －AE ≈15.6-11.1＝4.5(m)．答：住宅楼的影子落在教学楼上的约有4.5 m 高．(2)如图25-53所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，AB ＝15.6m,所以BC=o AB 15.627.0m tan 300.5774≈≈（）答：要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙脚，两楼间的距离至少应为27.0m 【解题策略】此题属于探索性问题，这类题的特点在于题目的结论不直接给出，需要通过观察、比较、分析、概括、推理、判断等一系列活动，逐步确定应有的结论.体验中考1、分析本题主要考查菱形的性质与解直角三角形．在Rt △ADE 中，cos A ＝35AE AD =故设AE ＝3 x ，AD ＝5 x ．又由BE ＝2，而菱形的四条边相等，故有3 x +2＝5 x ，解得x =1，故DE ＝4．在Rt △BDE 中，tan ∠DBE ＝DEBE＝2．故选B ． 2、分析本题(1)问中求点C 到AB 的距离，应过点C 作AB 的垂线，垂足为D ，则CD 即为所求．(2)问中所求时间应为AB 的长与速度的商，要注意题中对所求结果精确度的要求．解：(1)过C 作CD ⊥AB 于D ，依题意知∠A ＝30°．在Rt △ACD 中，CD ＝12AC ＝12×80＝40(海里)．答：灯塔C 到航线AB 的距离为40海里．(2)在Rt △ACD 中，AD ＝AC ×cos 30°＝802＝海里)．依题意知∠B ＝45°.在Rt △BCD 中，BD ＝CD =40海里．∴AB ＝AD +DB ＝40)海里，2 5.5=≈(小时)．答：海轮从A 处到B 处所用的时间约为5.5小时．。

华师版九年级上册解直角三角形全章教案

第24章解直角三角形24.1 测量【教学目标】一、知识目标1.复习巩固相似三角形知识。

2.回顾有关直角三角形的知识。

二、能力目标1、通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。

2、在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力。

三、情感态度目标通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，唤起学生学习后续内容的积极性。

【重点难点】重点：学生通过探究，概括出测量的一般方法。

难点：用不同的方法解决同一实际问题。

【教学设想】课型：新授课教学思路：直观感知-操作确认-合情说理-应用提高．【课时安排】1课时。

【教学过程】1.情境导入观察导图，并思考：三角形是测量中经常用到的平面图形，我们已经知道直角三角形的哪些特征呢？2、课前热身根据观察的结果以前所学知识，请说出几个属于三角形性质的结论。

3、合作探究（1）整体感知利用多媒体演示直角三角形在现实生活中的广泛应用。

讨论应用太阳光线和其他器材测量旗杆高度的方法。

讨论应用太阳光线测量旗杆高度的方法。

鼓励学生运用自己设计的方法测量旗杆的高度。

（2）四边互动互动1：师：观察本章导图，它向我们展示了本章将学到的哪些内容？生：学生讨论交流。

明确：本章告诉我们如何利用直角三角形来解决有关的测量问题。

互动2：师：导图中的旗杆高度都在直角三角形中吗？生：举手回答。

明确：测量过程中，为了达到目的，通常将高度分成两部分，使一部分在直角三角形中，另一部分在四边形中。

图19.1.1互动3：师：你知道直角三角形中的边之间的关系吗？角之间呢？生：举手回答。

明确：直角三角形的三边满足勾股定理，两锐角之和等于90度，出示课本第98页图。

19.1.1。

互动4：师：在图19.1.1中为了测量旗杆的高度，除了知道有太阳光线外，还需要我们测量哪些值？生：讨论举手回答。

明确：测量出人的影长和旗杆的影长，人自己的身高通常是知道的，这就知道了AC 、''''C 和B C A ，而△ABC ∽△'''C B A ，所以''''C B BCC A AC，解出BC 的长度。

华师大版-数学-九年级上册-25.3解直角三角形学案设计

25.3解直角三角形课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、正确理解解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．要理清这个概念的涵义：（1）隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件.（2）已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形.因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形大小，更无法求其边长了，即不能解三角形.2、掌握解直角三角形的依据在Rt△ABC中，∠C = 90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．（1）三边之间的关系（即勾股定理）：a2+b2=c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B= 90°；（3）边角之间的关系：sin A=ac=cos B，cos A=bc=sin B，tan A=ab.（4）面积关系：S△ABC=12ab=12ch（h是斜边上的高）=12ab sin C=12a csin B=12bc sin A（同学们自己可以证明）3、解直角三角形的解法分类及方法：（1）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（2）已知两边解直角三角形.4、掌握与解直角三角形相关的几个概念：（1）仰角、俯角：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角（如图）.（2）方向角：如图所示，在平面上过观测点O ，画一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点O 出发的视线与铅垂线（南北方向线）的夹角，叫做点O 的方向角（或称为象限角），例如，图中点A 的方向角为北偏东30°，点B 的方向角为南偏西45°（或称为西南方向）.注意：①方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏（东、西）；②观测点不同，所得的方向角不同（如图所示，从点O 出发观测点A 的方向角为北偏东30°，而从点A 观测点O 的方向角为南偏西30°），但各个观测点的南北方向线是互相平行的.（3）坡度问题的相关概念：如图，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lh i =.坡度一般写成1︰m 的形式，如1︰3；坡面与水平面之间的夹角记作α（叫做坡角），那么αtan ==l h i .名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：航海问题例1、如图，一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C(灯塔B 距离A 处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C 周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?【解题思路】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．【解】在Rt △ABD 中，716284AD =⨯=（海里），∠BAD=90°－65°45′=24°15′. ∵cos24°15′=AD AB ， ∴2830.71cos 24150.9118AD AB ==≈'︒(海里).AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里). 在Rt △ACE 中，sin24°15′=CE AC，∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).∵17.54＜18.6，∴有触礁危险.【方法归纳】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。

九年级数学上册《解直角三角形》教案华东师大版

解直角三角形解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础．解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程．要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题．现把直角三角形的解法及应用简析如下：1、明确解直角三角形的依据和思路在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝cotB ＝b a ，cotA ＝tanB ＝ab ．（2）两锐角之间的关系：A ＋B ＝90°．（3）三条边之间的关系：．（4）三角形面积：．（5）同角三角函数的关系：平方关系：；商数关系：A A A cos sin tan =，AA A sin cos cot =；倒数关系：1cot tan =A A 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．2、解直角三角形的基本类型和方法在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a 及锐角A B ＝90°－A ，b ＝a ·cotA ，A a c sin = 斜边c 及锐角A B ＝90°－A ，a ＝c ·sinA ，b ＝c ·cosA两边两条直角边a 和b22b a c +=，B ＝90°－A ，22a c b -= 直角边a 和斜边cca A =sin ，B ＝90°－A ，22a cb -= 例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长．[分析一]：所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手．[解法一]：在Rt △ADE 中，∵ADAE A =cos ，且∠A ＝α，AE ＝1，，在Rt △ADC 中，，在Rt △ABC 中，．[分析二]：观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解．[解法二]：同解法一得，，在Rt△ACD中，，在Rt△ABC中，．点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形．这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解．另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，在解直角三角形时经常要用到．例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线．若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；[分析]：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD．而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解．[解析]：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，∴AC＝BC ·tanB＝2，在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，∴．点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含有两个直角三角形的图形．这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来解另一个直角三角形．例3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD ＝1，求AB．分析：已知的角度告诉我们，Rt △ABC 和Rt △ADC 都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解．解：在Rt △ADC 中，设DC ＝x ，∵∠ADC ＝60°，∴AD ＝2x ，AC ＝x ，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝45°，BD ＝1，∴1＋x ＝x ， ∴x ＝，∴AB ＝AC ＝x ＝．点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系布列方程．例4、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝10，，解这个直角三角形． [分析]：因Rt △ABC 的面积为，故用已知条件可求出b 的值，这样一来，Rt △ABC 就已知两直角边了，再由直角三角形中的锐角三角函数定义，便可求出锐角和斜边．[解析]：∵∠C ＝90°，，∴＝，∵a ＝10，∴b ＝，∴3331010tan ===b a A ，∴∠A ＝60°，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝90°－60°＝30°，∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ，∴c ＝． ∴b ＝，c ＝，∠A ＝60°，∠B ＝30°．点评：在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系的纽带，因此要熟练地掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中若已知一边长和一个特殊锐角（30°、45°、60°），则可利用三角函数定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多．例5、已知：如图，在△ABC 中，BC ＝＋1，∠B ＝30°，∠C ＝45°，求△ABC 的面积．[分析]：构造Rt△ABD，利用特殊角的三角函数值，求出BC边上的高AD即可．[解析]：过A作AD⊥BC，垂足为D，设AD＝x，则DC＝x，BD＝x，∵BC＝BD＋DC＝＋1，∴x＝1，∴点评：本题体现了基本图形基本性质的综合应用．同时要注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形来解决实际问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决．例1、如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°和60°．已知测角仪器高为1.5米，CD＝20米，求铁塔的高．（精确到0.1米）．[解析]：设BG＝x，在Rt△BGF中，∵cot∠BFG＝，∴FG＝BG·cot∠BFG＝x·cot60°＝x，在Rt△BGE中，EG＝BG·cot∠BEG＝x．∵EG－FG＝EF，且EF＝CD＝20，∴x－x＝20，解得x＝10，∴AB＝BG＋AG＝10＋1.5≈18.8（米）答：铁塔的高约为18.8米．点评：把应用性问题问题，设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．例2、如图，在等腰三角形ABC 中，底边BC 为5，α是底角且tan α＝，求AC ． [解析]：作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ADB 中，∵tan α＝，∴设AD ＝2k ，BD ＝5k ，则AB ＝k BD AD 2922=+, 又∵BC ＝5，∴BD ＝, ∴5k ＝,得k ＝． ∴AC ＝AB ＝．点评：作等腰三角形ABC 底边上的高AD ，则构造出直角三角形．例3、一艘船以32.2海里／小时的速度向正北航行，在A 处看见了灯塔S 在船的北偏东 20°，半小时后，航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°，求灯塔S 和B 处的距离．（精确到0.1海里）[解析]：依题意作简图,如图，作BE ⊥AD 于E ．∵AB ＝32.2×＝16.1（海里）， A 在Rt △AEB 中，sin20°＝，∴BE ＝AB ·sin20°＝5.5062（海里）．在Rt △BES 中，∠BSA ＝65°－20°＝45°，∵sin45°＝，∴BS ＝7.8（海里）．答：灯塔S 和B 处的距离约为7.8海里．点评：画简图时，先确定正北方向，然后按已知条件确定各角；由于△ABS 是斜三角形，所以需适当添加辅助线，构造可解直角三角形．例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD ，斜边AB 的坡度为1∶，坡面AB 的水平宽度为3米，上底AD 宽为4米，求坡角∠B ，坝高AE 和坝底BC 的宽（精确到0.1米）．[解析]：B BE AE i tan 31===，ο30=∴B ，又∵坡面AB 的水平宽度为3米，即BE ＝3米，∴AE＝3（米）．∴BC＝2BE＋AD＝6＋4≈14.4（米）．答：坡角∠B为30°，坝高AE为3米，坝底宽约为14.4米．点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形来解．。

华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时优秀教学案例

在整个教学过程中，我会注重与学生的互动，鼓励学生积极参与讨论和思考，引导学生发现和总结解直角三角形的规律。同时，我还会关注学生的个别差异，给予不同程度的学生适当的指导和帮助，确保每一个学生都能跟上教学进度，提高他们的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解解直角三角形的概念和方法，能够运用勾股定理和三角函数解决实际问题。
1.学生能够熟练掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
2.学生能够积极参与课堂讨论，表现出良好的逻辑思维能力和创新思维能力。
3.学生能够养成良好的学习习惯，形成积极向上的学习态度。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设一个与学生生活经验相关的情境，引发学生的兴趣和好奇心。例如，可以引入一个测量土地面积的问题，让学生思考如何利用直角三角形的知识来解决这个问题。
5.教学内容的全面性与深度：本节课涵盖了解直角三角形的概念、方法和应用，不仅注重知识的传授，还注重学生能力的培养。通过解决实际问题，学生能够将所学的知识运用到实际生活中，提高了他们的应用能力和解决实际问题的能力。
3.解直角三角形的应用：介绍解直角三角形在实际生活中的应用，如测量、建筑、制作家具等，让学生明白数学与生活的紧密联系。
（三）学生小组讨论
1.组织学生分组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决一个实际问题，需要运用解直角三角形的方法。
2.引导学生积极讨论：鼓励学生积极发表自己的观点和思考，与组员进行交流和合作。教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
2.学生小结：让学生在课后对自己的学习进行小结，反思自己在本节课中学到了什么，有哪些收获和需要改进的地方。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课通过引入一个测量土地面积的实际问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。这样的情境创设不仅激发了学生的兴趣，还使学生能够更好地理解和应用所学的知识。

华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计

华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册《解直角三角形》是学生在学习了平面几何、立体几何的基础上，进一步研究三角形的性质和解法。

本节课的内容包括直角三角形的定义、性质，锐角三角函数的定义和计算，以及解直角三角形的方法。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握解直角三角形的基本技能，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何和立体几何的基本知识，具备了一定的逻辑思维和空间想象能力。

但解直角三角形这一部分内容较为抽象，需要学生能够将实际问题与数学知识相结合，进行合理的转化和推导。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困惑，引导他们积极参与，提高他们的学习兴趣和自信心。

三. 教学目标1.理解直角三角形的定义和性质，掌握锐角三角函数的定义和计算方法。

2.学会解直角三角形的方法，能够运用所学知识解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力，提高他们的逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.直角三角形的定义和性质。

2.锐角三角函数的定义和计算。

3.解直角三角形的方法及应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究，发现规律。

2.利用多媒体课件和实物模型，直观展示直角三角形的性质和解法，增强学生的空间想象力。

3.采用合作学习的方式，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，提高他们的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体课件和教学软件。

2.直角三角形模型和实物。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的直角三角形实例，如建筑物的楼梯、自行车的三角架等，引导学生关注直角三角形在实际生活中的应用。

提问：这些实例中的三角形有什么共同的特点？引出直角三角形的定义和性质。

2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的定义和性质，引导学生通过观察和思考，发现直角三角形的特殊性和重要性。

同时，介绍锐角三角函数的定义和计算方法，让学生了解解直角三角形的工具。

华东师大初中九年级数学上册《解直角三角形》教案

解直角三角形第一课时教学目标1、巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。

重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

难点：运用三角函数解直角三角形。

教学过程我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为26241022=+ 26＋10＝36（米）.所以，大树在折断之前高为36米.在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.例2 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）解在Rt △ABC 中，因为∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜，ABBC ＝tan ∠CAB , 所以 BC ＝AB •tan ∠CAB=2000×tan50゜≈2384(米).又因为︒=50cos ACAB ，所以 AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈︒=︒AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角课堂练习1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）学习小结布置作业习题：1；练习册第二课时教学目标1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。

九年级数学上册 24.4 解直角三角形(第3课时)教案 (新版)华东师大版

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ =tana
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
学做思二：
例如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
解直角三角形
课题名称
解直角三角形（3）
三维目标
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
4.学习坡度
重点目标
使学生养成“先画图，再求解”的习惯
难点目标
灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形
导入示标
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解目标三导
学做思一：
情境导入：读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i= .
达标检测
一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6 .2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD 的坡度i2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）
（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习

新华东师大版九年级数学上册：24.4《解直角三角形3》教案

24.4 解直角三角形（ 3）教课目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等看法；教课要点：理解坡度和坡角的看法教课难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实质问题教课过程：一、复习发问：什么叫仰角、俯角？二、坡度、坡角的看法几个看法： 1、铅垂高度 h2、水平长度l3、坡度（坡比） i : 坡面的铅垂高度 h 和水平长度 l 的比h 1 1itanll mh4、坡角：坡面与水平面的夹角. h tanil明显，坡度 i 越大，坡角就越大，坡面就越陡。

练习： 1、沿山坡行进 10 米，相应高升5 米，则山坡坡度1，坡角 3 0°，32、若一斜坡的坡面的余弦为3 10，则坡度 i 1 ，1033、堤坝横断面是等腰梯形，（以下列图）DC若 AB=10，CD=4，高 h=4，则坡度 i = 4，AD= 5①3AB1EF，则 h 2，②若 AB=10， CD=4 ， i5例 1、书 P115 例 4例 2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD ，DC ∥AB ，迎水坡 AD 长为2 3 米，上底 DC 长为2 米，背水坡 BC 长也为 2 米，又测得∠ DAB=30°，∠ CBA=60°，求下底AB 的长 .解：过 D 、 C 分别作 DE ⊥AB 于 E ， CF ⊥ AB 于 F ，DC在直角△ ADE 中，∠ A=30°， AD=23∴ DE=AD sin30 °= 3 ，AE=AD cos30°=3.30A°E60F °B在直角△ CBF 中， BF=BC cos60°=1∴ AB=AE+EF+BF=3+2+1=6答：下底的长为 6 米。

思虑：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？说明：以上解法表现了“转变”思想，把梯形的有关问题转变成解直角三角形可多角度的解析，增添辅助线，灵巧、合适地构造直角三角形，使解法合理化。

华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-3 教案

华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第三节25.3 解直角三角形—3 教案【三维教学目标】知识与技能：了解测量中坡度、坡角的概念；使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。

过程与方法：①引导（教师指出学习目标） ②学生自学 ③分组交流、探究④展示（探究结果） ⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。

教学重点：掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。

教学难点：构造直角三角形的思路。

【课堂导入】在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如右图，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=lh 。

坡度通常写成1∶m 的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh =tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡。

【教学过程】A 自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。

B 交流：例1：如右图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）解：作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ．由题意可知DE ＝CF ＝4.2（米），CD ＝EF ＝12.51（米）．在Rt △ADE 中，因为 ︒===32tan 2.4AEAE DE i 所以)(72.632tan 2.4米≈︒=AE 在Rt △BCF 中，同理可得)(90.728tan 2.4米≈︒=BF 因此 AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底的宽约为27.13米．图56C 探究：例2：同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.3333， α≈18°26′ 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米。