函数的最大(小)值与导数(公开课).
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高中数学选修1-1优质课件7：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
解：(2)f′(x)＝－4x3＋4x， 由 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1 或 x＝0 或 x＝1， 当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
所以当 x＝－3 时，f(x)有最小值－60， 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)有最大值 4.
变式训练： 1．求函数 f(x)＝－2cosx－x 在区间－π2，π2上的最大值与最小 值．
(2)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0.但反过 来不一定成立． (3)函数的极值不是唯一的． (4)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函 数的极大值未必大于极小值． (5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点 不能成为极值点．
2．利用结论“判”与“求” 结论1：极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么 f(x0)是极小值．
自主探究 1．函数的极值与最值的区别和联系．
【答案】
区别
联系
是在局部对函数 极 值 可 能
如果连续函Байду номын сангаас
极 值的比较，表示 有 多 个 ， 只能在区 数 在 开 区 间
值 函数在某一点附 也 可 能 没 间内取得 (a，b)内存在
近的局部性质 有
最大(小)值，
最 值
是对考区间函在查上数整函的值个数情的区在况比间整较上个，最值有一最大个多( 小只)
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
课标要求
理解函数最值的概念，了解函数最值与极 值的区别和联系，会用导数求在给定区间 上不超过三次的多项式函数的最大值、最 小值.
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课件(50张)
这些命题中，真命题的个数是________． 【解析】 ②③正确． 【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
函数的最大(小)值与导数 人教课标版精品课件
一个最小值.
13
练习
1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
14
1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最值
法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。 也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。
13
练习
1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
14
1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最值
法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。 也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。
人教课标版高中数学选修2-2《函数的最大(小)值与导数》教学课件
3
2时,fx 1பைடு நூலகம்x3 4x 4有极
3
小值,并且极小值为f2 4 . 又则于f0 4,f3 1, 3
2
o
3x
图1.3 16
因此,函数fx在0,3上的最大值是4,最小值是 4 . 上述结论可从函数 fx在0,3上的图象(图1.3 136)
得到直观验证.
一般地,求函数y f x在a,b上的最
小结
（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需 要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数 关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问 题的实际意义．
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如 果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就 是所求最值，不必再与端点值比较．
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决 较简单．
时,箱子容积很小,因此,16000是最大值．
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是
习题
例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底 与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h ，得 ，则
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它 的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
1.3.3 函数的最大小值与导数
我们知道, 极值反映的是函数在某一点附近
的局部性质, 而不是函数在整个定域内的性
质 .也就是说,如果 x0是函数 y f x的极大
小值点, 那么在 x0 附近找不到比 f x0 更大 更小的值.但是, 在解决实际问题或研究函
数性质时, 我们往往更关心函数在某个区间
o
x4
a x1 x2 x3
2时,fx 1பைடு நூலகம்x3 4x 4有极
3
小值,并且极小值为f2 4 . 又则于f0 4,f3 1, 3
2
o
3x
图1.3 16
因此,函数fx在0,3上的最大值是4,最小值是 4 . 上述结论可从函数 fx在0,3上的图象(图1.3 136)
得到直观验证.
一般地,求函数y f x在a,b上的最
小结
（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需 要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数 关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问 题的实际意义．
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如 果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就 是所求最值，不必再与端点值比较．
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决 较简单．
时,箱子容积很小,因此,16000是最大值．
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是
习题
例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底 与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h ，得 ，则
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它 的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
1.3.3 函数的最大小值与导数
我们知道, 极值反映的是函数在某一点附近
的局部性质, 而不是函数在整个定域内的性
质 .也就是说,如果 x0是函数 y f x的极大
小值点, 那么在 x0 附近找不到比 f x0 更大 更小的值.但是, 在解决实际问题或研究函
数性质时, 我们往往更关心函数在某个区间
o
x4
a x1 x2 x3
函数的最大值和最小值的求解方法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二 复合函数旳单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数旳区间是
(D )
A.(3,6)
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪 先求得函数旳定义域,然后再结合二次 函数、对数函数旳单调性进行考虑.
f '(x)
( x2 1)2
a( x2 1) ax 2x
( x2 1)2
ax2 a 2ax2 (x2 1)2
a(1 x2 (x2 1)2
)
.
当a>0时，∵-1<x<1,
a(1 x2 ) (x2 1)2 0, 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提升 对于给出详细解析式旳函数，判断或证明 其在某区间上旳单调性问题，能够结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则能够利用导数解之.
知能迁移1
试讨论函数
f
(x)
ax x2 1,
x∈(-1,1)旳单
调性（其中a≠0）.
解 措施一 根据单调性旳定义求解.
设-1<x1<x2<1,
则f
( x1 )
f
(x2 )
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x2 x1)(x1x2 1) . (x12 1)(x22 1)
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
高中数学选择性必修二 课件 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值与导数课件(共58张)
[跟进训练] 1．已知函数 f (x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f (x)＝excos x－x，所以 f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0. 又因为 f (0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为 y＝1.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函 数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多 个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点 取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若 在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得 最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
4．函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是( ) A．1 B．2 C．0 D．－1 A [设 f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当 x＝12时，f ′(x)＝0. 又 f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26， ∴函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是 1.]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值与导数
学习目标
核心素养
1.理解函数的最值的概念．(难点) 1.通过函数最大(小)值存在性的
2．了解函数的最值与极值的区别 学习，体现直观想象核心素养．
(-人教A版)函数的最大(小)值与导数课件-(共38张PPT)
[双基自测]
1．函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析：y′＝4x3－4，令 y′＝0，得 4x3－4＝0，x＝1，当 x＜1 时，y′＜0；当 x＞1 时，y′＞0，所以 y 极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值 y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72， 得 ymin＝0.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，23π
2π 3
23π，43π
4π 3
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝ e1x′－(ex)′＝－e1x－ex＝－1＋exe2x. 当 x∈[0，a]时，f′(x)<0 恒成立， 即 f(x)在[0，a]上是减函数． 故当 x＝a 时，f(x)有最小值 f(a)＝e－a－ea； 当 x＝0 时，f(x)有最大值 f(0)＝e－0－e0＝0. (3)f′(x)＝－ax22＋1－b2x2＝b2x2x－21a－21x－2 x2. 令 f′(x)＝0，即 b2x2－a2(1－x)2＝0， 解得 x＝a＋a b或 x＝a－a b(舍去)．
1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
函数的最大(小)值与导数 课件
【规范训练】(12分)设函数f(x)=2ax- b +lnx，若f(x)在
x
x=1,x= 1 处取得极值.
2
(1)求a，b的值；
(2)在［ 1，2］上存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的
4
最小值.
【解题设问】(1)由题设条件可得到什么？关于a,b的方程组.
(2)在［
1 4
,2］上存在x0，使不等式f(x0)-c≤0成立是恒成立
(1,2) +
∴当x= 2时，f(x)取得极大值f( )= 2 157；
3
3 27
当x=1时，f(x)取得极小值f(1)= 7 .
2
又f(-1)= 11f，(2)=7.
2
∴f(x)在x∈［-1,2］上的最大值为f(2)=7.
∴要使f(x)＜a恒成立，需f(x)max＜a，即a＞7. ∴所求实数a的取值范围是(7,+∞).
2.在区间(a,b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 想一想，在(a,b)上一定存在最值吗？ 提示：不一定.函数有最值的条件有两个：一是给定函数的区间 必须是闭区间，二是函数的图象在闭区间上必须是一条连续不 断的曲线，二者缺一不可.
3.函数y= lnx 的最大值为_______.
x
x
∴所以当x=3时，ymax=31- =8 .
33
当x=1时，ymin=11- =0.
1
答案：8 0
3
1.对函数最值的两点说明
(1)给定的区间必须是闭区间，y=f(x)在开区间上虽然连续不
断，但不能保证有最大值或最小值. 例如，函数f(x)= 1， x∈(0,2),y=f(x)的图象在(0,2)上连续
最新人教版高中数学选修函数的最大(小)值与导数课件ppt课件
3.比较确定最值。
求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解: y 4 x 3 4 x .
0 x=-1,0,1. 令 y ,解得
当x变化时, x y’ y -2 13
, y y 的变化情况如下表 :
-1 0 4 (-1,0) + ↗ 0 0 5 (0,1) ↘ 1 0 4 (1,2) + ↗ 2 13
解：f
令f
'
'
x 12 3x
2
x 3,3
1.求出所有导数为0的点；
x 0, 解得：x 2或x 2
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3 2.计算；
函数f ( x) 6 12 x x3在 3， 3 上的最大值为22， 最小值为 10.
y
y=f(x)
a
x1 x2
x3
o
x4
x5
x6
b
x
观察图象，我们发现， ，
f ( x1 ), f 是函数 ( x3 ), fy=f(x) ( x5 ) 的极小值 f ( x2 ),的 f (极大值 x4 ), f ( x 是函数y=f(x) .6 )
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
x 0, 3
2 0
4 3
令f ' x 0, 解得：x 2或x 2(舍), 列表
(2,3) + 递增
1 3 4 函数f ( x) x -4x 4在 0， 3 上的极小值为- . 3 3
又f (0) 4，f (3) 1 1 3 4 函数f ( x ) x -4x 4在 0， 3 上的最大值为4，最小值为- . 3 3
复习课件1.3.3函数的最大(小)值与导数ppt.ppt
x
-1
(-1,0) 0 (0,2) 2
f’(x)
+0-
0
f(x) -7a+b
↗ b ↘ -16a+b
由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,
故b=3. 又f(-1)-f(2)=9a>0, 所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29, 故a=2.
.精品课件.
14
y y=f(x)
oa
bx
y y=f(x)
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
.精品课件.
3
结论
f(x0) =0 x0 是函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
.精品课件.
4
新课引入
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
y y=f(x)
oa
bx
y y=f(x)
oa
bx
oa
bx
探究二（开区间上的最值问题）
结论：在开区间内的连续函.精品数课件不. 一定有最大值与最小值15 .
思考：
（1）如果函数f(x)在开区间（a,b） 有最值，在什么位置取最值？
函数的最大(小)值与导数课件
隐喻
函数导数示例
最大(小)值 如同山峰(谷底)，在 自变量的范围内找到函数的最值。
导数函数的值代表函数在某一点 的变化率，可以用来找到函数的 极值。
最值的判定条件
1
极值的判定条件
函数取得极值时，必然满足一定的条件。
2
一阶导数判定法
一阶导数大于零，函数凹向上，有极小值；一阶导数小于零，函数凹向下，有极 大值；一阶导数等于零，有可能是极值也可能是拐点。
牛顿迭代法
采用泰勒级数来逐步逼近最优解的方法，由于牛顿迭代法的效果较稳定，被广泛应用于实际 问题中。
实例演示
案例1：$y=x^2 $
通过求导、构造函数的方法，解 出函数$y=x^2$的最大(小)值解。
案例2：$f(x,y)=x^2 +2 y^2 2xy-2 x$
通过梯度下降法求解函数的最小 值，找到函数$f(x,y)=x^2+2y^22xy-2x$的最小值。
3
二阶导数判定法
二阶导数大于零，函数在该点处取得的是极小值；二阶导数小于零，则函数在该 点处取得的是极大值；二阶导数等于零，则计算，选取一些特定的点，比较函数在这些点的值，找到最大(小)值。
梯度下降法
梯度下降法是求解多元函数最值的常用方法，将最值求解问题转化为优化问题，使用梯度方 向下降思想。
案例3 ： $f(x,y)=2x^3 +3 y^3 -1 8x27y-2 1 xy$
使用牛顿迭代法解决目标函数 $f(x,y)=2x^3+3y^3-18x-27y-21xy$ 的最值问题。
总结
1 函数最值求解的步骤
通过函数最值的判定条件，采用对应的求解方法找到函数的最大(小)值。
2 导数在函数最值求解中的应用
《函数的最大(小)值与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.3课时)
课堂练习
1、已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ e x -2ax ） x 2 ，当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论.
解:对函数 f(x) 求导数得 f (x) = (x2 + 2x - 2ax - 2a)ex ,
令 f (x) = 0,解得 x1 = a -1- a2 +1, x2 = a -1 + a2 +1
新知探究
如下图，观察区间[a，b]上函数y=f(x)的图像，你能找出它的极大值﹑极小值吗？
y
y fx
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x
b
图1.3 13
新知探究
观察图像，可以发现 f x1 ,f x3 ,f x5 是函数y=f(x)的极小值， f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
2
2
2 7-5 2 .
2
课堂小结
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数y=f(x)在[a,b]内的极值； （2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值. 函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是 在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
例题讲解
极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？ （1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言， 是在整体范围内讨论问题 .
例题讲解
（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可 能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.
函数的最大(小)值与导数(公开课)
3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为(A)
432
( A)0
(B)－2 (C)－1
13
( D)
12
4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（
C
)
(A) -4
(B) 0
(C) 16
(D) 20
能力提升
已知函数 f(x)2x36x2a在[-2,2]上有最小值-37，
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
温故而知新
问题二;求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分 成若干个开区间，并列成表格
（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个 根处取极值的情况
温故而知新
问题三：观察下列图形,找出函数的极值
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
函数y=f(x)的极小值：f(x1),f(x3),f(x5)
函数y=f(x)的极大值：f(x2),f(x4),f(x6)
1知识与技能：掌握利用导数求函数最值的方法。 2.过程与方法：正确理解利用导数研究函数的最值的 具体过程。 3.情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索的特 点，自己总结用导数研究函数最值方法和注意事项。
重点：利用导数求函数的最值。 难点：准确求函数的最值。
探究1 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
高中数学选修1-1 3.3.3函数的最大(小)值与导数优秀课件1
〔Ⅱ〕 f(x)2x312x f'(x)6x2126(x 2)x ( 2)
令 f'(x)0得，x12,x22.列表如下：
(, 2) 2 ( 2, 2) 2 ( 2, )
f '(x) ＋
0
－
0
＋
f (x)
极大值
极小值
8 2,
8 2,
∴ 函数的单调增区间是 ( , 2), ( 2, ).
f(1)10 , f ( 2) 8 2 , f (3) 18 ,
例1求函数f x 1 x3 4 x 4 在 0, 3上的最大值与最小值.
解：y x 2 4 (x 3 2 )x ( 2 )令 y 0，解得 x 2 当x变化时，y, y 的变化情况如下表：
x
0 〔0，2〕 2 〔2，3〕 3
y
－
0
＋
y
4
4
1
3
由表可知，函数在[0 , 3]上的最大值是 4，最小值是 4 ．
在图1.3 14、1.3 15中,观察a,b上的函数 y fx的图象,它们在a,b上有最大值、最
小值吗? 如果有,最大值和最小值分别是什 么?
y
yfx
y
yfx
ao bx
图1.314
o
x4
ax1 x2 x3
图1.315
x5 b x
一 般 地 ,如 果 在 区 间 a,b上 函 数 yfx
的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ,那 么 它 必 有 最 大 值 和 最 小 值 .
的极小值,fx2 ,fx4 ,fx6 是极大值.
探究 你能找出函数y fx在区间a,b上的最
大 值 、 最 小 值 吗?
函数的最大(小)值 课件
与函数最值相关的恒成立问题
已知f(x)＝x3－
1 2
x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，
f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围．
解析：∵f(x)＝x3－12 x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，得x＝1或x＝－23 . 当x∈－1，－23 时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈－23，1 时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
28 3
，
最小值为－43 .
由函数的最值确定参数
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最 小值是－29，求a，b的值．
解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知a≠0.
(1)若a>0，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
(2)将函数y＝f(x)的__各__极__值____与___端__点_____处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是__最__大__值____，最小的一个 就是___最__小__值_____．
（ A）
值．
求函数在闭区间上的最值 求函数f(x)＝13 x3－4x＋4在[－3 , 3]上的最大值与最小
x f′(x) f(x)
(－1,0) ＋
0
(0,2)
0
－
最大值3
∴当x＝0时，f(x)取得最大值，∴b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3>f(2)， ∴当x＝2时，f(x)取得最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2.
(2)若a<0，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
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在x 开(区a间, b内)
的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
y
因此：该函数没 有最大值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
在闭区间
上x的［连a续, b函］
数必有最大 值与最小值
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
o a x1 x2 x3 x4 x5
1知识与技能：掌握利用导数求函数最值的方法。 2.过程与方法：正确理解利用导数研究函数的最值的 具体过程。 3.情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索的特 点，自己总结用导数研究函数最值方法和注意事项。
重点：利用导数求函数的最值。 难点：准确求函数的最值。
探究1 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个一
2.最大值一定比最小值大.
想一想，记一记
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.
（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这 个 根处取极值的情况
温故而知新
问题三：观察下列图形,找出函数的极值
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
函数y=f(x)的极小值：f (x1), f (x3), f (x5)
函数y=f(x)的极大值：f (x2), f (x4), f (x6)
新课讲授
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函
数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并
不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，
常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最 大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们 与函数极值关系如何？
是__f_(_x_3)__。
思考2
问题在于如果在没有给出函 数图象的情况下，怎样才能
判断出f(x3)是最小值，而f(b) 是最大值呢？
方法总结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
y=f(x)
x6
bx
探究2
如何求出函数在[a,b]上的最值？
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
结论:一般的如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值。
思考1
y
观察下列图形,
图1
找出函数的最
值连并续总结函规数律在[aa,bx1]O上x2必有x3 最值b ；x 并y 且在图极2值点或端y点处取到.图3
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
温故而知新
问题二;求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分 成若干个开区间，并列成表格
a O x1 x2
x1
bx
aO
x2 x3 b x
追踪练习
y
y=f(x)
观察右边一个定义在区
间[a,b]上的函数y=f(x)
的图象：
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f(_x_1)_、__f(_x_3_) __是极小值，___f(_x_2)____是极
大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，最小值
3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为(A)
432
( A)0
(B)－2 (C)－1
13
( D)
12
4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（
C
)
(A) -4
(B) 0
(C) 16
(D) 20
能力提升
已知函数 f (x) 2x3 6x2 a 在[-2,2]上有最小值-37， （1）求实数a的值；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值
小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。
通过本堂课的学习 我学会了… …
我体会到… … 我感到困惑的是… …
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 连续函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).
学以致用
1．下列说法正确的是( D )
解:(1）f (x) 6x2 12x 令f (x) 0解得x 0或x 2 又f (2） 40 a, f (0) a, f (2) 8 a
由已知得 40 a 37解得a 3
(2)由(1)知f (x)在2, 2的最大值为3.
反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大
1.3导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大（小）值与导数
执教老师：易静 班级：高二（2）
温故而知新
问题一、函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
( A)函数的极大值就是函数的 最大值 ( B)函数的极小值就是函数的 最小值 ( C)函数的最值一定是极值 ( D)若函数的最值在区间内部取 得,则一定是极值.
2.函数 y=f(x)在区 间［ a,b ］上 的最 大值 是 M，最 小值 是 m,若 M=m,则
f ( x) ( A)
(A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能