异面直线夹角的求法
例谈异面直线夹角的几种常见求解方法
例谈异面直线夹角的几种常见求解方法发表时间：2021-01-05T07:11:47.229Z 来源：《学习与科普》2020年14期作者：王慧[导读] 求空间中两条异面直线的夹角问题是立体几何教学的重点与难点，本文以高考真题为范例载体，从异面直线定义着手，给出了向量法、平移法、补形法、公式法等四种异面直线夹角的求法.相关方法渗透了向量、动态几何、线面点面的转化化归和数学结合的思想.为学生解决该类问题提供了很好的示范引导，促进了学生的思维发散，培养了他们的数学核心素养.王慧榆林市第三中学摘要：求空间中两条异面直线的夹角问题是立体几何教学的重点与难点，本文以高考真题为范例载体，从异面直线定义着手，给出了向量法、平移法、补形法、公式法等四种异面直线夹角的求法.相关方法渗透了向量、动态几何、线面点面的转化化归和数学结合的思想.为学生解决该类问题提供了很好的示范引导，促进了学生的思维发散，培养了他们的数学核心素养.关键词：异面直线；夹角；平移；核心素养异面直线夹角的是空间几何的重要概念之一，其求解也是中学生在该板块学习时的难点.而在数学教学中，例题是极其重要的一个学习与教学方式，通过典例，能引导学生运用所学数学知识去分析、思考、解决数学问题，从而达到及时巩固新学知识的目的.因此，我们以一道高考题为例，来谈谈异面直线的几种常见求解方法：解法三（平移法）：将过点B作BM//CF交AE于点M，则∠BME为所求异面夹角（或补角）.由解法一二可知，在△BME中，BM=，ME=，BE=，作BN⊥ME于点N，则MN=，在RT△BMN中，cos∠BME=coscos∠BMN=4.公式法：由两条异面直线的距离公式可得到求两条异面直线夹角的一个公式，即，其中的d是两条异面直线的距离，若优化一下：在两条异面直线上各取两点，以这四点为顶点的四面体中，不在异面直线上的两组对棱的平方和之差的绝对值，与在异面直线上的一组对棱之积的2倍的比，等于这两条异面直线夹角的余弦值.具体地，如图一，若异面直线与的夹角为，AB=m，CD=n，AD=a，BC=b，AC=c，BD=d，则，进而参考文献：[1]王胜林.求异面直线夹角的一个简单公式[J].数学通讯，2006（17）.[2]赵存正.异面直线间距离求法探讨[J].运城学院学报，2003，21（3）：66-67.[3]张长明.空间两条异面直线夹角的求法[J].数理化研究，2011.5.作者简介：王慧，1988年4月出生，女，中教一级，陕师大教育硕士，数学专业。
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线夹角求法
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域，异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等，以确保建筑物的稳定性和美观 性。
机械设计
在机械设计领域，异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等，以确保机械零件的准确性和 可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时，它们之间的夹角是确定的，即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积，可以计算出异面直线之间的夹角的余弦 值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方 向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与 两向量夹角的余弦值的乘积，由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质，通过观察空间几何图形，可以直观地求出异面直线之间的 夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系，构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形 的性质，如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等，可以求出异面直线之间 的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形 的形状和大小，例如在三维建模、建 筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一 平面内投影所形成的角度，因此不会 超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线 的方向向量有关，方向向量之间的夹 角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$，不包括$0^circ$和$90^circ$。
异面直线夹角公式
异面直线夹角公式在几何中，异面直线夹角（Tangent Line Angles）是指两条不同直线交汇时产生的夹角。
它们通常被简写为TLA。
任意一条直线上的点可以与另一条直线上的任一点产生一个夹角，在不同的实例中，夹角的大小是不同的。
在矩形，正方形，平行四边形和正多边形的情况下，将两条不同的直线称为异面直线，它们之间有两个不同的夹角：边夹角和夹角。
边夹角是指直线的两个端点之间的夹角，而夹角是指两条直线之间的夹角，它们之间有一个共同的端点。
对于任意一个夹角，都可以用一个类似于异面直线夹角（TLA）公式来描述它：三角函数中的总共有三个关键因素：角度（α），角度（β）和边长（c），它们满足下面的关系：α + = 90°c2 = a2 + b2 2abcosαα = cos-1 ( (a2 + b2 c2) / 2ab )这里，α和β就是两条不同直线之间的边夹角和夹角，而c就是这两条直线之间的边长。
给定两条异面直线所构成的夹角，可以用这三种证明方法来找出其大小：1、使用“影子法”。
即可以用一条给定的直线（不同直线所影响的边）来表示第二条直线在第一条直线上的位置，然后根据它们之间的距离来估算夹角的大小。
2、使用“直角勾股定理”。
根据两条直线的端点，使用直角勾股定理来求解夹角的大小。
3、使用“延长线定理”。
设置两条延长线，以便延长线和第二条直线之间的距离来估算夹角的大小。
这里定义的异面直线夹角公式亦可用于计算平行四边形和正多边形中的夹角大小。
若已知两条异面的边的长度，可以使用上述的公式来求出相应的夹角。
此外，还可以使用异面直线夹角公式来解决其他几何问题，比如：1、求直线的斜率2、求三角形的外接圆的半径3、求两个不同的点之间的距离4、求不同直线之间的夹角5、求反三角形的边长从上面的定义可以看出，异面直线夹角公式可以用于求解不同形状几何问题中的夹角大小，从而使解决几何问题变得更加容易。
它也是数学中最古老的关于三角运算的方法之一，在今天仍然被广泛使用，同时也增加了我们对三角学的理解和认识。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
利用空间向量求异面直线所成的角
利用空间向量求异面直线所成的角1. 引言：神秘的空间角度嘿，大家好！今天我们要聊聊一个看似有点高深但其实蛮有趣的话题——如何用空间向量来计算异面直线之间的夹角。
别被这些专业术语吓到了，我们会一步一步来，一边聊，一边揭开它的神秘面纱。
其实，异面直线之间的夹角就像我们生活中的“角”一样，只不过这个“角”有点难伺候，因为直线不在同一平面上，但这不代表我们不能搞定它！对吧？那么，让我们一起看看如何用数学的方式，揭示这些看似复杂的空间关系吧。
2. 异面直线的基本概念2.1 什么是异面直线？首先，咱们得搞清楚什么是“异面直线”。
异面直线，顾名思义，就是不在同一个平面上的直线。
就像你有两根直尺，一根横在桌面上，另一根竖在墙上，这两根直尺就是异面直线。
它们既不相交，也不平行，似乎永远没有交集，像两条平行线却跑到了不同的平行世界一样。
2.2 为何要计算它们的夹角？可能你会问，既然这些直线没有交点，那我们计算它们的夹角干嘛呢？这个问题问得好！其实，计算异面直线的夹角有很多实际应用，比如在建筑设计中，要确保结构的稳定性；在计算机图形学中，角度的计算也能帮助我们更准确地渲染三维图像。
简单来说，这就是为了让我们能更好地理解和利用这些空间中的直线，虽然它们在不同的“平行宇宙”里。
3. 利用空间向量求角度3.1 空间向量的基本知识好啦，接下来我们进入正题。
要计算异面直线的夹角，我们需要用到空间向量。
空间向量，通俗点说，就是一根在三维空间中有方向和长度的箭头。
想象一下，你手里拿着一根激光笔，这根笔射出的光线就是一个空间向量，它不仅有方向，还有长度。
简单来说，空间向量是描述方向和位置的“道具”。
3.2 计算步骤1. 确定直线的向量：首先，你得搞定这两条异面直线的方向向量。
假设你有两条直线，分别用向量 (mathbf{a) 和 (mathbf{b) 来表示。
别急，先找出这两个向量的方向就好啦。
2. 计算夹角：接着，我们用向量的点积来算夹角。
高二数学异面直线及其夹角
O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾． 所以直线MN与PQ异
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面
点B
B 直线l
直线AB与l异面.
例4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所 成的角的度数． A B a 解:连结AC,并取AC中点P,连结EP,FP. P F E b ∵E为AD中点，∴EP∥DC. C ∵F为AD中点，∴FP∥AB. ∴∠EPF(或其补角)为异面直线a与b所成的角。 △ABC中，EF=7cm，EP=5cm，FP=3cm。 由余弦定理EF2=EP2+FP2-2EP· FPcos∠EPF， 解得cos∠EPF=取中点 0.5,∴∠EPF=120º ． 故其补角60º 为异面直线a与b所成的
演示
空间的两条直线有三种位置关系：
相交 共面 平行 唯一公共点 记为：a∩b=A.
无公共点 记为：a∩b=φ .
异面
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
b b
b
a
a
a
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直 线a，b上，那么正确的结论是（ C ） A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
点C 平面AA1 B1 B.
D
C
A
异面直线和两个向量夹角
C’
C
2 两个向量的夹角
二、两个向量的夹角
1、定义： 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O，作 OA a ， OB b，则 AOB 叫做向量a与b的夹角，记作 a, b 规定：0 a, b A a 并且 a, b b, a ， O B b 如果 a, b 900 则称a与b互相垂直，记作 a b
两条异面直线互相垂直记作从异面直线所成角的定义可知过空间任一点都可作一平面分别与两异面直线平行或过其中一条直线且平行于另一条直线
异面直线和 两个向量的夹角
蔡健星
一 异面直线及其夹角
1.异面直线及其夹角 观察正方体的各条棱所在直线
D’
C
(1)
B
可以看到空间两条直线有相交、平行外，还有不相 交也不平行的情形，例如，棱AA’和BC所在的两条 直线 思考：如两直线不相交也不平行，则它们一定共面 （为什么？）
定义：把不同在任一个平面内的两条直线叫做异面 直线 A 在图中，直线AB与平面a B 相交于点B，点A在a外， 直线l在a内但不过点B，这时， (2) 直线AB和l一定是异面直线.否则， AB与l共面，点A就在a内，与已知矛盾。 由此得如下方法： 连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面 内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角： 已知两异面直线a、b，过空间任一点O，作直线a’//a, b’//b,
a
A b a 0 b B
例2 如图所示，一个正方体，求下列各向量的角： D’ （1） AB与AC （2）AB与C' A' c' B’ A’ （3） AB与AD （4） AB与BA 解（1） AB, AC 450 D C 0 （2）AB, C' A' 135 A B 0 （3） AB, AD 90 0 （4） AB, BA 180
异面直线的夹角,线面角(含答案)
空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数． (3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos ∠DB 1E=734170解法二：如图⑤，在平面D 1DBB 1中过B 点作BE ∥DB 1交D 1B 1的延长线于E ，则∠C 1BE 就是异面直线DB 1与BC 1所成的角，连结C 1E ，在△B 1C 1E 中，∠C 1B 1E=135°，C 1E=35，cos ∠C 1BE=734课堂思考：1.如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的余切值为。
2.在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，若棱B B 1=BC=1，AB=3，求D B 和AC 所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E 为AD 的中点，F 为BC 中， （1） 求直线AB 和CE 所成的角的余弦值。
异面直线夹角求法
练习：
练习册3.2.1作业1、作业2每个大题的最后一问。
C
B
平移法：
D
1
C
O
1
A 1 B 1
D A
E
C
B
平移法小结：
平移原则： 选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条 使其成为相交直线。这里的点通常选择特殊位 置上的点，平移异面直线时尽量做到定一动一。
平移方法： 常见的有——中位线平移、直接平移。
补形法：
D 1
A1
D A
C1 B
1
C B
F1 E1
空间两条直线的位置关系： 平行 相交 异面
异面直线的概念： 异面直线夹角概念：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 b
a' a
异面直线夹角求解的思想方法
例：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2，
AD=1，
求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值.
D
1
C
1
A
1
B
1
D A
F E
补形法小结：
补形原则： “补形法”属于平移法，它是立体几何中一种 常见的方法。通过补形，可将问题转化为易于 研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异 面直线所成的角也是常用的方法之一。
补形方法： 常见的有——把空间图形补成熟悉的或完整 的几何体，如正方体、长方体等。
A 1 B 1
解题原则： 选择适当的点作为坐标原点，建立空间直角坐 标系，把异面直线转化为向量坐标表示，然后 套用公式求解。
解题公式：
ca o , b = s
a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
异面角的常见求法
（1）那些棱所在的直线与直线 是异面直线？
（2）求 与 夹角的度数．
（3）那些棱所在的直线与直线 垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可知，
与直线 成异面直线的有直线 ，
（2）由 ，可知 等于异面直线 与 的夹角，
所以异面直线 与 的夹角为 ．
（3）直线 与直线 都垂直。
例3．空间四边形 中， ， 分别是 的中点， ，
∴GM∥BN，且GM＝BN．
∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG
∵A的射影为B．
∴AB⊥面BCDE．
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
又∵G为中点，∴BG⊥AE．
即MN⊥AE．
∴MN与AE所成角的大小等于90度．
故填90°．
三、平移(或构造)几何体
有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.
例3(2005年全国高考天津卷)如图， 平面 ， 且 ，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．
在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3， ，
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图2
解法3：利用公式
设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α内的射影，OC是平面α内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是 、 1、 2，则 （注：在上述题设条件中，把平面α内的OC换成平面α内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为∠AOD，D1B与BD所成角为∠D1BD，设D1B与AC所成角为 ， ， 。
异面直线夹角与线面角的求法
（B）不相交的直线
（C）相交直线或平行直线
（D）既不相交又不平行直线
（）
2．设 a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果 a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，
则 a, c 是异面直线；② 如果 a, b 相交，b, c 也相交，则 如图，五面体 ABCDE 中，四边形 ABDE 是菱形， ABC 是边长为 2 的正三角形， DBA 60 ， CD 3 ． （1）证明： DC AB ； （2）若点 C 在平面 ABDE 内的射影 H ，求 CH 与平面 BCD 所成的角的正弦值．
12、在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
【跟踪训练 2】如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， DAB DBF 60，且 FA FC . （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AF 与平面 BCF 所成角的正弦值.
【课堂巩固】
一：选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是
（A）不平行的直线
（C） 3
5
（D） 4
5
6．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与 ED 平行； ②CN 与 BE 是异面直线；
③CN 与 BM 成 60 角； ④DM 与 BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
（A）① ② ③
（B）② ④
（C）③ ④
（D）② ③ ④
S
7、在三棱锥 S—ABC 中， SAB SAC ACB 90 ， AC 2， BC 13 ， SB 29 ，求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。
BC 3， CD 4 ， PD 2.
两异面直线所成的角 题目解法大全
两异面直线所成的角题目解法大全（配有高考真题练习题）异面直线所成角的求法例一、已知正四棱锥P—ABCD侧棱长与底面边长相等，E、F分别为PC、PD的中点，求异面直线BE与CF所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE不动，在面PDC内过点E平移CF；法二、CF不动，过F平移EB，其中是以平行四边形BEFH为依托；法三、利用空间向量知识来求解.解法一：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC内过E作EG平行于∠或其补角为BE与CF所成角. BD=22,又PB=PD=2, CF，交PD于G，连结BG. 则BEG所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG∆中,cos BEG ∠=EG BE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FH CF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61.解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则= (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 例题1：如图：表示正方体1111D C B A ABCD -，求异面直线11CC BA 和所成的角。
例2．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角。
高考数学-异面直线夹角专题
异面直线夹角【考点例题解析】一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．BM AN CSABCD A 1B 1C 1D 1EF4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM与AN 所成的角．5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。
6．如图1—28的正方体中，E 是A ′D ′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
B '(图1－28)A 'ABC 'D 'CD FE2.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
异面直线的夹角-线面角(含答案)
异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。
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一、 等角定理：一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补。
二：异面直线夹角 （1）意义：（2
）0
，]
注：两异面直线夹角为
时，也叫做两直线互相垂直。
三、异面直线夹角的求法：
1、平移不改变线段长度[主要适用于柱体]{直接法}
2 .A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点 若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值.
3.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，
求直线A
与CN 所成角的余弦值
二、平移改变线段长度[主要适用于锥体]
注：选择平移方向的法则：在两条异面直线上，各选择一个点形成线段，则该线段的中点就是平移的目标位置。
B 1
(第6题)
A 1
A
B C 1
D 1
C
D M N (第5题)
F 1
A B C D 1 C 1 A 1
B 1
注：正三棱锥对棱垂直。
[性质]
三、补形[主要适用于线段的位置不易发生移动，如体对角线，同时要求在规则的柱体中如正方体、长方体中和一些正棱柱中]
例：正方体ABCD－中，求异面直线所成的角.。