2021高考数学(理)一轮复习优化讲解《几何概型》

第5讲几何概型
[学生用书P201]
一、知识梳理
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
常用结论
在几何概型中，如果A是确定事件，
(1)若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体
积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P(A)＝0不能推出A 是不可能事件．
(2)若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P(A)＝1不能推出A 是必然事件．
二、习题改编
1．(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()
解析：选A.因为P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝1
3，
所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．
2．(必修3P137思考)在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 解析：坐标小于1的区间为[0，1)，长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为1
3.
答案：13
3．(必修3P146B 组T4改编)设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2
表示的平面区域为D ，在区域D 内
随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为________．
解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的
是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π
4
.
答案：1－π
4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ选用的几何测度不准确导致出错.
在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5
6
，则m ＝________．
解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .
当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝5
6，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．
当2<m <4时，由题意得m －（－2）6＝5
6，解得m ＝3.
答案：3
[学生用书P202]
与长度(角度)有关的几何概型(师生共研)
记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ，在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D
的概率是________．
【解析】 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则
D ＝[－2，3]，则所求概率为
3－（－2）
5－（－4）
＝5
9
. 【答案】 5
9
与长度、角度有关的几何概型的求法
解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A 包含的基本事件转化为相应长度或角度，即
可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
1．从区间[－2，2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋
1＋1有零点的概率是( )
A.14
B ．13
C.
1
2D．
2
3
解析：选A.令t＝2x，函数有零点就等价于方程t2－2at＋1＝0有正根，进而可得
⎩
⎨
⎧Δ≥0
t1＋t2>0
t1t2>0⇒a≥1，又a∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[1，2]，故P＝
1
4，选A.
2.如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝
1
3AB，
延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC
内的概率为________．
解析：设OA＝3，则AB＝33，所以AP＝3，由余弦定理可求得OP＝3，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为
3π
4，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为
3π
4
3π
＝1
4.
答案：
1
4
与面积有关的几何概型(多维探究)
角度一与平面图形面积有关的几何概型
(1)(2020·黑龙江齐齐哈尔一模)
随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算
机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一
种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八
个全等的矩形，每一个矩形的长为3，宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径
为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为()
A.
π
24＋9π
B．
4π
24＋9π
C.
π
18＋9π
D．
4π
18＋9π
(2)(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x＝2交抛物线y2＝4x于A，B两点．点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为()
A.12 B ．13
C.23
D ．25
【解析】 (1)图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积为π×(32－22)＝5π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为4π
24＋9π
.故选
B.
(2)在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，所以S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比
为面积比可得，点位于阴影部分的概率为82
382＝1
3
.故选B.
【答案】 (1)B (2)B
角度二 与线性规划交汇命题的几何概型
(2020·湖南六校联考)已知集合
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥0，x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的概率为( )
A.π3 B ．π12
C.π24
D ．3π32
【解析】 因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，
x －y ≥0，2x －y －3≤0表示的平面区域为Ω，
所以作出平面区域Ω为如图所示的△AOB .
直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直，故∠AOB ＝π
2.联立⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x －y －3＝0，
得点A (1，－1)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，
2x －y －3＝0，
得点B (3，3)．OA ＝12＋（－1）2＝2，OB ＝32＋32＝32，在区
域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于1的区域是如图所示的半径为1的
14圆，即扇形OCD ，所以由几何概型得点到坐标原点的距离不大于1的概率P ＝S 扇形OCD
S △AOB ＝
1
4
×π×121
2
×2×32＝
π
12
.故选B. 【答案】 B
角度三 与定积分交汇命题的几何概型
(2020·洛阳第一次联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线
y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )
A.4
π2 B ．4π3
C.2π
2 D ．2π
3
【解析】 由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的
区域记为M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2⎠⎛0
πsin x d x ＝－2cos x ⎪⎪⎪π
0＝4，由几何概
型的概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4
π3，
故选B.
【答案】 B
角度四 与随机模拟相关的几何概型
从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对
(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.4n m B ．2n m
C.4m n
D ．2m n
【解析】 设由⎩
⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2
n ＜1构成的图形的面积为S ′，
所以S ′S ＝π
41＝m n ，所以π＝4m
n
，故选C.
【答案】 C
求与面积有关的几何概型的概率的方法
(1)确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；
(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率计算公式求解．
1．(2020·江西八校联考)小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是( )
A.13 B ．14
C.19
D ．17
解析：选D.如图，连接OB ，OA ，可得△OBM 与△OAN 全等，所以S 四边形MONB ＝S △AOB
＝1
2
×2×1＝1，即正方形ABCD 和OPQR 重叠的面积为1.又正方形ABCD 和OPQR 构成的
标靶图形面积为4＋4－1＝7，故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是1
7
，故选D.
2．(一题多解)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2，在圆O 内，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段NM 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，…点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )
A ．4π－6 3
B ．1－33
2π
C ．π－33
2
D ．332π
解析：选B.法一：依题意，得阴影部分的面积S ＝6×[16(π×22)－12×2×2×3
2]＝4π－
63，
所求概率P ＝4π－63π·22
＝1－33
2π，故选B.
法二：依题意得阴影部分的面积S ＝π×22－6×12×2×2×3
2＝4π－63，所求概率P
＝4π－63π·22
＝1－33
2π，故选B.
与体积有关的几何概型(师生共研)
已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得
V P ­ABC <1
2
V S ­ABC 的概率是 ( )
A.34 B ．78
C.12
D ．14
【解析】 由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足V P ­ABC <1
2
V S ­ABC ，故使得
V P ­ABC <1
2
V S ­ABC 的概率：
P ＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积
＝78.
【答案】 B
与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
1．(2020·山西太原五中模拟)已知四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝2.现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P -ABCD 内部的概率为________．
解析：把四棱锥P -ABCD 扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R ，即23＝2R ，R ＝3，则四棱
锥的体积为13×2×2×2＝83，球的体积为4
3×π(3)3＝43π，则该点取自四棱锥P -ABCD
内部的概率P ＝8343π＝23
9π
.
答案：239π
2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为________．
解析：因为V F­AMCD＝1
3×S四边形
AMCD
×DF＝1
4a
3，V ADF­BCE＝
1
2a
3，所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为
1
4a
3
1
2a
3
＝1
2.
答案：
1
2
[学生用书P313(单独成册)]
[基础题组练]
1．(2020·湖南益阳模拟)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是()
A.
1
2B．
1
3
C.
2
5D．
3
5
解析：选D.由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路
车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A，则P(A)＝6
10
＝3
5.故选D.
2．(2020·四川绵阳二模)在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为()
A．1－
3
6B．1－
3π
6
C．1－
3
3D．1－
3π
3
解析：选B.若点P到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A，B，C为圆心作半径为1的圆，则P的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为
1
2×3×
π
3×12＝
π
2，△ABC的面积S＝
1
2×2
2×sin 60°＝3，则阴影部分的面积S＝3－
π
2，则对应的概率P＝
3－
π
2
3
＝1－3π
6.故选B.
3．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A ．1－π
4
B ．π12
C.π4
D ．1－π
12
解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π
4
，故选A.
4.(2020·河北衡水联考)在如图所示的几何图形中，四边形ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，EC ＝CF ＝3，BE ＝DF ＝4，BE ⊥EF ，DF ⊥EF .若在几何图形中任取一点，则该点取自Rt △BCE 的概率为( )
A.19 B ．18
C.17
D ．16
解析：选D.因为EC ＝3，BE ＝4，BE ⊥EC ，所以BC ＝5.又由题可知BD ＝EF ＝6，AC ＝2BE ＝8，所以S △BCE ＝S △DFC ＝1
2
×3×4＝6，S
四边形ABCD ＝
1
2
AC ·BD ＝24.由几何概型概率公式可得，所求概率P ＝624＋6＋6＝16
，即该点取自Rt △BCE 的概率为1
6.故选D.
5.(2020·湖南宁乡一中、攸县一中联考)将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较
长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，
即满足AC AB ＝BC
AC ＝5－1
2≈0.618，后人把
这个数称为黄金分割，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．图中在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为( )
A.5－1
2 B ．5－2 C.
5－1
4
D ．
5－2
2
解析：选B.所求概率为S △APQ S △ABC ＝PQ BC ＝BQ －BP BC ＝5－12BC －⎝
⎛
⎭⎪⎫1－5－12BC BC ＝5－2.故选
B.
6.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1x ，y ＝－1
x ，y ＝x ，y ＝－x 及圆构成
的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1
4
.
答案：14
7．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是________．
解析：y ＝sin 2x ＝12－1
2
cos 2x ，
所以⎠
⎛0
π⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x ⎪⎪⎪π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π
2π＝1
2
.
答案：12
8．已知O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，
C⎝⎛⎭⎫
3
5，－
1
5，动点P(x，y)满足0
≤OP
→
·OA
→
≤2且0≤OP
→
·OB
→
≤2，则点P到点C的距离大于
1
4的概率为________．
解析：因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C⎝⎛⎭⎫
3
5，－
1
5，
动点P(x，y)满足0≤OP→·OA→≤2且0≤OP→·OB→≤2，
所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧0≤2x＋y≤2，
0≤x－2y≤2.
如图，不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧0≤2x＋y≤2，
0≤x－2y≤2
对应的平面区域为正方形OEFG
及其内部，|CP|>1
4
对应的平面区域为阴影部分．
由
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－2y＝0，
2x＋y＝2
解得
⎩
⎨
⎧x＝45，
y＝
2
5，
即E⎝⎛⎭⎫
4
5，
2
5，所以|OE|＝⎝
⎛
⎭
⎫4
5
2
＋⎝⎛⎭⎫2
5
2
＝25
5，
所以正方形OEFG的面积为4
5，
则阴影部分的面积为4
5
－π
16，
所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为
4
5
－π
16
4
5
＝1－5π
64.
答案：1－
5π
64
9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.
(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵
的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． 解：(1)圆O 的周长为
4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝1
2
.
(2)记事件M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝1
2
.
10．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )．
(1)若x ∈{－1，0，1，2}，y ∈{－1，0，1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．
则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为1
6
.
(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫（x ，y ）|⎩
⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，－1≤y ≤1所表示的区域， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，
－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，
如图，区域B 为图中的阴影部分去掉直线x －2y ＝0上的点， 所以，P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫
12＋32×23×2＝1
3，
即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是1
3
.
[综合题组练]
1．(2020·广东东莞模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4与y 轴负半轴交于点M ，圆C 与直线l ：x －y ＋1＝0相交于A ，B 两点，那么在圆C 内随机取一点，则该点落在△ABM 内的概率为( )
A.378π B ．374π
C.328π
D ．324π
解析：选A.由图可知，由点到直线距离公式得|OC |＝|1|2＝2
2
，则|AB |＝2
22－
⎝⎛⎭
⎫222
＝14，同理可得|MD |＝|0＋2＋1|2＝322，所以S △MAB ＝12|AB |·|MD |＝37
2，由几何概型知，该点
落在△ABM 内的概率为S △MAB S 圆
＝37
2π×22＝37
8π，故选A.
2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )
A.14 B ．13
C.23
D ．12
解析：选D.以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →
＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →
，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝1
2S △ABC ，所以将一粒黄豆随
机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝1
2
.
3．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面， 且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．
解析：如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )
＝30×
30－2×1
2×15×15
30×30
＝3
4.
答案：3
4
4．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π
6x
的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．
解析：根据题意，大圆的直径为函数y ＝3sin π6x 的最小正周期T ，又T ＝2π
π
6＝12，所以
大圆的面积S ＝π·⎝⎛⎭⎫1222
＝36π，一个小圆的面积S ′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P ＝2S ′S ＝2π36π＝1
18
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答案：1
18
5．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.
(1)求进入决赛的人数；
(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为
70.14＝50.
由图易知第4，5，6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.
(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足
⎩
⎪⎨⎪⎧8≤x ≤109.5≤y ≤10.5， 设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．
所以由几何概型得P (A )＝12×12×
1
21×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为1
16.
6．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.
(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增
函数的概率．
解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b
a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1
在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b
a
≤1，即2b ≤a .
若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1，1； 若a ＝3，则b ＝－1，1.
所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，
因为事件“分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ”的个数是15. 所以所求事件的概率为515＝1
3
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(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函
数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a ＋
b －8≤0，a >0，b >0，
构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC 部分．
由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，
得交点坐标C ⎝
⎛⎭⎫
163，83， 故所求事件的概率P ＝S △BOC S △AOB ＝12×8×8
312×8×8＝1
3
.。