初中常用函数及其性质
初中函数知识点归纳总结非常全
初中函数知识点归纳总结非常全函数知识点总结非常全知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ,x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ,y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上⇔x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等,纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等,横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:(1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x (3)点P(x,y)到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
数学初中函数知识总结
数学初中函数知识总结函数是数学中的基础概念之一，也是中学数学中的重要内容。
在初中阶段，学生们开始接触函数的概念和相关知识，逐渐深入探讨函数的性质和应用。
本文将对初中函数的知识进行总结和梳理，包括函数的定义、性质、图像和应用等方面。
一、函数的定义函数是以某个变量（自变量）为输入，通过某种规则或算法得到另一个变量（因变量）为输出的关系。
简单来说，函数就是一种对应关系。
用符号表示函数的一般形式为：y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)代表函数关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取得的值的集合，值域是因变量可能取得的值的集合。
在定义函数时，需要确定函数的定义域和值域。
2. 奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数；否则，函数既不是偶函数也不是奇函数。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数的增减规律。
如果函数的自变量增大时，对应的因变量也增大，则该函数是递增的；如果函数的自变量增大时，对应的因变量减小，则该函数是递减的。
三、函数的图像函数的图像是函数的可视化表示，可以通过画出函数的图像来更好地理解和分析函数的性质。
1. 直线函数：直线函数的图像是一条直线，可以通过确定直线上两个点或一个点和斜率来确定直线函数的图像。
2. 平方函数：平方函数的图像是一条抛物线，开口方向取决于平方项系数的正负。
平方函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的对称轴与x轴的交点。
3. 一次函数：一次函数的图像是一条斜率不变的直线，可以通过确定直线上两个点或一个点和斜率来确定一次函数的图像。
四、函数的应用函数是数学中的一个强大工具，不仅在数学中有广泛的应用，还可以在实际生活和其他学科中得到应用。
1. 函数的模型建立：通过观察和分析实际问题，可以建立函数模型来解决问题。
例如，利用一次函数模型可以描述物体的匀速直线运动，二次函数模型可以描述物体的自由落体运动。
九年级数学--初中各种函数知识点总结
初中各种函数知识点陈述总结知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注重：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0x⇔y,0>>点P(x,y)在第二象限0⇔yx<,0>点P(x,y)在第三象限0⇔yx,0<<点P(x,y)在第四象限0x⇔y,0<>2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0⇔y，x为任意实数=点P(x,y)在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离 点P (x ,y )到坐标轴及原点的距离： （1）点P (x ,y )到x 轴的距离等于y （2）点P (x ,y )到y 轴的距离等于x（3）点P (x ,y )到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
初中数学-函数详解
初中数学-函数详解我选择介绍初中数学中的函数的概念、性质和应用。
一、函数的概念函数是一种特殊的数学关系，表示两个数集之间的一种映射关系。
简单来说，函数就是将一个数集中的每一个元素映射到另一个数集中的一个唯一元素的规律。
二、函数的性质1）定义域和值域函数的定义域是指所有可以作为自变量的数的集合，函数的值域是指所有可能的函数值所构成的集合。
2）单调性函数的单调性指函数在其定义域内的增减规律，分为单调递增和单调递减。
3）奇偶性函数的奇偶性是指当自变量为负数时，函数值是否与自变量为正数时的函数值相同。
4）周期性函数的周期性是指函数图像在某个区间内重复出现的规律。
三、函数的应用函数在数学中应用广泛，例如在物理学、经济学和工程学等方面，都是重要的数学工具。
下面是两个应用例题：例题1：一辆汽车从A地出发，行驶一段距离后达到B 地，再从B地出发，返回A地，设汽车行驶的速度为v1和v2，A、B两地之间的距离为d，求汽车来回所需的时间。
解：设汽车从A到B的时间为t1，从B返回A的时间为t2。
由于路程相同，因此可以列出以下等式：v1t1 = v2t2v1t1 + v2t1 = d解出t1和t2的表达式如下：t1 = d / (v1 + v2)t2 = d / (v2 - v1)因此，汽车来回所需时间为t = t1 + t2 = 2d / (v2 - v1)。
例题2：一个球从地面上抛出，下落后又反弹回来，每次反弹的高度都是原来高度的一半，求球弹起第四次所达到的高度。
解：设球第一次弹起的高度为h，则球第二次弹起的高度为h/2，第三次弹起的高度为h/4，第四次弹起的高度为h/8。
因此，球弹起第四次所达到的高度为h/8。
我们可以将球弹起的高度与弹起次数建立函数关系：h(n) = h/2^(n-1)，n 为弹起次数。
通过以上的例题，我们可以了解到函数的概念、性质和应用，深入了解函数的应用可以帮助我们解决生活中实际问题。
初中数学函数知识点归纳
初中数学函数知识点归纳一、函数的定义和性质函数是一个数到数的映射关系，通常用f(x)表示。
函数的定义域是指所有能够使函数有意义的x的取值范围，值域是函数所有可能输出的值的集合。
函数可分为一对一函数、多对一函数和一对多函数。
二、常见函数1. 线性函数线性函数的函数图像为一条直线，表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
a决定了直线的斜率，b决定了直线与y轴的交点。
2. 平方函数平方函数的函数图像为一条抛物线，表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数。
a的正负决定了抛物线的开口方向，c决定了抛物线与y轴的交点。
3. 根号函数根号函数的函数图像为一条开口向上的抛物线，表达式为f(x) = √x。
函数图像只有非负数的x值对应有效。
4. 反比例函数反比例函数的函数图像为一条非零常数的双曲线，表达式为f(x) = k/x，其中k 为常数。
函数图像不包括x = 0这一点。
三、函数的变换1. 平移变换平移变换可以将函数的图像沿着x轴或y轴上下左右移动。
平移的规律如下：- 向左平移a个单位：f(x) → f(x + a)- 向右平移a个单位：f(x) → f(x - a)- 向上平移b个单位：f(x) → f(x) + b- 向下平移b个单位：f(x) → f(x) - b2. 压缩与拉伸变换压缩与拉伸变换可以改变函数图像在x或y方向的大小。
压缩与拉伸的规律如下：- x方向压缩：f(x) → f(kx)，其中k > 1- x方向拉伸：f(x) → f(kx)，其中0 < k < 1- y方向压缩：f(x) → kf(x)，其中k > 1- y方向拉伸：f(x) → kf(x)，其中0 < k < 1四、函数的性质和运算1. 函数的奇偶性- 奇函数：f(-x) = -f(x)，即关于原点对称- 偶函数：f(-x) = f(x)，即关于y轴对称2. 函数的复合函数的复合是指将一个函数作为另一个函数的输入，即f(g(x))。
初中数学函数定义及性质归纳
初中数学函数定义及性质归纳数学中的函数是一种非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
在初中数学中，我们需要了解函数的定义及其性质，这对我们进一步学习数学知识和解决实际问题是非常有帮助的。
本文将详细介绍初中数学中函数的定义及其常见性质。
首先，我们来回顾一下函数的定义。
函数是一种将每一个自变量（输入）与唯一确定的因变量（输出）对应起来的关系。
简单来说，函数就是一种映射关系。
用数学符号表示，函数通常用f(x)或y来表示，其中x表示自变量，y表示因变量，f表示函数名。
函数的定义域表示所有可能的自变量值，而值域表示所有可能的因变量值。
函数有一些基本的性质，我们来逐一介绍。
1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个重要性质。
定义域是自变量可能取值的集合，它决定了函数能够接受哪些输入。
值域是函数输出的范围，它决定了函数的输出结果。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数图像的变化趋势。
如果函数在定义域上是递增的（即随着自变量增大，因变量也增大），那么函数是单调递增的。
如果函数在定义域上是递减的（即随着自变量增大，因变量减小），那么函数是单调递减的。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性。
如果对于函数的任意自变量x，f(-x) = f(x)，那么函数是偶函数；如果对于函数的任意自变量x，f(-x) = -f(x)，那么函数是奇函数。
若同时满足偶函数和奇函数的条件，那么函数既是偶函数又是奇函数，这种函数称为零函数。
4. 周期性：函数的周期性描述了函数图像在横坐标上的重复性。
如果对于函数的任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，那么函数的周期为T。
5. 约束条件：有时候函数在定义域上还需要满足一些约束条件。
例如，比如有一个函数y = f(x)，但是我们只考虑自变量大于0的情况，那么函数的定义域就是x>0。
在初中数学中，我们经常需要根据函数的定义及其性质，进行一些推理和解题。
下面是一个简单的例子：例题：已知函数f(x)的定义域为实数集R，其图像关于y轴对称，且满足f(x+3) = f(x)，求函数f(x)的周期。
基本初等函数图像及性质大全(初中-高中)
一、一次函数与二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义： ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化： log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式： log 10a =，log 1a a =，log ba ab =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数五、反函数（1）反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（2）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（3）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质（一）正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时，单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域 RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π七、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 []1,1-[]1,1-值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π 单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无 无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()0,π。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
初中函数的定义与性质
初中函数的定义与性质
1.函数的定义
(1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.
(2)函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A 到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域.
上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同.函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域.
这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B 的一个子集.
2.函数的三要素
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以也可以说函数有两要素：定义域和对应法则.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。
包含某
个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。
若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数，函数是一种特殊映射。
初中数学知识归纳函数的定义和性质
初中数学知识归纳函数的定义和性质初中数学知识归纳：函数的定义和性质函数是数学中非常重要的概念之一，它在数学的各个分支以及实际生活中都有着广泛的应用。
本文将对函数的定义和性质进行归纳和总结。
一、函数的定义函数可以理解为一种对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
具体而言，设有两个集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素a，都存在集合B中的唯一元素b与之对应，那么就可以说存在一个函数f，记作f：A→B，其中a是自变量，b是函数的值或因变量。
函数的定义包含以下要点：1. 自变量和因变量的集合：函数的定义必须明确给出自变量和因变量所属的集合，即A和B。
2. 对应关系的唯一性：函数要求对于集合A中的每一个元素a，都有唯一的元素b与之对应。
3. 函数的表示方式：常用的表示函数的方式有算式表示、表格表示、图像表示等。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，下面将逐一介绍。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，记作D(f)。
而函数的值域是指因变量的取值范围，记作R(f)。
函数的定义域和值域是与具体函数有关的属性，不同函数的定义域和值域可以不同。
2. 一一对应：如果一个函数中的每一个自变量对应到一个唯一的因变量，而且每一个因变量都有对应的自变量，那么该函数被称为一一对应函数。
一一对应的函数具有双射关系，也就是说不存在自变量相同而因变量不同的情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴、原点或者其他特定点对称的特性。
如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，那么该函数是偶函数；如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，那么该函数即为既非偶函数也非奇函数。
4. 单调性：函数的单调性是指函数在给定定义域上的增减性质。
设有函数f(x)，若对于定义域上的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么该函数是严格增函数；若对于定义域上的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，那么该函数是增函数；若对于定义域上的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，那么该函数是严格减函数；若对于定义域上的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，那么该函数是减函数。
初中函数知识点总结图文
一、基本概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。
通俗来讲，函数就是可以输入一个值并返回一个值的规则或者过程。
2. 函数的图像函数的图像是它的输入和输出之间的一种对应关系，在直角坐标系中，函数的图像通常是一条曲线。
3. 自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，因变量是通过函数规则得到的输出值。
4. 定义域和值域函数的定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
二、函数的表示和性质1. 函数的表示函数可以用各种形式表示，比如用表格、公式、图像等。
2. 函数的性质函数可以是奇函数、偶函数、增函数、减函数等。
奇函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，偶函数在定义域内满足f(-x)=f(x)；增函数有f(x1)<f(x2)当x1<x2，减函数有f(x1)>f(x2)当x1<x2。
三、函数的运算1. 函数的加减法给定两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数是f(x)+g(x)，差函数是f(x)-g(x)。
2. 函数的乘法给定两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数是f(x)•g(x)。
3. 函数的复合给定两个函数f(x)和g(x)，它们的复合函数是f(g(x))。
表示为h(x)=f(g(x))。
1. 反函数如果函数f的定义域和值域分别为D和R，对于任意的y∈R，方程y=f(x)有唯一解x∈D，那么就存在一个函数g：R→D，使得f(g(y))=y，并且g(f(x))=x，此时g就是f的反函数。
2. 反比例函数如果两个变量x、y之间的关系可以用y=k/x表示，其中k≠0是常数，那么y与x成反比例关系。
五、函数的应用1. 实际问题中的函数函数在数学中有广泛的应用，比如经济学、物理学、化学等领域都会用到函数来描述各种关系。
2. 函数的图像函数的图像可以帮助我们更直观地了解函数的性质，通过观察图像可以发现函数的奇偶性、单调性、极值等重要特征。
函数的性质初中
函数的性质初中1、正比例函数Y=KX(K不等于0)K＞0，图像经一、三象限，Y随X的增大而增大。
K＜0，图像经二、四象限，Y随X的增大而减小。
（图象是经过圆点的一条直线）2、一次函数Y=aX+b（a不等于0）a＞0，b>0,图像经一、二、三象限，Y随X的增大而增大。
a＞0，b<0,图像经一、三、四象限，Y随X的增大而增大。
a＜0，b>0,图像经一、二、四象限，Y随X的增大而减小。
a＜0，b<0,图像经二、三、四象限，Y随X的增大而减小。
（图象为一条直线）注：当b=0，一次函数就便成了等比例函数3、y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P[-b/2a，(4ac-b²)/4a]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）。
即ax²+bx+c=0此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
基本初等函数图像与性质大全初中高中资料全
①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称．
②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域．
③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上．
④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数．
六、三角函数的图像和性质
（一）正弦与余函数的图像与性质
函数
图像
定域义
R
R
值域
最值
单调性
奇偶性
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
（5）对数函数
函数名称
对数函数
定义
函数 且 叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在定义域上是增函数
在定义域上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限， 越大图象越靠低；在第四象限， 越大图象越靠高．
五、反函数
（1）反函数的概念
奇函数
偶函数
周期性
是周期函数，2 为最小正周期
是周期函数，2 为最小正周期
对称性
对称中心 ，
对称中心 ，
2.正切与余切函数的图像与性质
函数
图像
定域义
值域
R
R
单调性
奇偶性
奇函数
奇函数
周期性
是周期函数， 为最小正周期
是周期函数， 为最小正周期
对称性
对称中心
对称中心
七、反三角函数的图像与性质
1.反正弦与反余函数的图像与性质
②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0的负分数指数幂没有意义．
（3）运算性质
① ②
③
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1、一次函数与二次函数（一）一次函数（二）二次函数①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．二、幂函数过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1(0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rrrab a b a b r R =>>∈（4）指数函数函数名称指数函数四、对数函数（1）对数的定义： ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化： log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()naan M M n R =∈ ④log a Na N=⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且（5）对数函数五、反函数设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质（一）正弦与余函数的图像与性质函数xy sin =xy cos =图像定域义R R值域[]1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时，单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2]Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期π是周期函数，2为最小正周期π对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数x y tan =xy cot =图像定域义{|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且{|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,)Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期π是周期函数，为最小正周期π对称性对称中心(,0)2k π对称中心(,0)2k π七、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数反余弦函数arccos y x=是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义[]1,1-[]1,1-值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性[1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数arctan y x =是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数反余切函数arccot y x =是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义(,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性(,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心（0，0）对称中心（0，π/2）11。
初中数学函数大全
初中数学函数大全文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]初中数学函数大全(分类I、与定义式:自x变量y关系:y=kx+b(kb数k≠0)则称yx函数特别b=0yx比例函数II、:y变化值与应x变化值比例k即△y/△x=kIII、函数及性质:1.作与:通3(1)列表(般找4-6点);(2)描点;(3)连线作函数图象(用平滑连接)2.性质:函数图象任意点P(xy)都满足:y=kx+b3.kb与函数图象所k＞0直线必通、三象限y随x增增;k＜0直线必通二、y随x增减b＞0直线必通、二象限;b＜0直线必通三、四象限特别b=0直线通O(00)表示比例函数图象k＞0直线通、三象限;k＜0直线通二、四象限IV、确定函数:已知点A(x1y1);B(x2y2)请确定点A、表达式(1)设函数表达式(叫)y=kx+b(2)函数任意点P(xy)都满足等式y=kx+b所列2程:y1=kx1+b①y2=kx2+b②(3)解二元程kb值(4)函数表达式V、y=kx+b,两必定经(0,b)(-b/k,0)VI、函数应用1.间t定距离s速度v函数s=vt2.水池抽水速度f定水池g抽水间设水池量Sg=S-ft反比例函数形y=k/x(k数且k≠0)函数叫做自变量x等于0切实数反比例图面给k别负(2-2)函数图像二函数般自变量x变量y间存关系:y=ax^2+bx+c(a≠0)(abc数a≠0且a决定函数口向a>0口向向a<0口向向IaI决定口,IaI越口越,IaI越口越)则称yx二函数二函数表达式通二三项式x自变量yx函数二函数三种表达式般式:y=ax^2+bx+c(abc数a≠0)顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线顶点P(hk)]于二函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴交点A(x?0)B(x?0)抛物线]其x12=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)注:3种互相转化关系:______h=-b/(2a)k=(4ac-b^2)/(4a)x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a二函数图像平面直角坐标系作二函数y=x^2二函数看二函数图像条抛物线二函数标准画步骤()(1)列表(2)描点(3)连线抛物线性质1.抛物线轴称图形称轴直线x=-b/2a称轴与抛物线唯交点抛物线顶点P特别b=0抛物线称轴y轴(即直线x=0)2.抛物线顶点P坐标P(-b/2a(4ac-b^2)/4a)-b/2a=0Py轴;Δ=b^2-4ac=0Px轴3.二项a决定抛物线口向a＞0抛物线;a＜0抛物线向口|a|越则抛物线口越4.项系数b二项系数a共同决定称轴位置a与b(即ab＞0)称轴y轴左;a与b异号(即ab＜0)称轴y轴右5.数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于(0c)6.抛物线与x轴交Δ=b^2-4ac＞0抛物线与x轴2交点Δ=b^2-4ac=0抛物线与x轴1交点_______Δ=b^2-4ac＜0抛物线与x轴没交点X取值(x=-b±√b^2-4ac值相反数乘虚数i除2a)a>0函数x=-b/2a处取值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;{x|x<-b/2a}{x|x>-b/2a};抛物线口向;函数{x|x≥4ac-b^2/4a}相反变b=0抛物线称轴y轴函数解析式变形y=ax^2+c(a≠0)二函数与元二程特别二函数(称函数)y=ax^2+bx+cy=0二函数关于x元二程(称程)即ax^2+bx+c=0函数图像与x轴交点即程函数与x轴交点即1.二函数y=ax^2y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c(各式a≠0)图象相同位置同顶点坐标及称轴表:解析式y=ax^2y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c顶点坐标(00)(h0)(hk)(-b/2a(4ac-b^2)/4a)称轴x=0x=hx=hx=-b/2ah>0y=a(x-h)^2图象由抛物线y=ax^2平行移h单位h<0则平行移|h|单位.h>0,k>0抛物线y=ax^2向右平行移h单位再向移k单位y=a(x-h)^2+k图象;h>0,k<0抛物线y=ax^2向右平行移h单位再向移|k|单位y=a(x-h)^2+k图象; h<0,k>0抛物线向左平行移|h|单位再向移k单位y=a(x-h)^2+k图象;h<0,k<0抛物线向左平行移|h|单位再向移|k|单位y=a(x-h)^2+k图象;研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)图象般式化y=a(x-h)^2+k形式确定其顶点坐标、称轴抛物线体位置清楚.给画图象提供便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)图象:a>0口向a<0口向称轴直线x=-b/2a顶点坐标(-b/2a[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)若a>0x≤-b/2ay随x增减;x≥-b/2ay随x增增.若a<0x≤-b/2ay随x增增;x≥-b/2ay随x增减.4.抛物线y=ax^2+bx+c图象与交点:(1)图象与y轴定相交交点坐标(0c);(2)△=b^2-4ac>0图象与x轴交于两点A(x?0)B(x?0)其x1,x2元二程ax^2+bx+c=0(a≠0)两根.两点间距离AB=|x?-x?|另外抛物线任何称点距离由|2×(-b/2a)-A|(A其点)△=0.图象与x轴交点;△<0.图象与x轴没交点.a>0图象落x轴x任何都y>0;a<0图象落x轴x任何实数都y<0.5.抛物线y=ax^2+bx+c值:a>0(a<0)则x=-b/2ay()值=(4ac-b^2)/4a.顶点横坐标取值自顶点值取值.6.用待定系数求二(1)题给条件已知图象经三已知点或已知x、y三应值设解析式般形式:y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)题给条件已知图象顶点坐标或称轴设解析式顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)题给条件已知图象与x轴两交点坐标设解析式两:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).7.二函数知识容易与其知识综合应用形较复杂综合二函数知识主综合性题目考热点往往题形式现.。
初中数学函数知识点总结(定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
基本初等函数图像及性质大全(初中-高中)
（3）二次函数图象的性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
递减
递增
递增
递减
①.二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是
②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时， ．
二、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数．
（2）幂函数的图象
过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．
1、一次函数与二次函数（一）一次Fra bibliotek数一次
函数
，
符号
图象
性质
随 的增大而增大
随 的增大而减小
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： ②顶点式：
③两根式：
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
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一.正比例函数的性质1.定义域：R（实数集）2.值域：R（实数集）3.奇偶性：奇函数4.单调性：当k>0时，图像位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图像位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）5.周期性：不是周期函数。
6.对称轴：直线，无对称轴。
、二.一次函数图像和性质一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linear function）．一次函数的定义域是一切实数.当b=0时，y=kx+b即y=kx（k是常数，且k≠0•）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.当k=0时，y等于一个常数，这个常数用c来表示，一般地，我们把函数y=c（c是常数）叫做常值函数（constant function）它的定义域由所讨论的问题确定．一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.一般地，直线y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k0)的截距是b.一次函数的图像：k>0 b>0 函数经过一、三、二象限k>0 b<0 函数经过一、二、三象限k<0 b>0 函数经过一、二、四象限k<0 b<0 函数经过二 、三、四象限 上面性质反之也成立 1．b 的作用在坐标平面上画直线y=kx+b (k≠0)，截距b 相同的直线经过同一点(0,b). 2．k 的作用k 值不同，则直线相对于x 轴正方向的倾斜程度不同. (1)k>0时，K 值越大，倾斜角越大 (2)k<0时，K 值越大，倾斜角越大说明 （1） 倾斜角是指直线与x 轴正方向的夹角；（2）常数k 称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论. 3．直线平移一般地，一次函数y=kx+b(b0)的图像可由正比例函数y=kx 的图像平移得到.当b>0时，向上平移b 个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位. 4．直线平行如果k1=k2 ,b1b2，那么直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行. 如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，那么k1=k2 ,b1b2 . 1．一次函数与一元一次方程的关系一次函数 y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.2．一次函数与一元一次不等式的关系由一次函数 y=kx+b 的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数 y=kx+b 的图像上且位于x 轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解.三.二次函数图像及其性质1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故由韦达定理知：ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()aa acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=-=-=44422212212212111．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax ++=20就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根四.反比例函数及其性质。