高等数学(复旦大学版)第九章 多元函数微分学的应用
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第九章 多元函数微分法的应用
在高数上册中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.
第一节 空间曲线的切线与法平面
教学目的：
1、理解空间曲线的切线与法平面的概念；
2、掌握空间曲线的切线与法平面的计算 教学重点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学难点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学内容：
设曲线Γ的参数方程为
)(),(),(t z z t y y t x x ===
其中[,]t a b Î，(),(),()x t y t z t 在区间[,]a b 上可导。
曲线Γ在点0P 处的切线方程为
.)
()()(00
0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 切线的方向向量000('(),'(),'())x t y t z t 称为曲线在点0P 的切向量.
过点0P 且与切线垂直的平面称为曲线Γ在点0P 处的法平面. 曲线的切向量就是法平面的法向量，因此法平面的方程为
0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x
如果曲线Γ的方程为 ⎩
⎨⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F 的情形；
曲线Γ在点0P 处的切线方程为
00
00
(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---=
=抖?抖?
曲线在0P 处的法平面方程为
00000()'()()'()()0x x y x y y z x z z -+-+-=
例1、求螺旋线
cos ,sin ,x a t y a t z amt ===
在4
t p
=
处的切线方程与法平面方程。 解： 'sin ,'cos ,'x a t y a t z am =-== 故曲线在4
t p
=
处的切线方程为
22411am x y z p ---==-法平面方程为
()()()022
4
am x y z p
--+-+-= 即
2.4x y p -++=
例2、求曲线Γ
t t
u e z t t y udu e x 30
1,cos sin 2,cos +=+==⎰
在0=t 处的切线和法平面方程.
解：当0=t 时，,0=x ,1=y ,2=z ,cos t e x t =',sin cos 2t t y -='t e z 33=' ,1)0(='x ,2)0(='y ,3)0(='z
切线方程
,3
2
2110-=-=-z y x 法平面方程 ,0)2(3)1(2=-+-+z y x 即.0832=-++z y x 例3、求曲线⎩⎨⎧=+=+10
10
2
222z y z x 在点)3,1,1(处的切线及法平面方程. 解：设,10),,(22-+=z x z y x F ,10),,(22-+=z y z y x G 则,2x F x =,0=y F ,2z F z =,0=x G ,2y G y =,2z G z = 故
)
3,1,1(z
y z y G G F F )
3,1,1(2220z y z
=
,12-=
)
3,1,1(x
z
x z G G F F )
3,1,1(0222z x
z =
,12-=
)
3,1,1(y
x y x G G F F )
3,1,1(200
2y x =
.4=
故所求的切线方程为.1
3
3131--=-=-z y x 法平面方程为,0)3()1(3)1(3=---+-z y x 即.333=-+z y x
例题选讲： 例1 求曲线Γ
2cos ,2sin ,x t y t z ===
在4
t p
=
处的切线和法平面方程. 例2 求曲线⎩⎨⎧=+=+10
10
2
222z y z x 在点)3,1,1(处的切线及法平面方程. 例3 求曲线22
16,12y x z x ==对应于1
2
x =
点处的切线及法平面方程. 例4 求出曲线 32,x z x y =-=上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42=++z y x
例5 求曲线⎧⎨⎩
9222x +y +z =,
z =xy.在点(1,2,2)处的切线方程及法平面方程.
小结：
空间曲线的切线与法平面
（1）曲线Γ的参数方程：)(),(),(t z z t y y t x x ===
（2）曲线Γ的一般式方程：⎩
⎨⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F
作业：习题9-1 1（1）（2）