最全最实用的高等数学公式大全讲解

两类曲面积分之间的关 系： Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos
R cos ) ds
高斯公式：
(P Q xy
R ) dv z
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos R cos )ds
高斯公式的物理意义 — —通量与散度：
散度： div
P Q R ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div xyz
z f [u(t ), v(t)] dz z u z v dt u t v t
z f [u(x, y), v( x, y)] z z u z v x u x vx
当u u( x, y)， v v( x, y)时，
du u dx u dy dv v dx v dy
x
y
x
y
隐函数的求导公式： 隐函数 F ( x, y) 0， dy
a b c cos , 为锐角时，
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平面的方程：
1、点法式： A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0，其中 n { A, B, C}, M 0 (x0, y0 , z0 )
2、一般方程： Ax By Cz D 0
3、截距世方程： x
y
z 1
abc
平面外任意一点到该平 面的距离： d
1时，不确定
3、定义法： sn u 1 u 2
u n ; lim sn 存在，则收敛；否则发 n
别法）： 散。
交错级数 u1 u2 u3 u4 (或 u1 u2 u3 ,un 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理：
如果交错级数满足
un un 1
lim
n
un
0，那么级数收敛且其和 s u1,其余项 rn的绝对值 rn
(t 0)
y y0 (t0 )
z z0 (t0 )
在点 M 处的法平面方程： (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t 0)( z z0 ) 0
F ( x, y, z) 若空间曲线方程为：
0 ,则切向量 T
Fy {
Fz , Fz
Fx , Fx
Fy }
G ( x, y, z) 0
Gy G z Gz G x Gx G y
xy
dydz dzdx dxdy cos cos cos
上式左端又可写成： 空间曲线积分与路径无
x
y
z
x
PQR
P
关的条件： R Q ， P yz z
y
z
Q
R
R， Q P x xy
i jk
旋度： rotA xyz PQ R
向量场 A沿有向闭曲线 的环流量： Pdx Qdy Rdz A t ds
常数项级数： 等比数列： 1 q q 2
曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则： 1、过此点的法向量： n { F x (x0 , y0, z0 ), F y ( x0 , y0, z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0)} 2、过此点的切平面方程 ： Fx ( x0 , y0, z0)( x x0) Fy ( x0 , y0, z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
1 n 2 收敛；
p级数：
1 np
ｐ
p
１时发散 1时收敛
幂级数：
1 x x2 x3 对于级数 ( 3) a0
1
xn
x 1时，收敛于
1x
x 1时，发散
格林公式：
Q
(
D
x
P ) dxdy
y
Pdx
L
Qdy 格林公式：
Q
(
D
x
P ) dxdy
y
Pdx Qdy
L
当P
y , Q x ，即： Q x
P 2 时，得到 D 的面积： A
dxdy
y
D
·平面上曲线积分与路径
无关的条件：
1 xdy ydx
2L
1、 G 是一个单连通区域；
2、 P ( x , y )， Q ( x , y )在 G 内具有一阶连续偏导数
3、过此点的法线方程：
x x0
y y0
z z0
F x ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) F z (x0, y 0, z0 )
方向导数与梯度：
函数 z f ( x, y)在一点 p( x, y)沿任一方向 l的方向导数为： f l
f cos x
f sin y
其中 为 x轴到方向 l 的转角。
dx
F F
x y
， d 2 dx
y
2
( Fx )＋ ( Fx ) dy x Fy y Fy dx
隐函数 F ( x, y, z) 0， z Fx ， z Fy
x Fz
y Fz
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F (x, y,u, v) 0
隐函数方程组：
J
( F ,G)
G(x, y,u, v) 0
(u,v)
u 1 ( F ,G) v 1 (F , G)
un 1。
绝对收敛与条件收敛：
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(1)u1 u 2
u n ，其中 un 为任意实数；
(2) u1 u 2 u3
un
如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；
如果 ( 2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。
调和级数： 1 发散，而 n
( 1) n 收敛； n
级数：
3、双曲面：
单叶双曲面：
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面： x2 a2
y2 b2
z2 c2
（1 马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分： dz z dx z dy du u dx u dy u dz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算： z dz f x ( x, y) x f y (x, y) y 多元复合函数的求导法 ：
x J ( x, v)
x J (u, x)
u 1 ( F ,G) v 1 (F , G)
y J ( y,v)
y J (u, y)
FF
u
v Fu Fv
G G Gu Gv
uv
微分法在几何上的应用：
x 空间曲线 y
z
(t)
(t )在点 M (x0 , y0, z0 )处的切线方程： x x0
(t)
R[ x, y , z( x, y)] dxdy，取曲面的上侧时取正
D xy
号；
P( x, y, z) dydz
P[ x ( y, z), y , z]dydz，取曲面的前侧时取正
D yz
号；
Q( x, y, z) dzdx
Q[ x, y( z, x ), z]dzdx，取曲面的右侧时取正
D zx
号。
函数 z f ( x, y)在一点 p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)
f i
f j
xy
它与方向导数的关系是 ：f grad f (x, y) e，其中 e cos i sin l
单位向量。
j ，为 l 方向上的
f 是 gradf (x, y)在l上的投影。 l
多元函数的极值及其求法：
Fx f
( x, y) xd 3， Fy f
( x, y) yd 3， F z
D (x2 y2 a2 )2
D ( x2 y2 a2) 2
( x, y) xd
fa
3
D ( x2 y 2 a2 ) 2
柱面坐标和球面坐标：
x r cos 柱面坐标： y r sin , f ( x, y, z)dxdydz
D
, y M y
( x, y) d
M
D
y ( x, y)d
D
( x, y)d
D
平面薄片的转动惯量： 对于 x轴 I x
y2 ( x, y)d , 对于 y轴 I y
x 2 ( x, y)d
D
D
平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a 0)的引力： F { Fx , Fy , Fz}，其中：
两向量之间的夹角： cos
a xbx a y by a zbz
2
2
2
ax ay az
2
2
wk.baidu.com
2
bx by bz
c ab
i jk ax ay az , c bx by bz
a b sin .例：线速度： v w r .
向量的混合积：[ ab c] (a b ) c 代表平行六面体的体积 。
ax ay az bx by bz cx cy cz
减去对此奇点的积分，
注意方向相反！
，且
Q ＝ P 。注意奇点，如
x
y
( 0 , 0 ) ，应
·二元函数的全微分求积
：
在 Q ＝ P 时， Pdx
x
y
( x ,y )
u(x, y)
P ( x , y ) dx
( x0 ,y0 )
Qdy 才是二元函数 Q ( x , y ) dy ，通常设
u ( x , y )的全微分，其中： x 0 y 0 0。
曲面积分：
对面积的曲面积分： 对坐标的曲面积分：
f ( x, y, z) ds
f [ x, y , z( x, y )]
1
z
2 x
(
x
,
y
)
z
2 y
(
x,
y)
dxdy
D xy
P ( x, y, z) dydz Q ( x, y , z) dzdx R( x, y, z) dxdy，其中：
R( x, y, z) dxdy
Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
空间直线的方程： x x0 m
y y0 n
z z0 p
x x0 mt t,其中 s { m, n, p}; 参数方程： y y0 nt
z z0 pt
二次曲面：
1、椭球面：
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
2、抛物面： x2 y 2 z（, p, q同号） 2 p 2q
等差数列： 1 2 3 调和级数： 1 1 1
23 级数审敛法：
qn 1
1 qn 1q
n (n 1)n 2
1 是发散的 n
1、正项级数的审敛法
设：
lim
n
n u n，则
— —根植审敛法（柯西判 1时，级数收敛 1时，级数发散 1时，不确定
2、比值审敛法：
设：
lim U n 1 ，则
n
Un
1时，级数收敛 1时，级数发散
F (r , , z) rdrd dz,
zz
其中： F (r , , z) f (r cos , r sin , z)
x r sin cos 球面坐标： y r sin sin ， dv rd r sin d dr r 2 sin drd d
z r cos
f (x, y, z)dxdydz
F ( r , , )r 2 sin drd d
则： AC B 2 0时， 无极
值
AC B 2 0时 , 不确定
3/9
重积分及其应用：
f ( x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
2
曲面 z f ( x, y)的面积 A
z 1
D
x
2
z dxdy
y
平面薄片的重心： x M x M
x ( x, y)d
第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：
x 设 f (x, y)在 L上连续， L的参数方程为：
y
(t) , ( t
(t)
), 则：
f (x, y)ds f [ (t ), (t )] 2 (t )
L
2 ( t ) dt (
xt ) 特殊情况：
y (t )
4/9
第二类曲线积分（对坐 x
设 L 的参数方程为 y
标的曲线积分）：
(t) ，则：
(t)
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L
{ P [ ( t ), ( t )] ( t ) Q [ (t ), ( t )] ( t )} dt
两类曲线积分之间的关 L 上积分起止点处切向量
系： Pdx Qdy
L
的方向角。
( P cos
L
Q cos ) ds，其中 和 分别为
2
r( , )
d d F (r , , )r 2 sin dr
0
0
0
重心： x 1 x dv, y 1 y dv, z 1 z dv， 其中 M x
dv
M
M
M
转动惯量： I x
( y 2 z2 ) dv， I y
( x2 z2 ) dv， I z
( x2 y2 ) dv
曲线积分：
高数工本阶段公司
空间解析几何和向量代数：
空间 2点的距离： d M 1M 2
(x2 x1) 2 ( y 2 y1 )2 ( z2 z1 )2
向量在轴上的投影： Pr j u AB AB cos , 是 AB与 u轴的夹角。
Pr j u (a1 a 2) Pr ja1 Pr ja 2
a b a b cos a xbx ay by a zbz ,是一个数量 ,
设 f x ( x0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) 0，令： f xx ( x 0 , y0 ) A , f xy ( x 0 , y 0 ) B , f yy ( x 0 , y 0 ) C
AC
B2
A 0时，
0 , ( x0 , y0 )为极大值
A 0 , ( x0 , y0 )为极小值
0, 则为消失 ...
通量： A nds Ands (P cos Q cos Rcos ) ds，
因此，高斯公式又可写 成： div Adv
An ds
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斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
( R Q )dydz ( P R )dzdx ( Q P )dxdy Pdx Qdy Rdz
yz
zx