最大和最小问题
最大最小问题
最大最小（教师用）1、把2、4、6、8、四个数分别填入□中，写成乘法算式：要使乘积最大该怎样填：□□□×□要使乘积最小该怎样填：□□□×□考点：最大与最小．专题：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．分析：据乘法的性质可知，乘法算式的因数越大，积就越大；因此要使两个数的乘积最大，就要使这两数尽量大；根据数位知识可知，数的高位的数字越大，其值就越大．同理，乘积小的情况正好与之相反，据此计算即可解答．解答：解：根据乘法算式性质及数位知识可知，要使乘积最大：642×8，要使乘积最小：468×2．例题练习例1.一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？﹝1987年北京巿第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题﹞从最坏的情况考虑，开第一把钥需要试3次从最坏的情况考虑，开第二把钥需要试2次从最坏的情况考虑，开第三把钥需要试1次开第四把钥，剩下1锁1钥匙，不必尝试，必然成功！要试的次数是：3＋2＋1＝6例2.只有1和它本身为约数﹡的数叫质数，例如2, 3, 5, 7, 11 ……都是质数。
设一个长方形的长和阔均为质数个单位，并且周长是36个单位，这长方形的面积最多可以是多少个平方单位？﹝1990年美国小学数学奥林匹克邀请赛试题﹞﹡备注：即因子设长方形的长是a个质数单位阔是b个质数单位则2a＋2b＝36a＋b＝18长方形的面积：abab愈接近的时候长方形的面积便会愈大经试验知a＝11，b＝7或a＝7，b＝11这长方形的面积最多可以是：11×7＝77(平方单位)例3.把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？﹝1986年北京巿第一届“华杯赛”复赛刊赛﹞要想把自然数分成几个较小的自然数的和,再求出这些数的最大乘积必须考虑下列几个原则˙拆的项数不含有1˙拆的项数尽可能多˙把被拆的自然数分成三类◇3N；3N＋1；3N＋2˙第一类分成若干个3相加˙第二类分成若干个3和两个2相加˙第三类分成若干个3和一个2相加依上述的步骤处理便可得到最大的乘积14＝3＋3＋3＋3＋2此时最大的乘积为162例4.51个同学投票选一名班长，不得弃权。
小学五年级 最大与最小
第一章最大与最小【专题导航】在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
在数学竞赛中经常出现最大与最小问题，这种问题是培养和锻炼学生利用学过的知识解决生活中实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【例题精萃】【例1】用一段22厘米长的铁丝围成一个边长都是整数的长方形或正方形，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方厘米？思路分析：长方形或正方形面积的大小是由它的边长决定的，本题中可知它的长与宽的和是不变的。
长与宽的和为22÷2＝11（厘米）。
依次列举可知：10×1＝10；9×2＝18；8×3＝24；7×4＝28；6×5＝30。
只有当长和宽的差最小时面积最大。
具体列式：22÷2＝11（厘米）（11＋1）÷2＝6（厘米）6－1＝5（厘米）6×5＝30（平方厘米）答：围成长是6厘米，宽为5厘米的长方形时面积最大，最大面积是30平方厘米。
方法点评：两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大。
【实践体验】（1）用一段20米长的篱笆围成一个边长都是整数的长方形或正方形鸡场围墙，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方米？（2）把34分成两个自然数的和，使得到的乘积尽可能大，这个最大的乘积是多少？（3）要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈，长方形的边长都是自然数，这个猪圈的围墙总长最少是多少米？【例2】用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少？思路分析：首先组成两个两位数使乘积最大。
(完整版)最大和最小问题
华西英语培训学校——四年级奥数第三讲最大和最小问题1、最短的时间内完成作业，有更多时间去发展自己的业余爱好2、怎样乘车路程最短，话费时间最少3、怎样做可以使原材料最省4、大桥在什么位置，才能方便附件可能多数居民例1：幼儿园老师要把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的小棒根数不同。
那么，最多能分给几个小朋友？例2：把自然数1、2、3……19依次排列，1234567891011……1819，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？练习：1、先从0、1、2、4、6、8、9这七个数字中，选出5个数字组成一个能被5整除并且尽可能大的五位数，这个五位数是多少？2、小明看一本90页的童话故事，每天看的页数不同，而且一天中最少看3页，那么小明看完这本说最多需要几天？3、把自然数1、2、3……39、40依次排列，1234567891011……3940，划去65个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律10=1+9 1×9=910=2+8 2×8=1610=3+7 3×7=2110=4+6 4×6=2410=5+5 5×5=25规律1：两个数的，这两个数和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大；当两个数相等时，它们的乘积最大。
例3：周长为36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和宽应该是多少？这时的最大面积是多少？观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律?16=1×16 1+16=1716=2×8 2+8=1016=4×4 4+4=8规律2：两数的积一定时，这两个数越接近，它们的和越小；当两个数相等时，它们的和最小。
例4：用竹篱笆围一个面积为25平方米的长方形菜园。
这个长方形的长、宽各是多少米时，最省材料？练习：1、a,b是两个自然数，a+b=16，那么a×b最大是多少？2、a,b是两个自然数，a×b=49，那么a+b最小是多少？3、用40厘米长的铁丝围成的长方形（不计接头长度）中，最大一个的面积是多少平方米？4、教室一个窗户的面积是225平方分米，怎样设计窗户的形状和尺寸最省材料？5、把14拆成两个数的和。
数列的最大项与最小项
数列的最大与最小项问题学习要点： 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对)(n f 求导（因为只有连续函数才可导），而应先对)(n f 所在的函数)0)((>x x f 求导，得到)(x f 的最值，然后再分析)(n f 的最值.2．考察)(n f 的单调性：)0(0)()1(<>-+或n f n f ，然后根据)(n f 的单调判断)(n f 的最值情况.3．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记}{n a 的前n 项和为n S ，,114S S =∴,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或n n S n n n a n n a a n n na S a d d a d a ==∴+--=+-=-⨯-+=∴<-=⇒⨯+=⨯+∴ [解法二]由解法二知}{,0711n a a d ∴<-=是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，>>>==>>>∴=⇒=+++⇒=10988721811651140,0070a a a a a a a a a a a S S 而}{7a ∴中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而8787,S S S S 或∴=最大.[评析]解法一抓住了)(n f S n =是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{n a 的单调性与正、负项的情况得到最大项.[例2]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由； （III ）指出nn a S a S a S ,,,2211 中哪一个最小？说明理由. [解析]（I ）00)(32)(60767612112>+⇒>+=+⇒>a a a a a a S ①，001307713<⇒<⇒<a a S ②，由①、②得;3724407233-<<-⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a（II ）由①、②得}{,0,00776n a d a a a <⎩⎨⎧<>->而为递减数列，;,,,0687662187621最大故而S S S S S S S a a a a a >>><<<∴>>>>>>∴（III ）,014131287621 >>>>>>>><<<S S S S S S S S12128877,,,,}{a Sa S a S a S n n 只有中在∴这六项为负值，而其余各项均为正数，}{nna S ∴的最小项只可能是这六项中的一项，⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->>->->>>>0111012871287a a a S S S 012128877>->>->-a S a S a S7712128877,}{,0a S a S a S a S a S n n 中故在<<<<⇒最小. [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法.[例3]设∈n Z ，当n 是什么数时，|100||3||2||1|-++-+-+-=n n n n S n 取最小值，并说明理由.[解析]（1）当;5050100210=+++≥≤ n S n 时（2）当1≥n 时，考察}{n S 的单调性，|,100||)100||2||1(||)99||1||(|1--=-++-+---++-+=-+n n n n n n n n S S n n①当}{,0100,1001n n n S S S n >=-≥+时单调递增，;4950,100100=≥≥∴S S n n 时当②,1002,10011-=-<≤+n S S n n n 时当;}{,4911单调递减时当n n n S S S n <≤≤∴+}{,100261n n n S S S n ><≤+时当单调递增；而当504932101474849505051+++++++++++=== S S n 时 .25002515025049=⨯+⨯=综上，当n =50或n =51时，.2500)(min =n S[评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活. [例4]已知函数c x x g bx x x f +=++=5)(,13)(2是偶函数是奇函数，正数数列}{n a 满足：.1)()(,12111=+-+=++n n n n n a a a g a a f a（I ）若}{n a 的前n 项和为n n n S S ∞→lim ,求；（II ）若}{),()(21n n n n b a g a f b 求+-=中的项的最大值和最小值.[解析]（I ）由条件得,5)(,13)(,02x x g x x f c b =+=∴==由条件得0)(5)(32121=+-+++n n n n n a a a a a;31lim ,32}{,32,00))(23(0311112121=-=∴=∴=∴>=+-⇒=-+⇒∞→+++++qa S q a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n 是等比数列是公比（II ）,5483)185(6)()(2)(21+-=-==+n n n n n a a g a f a b ϕ,314)(,1,211850,10,)32(1max1===∴<<≤<∴=-b b b n a a n n n n n 即最大时当.243374)278()(,4,278,1624816245162322781858116,8116,278,94,32,1,,5,4,3,2,14min =====∴<<⇒<<∴==ϕb b n a a n n n n 时即当时当[评析]由于n b 是关于n a 的二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列}{n n n a =的最大项与最小项.[解析]通过计算可知：当3≥n 时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法：nn n n a a a a 11++-或却证明不了}{n a 的单调性.考察函数)3()(1≥=x x x f x的单调性，∵ln xx f 1)]([=ln x ，两边对x 求导得：,ln 1)(,ln 1)()(1212x x x x f x x x f x f x -⋅='∴-='⋅.1,3}{,,154321,3298,1543,)(,0)(31335433543==>>>><<∴<⇒<>>>>>∴<'≥∴a a a n x f x f x n n 最小项为的最大项为故又由单调递减时当[解法二]用数学归纳法证明当,131n n n n n <+≥+时2122121111134124123)1()2()1()2()2()2()1()1(,1)3(2;34348164,31++++++++++<+⇒+<+=+<++⇒<+<+≥=<⇒<⇒<=k k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k kk k k k k n n 即时假设当时当即1,1212+=∴+<+++k n k k k k 当时命题也成立，1543543>>>>∴ .下同解法一.[评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性.《训练题》一、选择题：1．数列),3,2,1}(!100{ ==n n a nn 中 （ ）A ．1a 最大，而无最小项B ．1a 最小，而无最大项C ．有最大项，但不是1aD ．有最小项，但不是1a2．已知}{),(1562n n a N n n na 则数列+∈+=的最大项是（ ）A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在3．数列}{n a 的通项公式是}{,32922n n a n n a 则++-=中最大项的值是 （ ）A ．83107B ．108C ．81108D ．1094．已知数列}{n a 的通项公式为中则}{,20032002n n a n n a --=（ ）A ．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B ．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C ．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D ．既不存在最大项，也不存在最小项5．设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（ ）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．n S S S 均为和76的最大值6．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则 （ ）A ．}{n a 递增，n S 有最小值B ．}{n a 递增，n S 有最大值C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值二、填空题：7．设1)32()(,,321+*+=∈++++=n nn S n S n f N n n S 则 的最大值为8．}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，,0,0983<>+S a a则在9321,,,,S S S S 中最小的是9．等比数列}{n a 中，首项用公比,21,15361-==q a n ∏表示它的前n 项的乘积，则n ∏)(*∈N n 最大时，n =10．设等差数列}{n a 满足：)(,,0,531138*∈>=N n S n S a a a n n 则项和为其前且最大时， n = 三、解答题：11．已知数列}{n a 的通项公式}{),510lg(15n n n a a 问数列-⋅=的前多少项之和最大？并求其最大值.（取3010.02lg =）12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知k k k S S S S S d a 2211221,,,,0,0,0,0 求<><>+中的最大值.13．数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，前n 项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项1a 和公比q . 14．已知数列}{n a 中：)(2,111++∈==N k a a a n n n ，（I ）求n a （II ）若}{),4(log 2n n nn b a b 求数列=最小项的值；（III ）设数列{n c }的前n 项为n b ，求数列{||n c }的前n 项和n S .15．数列}{n a 中，)(5431++∈-=+N n n a a n n . （I ）若}{,201n a a 求-=的通项公式n a ；（II ）设n n n S a n a S 求时当项和的前为,27,}{1->的最小值.《答案与解析》一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 二、7．5018．5S 9．12 10．20 11．]5lg )1(5[)5lg 5()510lg()510lg(1551n n a a n n n n -+--=⋅-⋅=---+ 05lg }{,5lg <-=∴-=d a n 是公差的等差数列，而∴>=,051a 所有的正数项之和最大，令15lg 55lg 505lg 505lg )1(5001+≤<⇒⎩⎨⎧<-≥-+⇒⎩⎨⎧<≥+n n n a a n n.428.205lg 27885,8}{,8153.8153.713010.0153010.0158=⨯-⨯=∴=⇒≤<⇒+-≤<-⇒S a n n n n 且项之和最大的前12．,00)(0)12(1112112⎩⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧>+=<+=+++++k k k k k k k k a a a a a k S a k S,0,0,021211 >>>>>>>∴<>++k k k a a a a a d ak k k k k S S S S S S S 故而,,2121 >>><<<∴++为最大值.13．812=-=nnn nS S S q （也可由公式得到），n a q ∴>∴,1为最大项，即.3,280,32,541111=====-q a S q a qa n n 得代入得 14．（I ）;22)1(1121--=⋅⋅⋅=n n n n n a a a a a a（II ）;3)(32,85)25(2125min 22-==∴--=-=n n b n n n n b 时或当（III ）,3-=n c n ①当3≤n 时，;252n n S n -=②当.21252,423+-=-=≥n n b b S n n n 时 15．（I ）,3,5135432121=-⎩⎨⎧-=+-=+++++n n n n n n a a n a a n a a 两式相减得,21,3,,,,,,,1642531-==∴a d a a a a a a 的等差数列都是与,312-=∴a ①当n 为奇数时，;24333)121(20-=⨯-++-=n n a n ②当n 为偶数时，;26833)12(31-=⨯-+-=n n a n （II ）①当n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++++++=- =（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n －1）－54]=3[1+3+5+…+（n －1）])()(,;243)(,18,243)18(4327435421321min 22n n n n a a a a a S n S n n n n n +++++=-==∴--=-=⨯-- 为奇数时当时当 .243)(18,;243216)(1917,43216)18(4341052743min 1min 1212-==->-==∴+--=++-=n n S n a S n a n a n n 时当综上时或当 ②。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求F N＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
最大和最小问题
A解題规律：1．当两数的和一定时，两数的差越小，两数的积越大；当两数相等时，这两数的积最大。
2．若几个数的和一定，当几个数相等时，他们的积最大。
3．周长一定的长方形中，正方形的面积最大。
周长一定边数相等的多边形中，正多边形的的面积最大。
周长一定的正多边形中边数越大，面积越大，且圆的面积最小。
4．若两数的乘积一定，那么两数相等时他们的和最小。
5．将数n分为若干数的和，当n=3k时，分拆成n=k个3，此时这些数的乘积最大为3的k 次方；当n=3k+1时，分拆成n=（k-1）个3+4，此时这些数的乘积最大为4×3的（k-1）次方；当n=3k+2时，分拆成n=（k个3）+2，这时，这些数的乘积最大为2×3的k次方。
B解题训练1.下面等式中，B应是什么数时，才能使A最大？A÷126=14……B2．用一根长为16分米的铁丝弯成一个长方形，当长与宽各是多少时，长方形的面积最大，最大面积是多少？3.比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512b=57128460×875965154.把1.5,3.7,6.5。
，4.6分别填入下图的方框内，再在每个圆圈中填入和他相连的3个方框中的数的平均数，最后把3个圆圈中的数的平均数填入三角形内。
请找出一种填法，使三角形内的数尽可能大。
如图：5.把15分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使的乘积尽可能大，这个乘积是几？6．把19分拆成几个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。
7．把14分成几个自然数的和，怎样分能使这些数的乘积最大。
8.将11拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？9.要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈（把一个叫什么伟的小孩关在里面），长方形的边长是以米为单位的自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？10.用铁丝扎一个长方体模型，为了使长方体的体积敲好是216立方厘米，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？这根铁丝最短是多少厘米？11.农场计划挖一个面积为432平方米的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3米和4米德堤堰（如图），要想使占地占地总面积最小，鱼池的的长和宽各应是多少米？如图：12.一把钥匙开一把锁。
最大值与最小值在数学问题中的应用
最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。
本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。
一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。
考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。
在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。
最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。
我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。
通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。
将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。
因此，方程的最小值为-4。
类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。
在这个例子中，方程的最大值为4。
通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。
二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。
考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。
在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。
假设矩形的长为L，宽为W。
矩形的面积可以表示为A = L * W。
我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。
通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。
解这个方程，我们可以得到W = L。
因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。
这意味着一个正方形具有最大的面积。
通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。
最大值与最小值问题
函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件 x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得 y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x= 20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程 x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积 S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+1 6x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30， p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设 f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4?y?(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。
快乐思维四下2、最大与最小
2、最大与最小[问题一]把12分解为两个非零自然数的和，使它们的积最大，求这个最大的积是多少？最小呢？想：把12分解为两个自然数的和，有1＋11、2＋10、3＋9、4＋8、5＋7、6＋6这6种方法。
经试验6×6=36乘积最大，1×11=11乘积最小。
解：6×6=361×11=11答：这个最大的积是36，最小的积是11。
[试一试]1、把21分解为两个非零自然数的和，这两个自然数的乘积最大可能是多少？最小呢？２、用38米长的篱笆围城一个长方形的羊圈，怎样围围成的面积最大？3、乘积是64的两个自然数，它们的和最大是多少？最小呢？[问题二]把14拆成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，应该怎么分？最大的乘积是多少？想：要使乘积最大，分成的自然数的个数要尽可能多一些，但不能有0和1。
另外分成的自然数中2的个数不能太多，因为如果把6分成了3个2，得2×2×2=8，而把6分成2个3，得3×3=9，所以2的个数不能多于2个，而3要尽可能的多。
解：14=3＋3＋3＋3＋23×3×3×3×2=162答：把14分成3＋3＋3＋3＋2。
最大的乘积是162。
[试一试]1、把19拆成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，应该怎么分？最大的乘积是多少？2、把12写成若干个自然数的和，把这些自然数乘起来得到一个乘积，这个最大的乘积是多少？3、（1）把17分成两个自然数的和，使得它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把17分成几个自然数的和，再求这几个自然数的乘积，问应怎样分，才能使所得的乘积最大？[问题三]从十位数7677782980中划去5个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不变）组成的五位数最小。
这个最小的五位数是多少？想：要使这个五位数最小，应当用最小数去占最高位（万位），第2小的数去占千位……但是，10个数字中最小的2不能放在万位上（想一想，为什么？）这样，万位上的数只能在剩下的第2小的数中选，应选6。
最大值最小与最小值最大问题
1.二分答案 2.最小生成树 3.？？？
Qdez thc
Part1 二分答案
NOIP2015 day2T1
先来一道例题:跳石头
二分答案
我们既然想让最小值最大，就可以假设一个答案，判断他是否满足要求（是否是最小值），如 果满足就看看答案能否变得更大，否则看看答案小一些是否满足条件。
Noip2012 借教室
• 如果前k个订单教室够用，则前k-1个订单教室也一定够用 • 二分k，判断前k个订单教室是否够用 • 如何快速知道前k个订单中每天的教室被用了几间？ • 区间加可以使用差分+前缀和。
兔子
• 在一片草原上有N个兔子窝，每个窝里住着一只兔子，有M条路径连接这些窝。更 特殊地是，至多只有一个兔子窝有3条或更多的路径与它相连，其它的兔子窝只有 1条或2条路径与其相连。换句话讲，这些兔子窝之前的路径构成一张N个点、M条 边的无向连通图，而度数大于2的点至多有1个。 • 兔子们决定把其中K个兔子窝扩建成临时避难所。当危险来临时，每只兔子均会同 时前往距离它最近的避难所躲避，路程中花费的时间在数值上等于经过的路径条数 。为了在最短的时间内让所有兔子脱离危险，请你安排一种建造避难所的方式，使 最后一只到达避难所的兔子所花费的时间尽量少。 • 对于30%的数据，N≤15，K≤4； • 对于60%的数据，N≤100； • 对于100%的数据，1≤K≤N≤1,000，1≤M≤1,500
HackerRank TreeCoordinates
题意：给出一棵树和m个点对(xi,yi)，求两个点对(a,b)和(c,d)，使得 dis(a,c)+dis(b,d)最大。
可以发现这是个二维问题，我们可以考虑枚举一维。 看看答案的计算公式是什么 dis(a,c)+dis(b,d)=dep[a]+dep[c]−2∗dep[lca(a,c)]+dep[b]+dep[d]−2∗de p[lca(b,d)]
六年级上册奥数试题：第4讲 最大与最小 全国通用(含答案)
第4讲最大与最小知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。
这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。
在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。
（2）三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。
（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。
（4）在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。
（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。
（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。
（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。
重点·难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。
如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。
这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。
学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。
（2）枚举比较。
（3）分析推理。
（4）构造。
[例1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为9和15，9+15=24，因此小于24的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。
下面我们只需要考虑大于24的偶数即可。
15后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比24大比30小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。
32也不能，34=9+25，36=9+27，38不能，40=15+25，42=15=27，44=9+35，…此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为38。
解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为38，下面我们给予证明。
高中数学4.2.2最大值、最小值值问题二 教案 (北师大选修1-1)
4。
2。
2 最大值、最小值值问题教学过程：一、创设情境，铺垫导入1．问题情境:在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm，宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）(60－2x）x=4(40－x）（30－x)x.2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活,培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围,在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后，引导学生发现，所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时,V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思",思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神,提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续,开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点:求最值问题的优化方法及相关问题,层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手法上，制作CAI课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习,本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想,引导学生主动参与到课堂教学全过程中．。
4个数字组成乘积最大或最小的题目
题目：4个数字组成乘积最大或最小的探讨随着现代科学技术的不断发展，数学作为一门严谨的科学学科，不断给我们带来新的思考和挑战。
其中，有一个经典的问题是关于如何从一组数字中选取四个数字，使得它们的乘积最大或最小。
这个问题涉及到组合数学、数学分析以及最优化理论等诸多领域，具有一定的研究价值。
本文将从理论和实践两个方面探讨这一问题。
一、理论探讨1. 形式化问题我们需要形式化地描述这个问题。
假设给定一组数字a、b、c、d……n，我们的目标是从中选取四个数字，使得它们的乘积最大或最小。
这个问题可以形式化地表示为寻找a、b、c、d使得max(a*b*c*d)或者min(a*b*c*d)。
2. 解决方案为了解决这个问题，我们可以采用穷举法、贪婪算法、动态规划、遗传算法等不同的方法。
穷举法是一种简单直接的方法，但在数据量较大时效率较低；贪婪算法则是一种寻找局部最优解的方法，可能不能保证全局最优解；动态规划是一种适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题的方法，可以得到最优解；遗传算法则是一种模拟生物进化过程的方法，通过种群的选择、交叉和变异逐步优化得到最优解。
3. 时间复杂度和空间复杂度针对不同的解决方案，我们需要分析它们的时间复杂度和空间复杂度。
在实际应用中，我们需要综合考虑算法的效率和可行性，选择合适的解决方案。
二、实践探讨1. 问题示例我们以具体的例子来说明这个问题。
假设给定一组数字{1, 2, 3, 4, 5}，我们的目标是从中选取四个数字，使得它们的乘积最大或最小。
在这个例子中，我们可以通过穷举法、贪婪算法、动态规划或者遗传算法来解决这个问题。
2. 结果分析我们可以分别使用不同的方法，得到不同的结果。
通过穷举法我们可以得到最大乘积为120，最小乘积为2；通过贪婪算法我们可以得到最大乘积为60，最小乘积为2；通过动态规划我们可以得到最大乘积为120，最小乘积为2；通过遗传算法我们可以得到最大乘积为120，最小乘积为8。
第18讲最大与最小
第18讲最大与最小【专题精华】在我们的日常生产和生活中，常常会碰到如何使费用最少或效益最高等实际问题，这类问题在数字上称为最大最小问题，简称最值问题。
最大最小问题涉及到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
【教材深化】［题1］1把钥匙只能开一把锁，现在4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次可以打开所有的锁？<敏捷思维> 开第一把锁，按最坏情况考虑，试了3把钥匙还没成功，用第4把钥匙开肯定会成功，开第二把锁最多要试3次才能打开，开第三把锁最多要试2次才能打开，开最后一把锁1次就可以打开它。
<全解> 4+3+2+1=10（次）答：最多试10次可以打开所有的锁。
<拓展探究> 本题中的“最多”可以理解为“最不凑巧”，这样就容易知道打开每一把锁所需要试开的最多试数。
从极端情形入手考虑，着眼于极端情形，是解最值问题的常用方法。
［能力冲浪］1、一把钥匙开一把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，问最多试多少次能用9把钥匙把9把锁打开？最少多少次？2、现在有1克、2克、3克、4克共4个不同的天平砝码。
若砝码只能放在天平一侧，最多可以测出多少种不同的重量？（0克不算一种重量）3、士兵做队列表演（500人以内），3人一排时余1人，5人一排时余4人，7人一排时余3人，问这些士兵最多多少人？最少多少人？［题2］把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？<敏捷思维> 要把17分成几个自然数的和，使它们的乘积最大，拆分的个数要尽可能多，且不含有1，其次拆成的数不宜大于4，例如5可以拆成2和3，因为2×3>5。
还有拆成的数中2的个数不能多于2个，若多于2个，例如3个2，因为2+2+2=6，而6=3+3，3×3 > 2×2×2，因此要尽可能多拆出3来。
故把17应拆分成5个3与1个2。
<全解> 17=3+3+3+3+3+23×3×3×3×3×2=486答：把17分拆成5个3与1个2，才能使它们的乘积最大。
七年级数学最大值最小值题型
七年级数学最大值最小值题型
七年级数学中，最大值和最小值的题型是比较常见的。
以下是一些常见的题型：1.代数式求最值：给定一个代数式，求其最大值或最小值。
例如，已知x、y、z均为非负数，且满足x+y+z=30，求M=5x+4y+2z的最小值和最大值。
2.实际应用题：在解决实际问题时，经常需要求最值。
例如，求一个几何图
形中最大面积或最小周长等问题。
3.最大（小）值点问题：给定一个函数，求其最大（小）值点。
例如，求二
次函数y=ax²+bx+c的最大（小）值点。
4.利用不等式求最值：通过不等式的性质，将代数式进行适当变形，然后利
用不等式求解。
例如，已知x、y、z均为正数，且满足x+y+z=3，求xy+yz+zx 的最小值。
5.利用函数的单调性求最值：通过函数的单调性来判断函数的最值。
例如，
求一个二次函数在指定区间内的最大（小）值。
以上是一些常见的最大值和最小值的题型，需要学生掌握相应的解题方法和技巧。
同时，还需要多做练习题，加深对知识的理解和掌握。
最大值与最小值的解法
最大值和最小值问题的解法摘要：最大(小)值问题是数学中常遇到的问题,在初等数学和高等数学中有广泛的应用.本文是讨论最值问题的若干解法并总结出解这类问题的一些规律. 关键词：最大(小)值、判别式、有界性、单调性、不等式。
引言最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中会遇到的一类问题。
函数最值问题的求法较多，但总的来说，求函数最值的常用方法和函数值域的常用方法是相同的。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最大（小）数，这个数就是函数的最（小）值。
下面来谈一下几种基本的方法： 一、 利用导数求函数的最值：若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则()x f 在[]b a ,上有最大值与最小值. 对可导函数来说,若()x f 在区间I 内的一点χ取得最大(小)值,则在χ仅仅有0)(0/=χf(即χ0为f 的稳定点),而且为()x f 的一个极值点,一般而言,最大(小)值还可在区间端点或不可导点上取得.因此,求函数()x f 在区间I 上的最大(小)值的办法是:求出()x f 在I 上所有的稳定点、不可导点以及区间端点,根据题意判断函数在哪个点上可取得最大(小)值或直接比较这点的函数值以便进行判断.例一、 求函数f ()x x x x12223+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值。
解：函数f 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上连续，故必存在最大值与最小值。
因为f ()[]()1292122223+-=+-=x x x x x x x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+--250),1292(041),1292(22x x x x x x x x所以=)(/χf⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=+-<≤----=-+-250),2)(1(612186041),2)(1(61218622x x x x x x x x xx 函数f 在x=0时不可导，由于.0)2(,0)1(//==ff故x=1,x=2为f 的稳定点，现在比较函数在稳定点、不可导点及区间端点的函数,可见x=0,x=1,x=2为f 的极小值点。
中考15题最大、小值问题
九年级数学中考复习教学资源-----15题最大、小值问题黄陂区李集中学 张峰 150********一、隐圆与相似相结合的最值问题【例1】圆O 中A 、B 在圆O 上，点C 在圆O 内，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝3/4，圆的半径为3，当A 在圆O 上运动时，求OC 的最小值【分析】：∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝3/4，∠ACB 及其邻补角均为定角，延长BC 交圆O 于F ，点C 在过A 、C 、F 三点的圆E 上运动。
【解】：延长BC 交圆O 于F ，连AF ，∠ABC ＝90，∴AF 为直径，AF ＝6， ∠ACF 不变，点C 在过A 、C 、F 三点的圆E 上运动 ∴CE ＝3.75，EO ＝2.25，OC ≥CE-OE=3.75－2.25＝1.5当E 、O 、C 三点共线时，OC 最小为1.5练习：如图1，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连结PA ．设PA ＝x ，PB ＝y ，则(x －y)的最大值是_____． 分析：AC 为⊙O 的直径，连结PC ．由△ACP ∽△PAB ，得所以当x ＝4时，x －y 最大，最大值为2．二、利用不等式求最小值【例2】如图，在边长为1的等边三角形OAB 中，以边AB 为直径作圆D ，在O 为圆心，OA 长为半径作圆O ，，C 为半圆弧AB 上的一动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交圆O 于E ，BC ＝a ，AC ＝b ，求a+b 的最大值。
2922,215546sin ,,54sin 43tan =-===∠=∠=∠=∠∴=∠AD FD AD D AF FD ACB D ACB BAC ，)4(8181,81.8222+-=-=-=∴=x x x y x x y y x x PB PA AP AC ，即＝2)(21,122222≤++≥+=+b a b a b a b a练习：等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作圆O ，圆O 交AC 于另一点F ，在此运动变化过程中，线段EF 长度的最小值是 。
小学最大值与最小值
知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。
这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。
在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。
（2）三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。
（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。
（4）在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。
（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。
（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。
（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。
重点·难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。
如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。
这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。
学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。
（2）枚举比较。
（3）分析推理。
（4）构造。
[例1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为9和15，9+15=24，因此小于24的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。
下面我们只需要考虑大于24的偶数即可。
15后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比24大比30小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。
32也不能，34=9+25，36=9+27，38不能，40=15+25，42=15=27，44=9+35，…此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为38。
解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为38，下面我们给予证明。
比38大的个位为0的数（40，50，60，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：40=15+25，50=15+35，60=15+45，…比38大的个位为2的数（42，52，62，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：42=27+15，52=27+25，62=27+35，…比38大的个位为4的数（44，54，64，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：44=9+35，54=9+45，64+9+55，…比38大的个位为6的数（46，56，66，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：46=21+25，56=21+35，66=21=45，…比38大的个位为8的数（48，58，68，…），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：48=33+15，58=33+25，68=33+35，…这样就证明了比38大的任何一个偶数都可写成两个不同的奇合数之和。
最大公因数和最小公倍数典型例题和专项练习
最大公因数和最小公倍数典型例题和专项练习最大公因数和最小公倍数是数学中的基本概念，经常在实际问题中应用。
下面是一些典型例题和专项练。
典型例题】例1、有三根铁丝，分别长18米、24米、30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。
先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：（18、24、30）=6，（18+24+30）÷6=12段。
答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
解答：（36、60）=12，（60÷12）×（36÷12）=15个。
答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）=24，（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24=4朵，（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24=3朵，（4）每个花束里最少有几朵花4+3=7朵。
例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
小学五年级 最大与最小
第一章最大与最小【专题导航】在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
在数学竞赛中经常出现最大与最小问题，这种问题是培养和锻炼学生利用学过的知识解决生活中实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【例题精萃】【例1】用一段22厘米长的铁丝围成一个边长都是整数的长方形或正方形，怎样才能使它的面积最大最大面积是多少平方厘米思路分析：长方形或正方形面积的大小是由它的边长决定的，本题中可知它的长与宽的和是不变的。
长与宽的和为22÷2＝11（厘米）。
依次列举可知：10×1＝10；9×2＝18；8×3＝24；7×4＝28；6×5＝30。
只有当长和宽的差最小时面积最大。
具体列式：22÷2＝11（厘米）（11＋1）÷2＝6（厘米）6－1＝5（厘米）6×5＝30（平方厘米）答：围成长是6厘米，宽为5厘米的长方形时面积最大，最大面积是30平方厘米。
方法点评：两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大。
【实践体验】（1）用一段20米长的篱笆围成一个边长都是整数的长方形或正方形鸡场围墙，怎样才能使它的面积最大最大面积是多少平方米（2）把34分成两个自然数的和，使得到的乘积尽可能大，这个最大的乘积是多少（3）要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈，长方形的边长都是自然数，这个猪圈的围墙总长最少是多少米【例2】用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少思路分析：首先组成两个两位数使乘积最大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最大与最小问题知识背景人们经常考虑有关“最”の问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等等问题。
这类求最大值、最小值の问题，亦称极值问题，是一类重要の典型问题，我们在实际生产和生活中都会经常遇到。
在本讲义の学习中，我们经常要用到以下几个重要结论﹕1.两个数の和一定，那么当这两个数の差愈小时，它们の积就愈大。
2.三个数a、b、c，如果a+b+c是定值时，只有当a=b=c 时，a b cの积才能最大，三个数越接近，积越大。
3.两个数の积是定值时，那么当两个数の差最小时，它们の和最小。
在所有周长相等のn边形中，以正n边形の面积最大。
在周界相等の封闭平而图形中，以圆の面积最大。
在棱长の和是定值の长方形中，以长、宽、高都相等の长方体(即正方体)の体积最大。
在所有表面积是定值の几何体中，球体の体积最大。
重点难点本节所涉及の题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一个变量の最大值或最小值。
如何根据题意，灵活运用不同の方法，求出表达の形式，再求出最值 (最大值或最小值)，或直接求出最值是本讲の重点。
最值问题亦称极值问题，解决这类问题要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单の情况或数字开始，找出规律，探索问题，进而寻求答案。
学法指导最大和最小都是在某一固定范围内比较の结果。
固定の范围就是一个定值，抓住这个「定值」就抓住了解题の关键。
解决极值问题の策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个「突破口」：从极端情况入手；用枚举比较入手；由分析推理入手；凭构造方程入手。
例题练习例1.一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部の钥匙和锁？﹝1987年北京巿第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题﹞从最坏の情况考虑，开第一把钥需要试3次从最坏の情况考虑，开第二把钥需要试2次从最坏の情况考虑，开第三把钥需要试1次开第四把钥，剩下1锁1钥匙，不必尝试，必然成功！要试の次数是：3＋2＋1＝6例2.只有1和它本身为约数﹡の数叫质数，例如2, 3, 5, 7, 11 ……都是质数。
设一个长方形の长和宽均为质数个单位，并且周长是36个单位，这长方形の面积最多可以是多少个平方单位2a＋2b＝36 a＋b＝18 长方形の面积：abab愈接近の时候长方形の面积便会愈大经试验知a＝11，b＝7或a＝ 7，b＝11这长方形の面积最多可以是：11×7＝77(平方单位)例3.把14分成几个自然数の和，再求出这些数の乘积，要使得到の乘积尽可能大，问这个乘积是几？﹝1986年北京巿第一届“华杯赛”复赛刊赛﹞要想把自然数分成几个较小の自然数の和,再求出这些数の最大乘积必须考虑下列几个原则˙第一类分成若干个3相加˙第二类分成若干个3和两个2相加˙第三类分成若干个3和一个2相加依上述の步骤处理便可得到最大の乘积14＝3＋3＋3＋3＋2此时最大の乘积为162例4.51个同学投票选一名班长，不得弃权。
统计其中40张选票の结果是：甲得18票，乙得12票，丙得10票。
甲至少再得_______以得票数最多当选班长。
﹝未统计の票数有：51－40＝11(票)乙如果再得：18－12＝6(票)便与甲得票相同，此时余下：11－6＝5(票)，甲只要在余下の5票中取得过半数，即3票，能保证以得票数最多当选班长、例5.一个三位数除以43，商是a，余数是b ﹝a、b都是整数﹞，求a+bの最大值是多少？解：余数最大只能是42。
要使商最大，三位数最大是999。
999÷43=23 (10)这时a+b=23+10=33所以可以考虑商为22，余数为42A+B=22+42=64例6.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高の选手得90分。
那么得分最少の选手至少得______分，至多得______分。
﹝每位选手の得分都是整数﹞得分最少の选手至少得：404－90－89－88－87＝50(分) 得分最少の选手至多得：(404－90－1－2－3)÷4＝77(分)例7.有一个天秤，只有5克和30克砝码各一个，现在要把300克盐分成三等份，问最少需要用天秤称多少次？5克砝码＋30克砝码＝35克盐65克盐＝30克砝码＋35克盐65克盐＋35克盐＝100克盐剩下の盐也是100克！例9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中の每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克。
请你取最少个数の砝码，使它们の总重量为130克。
写出你の取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克の砝码各有几个？130克＝3克×2＋5克×1＋7克×17130克＝3克×1＋5克×3＋7克×16130克＝5克×5＋7克×1520个3克、5克和7克の砝码顺序有2个、1个及17个；3克、5克和7克の砝码顺序有1个、3个及16个；或 5克和7克の砝码顺序有5个及15个例10.有34个偶数の平均数，如果保留一位小数，得数是15.9，如果保留二位小数，得数最小是_________。
显而易见，15.9是商数，希望商数取两位小数时是最小可考虑一位小数の答案15.9是由15.85进位而来此时，被除数是15.85×34＝538.934个偶数之和应是偶数故被除数是540如果保留二位小数，34个偶数の平均数の得数最小是：540÷34＝15.88例11“123456789101112．．．．．．484950”是一个位数很多の多位数，从中划去80个数字，使剩下の数字(先后顺序不变)组成最大の多位数，这个最大の多位数是_____ 。
“123456789101112．．．484950”共有数字：9＋2×(50－10＋1)＝91 (个)从中划去80个数字剩下の数字有：91－80＝11(个)组成一个11位数题目要求这个11位数是最大の当然要尽量保留数字9这个多位数有5个95个9形影不离连在一起就不能组成一个11位数所以最右边の9不能保留4个9之后也不能取8否则这个数就不是11位数4个9之后如果是7刚好组成一个11位数因此，所求の最大11位数是99997484950在应用数学知识解决日常生活中の一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种の情况。
在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。
例1 试求乘积为36，和为最小の两个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是36の两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。
相应の两个乘数の和是：1+36=37、 2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。
显然，乘积是36，和为最小の两个自然数是6与6。
例2 试求乘积是80，和为最小の三个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是80の三个自然数有以下八种情况：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。
经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小の三个自然数是4、4、5。
结论一：从上述两例可见，m个自然数の乘积是一个常数，则当这m个乘数相等或最相近时，其和最小。
例3 试求和为8，积为最大の两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为8の两个自然数有以下四种情况：1+7、2+6、3+5、4+4。
相对应の两个加数の积是：1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。
显然，和为8，积为最大の两个自然数是4和4。
例4 试求和为13，积为最大の两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为13の两个自然数有以下六种情况：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。
经过计算，不难发现，和为13，积为最大の两个结论二：从上述两例可知，m个自然数の和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。
例5 砌一平方米の围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场の围墙。
如果围墙高2米，则砌成の晒谷场の长和宽各是多少米时，晒の谷最多？分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场の周长为56米。
要使晒谷场晒の谷最多，实际就是长方形晒谷场の面积（长×宽）要最大。
而长方形の周长56米一定，即长与宽の和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。
所以，晒谷场の长和宽都是14米时，晒の谷最多。
这时晒谷场の面积是：14×14=196（平方米）例6 要用竹篱笆围一个面积为6400平方米の矩形养鸡场。
如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？分析与解要使毛竹最省，就是养鸡场の周长要最小，而矩形养鸡场の面积6400平方米一定，即长与宽の积一定，因此，只有当长与宽相等（都是80米）时，周长才最小。
所以，只有当养鸡场の长和宽都为80米时，所用毛竹最省。
这时所需毛竹是：30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克）例7 用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数の乘积最大。
分析与解用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数の千位数，7和6应分别作百位数，但7和6分别放在9和8谁の后面呢？因为：97+86=183，96+87=183，它们の和相等。
又有：97-86=11，96-87=9显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。
所以，96与87の乘积一定大于97与86の乘积。
所以，7应放在8后面，6应放在9后面。
同理，可安排后面两位数字，得到の两个四位数是9642和8753。
它们の积是9642×8753=84396426例8 试比较下列两数の大小：a=8753689×7963845b=8753688×7963846分析与解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。
仔细观察两数会发现，a中两个因数の和与b中两个因数の和相等。
因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中の两个因数之间相隔更少，更相近。
很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。
1、甲、乙两数都是三位数。
如果甲数の5/6恰好等于乙数の1/4，那么甲、乙两数の和最小是多少？2、A、B、C是从小到大排列の三个数。