解析几何大题带答案
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三、解答题
26.（18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1
242
2=+y x 的顶点，过坐
标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，
连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--=
=N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为
)
22
,1(-
-，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐
标
原点，所以
.22122
=--
=
k （2）直线PA 的方程2221,
42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得
).
34
,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),
0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234
0=--=++
y x AB 的方程为故直线
.
32
21
1|
32
3432|,21=+--=d 因此
（3）解法一：
将直线PA 的方程kx y =代入
22221,421212x y x k k
μ+==++解得记
则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--
故直线AB 的斜率为,20k
k =++μ
μμ 其方程为
,0)23(2)2(),(222222=+--+-=
k x k x k x k
y μμμ代入椭圆方程得
解得
223
2
2
2(32)
(32)(
,
)
222k k k x x B k k k μμμμ++=
=-+++或因此.
于是直线PB 的斜率
.1)
2(23)
2(2)23(22
2232
22
3
1k k k k k k k k k
k
k k -=+-++-=
++-+=
μμμ
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二：
设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.
设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以
.
2
2)()(0111112k
x y x x y k ==---=
从而
1
)
()
(212112*********+----⋅--⋅
=+=+x x y y x x y y k k k k
.044)2(1222
1
222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 28.
（理19）
已知椭圆2
2:14x G y +=.过点（m,0）作圆
22
1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将
AB
表示为m 的函数，并求
AB
的最大值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a
所以
.
322--=b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-
离心率为
.23==
a c e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .
当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23
,1(),23,
1(-
此时3||=
AB
当m=－1时，同理可得3||=
AB
当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=
由0448)41(.14),
(222222
2
=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则
2222122214144,418k m k x x k m
k x x +-=
+=+
又由l 与圆.
1,11
||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以
2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]
41)
44(4)41(64)[1(2222242
k m k k m k k +--++=2
.3
||342
+=
m m
由于当3±=m 时，,3||=AB
所以
),1[]1,(,3
|
|34||2
+∞--∞∈+=
m m m AB .