二次函数的图像及性质6

6
5
y 2x2 1
4
3
2
（0，1）
y 2x
2
1
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同， 但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0， 0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图 象向上平移一个单位得到的。
（0，1）
2
y 2x
2
1
x y=2x2
… –1.5 –1 –0.5 0 0.5 … 4.5 5.5 2 3 0.5 1.5
7
1 2 3
1.5 4.5 5.5
… … …
0 0.5 1 1.5
y=2x2+1 …
问题1：当自变量x取 同一数值时，这两个 函数的函数值之间有 什么关系?反映在图 象上，相应的两个点 之间的位置又有什么 关系?
x的增大而增大；当x ＞0 时，函数值y随x的 增大而减小；当x =0 时，函数取得最 大 值, 为 1 。
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )
且x1＜x2＜0，则y1
2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数: 1 2 1 1 2 2 y x y ( x 2) y ( x 2) 2 2 2 观察三条抛物线的相互关系,并分别指 出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6 5
y
1 x 2 2 2
4
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
3
2
7 6
y 2x2 1
5
4
3
2
y 2x2
1
在同一直角坐标系中 画出函数 y 1 x 2 3 1 2 y1 x 2 3 1 2 y2 x 2 3 的图像
5 4 3 （0，2） 2 1
y
a＜0
x
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 –1 1 2 y x 2 （ 0 ， -2 ） 2 –2 3 1 2 –3 y1 x 2 3 1 2 –4 y x 3 –5
向上 ，顶点是抛物线的最______ 低 点，a 当a>0时，抛物线的开口______
越大，抛物线的开口越_______ 小 ； 向下 顶点是抛物线的最________ 高 当a<0时，抛物线的开口_______, 点， 大 ． a越大，抛物线的开口越_________
练习：
函数 y ( 2 x)2的图象是
1 2 y (1)抛物线 y ( x 1) 与 y ( x 1) 2 2 的开口方向、对称轴、顶点?
1 2 y ( x 1) 2
1 2 1 2 抛物线 y ( x 1) y 2 ( x 1) 与 2
· · －2 ·
2
y 2 x
· · · －8
－2 －0.5
0
－0.5 －2 －4.5 －8
－4 对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－2 －2 －4 －6 －8
2
4
1 y x2 2
y x2
y 2 x 2
原点． y轴 ，顶点是______ 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_____
1 2 抛物线 y x 2
1
y
有什么关系?
1 y ( x 1) 2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 1 -2 y ( x 1) 2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1 2 y x 2
1 2 y x 2 1 2 y x 2
x y=2x2
… –1.5 –1 –0.5 0 0.5 … 4.5 5.5 2 3 0.5 1.5
7
1 2 3
1.5 4.5 5.5
… … …
0 0.5 1 1.5
y=2x2+1 …
（1）二次函数 y=2x² ＋1 的图 象与二次函数 y=2x² 的图象有 什么关系？
6
5
y 2x2 1
4
3
7
6
y 2x2 1
5
4
3
2
y 2x2
1
你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质 吗? 完成填空： 当x______ ﹤0 时，函数值y随x的增大而减小；当x______ ﹥0 时， 函数值y随x的增大而增大，当x______ =0 时，函数取得最 1 ． ______ 值，最______ 小 小 值y＝______ 以上就是函数y＝2x2＋1的性质。
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是最低点
3. y=a(x-h)2的函数图像
1 1 2 2 y ( x 1) y ( x 1) 画出二次函数 2 2 、 的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和 顶点.
对称轴是 ，开口方向是 .
，顶点坐标是
，
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
y＝ax
2
向上 向下
y轴 y轴
(0，0) (0，0)
|a|越大开口越小， |a|越小开口越 大。
反馈测试
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是 . 2 2. 抛物线 y= - 1 x 的开口方向是 对称轴是
4
，顶点坐标是 ，顶点坐标是
，对 ，
称轴是
. .
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口 方向相反，则a=
2. y=ax2 +k 的函数图像
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数 y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐 标是否相同?它们有什么关系？我们应该 采取什么方法来研究这个问题？ 画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
x
· · · －4
－3 －4.5 －1.5 －4.5
－2
－1
0
1
2
3
4
· · · · · · · · · · · ·
· · 1 · －8 y x2 2 x
－2 －0.5 0 －1 －0.5
－0.5 －2 0 0.5 1
－4.5 －8 1.5 2
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次 项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。 （5）函数的右边是一个 整 式。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
当b＝0时，
y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
二次函数的图像 及性质

复习回顾二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。 注意：
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
向上
y轴
y轴
(0，k) (0，k)
向下
|a|越大开口越小，反之开口越大。
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 2 1 2 到抛物线 y x 2 ，再向上平移3个单位， 2 1 2 可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y随
1、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条 直线。 当 k>0 时，y随x的增大而增大； 当 k<0 时，y随x的增大而减小。
2、反比例函数的图像有何特征？
反比例函数的图像是 双曲线 ，共有 两 支，且 关于 原点 对称。 当 k>0 时，图像在 一、三 象限，在每个象限 内y随x的增大而减小； 当 k<0 时，图像在 二、四象限，在每个象限 内y随x的增大而 增大 。
y2(填“＜”或“＞”)
1 2 5.已知抛物线 y x ，把它向下平移，得到的 2 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， 若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下 平移几个单位？
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
图象
k>0
a>0
a<0
k<0
k>0
k<0
开口 对称性 顶点 增减性
向左平移 1个单位 向右平移 1个单位
1 2 y ( x 1) 2 1 2 y ( x 1) 2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c