空间中的垂直

P
O A
说明:
1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°
2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平 面所成的角为0 °
直线和平面所成角的取值范围为
[0°,90°]
例1 在空间四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA，E是BD的中点
(1)求证： BD ⊥面AEC. (2)求证： AC⊥BD. A
D
E
C
B
例2、如图,点P是平行四边形ABCD所在平
面外一点,O是对角线AC与BD的交点,且 PA=PC, PB=PD。
求证：PO 平面ABCD
练习1、在正方体AC1中，
求证：BD⊥平面ACC1A1
D1
C1
A1
B1
D A
C
O
B
例5.
2a
2a
2a
练习2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
P
F
A
D
E
B
C
例4、如图,底面是ABCD是矩形,PA⊥平面 ABCD,E、F分别是AB、PD的中点，又知
二面角P-CD-B为450，
（1）求证：AF//平面PEC； （2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
P
F
A
E B
D
C
练习二:
如图所示，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，
侧面 SDC 底面 ABCD ，且 AB 2 ， SC SD 2 .
(3)平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
面面垂直 线面垂直
} ⊥β
∩β=l
AB
AB⊥l ,
AB⊥β
A
β lB
要记得是我 哦！！！
例1、如图示,AB是圆O的直径,PA垂直于
圆O所在平面,C是圆周上不同于A、B的任 意一点,(1)求证：平面PAC⊥平面PBC
符号表示： l⊥ , n⊂ l⊥n
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：a⊥ , b⊥ a // b a
b
4.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线
2.斜足 斜线和平面相交的交点
3.斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平
面引垂线,过垂足和斜足的直线
平面的斜线和它在平面 内的射影所成的锐角,叫 做直线和平面所成的角
(1)求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D； (2)若在棱DD1上有一点P，使BD1∥平面PMN，
求线段DP与PD1的比．
（2010广东文数）18.（本小题满分14分）
如图4，弧AEC 是半径为 a 的半圆，AC 为直径，
点E为弧AC的中点，点B 和点 C 为线段 AD 的 三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,
FB= 5a
（1）证明：EB FD
（2）求点B到平面FED的距离.
5．（2010年广东省高三一模）（本小题满分14分）
如图，正方形 ABCD所在平面与三角形 CDE所在
平面相交于 CD，AE 平面 CDE ，且 AE 3 ，
AB 6 ．
（1）求证：AB 平面 ADE ；
PD 平面 ABCD ，EC // PD，且 PD 2EC 。
（1）求证：BE//平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN 平面PDB 。
N O
7.已知 PA、PB、PC两两垂直， H为P在平面ABC内的射影
(1)求证：AH⊥BC
(2)H是△ABC的 垂 心。 B
P A
H
8.已知 PA=PB=PC，O为P 在平面ABC内的射影
求证：A1C 平面BC1D. D1
A1
C1 B1
D A
C B
例6. 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面， M，N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°， 求证：MN⊥平面PCD.
（2010重庆文数)
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形， PA 底面 ABCD ，PA AB 2，点 E是棱PB 的中点.
求证：平面 SAD 平面 SBC .
S
D A
C B
例4. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中， AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E、 F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点， 求证：(1) 平面ABC⊥平面ABC1；
(2) FG⊥平面AB1C1.
练习．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB， BC的中点．
(1)求证：AO=CO
B
(2)O是△ABC的__外____心
C P
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A
D
C
(1) 定义 一般地，如果两个平面所成的二面角是
直二面角，我们就说这两个平面垂直．
β
(2)平面与平面垂直判定定理
l
如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线，那 么这两个平面垂直．
l ⊥
l
⊥
注: 定义和判定定理都可 以判定平面与平面的垂直.
P
A
OB
C
例2、已知∠ BSC=900,∠ BSA= ∠CSA=600
又SA=SB=SC，求证:平面ABC ⊥平面SBC
A
B
D
S
C
例3、如图,底面是ABCD是矩形,PA⊥平面 ABCD,E、F分别是AB、PD的中点，又知
PA=AD.
（1）求证：AF//平面PEC； （2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（Ⅰ）证明： AE 平面 PBC
5．（2010年广东省高三一模）（本小题满分14分）
如图，正方形 ABCD所在平面与三角形 CDE所在
平面相交于 CD，AE 平面 CDE ，且 AE 3 ，
AB 6 ．
（1）求证：AB 平面 ADE ；
（2）求凸多面体ABCDE 的体积．
B
A
C
E
D
6．（2010年揭阳市一模试题）（本题满分14分） 右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，
1.直线与平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的任意任一意条直线 都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂
直，记作：a⊥α.直线a 叫做平面α的垂
线，平面α叫做直线a的垂面．直线与平
面垂直时，它们惟一的公共点P 叫做垂
足.
m是平面内任一条直线
a
am
a
α P.
练习
判断正误： ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。
②若a⊥α,b α，b 则a⊥b。
a
α
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，则该直线与此平面垂直。
l⊥m，l⊥n
m∩n＝P
m⊂ ，n⊂
l⊥
l m P n
线不在多, 相交则灵
3. 直线和平面垂直的性质定理
（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直 则这条直线垂直于平面内的任意一条直线