【春季课程北师大版初三数学】第14讲：垂径定理及圆周角与圆心角的关系-学案

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垂径定理及圆周角和圆心角的关系

通过对本节课的学习，你能够：

●掌握垂径定理及推论

●掌握圆周角与圆心角的关系

适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域北师版区域

课时时长（分钟）

120

知识点 1.垂径定理及其推论2.圆周角定理及其推论学习目标 1.掌握垂径定理及推论2.掌握圆周角与圆心角的关系

学习重点能熟练掌握垂径定理及圆周角圆心角的关系学习难点

能熟练掌握垂径定理及圆周角圆心角的关系

垂径定理及圆周角和圆心角的关系是圆中最重要的内容之一，在中考试题中也常出现。在圆中可以融合三角形、四边形的相关知识，本节在圆这一章的教学中，地位非常重要。

1垂径定理及推论

示意图

垂径定理

推论

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．

如图,'AA 是⊙O 的弦,CD 是⊙O 的直径,'AA CD 于点M ,则

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．

如图,'AA 是⊙O 的弦,CD 是

M A AM '=,⌒AD =⌒

A `D ,⌒AC =⌒A `C ．

⊙O 的直径,CD AA <',

'AA 与CD 交于点M ,M A AM '

=,则

'AA CD ⊥,⌒AD =⌒A `D ,⌒

AC =⌒A `C ．

圆是图形,它有对称轴,每一条过的直线都是它的对称轴．

圆周角定理及其推论

示意图

圆周角的定义圆周角定理推论1推论2顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角．

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长也相等．

半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．

同一条弧所对的圆周角有

个．如上图,我们可以得到：∠AOB ＝

∠ACB ．

1

【题干】如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的(即圆心到地面的距离等于半径)，AB＝CD＝20cm，BD＝200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少．

2

【题干】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,他的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯道长一尺.问径几何？”

译为：“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸（ED=1寸）,锯道长一尺（AB=1尺=10寸）.问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示,请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（）

A.13寸

B.20寸

C.26寸

D.28寸

例题3

【题干】如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD .求证：AD ∥BC .

例题4

【题干】已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°．

（1）求EBC ∠的度数；（2）求证：BD CD =．

四、课堂运用

基础

1.如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是（

）A ．4cm

B ．6cm

C ．8cm

D ．10cm

2.如图，AB 是⊙的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（）

A .CM =DM

B . CB

BD C .∠ACD =∠ADC D .OM =MD

3.如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC =30°，则∠BOC 的大小是(

)

A 、60°

B 、45°

C 、30°

D 、15°

1.下列命题中正确的有（

）

①垂直于弦的直径平分这条弦；②与弦垂直的直线必过圆心；

③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；

④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．A .

1

个

B .

2

个

C .

3

个

D .

4

个

2.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若∠BCD =110°，则∠BAD 为（）

A ．140°

B ．110°

C ．90°

D ．70°

3.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆周角为．

1.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离

为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为

mm .

2.某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3m ，弓形的高EF ＝1m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在圆O 的半径．

3.如图所示，⊙O 的弦AB ，CD 的延长线相交于点M ，AD 与CB 交于点E .若AC ︵所对的圆心角为72°，BD ︵

所对的圆心角为18°，求∠M ＋∠AEC 的度数．

1.垂径定理及其推论

2.圆周角定理及其推论