固体物理第8章

具有牛顿第二定律的形式。
上式说明，在外场作用下， Bloch电子要得到一个加速度， 我们定义有效质量后，电子的 质量不再是它的惯性质量，此 时的力只包括外力而不包括周 期势场的作用。（周期势场的 作用已含在有效质量m*中）这 样我们就可用经典的牛顿定理 来处理问题。
现在我们看一看对简单的能 带在区边界处电子的有效质量， 在区边界处电子的能谱为：
8 −1
在外场作用下， 空穴由E到D运动 空穴由E 到D点，D位置是空轨道，在下一时刻， 点，D v 电子在电场力电子在电场力-e E（ 在-k方向）作用 下继续向- 方向运动，空穴运动到了C 下继续向-k方向运动，空穴运动到了C 点， 空穴在波矢空间中与电子的运动 方向是相同的，都向方向是相同的，都向-k方向运动。 但 是空穴的波矢都沿正k方向变化（∵ 是空穴的波矢都沿正k方向变化（∵在 v v 波矢空间 ke = −kh ）。 这个结论与空 穴所满足的运动方程是一致的。
第八章 能带Ⅱ 能带Ⅱ
§1.运动方程 1.运动方程 1．准经典近似 点阵的周期势场是在点阵常数的范围内 变化，这样的势场只能用量子力学来处理， 因为它是一个微观场，但对于外加的宏观 的电磁场，在波包范围内基本是恒定的， 因此对于宏观场而言，可把波包的运动看 作经典粒子的运动，而采用经典力学的方 法来处理。这就是准经典近似方法（或称 半经典极限，之所以称“ 半经典极限，之所以称“ 半”是因为对周 期场处理仍按量子力学的方法解决）。
§2.空穴 2.空穴 电子从一个能带跃迁到上一个能带 中去，在原能带中留下一个空轨道， 这个空轨道称为空穴，空穴是一个 几乎充满的能带中的空轨道，它是 在波矢空间的能带中的概念，不是 真实空间中失去电子后的空位，也 不是原子离开原位置后留下的空位 缺陷，在外加电磁场下，空穴的行 为犹如一个带电量为+e的粒子。 为犹如一个带电量为+e的粒子。
δε = −eEvδt
∂ε 又∵ δε = ( )δk ∂k (即电子能量的变化引起的波矢变化为 δ k) 1 ∂ε ∂ε 又 v= ( ) ( ) = hv
δε = −eEvδ t 比较 则 hδ k = −eEδt
h ∂k
和 = hvδκ δε eE 即δκ = − δt h
∂k
若 δt 足够小，则有：
r v eE k（t） k（O） t = − h
在外加电场下t 在外加电场下t时刻电子的速度 为: r eE vv vv v[k (t)] = v[k（） t] 0− h
在BZ边界上，电子由于受 BZ边界上，电子由于受 Blagg反射形成驻波，驻波的速 Blagg反射形成驻波，驻波的速 度为零，∴ BZ边界上电子的 度为零，∴在BZ边界上电子的 v 速度 v = 0 在一维情况下电 子的速度是有界函数 1 dε
电子的有效质量由电子的能带 曲线的曲率来定义：
（ 1 d εe ke） = 2 me dke
2
有效质量是波矢k 有效质量是波矢k的函数，由于 [空穴和电子的]能带曲线有中 空穴和电子的] 心反演对称性，这两条曲线的 曲率是大小相等符号相反的， 则可得到 mh = −me
〈 5 〉在外加电磁场中空穴的 运动方程如一个带电荷为+e的 运动方程如一个带电荷为+e的 粒子的运动方程：
~ 2 ~2 * ε（kh） h kh / 2mh =
也相当于一个自由粒子, 也相当于一个自由粒子,无论是电子或空穴 都可用自由粒子来处理, 都可用自由粒子来处理,只不过用有效质量 来表示, 来表示,只适用于区边界。
电子的晶体动量和电子的速度 之间有：
r *v hke = meve
上式只在区边界附近成立，因 dε 为 dk 随k是逐点变化的，只有在 区边界附近才近似线形关系。
~ h ~2 2λ ε（k） ε（±） = = k（ ± ） 1 2m u
λ为区边界上自由电子的动能，
2
U是周期势场的付里叶系数。
据有效质量的定义，看看在价 带边与导带边的表达形式，对 抛物线函数求二阶导数后：
~ 1 1 d ε（ ） 1 k 2λ = 2 1 ~2 = （ ± ） me h m u dk
1.空穴的性质 1.空穴的性质 〈1〉空穴的波矢是失去的哪个 电子波矢的负值，既一个能带 若失去了一个空轨道，称为空 穴，空穴的波矢
v v kh = −ke
空穴是描述失去了电子的能带的简捷方 法，一个充满的能带失去了电子就产生了 空轨道，空轨道的性质是与失去电子的能 带中的集体行为联系在一起的（即拿一个 电子，剩下2N电子，剩下2N-1个电子），也就是说失去 了一个电子的能带既可以用2N了一个电子的能带既可以用2N-1个电子的 集体行为来描写，也可以用一个空穴来描 写，空穴的行为是与2N写，空穴的行为是与2N-1个电子的集体行 为联系在一起的。空穴是假象的粒子，是 准离子，主要是为了处理问题方便而引入 的，空穴的性质由几乎充满的电子的集体 行为所决定。
v dk e v v = − 2 ∇k ε × B dt hc
从上式可看出在外加磁场下，Bloch 从上式可看出在外加磁场下，Bloch 电子在波矢空间的运动规律： v dk 垂直于电子等能面的梯度。因此波 dt v 矢 k 在电子的等能面上运动。 即在外 v 加磁场 B下电子的能量是不变的。 同v v v dk 时， dt 又垂直于 B，说明在波矢空间 k v 的运动方向与磁场方向是垂直的。 在 k v 与 B垂直的平面上运动。 电子既要在 v 等能面上运动，又要在垂直于 B的平面 上运动， 则只能沿这两个面的交线运 动。
代入上式可得：
∂2ε dv 1 = 2 2 F ∂k dt h
或
h dv F= 2 × ∂ε dt （ 2） ∂k
2
我们定义: 我们定义:
h = m* ∂ε （ 2） ∂k
2 2
叫作电子的有效质量,于是: 叫作电子的有效质量,于是:
dv F = m* = m*a dt
考虑Bloch电子在外加磁场 考虑Bloch电子在外加磁场 运动规律：
v ev v F = − v ×B c
v 1 v v = ∇k ε h
v B下
v hdk ev v = − v ×B dt c
∂ε ˆ ∂ε ˆ ∂ε ˆ v ∇k ε = kx + ky + kz ∂κ x ∂ky ∂kz
Bloch电子的 Bloch电子的 ε (k) 函数的形式 与自由电子不同（自由电子等 能面是球面）。但在能带的极 值附近，可以近似展开成球面。 一般说来 ε (k) 决定于等能面的 形状，而等能面的梯度决定了 电子在波矢空间的速度：
这主要是我们没有考虑电子的各 种散射，电子在运动过程中要与声子、 晶体中的杂质等发生碰撞，这种碰撞 使得把从电场中得到的定向运动的能 v 量耗散掉使得电子在波矢空间中 k 并不是随t 并不是随t的改变而线性增大。而在 波矢空间中只运动一个很小的距离就 停止了。也就是说电子从电场获得的 能量与碰撞耗散的能量相等时就不动 了。
引入m*后 引入m*后, ε (k) 函数在区边界附近可写成: 函数在区边界附近可写成: 对于导带中的电子: 对于导带中的电子:
~ 2 ~2 ·* ε（ke） h ke / 2me + Eg =
(能量的零点取在价带边上) 能量的零点取在价带边上) 相当于一个自由电子的能谱。 对于价带中的空穴: 对于价带中的空穴:
电子或空穴在外电场下的电流: 电子或空穴在外电场下的电流:
v v Je = −neve
v v Jh = Pevh
v=
不象自由电子是线性函数
h dk
v v hk = mv
一般情况下，对电流有贡献的 不是电子的波矢变化，而是电子的 v 速度变化，若 E 恒定，电子的k 恒定，电子的k 是随时间t 是随时间t线性增加，而电子的速 度是周期性变化的。那么在恒定电 v 场下Bloch电子对电场响应应当是 场下Bloch电子对电场响应应当是 k 交流的，这个结果显然是错误的。
dk h = −eE = F dt v v v 三维时： dk h = −eE = F dt
上式表明了电子在波矢空间的 运动规律。从式中可看到：电 运动规律。从式中可看到：电 子晶体动量的变化率仅决定于 外力，而与周期势场无关。
1 ∂ε v= h ∂κ （真实空间中的运动规律） v dk v h =F dt （波矢空间中的运动规律）
2.运动方程 2.运动方程 主要考虑Bloch电子在外加电磁场下的 主要考虑Bloch电子在外加电磁场下的 运动规律。 Bloch电子的速度是Bloch波包的 Bloch电子的速度是Bloch波包的 1 ∂ε 群速度 v=
h ∂k
三维时：
1 v v v = ∇k ε (k ) h
v 若外加电场为 E，则外场对Bloch电子要作 ，则外场对Bloch电子要作 功，在 δ t时间内，电子的能量增加为：
同样空穴的晶体动量与空穴速 度之间也有：
v ∗v hkh = mhvh
引入有效质量后，与自由电子 的关系就相同了。
运动方程可写成： v v dve * me = −eE dt
或
v v dvh * mh = eE dt
引入电子或空穴的驰豫时间， 则电子或空穴在外场下的平均 漂移速度为： v eE v ve = − * τe me v eE v vh = − * τh mh
〈2〉空穴的能量
ε（kh） −εe ke） = （ h
即空穴的能量等于失去的那个 电子的能量的负值。
〈3〉空穴的速度
v v vh = ve
即空穴的速度与失去了的那个 电子的速度相同。
〈4〉空穴的有效质量
mh = −me
即空穴的有效质量等于失去了 的那个电子的有效质量的负值。 的那个电子的有效质量的负值。
2
Hale Waihona Puke Baidu
对于价带： 1 1 2λ = （+ ） 1 me m u 对于导带： 1 1 2λ = （− ） 1 me m u 一般情况下 ~ K ~ k， u < 0, λ» | U | 对于导带边的电子的有效质量m*< 对于导带边的电子的有效质量m*<0 对于价带边的电子的有效质量m*> 对于价带边的电子的有效质量m*>0
v v 1v v hdkh = e（E + vh × B） dt c
2.电子和空穴在恒定电场下的半经 2.电子和空穴在恒定电场下的半经 典运动 在外加恒定电场下，电子的波矢的 v v 改变满足方程式： dk
h dt = −eE
在恒定电场中，电子的速度以均匀 速度变化，若t=0时刻开始加电场， 速度变化，若t=0时刻开始加电场， 则在时刻t 则在时刻t电子的波矢为 v
半导体的价带是几乎充满的， 我们用空穴来处理较方便，而 导带中只有少数电子，通常直 接用电子图象。半导体的总电 流是指价带中的空穴电流加上 导的电子电流，但这是对两个 能带来讲的。
§3.有效质量 3.有效质量 1.有效质量的定义 1.有效质量的定义 一维情况下，v = 1 dε
，电子在
h dk
外场作用下得到的加速度为： 2 dv 1 d ε dk = 2 dt h dk dt 而由运动方程可知： dk = F 或 h dk = F dt h dt
根据 则
1 1 2λ = （± ） 1 me m u
2λ |me| / m =1/ | 1± me| | u
U在禁带宽度的数量级 u ~ Eg 而
2λ / u》 1
Eg
∴|me|/m～ |me|/m～
λ
对一般半导体Eg～0.2～ 对一般半导体Eg～0.2～2ev, 而 λ λ在20ev左右。 20ev左右。 Eg 则|me|/m ～ me| ～0.1～0.01 0.1～ λ 的范围。 ∴电子的有效质量只是惯性质量 的0.1～0.01。 0.1～0.01。
例如 ： E =102V / m
eEτ ~ 10−1cm−1 h
τ =10−14 sec
则 也就是说电子在外场下获得的波矢改 1 变为，而一个BZ的尺寸 变为，而一个BZ的尺寸 a ~10 cm ，即 10−9 。 电子的波矢改变仅为BZ尺度的 电子的波矢改变仅为BZ尺度的 换句话说，电子只能在波矢空间在原 波矢附近运动一个极小的距离。所以 观察不到周而复始的变化，因而电子 对外加恒定电场就不可能有周期性的 响应。