2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
（考试时间：2020年6月21日9:00—11:30）
一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分.）
1.已知集合{1=M ，2，…，}2020，对M 的任意非空子集A ，A λ为集合A 中最大数与最小数的和，则所有的这样的A λ的算术平均数是▲.
2.已知关于x 的方程2290bx x b ++-=有唯一实数解x a =，则a b +的值为▲.
3.已知复数z
满足3i 4+=z z ，则i -z 的最小值为▲.
4.设集合{1=M ，2，…，}2020，A M ⊆，且对集合A 中的任意元素x ，4x A ∉，则集合A 的元素个数的最大值为▲.
5.已知数列{}n a 的前两项分别是12=a ，24=a ，
设1+=-n n n b a a .若数列{}n b 是公差为1的等差数列，则=2020a ▲.
6.
之和是▲.7.设1θ、2θ为锐角，且20202020112018201822sin cos 1cos sin θθθθ+=，则12θθ+=▲.
8.已知点O 为坐标原点，曲线1C ：221x y -=和曲线2C ：22y px =相交于点M 、N .若
OMN △的外接圆经过点7,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则曲线2C 的方程为▲.
二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.（本小题满分15分）已知正整数m 、n 中有且仅有一个是3的倍数，设d 是222m n ++和223m n +的最大公约数.证明：d 不是平方数.
10.（本小题满分15分）已知()
333222330x y z xyz x y z xy yz zx ++--++---=，其中x 、y 、z 为不全相等的正实数.
证明：（1）3x y z ++=；（2）()()()2221116x y y z z x +++++>.
11.（本小题满分20分）如图，设点H 为ABC △内一点，点D 、E 、F 分别是AH 、BH 、CH 的延长线与BC 、CA 、AB 的交点，点G 为FE 的延长线与BC 的延长线的交点，点O 为DG 的中点，以O 为圆心、OD 为半径作圆交线段FE 于点P .求证：（1）BD BG DC GC =；（2）PB BD PC DC
=.12.
（本小题满分20分）空间中8个点，其中任意四点不共面，在这些点之间连接17条线段.证明：在这17条线段之中必存在3条线段，其长度a 、b 、c 满足不等式()()()222
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a b c p p a p b p c ++≥---2a b c p ++=.。