2016年南通市高考数学模拟试卷(五)含答案
2016届江苏省南通市高考模拟密卷数学试卷(一)
2016年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 设集合A = {1，m }，B = {2，3}，若A ∩B ={3}，则m = ▲ ． 2． 设a ∈R ，是虚数单位，若()()1a i i +-为纯虚数，则a = ▲ ． 3． 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ▲ ．4． 某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为 ▲ ．5． 在等差数列{}n a 中，13a =-，58115a a =，则前n 项和S n 的最小值为 ▲ ．6． 如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为 ▲ ． 7． 用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积 为 ▲ ．8． 不等式组100y a x y x y x +⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤，，，≥≥表示的平面区域的面积为2，则实数a 的值为 ▲ ．9． 已知函数)06πsin(2)(>+=ωωx x f ， 函数)(x f 的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则)(x f 的单调递增区间是 ▲ ．10． 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3， AD =2，E 为BC 中点，若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ▲ ．11． 已知1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，点P 在椭，则该椭圆离心率的取值范围为 ．12． 已知实数x ，y 满足ππ44x -≤≤，ππ44y -≤≤．若23sin 20x x ⋅+-=，9sin cos 10y y y +-=，则cos(2)x y -的值为 ▲ ．13． 若存在实数a 、b 使得直线1ax by +=与线段AB (其中(1,0)A ，(2,1)B )只有一个公共点，且不等式2222120()sin cos p a b θθ++≥对于任意(0,)2θπ∈成立，则正实数p 的取值范围为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P在圆22()2x a y -+=上运动．若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a 、b 、c ，已知5sin 13B =，且12BA BC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；（2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面DCC 1D 1是菱形，且平面DCC 1D 1⊥平面ABCD , ∠D 1DC=3π， E 是A 1D 的中点，F 是BD 1的中点.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）若M 是CD 的中点，求证：平面D 1AM ⊥平面ABCD ．17．（本小题满分14分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在MN上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路MP 与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．D 1C 1B 1A 1 DCBAMF E （第16题）PDQCN B AM18．（本小题满分16分）已知圆O ：x 2 + y 2 = 4，两个定点A (a ，2)，B (m ，1)，其中a ∈R ，m > 0.P 为圆O 上任意一点，且PAPB= k (k 为常数). （1）求A ，B 的坐标及常数k 的值；（2）过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2 + y 2 = m 交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数()321132f x x x kx =++,R k ∈,函数)(x f '为)(x f 的导函数.（1）数列{}n a 满足kn f a n -'=)(1,求54321a a a a a ++++；（2）数列{}n b 满足)(1n n b f b '=+,① 当41-=k 且11>b 时,证明：数列()1lg 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；② 当0=k ,>=b b 10时,证明：bbb ni i i111<∑=+. 20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x ln x －k (x －1)，k ∈R ．（1）当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；（2）若函数y ＝f (x )在区间(1，＋∞)上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得f (x )＋x ＞0在x ∈(1，＋∞)上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．PA BCD（第22题）Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，☉1O ，☉2O 交于两点P Q ，，直线AB 过点P ，与☉1O ，☉2O 分别交于点A B ，，直线CD 过点Q ，与☉1O ， ☉2O 分别交于点CD ，．求证：AC ∥BD ．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ cos θ －sin θ sin θ cos θ ( 0＜θ＜2π )所对应的变换， 再将所得曲线作矩阵B ＝⎣⎡⎦⎤1 00 k ( 0＜k＜1 )所对应的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －1 12 0 ，求k ，θ的值．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，过点)π4P，作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程． D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b 满足| a ＋b |≤2，求证：| a 2＋2a －b 2＋2b |≤4(|a |＋2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2，若DC →＝λAB →，且向量PC →与BD →夹角的余弦值为1515．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．1O2O AB PQDC23．（本小题满分10分）设()()n f n a b =+（*n ∈N ，2n ≥），若()f n 的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称()f n 具有性质P ．（1）求证：(7)f 具有性质P ；（2）若存在2015n ≤，使()f n 具有性质P ，求n 的最大值．2016年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.3． 2．1-． 3． 53． 4.23． 5.4-.6.54．【解析】7．.【解析】由题意知，圆锥母线l 长为2．设底面圆的半径为r ，则2πr =πl ，所以r =1，故高h．8． 52.【解析】作出如图所示的平面区域，得面积S =2211(1)222a a --=，解得a =52．9． Z π23ππ23π2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-k k k ，，.【解析】T=2π，1ω=，所以π()2sin()6f x x =+． 令πππ2π2π262k x k -+≤+≤+，解得x ∈Z π23ππ23π2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-k k k ，，． 10． -3. 【解析】以O 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设CD =x ，则→AB =（3，0），→AC =（x ，2）由→AB ·→AC = 3解得x =1．所以→AE =（2），→BC =（-2，2），所以→AE ·→BC =-311．.【解析】由已知得，12 1. 【解析】由9sin cos 10x y y +-=得223sin 220y y ⋅+-=．又因为32sin 20x x ⋅+-=，得223sin 23sin(2)x y x y ⋅+=⋅+， 令()23sin x f x x =⋅+，所以()2ln 33cos x f x x '=⋅+，当ππ22x -≤≤时，()0f x '>，则()f x 在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是单调增函数． 由于ππ44x -≤≤，ππ44y -≤≤，可得2x y =，即20x y -=，所以cos(2)1x y -=．13． p ≥1.【解析】因为直线1ax by +=与线段AB (其中(1,0)A ，(2,1)B )只有一个公共点，所以(1)(21)0a a b -+-≤，可知对应的区域为对顶区域，a 1y xO22a b +表示点(,)a b 与点(0,0)的距离的平方，222min 1()5a b +==， 22222211()(sin cos )sin cos sin cos p pθθθθθθ+=++ 22222sin cos 11(1cos sin p p p θθθθ=+++++=+≥由题意，22min 221(20()]sin cos p a b θθ++min )≥[，则2(1≥1205⋅=4， 所以p ≥1．14． 4a <-或1a >. 【解析】方法一：以MN 为直径的圆记为1C ，圆22()2x a y -+=记为2C ．由题意知圆1C 与圆2C 外离，且直线MN 与圆2C 无公共点．圆1C ，圆2C 外离⇔1212C C r r >+⇔>解得1a >-或1a <-；直线MN 与圆2C 无公共点0a >或4a <-．所以4a <-或1a -．方法二：设()P a θθ．由题意得0MP NP ⋅>，且点P 不在直线2y x =+上．0(2)())2)0MP NP a a θθθθ⋅>⇔+⋅++⋅->]2(22)(1)cos sin 0a a a θθ⇔++++->2(1)1)0a θϕ⇔++++>，必须2(1)10a ++->>，解得1a >-或1a <；点P 不在直线2y x =+上20a θθ⇔+≠⇔关于θ的方程π2sin()42a θ+-=无解⇔212a +>⇔0a >或4a <-．所以4a <-或1a >-． 二、解答题15．（1）由12BA BC ⋅=，则cos 12ac B =．…………………………………………… 2分故cos B >0．又5sin 13B =，所以cos B 1213=．……………………………… 4分故13ac =．所以ABC ∆的面积S 12=ac sin B 155132132=⨯⨯=．……………………………………… 7分（2）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ．在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，即()2222cos b a c ac ac B =+--．………… 10分 所以()22222cos b b ac ac B =--．（*） 由（1）得，13ac =，cos B 1213=，代入（*）得()2212221321313b b =-⨯-⨯⨯，… 12分故b 2503=，b =． (14)分16．（1）连接AD 1，因为在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ADD 1A 1是平行四边形， 又因为E 是A 1D 的中点，所以E 是AD 1的中点，…………………2分 因为F 是BD 1的中点，所以EF ∥AB , …………………………4分 又因为AB ⊂平面ABCD ,EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD . …………………………7分 （2） 连接D 1C ,在菱形DCC 1D 1中，因为∠D 1DC=60°，所以△D 1DC 是等边三角形，因为M 是DC 的中点， 所以D 1M ⊥DC ， …………………………9分又因为平面DCC 1D 1⊥平面ABCD , D 1M ⊂平面DCC 1D 1, 平面DCC 1D 1⋂平面ABCD =DC ， 所以D 1M ⊥平面ABCD , …………………………12分 又因为D 1M ⊂平面D 1AM ， 所以平面D 1AM ⊥平面ABCD. …………………………14分17．连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q设1PBP θ∠=()2π03θ<<，2π3MP θ=- …………………………2分若20πθ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==， 若,2πθ=则11sin cos PP BP θθ==， 若，322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP2cos PQ θθ∴=- …………………………4分在1Rt QBQ ∆中，111sin CQ QQ PP CQ θθθ====，，2DQ θ= …………………………6分所以总路径长，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f …………………………8分1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf …………………………10分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2π23θ<< 时，()'0f θ> …………………………12分所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. …………………………14分 18．（1）设点P (x ，y )，x 2 + y 2 = 4，PA =(x - a )2 + (y - 2)2，PB =(x - m )2 + (y - 1)2，因为PAPB = k ，所以(x - a )2 + (y - 2)2 = k 2[(x - m )2 + (y - 1)2]，又x 2 + y 2 = 4，化简得2ax + 4y - a 2 - 8 = k 2(2mx + 2y - m 2 - 5)， (3)分因为P为圆O上任意一点，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==)5(8242222222m k a kmk a ， …………………………5分 又m > 0，k > 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k = 2a = 2m = 1，所以A (2，2)，B (1，1)，k = 2． (8)分（2）法一：设过E 的切线与圆C 交于切点F ，E F 2 = EM ·EN ， …………………………10分又M 是线段NE 的中点，所以EN = 2MN ，EM = MN ，所以EF 2 = 2MN 2， 又EF2= EO2– OF2= 22+ t2– 1 = t2+3， …………………………13分MN ≤ 2，t 2 + 3 ≤ 8，所以t ∈[-5，5]． …………………………16分法二：设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0 – 2，2y 0 – t )，又MN 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x 02+ y 02= 1(2x 0 -2)2 + (2y 0 - t )2= 1有解， …………………………10分化简得⎩⎨⎧x 02+ y 02= 18x 0 + 4t y 0 - t 2- 7 = 0有解， 即直线n ：8x + 4t y - t 2 - 7 = 0与圆C ：x 2 + y 2 = 1有交点，则d o -n = |t 2 + 7|64 + 16t 2≤1， …………………………14分化简得t 4 – 2t 2 – 15 ≤0，解得t ∈[-5，5]． …………………………16分19． (1) 因为 2()f x x x k '=++，所以2()f n n n k '=++. ………………2分 故21111(1)1n a n n n n n n ===-+++， ………………4分因此12515166a a a +++=-= . ………………6分(2) ① 因为 11,41>-=b k ,()221111422n n b b b b n n +=+-=+-,所以()211122n b b n ++=+. (8)分又因为1102b +>，所以()()()21111lg lg 2lg 222n n n b b b ++=+=+.因为11lg 221lg 2n n b b +⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭且()11lg 02b +≠， 所以数列()1lg 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列. ………………10分② 因为10b b =>，1()n n b f b +=，所以21()n n n n b f b b b +'==+； 可得21n n n b b b +=-； ………………12分故211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 所以11111ni i i n b b b b =++=-∑ ………………14分 因为210n n n b b b +=->，所以1110n n n b b b b b +->>>>=>．所以bbb ni i i111<∑=+ ………………16分 20．（1）当1k =时，()ln 1f x x x x =-+，()ln f x x '=． …………………………………………1分令()0f x '>，解得1x >， 令()0f x '<，解得01x <<， ∴()f x 的单调增区间为()1+∞，，单调减区间为()01，． ……………………3分 （2）()ln 1f x x k '=+-，当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，所以，()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断， 又(1)0f =，∴当1x >时，()(1)0f x f >=， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意． ………………………5分当1k >时，由()0f x '=，解得11k x e -=>，若11k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()11,k e -上是单调减函数， 若1k x e ->，则()0f x '>，故()f x 在()1,k e -+∞上是单调增函数， ∴当11k x e -<<时，()(1)0f x f <=，又∵()()10k k k f e ke k e k =--=>，()f x 在()1+∞，上的图象不间断， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意． ……………………7分综上所述，k的取值范围为()1+∞，． ………………………………………8分 （3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，则由1x >知10x ->，从而ln 1x x x k x +<-对1x >恒成立（*） ……………9分记ln ()1x x xg x x +=-，得22ln ()(1)x x g x x --'=-， ……………………………10分 设()2ln h x x x =--，11()10x h x x x-'=-=>，∴()h x 在()1+∞，是单调增函数， 又(3)1ln 30(4)2ln 40()h h h x =-<=->，，在[3,4]上图象是不间断的， ∴存在唯一的实数0(34)x ∈，，使得0()0h x =， ……………………12分∴当01x x <<时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上递减， 当0x x >时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0(,)x +∞上递增， ∴当0x x =时，()g x 有极小值，即为最小值，00000ln ()1x x x g x x +=-，…………………14分又000()2ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴00()g x x =， 由（*）知，0k x <，又0(3,4)x ∈，*N k ∈，∴k 的最大值为3，即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，上恒成立． ………………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠，…………………3分 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠， …6分 所以A PBD ∠=∠，…………………8分 所以AC ∥BD ． …………………10分B ．依题意，BA ＝⎣⎡⎦⎤1 00 k ⎣⎡⎦⎤cos θ －sin θsin θ cos θ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， ………………………… 5分 1O2O AB PQDC从而⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0－sin θ＝－1，k sinθ＝12，k cosθ＝0．因为0＜θ＜2π，所以⎩⎨⎧θ＝π2 ，k ＝12．…………………………………………………… 10分C ．曲线2cos ρθ=的普通方程为22(1)1x y -+=， ………………………………2分点)π4P，的直角坐标为(1,1)， ……………………………………………4分 所以点P 在圆上，又因为圆心(10)，． …………………………………………6分 故过点P 的切线为1y =， ………………………………………………………8分 所以所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=． ………………………………10分D ．因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2) ≤4(|a |＋2)．……………………………………10分22．依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz （如图），则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， 因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……………………………………2分（1）PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2，0)，则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0，（第22题）即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …………………………………… 8分又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……………………………………10分23．（1）(7)f 的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别 为177C =，2721C =，3735C =，因为1327772C C C +=，即123777C C C ，，成等差数列，所以(7)f 具有性质P ． (4)分（2）设()f n 具有性质P ，则存在*k ∈N ，11k n -≤≤，使11k k k n n n C C C -+，，成等差数列， 所以11+=2k k k n n n C C C -+．整理得，2244(2)0k nk n n -+--=， ………………………………………7分 即2(2)2k n n -=+，所以2n +为完全平方数． 又2015n ≤，由于22442015245<+<，所以n 的最大值为24421934-=，此时k =989或945． (10)分。
江苏省南通市高考数学一模试卷(含解析)
2016年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B=．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= ．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．10．已知，则的值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．2016年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为±．【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算性质得到a2+4=9，解出即可．【解答】解：若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，即a2+4=9，解得：a=±，故答案为：±．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有5种情形，由概率公式可得．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5种情形，∴所求概率，故答案为：4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为14【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，I=1，满足条件S≤10，执行循环，S=1，I=2，满足条件S≤10，执行循环，S=1+22=5，I=3，满足条件S≤10，执行循环，S=1+22+32=14，I=4，不满足条件S≤10，退出循环，输出S的值为14．故答案为：14．5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有750 户月消费额在1000元以下【考点】频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，即可求出答案．【解答】解：由直方图可得1000元以下共有10000×（0.00005+0.0001）×500=750户，故答案为：750．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6= 63 ．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2•（S6﹣S4），即122=3•（S6﹣15），解得S6=63故答案为：63．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为2x2﹣y2=1 ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a2和b2的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，，解得，b2=1，所以双曲线的方程为2x2﹣y2=1，故答案为：2x2﹣y2=1．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积==．故答案为：．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为﹣1 ．【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．【解答】解：∵函数f（x）==为奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故．即，∴f（x）=，∴f（a+b）=f（1）=1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．10．已知，则的值是．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用诱导公式，同角三角的基本关系，化简要求的式子可得结果．【解答】解：∵已知，则=﹣sin（x+）+=﹣sin（x+）+1﹣=﹣+1﹣=，故答案为：．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈．通过三角函数代换即可得出．【解答】解：设P（x，x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4﹣x2，∴4﹣x2≥0，解得x∈，∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈，∴m=﹣2cosθ±2sinθ=∈，实数m的取值范围是，故答案为：．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE 交点P，则的值为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积．【解答】解：由题意作图如右图，∵，∴D，E分别为线段BC，AC的中点，∴点P是正三角形ABC的中心，∴||=•|BE|=••|AB|=2，||=|BP|=，且∠BPD=，故=||||cos=6×=3，故答案为：3．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x2，得y′=2x，切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12，由y=x3，得y′=3x2，切线方程为y﹣x23=3x22（x﹣x2），即y=3x22x﹣2x23，∴2x1=3x22，x12=2x23，两式相除，可得=．故答案为：．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则ab 的最大值是．【考点】函数的值；二次函数的性质．【分析】由对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．【解答】解：函数f（x）=2ax2+3b图象的顶点为（0，3b），若若对于任意x∈，都有|f（x）|≤1成立，则，其对应的平面区域如下图所示：令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤=，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，可求A﹣B=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，∴（a+b）2﹣c2=ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，∵C为三角形内角，∴C=．（2）∵c=2acosB，∴由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，可得：a=b=2，∴S△ABC=absinC==．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出BA1=BC1，点E是A1C1的中点，从而BE⊥A1C1，由此能证明BE⊥AC．（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，推导出四边形BED1O是平行四边形，由此能证明BE∥平面ACD1．【解答】证明：（1）∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∴BA1=BC1，∵点E是A1C1的中点，∴BE⊥A1C1，∵AC∥A1C1，∴BE⊥AC．（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∴D1E BO，∴四边形BED1O是平行四边形，∴BE∥OD1，∵OD1⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，∴BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及b2=a2﹣c2，及点A（2，1），联立即可求得a，b及c的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x B+x C=﹣，根据线段BC被y轴平分，即x B+x C=0，即可求得m的值，根据向量的坐标表示求得•=0，即可求得k的值，将点A代入直线方程，当k=，不满足，故求得k的值．【解答】解：（1）由条件知椭圆离线率e==，∴b2=a2﹣c2=a2，将点A（2，1），代入椭圆方程得解得，故椭圆方程为：；（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆方程，x2+4（kx+m）2﹣8=0，整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣8=0，线段BC被y平分得：x B+x C=﹣=0，k≠0，m=0，∴B，C关于原点对称，设B（x，kx），C（﹣x，﹣kx），∴x2=，又∵AB⊥AC，A（2，1），∴•=（x﹣2）（﹣x﹣2）+（kx﹣1）（﹣kx﹣1）=5﹣（1+k2）x2=5﹣=0，解得k=±，由k=，直线y=x过点A（2，1）故k=不符合题意，所以，此时直线l的直线方程y=﹣x．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．【考点】弧度制的应用；函数解析式的求解及常用方法；三角函数的最值．【分析】（1）结合图形，①用sinα求出PO1、OP以及OQ的值，计算△OPQ的面积S即可；②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，用tanθ表示出OP，再计算△OPQ的面积S；（2）用（1）中②函数关系S==，设x=，函数f（x）=x ﹣x3，求出f（x）的最大值即可求出S的最小值．【解答】解：（1）如图所示，①设∠OPQ=α（rad），则sinα=，∴PO1=，OP=1+，OQ=OP•tanα=（1+）•tanα；∴△OPQ的面积S=OP•OQ=•（1+）（1+）•tanα=••tanα；②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，则tanθ=，tan2θ===，∴OP=OQ•tan2θ=，∴△OPQ的面积S=OP•OQ=••t=；（2）用（1）中②函数关系，S==，设x=＞0，函数f（x）=x﹣x3，（x＞0）；则f′（x）=1﹣3x2，令f′（x）=0，解得x=；∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴当x=时，f（x）取得最大值是f（）=；∴△OPQ的面积S的最小值是=．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=（）′lnx+•=，令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，∴f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；（2）由（1）得：f（x）min=f（e﹣2）=a﹣，显然a＞时，f（x）＞0，无零点，a=时，f（x）=0，有1个零点，a＜时，f（x）＜0，有2个零点．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【考点】数列的应用．【分析】（1）①由a n+1=2a n﹣1，可得a n+1﹣1=2（a n﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．②假设{a n}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：a k＜a m＜a n，k＜m＜n．满足=a k a n，代入化为：2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，利用数的奇偶性即可得出．（2）设等差数列{a n}的公差为d，假设存在三项使得，（k＜n＜m）．展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．【解答】解：（1）①∵a n+1=2a n﹣1，∴a n+1﹣1=2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1+1．②假设{a n}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：a k＜a m＜a n，k＜m＜n．满足=a k a n，∴（2m﹣1+1）2=（2k﹣1+1）（2n﹣1+1），化为：22m﹣2+2m=2k+n﹣2+2n﹣1+2k﹣1，∴2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．故{a n}不是“等比源数列”．（2）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，a1≠0，a n∈Z（n∈N*），假设存在三项使得，（k＜n＜m）．∴=，展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1（k﹣1）+（m﹣1）+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由题意AC⊥BC，AC==8，由已知得Rt△ACD∽Rt△ABC，从而AD=6.4，利用切割线定理、勾股定理，由此能求出DE的长．【解答】解：由题意AC⊥BC．AC==8，∵过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，AD交圆与E，∴∠ACD=∠ABC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴=，∴AD==6.4又DC2=DE•6.4，DC2+6.42=64，解得DE=3.6．22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，令矩阵M﹣1的特征多项式等于0，即可求得矩阵M﹣1的特征值．【解答】解：矩阵M的行列式为=1×2﹣2×0=2，∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=，矩阵M﹣1的特征多项式为f（λ）=（λ﹣）（λ﹣1）=0令f（λ）=0可得λ=或λ=1即矩阵M﹣1的特征值为或1．23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先求出直线AC的直角坐标方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：点A的直角坐标为A（，）．圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=8．∴圆C的圆心为C（0，2）．∴直线AC的方程为，即x+y﹣2=0．∴直线AC的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2．24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法，通过分类讨论判断即可．【解答】证明：a6+b6﹣ab（a4+b4）=（a﹣b）（a5﹣b5），当a≥b≥0时，a5≥b5，a﹣b≥0，a5﹣b5≥0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）≥0．所以a6+b6≥ab（a4+b4）．当0≤a＜b时，a5＜b5，a﹣b＜0，a5﹣b5＜0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）＞0．所以a6+b6＞ab（a4+b4）．综上a≥0，b≥0，a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值．（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），∵，∴（a，b，c﹣2）=（﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣，1﹣，﹣），∴，解得a=0，b=，c=，∴P（0，，），=（1，0，0），=（﹣1，﹣，），设直线AB与CP所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|===，∴直线AB与CP所成角的余弦值为．（2）=（1，，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，，﹣），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（﹣4，2，﹣1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；导数的运算．【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可，（2）先利用诱导公式，猜想猜想f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），再根据数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）f1（x）=f0′（x）=（sinx+cosx）+x（cosx﹣sinx）=（x﹣1）sin（﹣x）+（x+1）cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx+（1﹣x）cosx+cosx﹣（1+x）sinx=﹣（2+x）sinx﹣（x﹣2）cosx，（2）由（1）得f3（x）=f2′（x）=﹣（3+x）cosx+（x﹣3）sinx，把f1（x），f2（x），f3（x），f1（x）=（x+1）sin（x+）+（x﹣1）cos（x+），f2（x）=（x+2）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），f3（x）=（x+3）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），猜想f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），下面用数学归纳法证明上述等式，①当n=1时，由（1）可知，等式（*）成立，②假设当n=k时，等式（*）成立，即f k（x）=（x+k）sin（x+）+（x﹣k）cos（x+），则当n=k+1时，f k+1（x）=f k′（x）=sin（x+）+（x+k）cosx+）+cos（x+）+（x﹣k），=（x+k+1）cos（x+）+，=（x+k+1）sin（x+π）+cos（x+π），即当n=k+1时，等式（*）成立综上所述，当n∈N*，f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）成立．。
南通市高考数学模拟试卷含答案
江苏省南通市高考数学模拟试卷(6)含答案2016年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．21．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x－2x＜0}，则A∪B＝▲ ．2．若复数z满足z40，则z1，则f(x)▲ ． 3．已知幂函数f(x)的图象经过点2 4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中___▲ 根棉花纤维的长度小于15mm．25．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲ ．（第5题）6．某校有A,B两个学生食堂，若a,b,c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为▲ ． 7．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号是▲ ．．．．222x2y2F(c,0)(c0)x y a8．过双曲线221(b a0)的左焦点作圆的切线，切点为E，延长ab21y4cxFE交抛物线于点P，O为坐标原点，若OE(OF OP)，则双曲线的离心率为▲ ．2a9．已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。
若对一切n N,n1bn总成立，an则d q▲ ．10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x－2，则函数f(x)在[0，2016]上的零点个数是_____▲_____.CBC11．如图，已知点O为△ABC的重心，OA OB，AB6，则A的值为▲ ． 12．已知实数x，y，z满足x y z0，x2y2z21，则z的最大值是2x▲ ．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2(y6)225，圆C2：(x17)(y30)r．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A，B，满足PA2AB，则半径r的取值范围是▲ ．x(1mx)x0，14．已知函数f(x)，若关于x的不等式f(x)f(x m)的解集x(1mx)x0为M，且1,1M，则实数m的取值范围是▲ .第 1页，共 14页222(第11题图)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过．．．．．．．程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC中，PA PC，BC4，AC2．M为BC的中点， N为AC上一点，且MN∥平面PAB，MN求证：（1）直线AB∥平面PMN；（2）平面ABC平面PMN．A N CB M （第15题）16．（本小题满分14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b a.（1）当c=1，且ABC的面积为（2）当cosC时，求a的值； 4时，求cos(B A)的值. 317．（本小题满分14分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角△EFH，其中FE⊥FH．现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD(不计损耗) ，AD∥BC，且点A，B在弧EF上．点C，D在斜边EH 上．设∠AOE＝θ.（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值．E AH(第17题图)x2y218．（本小题满分16分）已知椭圆221(a b0)的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与abx轴相交于点T，且F是AT的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M,N两点，M,N都在x轴上方，并且M 在N,T之间，且NF2MF．①记NFM,NFA的面积分别为S1,S2，求②若原点O到直线TMN S1； S2 第 2页，共 14页19．（本小题满分16分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，anan+1＝2(Sn＋1) (n N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1＝1，bn（3）若数列{cn}满足lgc120．（本小题满分16分）已知函数f(x)x22x alnx(a R).，f(1))处的切线方程；（1）当a2时，求函数f(x)在(1（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，不等式f(x1)mx2恒成立，求实数m的取值范围.(n≥2，n N*)，求{bn}的前n项和Tn；1a1，lgcn nn(n≥2，n N*)，试问是否存在正整数p，q（其中1 < p < q），33使c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，O1，O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与O1，O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与O1，O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．O1O2 DB．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵M满足 M(1）求二阶矩阵M；1258. 3446(2）若曲线C:x2xy2y1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C，求曲线C的方程. C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点P(1)（其中0,2)，点P的轨迹记为曲线C1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C2:1224上． )(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)当0,02时，求曲线C1与曲线C2的公共点的极坐标．yD．（选修４－５：不等式选讲）已知实数x0，y0，z0，证明：(≥．xyz2462第 3页，共 14页【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，已知抛物线C：x2py p0，其焦点F到准线的距离为2，点A、2点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；（2）若点Q x0,y0是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切BQ,D EH线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设 A记=的面积依次为S ABQ,S DEH，S ABQS DEH，问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
江苏省南通市2016年高考数学模拟试卷(三) 含解析
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A=｛x|﹣1≤x＜2｝，集合B=｛x｜x＜1｝，则A∩B=________．2．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人,高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有________人．3．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数,则实数b=________．4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值x=________．5．已知m∈｛﹣1,0,1｝，n∈｛﹣2,2},若随机选取m,n，则直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是________．6．已知｜｜=2，|｜=3，，的夹角为120°，则|+2｜=________．7．已知一元二次不等式f（x)＞0的解集为(﹣∞,1)∪（2，+∞），则f(lgx)＜0的解集为________．8．设α为锐角，若cos（α+)=，则cos（2α﹣)=________．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P﹣ABCD的体积等于2时，则PC=________．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4,3)引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1(0＜m＜4）的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点________．11．已知等差数列｛a n}的各项均为正数,a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．若p﹣q=10,则a p﹣a q=________．12．若曲线y=alnx(a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s,t）处具有公共切线，则=________．13．已知▱ABCD的面积为2,P是边AD上任意一点，则｜PB|2+|PC|2的最小值为________．14．设函数f（x)=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间［1,22015］内的所有零点的和为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且sin(A+)=2cosA．（1)若cosC=，求证：2a﹣3c=0；（2）若B∈(0,），且cos（A﹣B）=，求sinB的值．16．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=60°，DC=1，AD=．已知PB=PC．（1）若N为PA的中点,求证：DN∥平面PBC；（2）若M为BC的中点,求证：MN⊥BC．17．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域,其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍,若BC=6km，AD=CD=4km．（1）若BD=2km,求绿化区域的面积;（2)设∠BCD=θ,当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．18．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，F为其右焦点，在直线x=4上任取一点P（点P不在x轴上）,连结PA,PF,PB．若半焦距c=1，且2k PF=k PA+k PB （1）求椭圆C的方程；(2）若直线PF交椭圆于M，N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．19．已知函数f(x）=ax+lnx(a∈R），g(x)=．（1）当a=1时，求f（x）的单调增区间；（2）若h(x)=f（x）﹣g（x）恰有三个不同的零点x1，x2,x3(x1＜x2＜x3）．①求实数a的取值范围;②求证：（1﹣）2（1﹣）(1﹣）=1．20．已知数列｛a n｝是等比数列．（1)设a1=1，a4=8．①若++…+=M（++…+），n∈N＊，求实数M的值；②若在与中插入k个数b1，b2,…，b k，使，b1,b2，…，b k，，成等差数列，求这k个数的和S k;(2）若一个数列｛c n}的所有项都是另一个数列｛d n}中的项,则称{c n}是｛d n｝的子数列，已知数列{b n}是公差不为0的等差数列，b1=a1,b2=a2，b m=a3，其中m是某个正整数,且m≥3，求证：数列{a n｝是｛b n}的子数列．选做题。
【精品】2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(4)
2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（4）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2}，则A的子集的个数为．2．（5.00分）设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a的值为．3．（5.00分）运行如图所示的流程图，则输出的结果S是．4．（5.00分）若直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是．5．（5.00分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．6．（5.00分）设定义在区间上的函数y=sin2x的图象与图象的交点横坐标为α，则tanα的值为．7．（5.00分）已知一组数据x1，x2，…ｘn的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b（a，b∈R）的方差为12，则a的所有的值为．8．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为．9．（5.00分）我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．10．（5.00分）在平面直角坐标系xoy中，设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c（c＞0），当a，b任意变化时，的最大值为．11．（5.00分）在平面直角坐标系xoy中，若直线l与圆C1：x2+y2=1和圆C2：（x ﹣5）2+（y﹣5）2=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为．12．（5.00分）观察下列一组关于非零实数a，b的等式：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）…通过归纳推理，我们可以得到等式a2015﹣b2015=（a﹣b）（x1+x2+x3+…+x2015），其中x1，x2，x3，…，x2015构成一个有穷数列{x n}，则该数列的通项公式为x n=（1≤n≤2015，且n∈N*）（结果用a，b，n表示）13．（5.00分）已知角α，β满足=，若sin（α+β）=，则sin（α﹣β）的值为．14．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，设A，B分别为曲线y=与x轴的两个交点，C、D分别为曲线上的两个动点，则的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按逆时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．（1）求cos∠CAD的值；（2）求点C的坐标．16．（14.00分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．17．（14.00分）如图，缉私船在A处测出某走私船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角165°的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行．我缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获．（1）若v=21，求缉私船的航向和截获走私船所需的时间；（参考结论：sin22°≈）（2）若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，求v的取值范围．18．（16.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知点P为直线l：x=2上一点，过点A（1，0）作OP的垂线与以OP为直径的圆K相交于B，C两点．（1）若BC=，求圆K的方程；（2）求证：点B始终在某定圆上．（3）是否存在一定点Q（异于点A），使得为常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．19．（16.00分）已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0，b，c∈R）（1）设c=0①若a=b，f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．20．（16.00分）已知有穷数列{a n}，{b n}对任意的正整数n∈N*都有a1b n+a2b n﹣+a3b n﹣2+…+a n﹣1b2+a n b1=2n+1﹣n﹣2．1（1）若{a n}是等差数列，且首项和公差相等，求证：{b n}是等比数列．（2）若{a n}是等差数列，且{b n}是等比数列，求证：a n b n=n?2n﹣1．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[几何证明选讲]21．（10.00分）如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．B．[矩阵与变换]22．（10.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），先将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M．C．[极坐标与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），现以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．D．[不等式选讲]24．设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）＞（a+b）3．[必做题]第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．26．（10.00分）证明二项式定理（a+b）n=C n0a n+C n1a n﹣1b+C n2a n﹣2b2+…+C n r a n﹣r b r+…+Cn b n，n∈N*．n2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（4）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2}，则A的子集的个数为8．【分析】由集合A中的元素有3个，把n=3代入集合的子集的公式2n中，即可计算出集合A子集的个数．【解答】解：由集合A中的元素有0，1，2共3个，代入公式得：23=8，则集合A的子集有：{0，1，2}，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，?共8个．故答案为：8．【点评】解得本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，真子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．2．（5.00分）设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a的值为1．【分析】根据复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：∵z1=2+ai，z2=2﹣i，|z1|=|z2|，∴，即a2+4=5，则a2=1，解得a=1或a=﹣1（舍），故答案为：1【点评】本题主要考查复数的模长公式的应用，解方程是解决本题的关键．比较基础．3．（5.00分）运行如图所示的流程图，则输出的结果S是．【分析】变量i的值分别取1，2，3，4，…时，变量S的值依次为，﹣1，2，…，从而变量S的值是以3为周期在变化，由此可得结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，i=1不满足条件i≥2015，执行循环体，S=，i=2不满足条件i≥2015，执行循环体，S=﹣1，i=3不满足条件i≥2015，执行循环体，S=2，i=4…观察规律可知，变量S的值是以3为周期在变化，由于：2014=671×3+1，从而，有i=2014，不满足条件i≥2015，执行循环体，S=，i=2015满足条件i≥2015，退出循环，输出S的值为故答案为：．【点评】本题考查循环结构，考查学生的读图能力，属于基础题．4．（5.00分）若直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是0．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组关系即可．（x）=，【解答】解：函数的导数为y′=f′设切点为（x0，y0），则切线斜率k=f′（x0）=，则对应的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即y=x﹣1+lnx0，∵直线y=x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，∴=且b=lnx0﹣1，解得x0=e，b=lne﹣1=1﹣1=0，故答案为：0【点评】本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义建立方程组关系是解决本题的关键．5．（5.00分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5.00分）设定义在区间上的函数y=sin2x的图象与图象的交点横坐标为α，则tanα的值为．【分析】两函数图象的交点横坐标为α，即当x=α时，两函数值相等，结合α∈，利用二倍角公式化简三角方程，利用同角三角函数基本关系式求值即可【解答】解：依题意，sin2α＝cosα α∈∴2sinαcosα＝c osα即sinα＝，∴cosα＝==∴tanα＝==故答案【点评】本题考查了方程与函数的关系，二倍角公式，同角三角函数基本关系式的运用7．（5.00分）已知一组数据x1，x2，…ｘn的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b（a，b∈R）的方差为12，则a的所有的值为±2．【分析】根据数据x1，x2，…ｘn的方差与数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差关系，列出方程，求出a的值．【解答】解：根据题意，得；∵数据x1，x2，…ｘn的方差为3，∴数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b（a，b∈R）的方差为a2?3=12，∴a2=4∴a=±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了根据一组数据的方差求另一组数据的方差的应用问题，是基础题目．8．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为（﹣1，4）．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，讨论变量的取值范围即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减，∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，÷①当x2﹣3x≤0不等式等价为f（x2﹣3x）＜f（﹣4），即，即，此时0≤x≤3，②当x2﹣3x＞0不等式f（x2﹣3x）＜f（4），等价为，得，即﹣1＜x＜0或3＜x＜4，综上﹣1＜x＜4，故答案为：（﹣1，4）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．9．（5.00分）我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．【分析】由题意画出图形，结合三角形中位线、三角形重心的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．【解答】解：如图，设正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，AH为四面体ABCD的面BCD上的高，交面EFG于H，则，又，∴，则，同理可得，∴正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．故答案为：．【点评】本题考查了棱柱、棱锥、棱台的体积，考查了学生的空间想象能力和思维能力，属中档题．10．（5.00分）在平面直角坐标系xoy中，设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c（c＞0），当a，b任意变化时，的最大值为．【分析】由于c2=a2+b2，解出c，代入所求式子，再由a2+b2≥2ab，即可得到最大值．【解答】解：由于c2=a2+b2，即有c=则===≤=．当且仅当a=b，取得等号．则有的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查重要不等式的运用，属于中档题．11．（5.00分）在平面直角坐标系xoy中，若直线l与圆C1：x2+y2=1和圆C2：（x ﹣5）2+（y﹣5）2=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为7．【分析】设两切点分别为A，B，连接AC1，BC2，过C1作C1D∥AB交BC2于D，则直角三角形C1CD，tan∠DC1C2=，利用和角的正切公式，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设两切点分别为A，B，连接AC1，BC2，过C1作C1D∥AB交BC2于D，则直角三角形C1CD，tan∠DC1C2=，∵∠xC1C2=，∴tan∠DC1x=tan（∠DC1C2+）==7．故答案为：7．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线l的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5.00分）观察下列一组关于非零实数a，b的等式：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）…通过归纳推理，我们可以得到等式a2015﹣b2015=（a﹣b）（x1+x2+x3+…+x2015），其中x1，x2，x3，…，x2015构成一个有穷数列{x n}，则该数列的通项公式为x n=（1≤n≤2015，且n∈N*）（结果用a，b，n表示）【分析】从已知的三个等式发现，有穷数列{x n}是以a2014为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得．【解答】解：已知的三个等式发现，有穷数列{x n}是以a2014为首项，为公比的等比数列，所以x n=．故答案为：．【点评】本题考查了归纳推理以及等比数列的通项公式；关键是由已知的三个等式发现规律，得到数列是等比数列．13．（5.00分）已知角α，β满足=，若sin（α+β）=，则sin（α﹣β）的值为﹣．【分析】设sin（α﹣β）=x，由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系求出x的值，即为所求．①，﹣cosαsinβ=x【解答】解：设sin（α﹣β）=x，即sinαcosβ+cosαsinβ＝②，则由sin（α+β）=，可得sinαcosβ由①②求得sinαcosβ＝+，cosαsinβ＝﹣．再由===，求得x=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，注意利用解方程的方法，属于基础题．14．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，设A，B分别为曲线y=与x轴的两个交点，C、D分别为曲线上的两个动点，则的取值范围是[﹣4，] ．【分析】由向量的几何意义，以及直线和圆的位置关系即可求出．【解答】解：曲线y=为半圆，如图所示：A（﹣1，0），B（1，0），当，方向相反时，且长度均为2时，=﹣4，设D在上的投影点为H，OD与BC的交于点M，OM=x，则当DH为圆0的切线时，=||?||=2x（1﹣x）≤，（当且仅当x=时等号成立）所以则的取值范围是[﹣4，]【点评】本题考查了向量的几何意义，关键是掌握点位置关系，以及直线和圆的位置关系，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按逆时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．（1）求cos∠CAD的值；（2）求点C的坐标．【分析】（1）由条件求得cos∠BAD 和sin∠BAD 的值，再根据cos∠CAD=cos（60°+∠BAD ），利用两角和的余弦公式求得结果．（2）设点C的坐标为（a，b），求得、对应的复数，再根据两个复数乘积的几何意义，求得a、b的值，即可得到点C的坐标．【解答】解：（1）由题意可得等边三角形的边长AB=5，cos∠BAD=，sin∠BAD=，∴cos∠CAD=cos（60°+∠BAD ）=cos60°cos∠BAD﹣sin60°s in∠BAD=﹣?=．（2）设点C的坐标为（a，b），则对应的复数为a+bi，对应的复数为4+3i，由A，B，C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，）=2﹣+（+2）i，可得a+bi=（4+3i）（cos60°+isin60°∴a=2﹣，b=+2，故点C的坐标为（2﹣，b=+2）．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式，两个复数乘积的几何意义，属于中档题．16．（14.00分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．【分析】（1）根据BC∥B1C1，且B1C1?平面AB1C1，BC?平面AB1C1，依据线面平行的判定定理推断出BC∥平面AB1C1．（2）平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，推断出平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，又平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，C1B1?平面AB1C1，根据面面垂直的性质推断出平面A1ABB1⊥平面AB1C1．【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1?平面AB1C1，BC?平面AB1C1，∴BC∥平面AB1C1．（2）∵平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，∴C1B1⊥平面A1ABB1，C1B1?平面AB1C1，∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1．【点评】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理．注重了对基础知识的考查．17．（14.00分）如图，缉私船在A处测出某走私船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角165°的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行．我缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获．（1）若v=21，求缉私船的航向和截获走私船所需的时间；（参考结论：sin22°≈）（2）若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，求v的取值范围．【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理得∠CAB≈22°，从而方位角为45°+22°≈67°；在△ABC中，由余弦定理建立方程，即可求出截获走私船所需的时间；（2）由（1）知，利用换元法得到关于x的方程100x2﹣90x+81﹣v2=0必有两不同的正实根，即可求解．【解答】解：（1）设缉私船截获走私船所需的时间为th，依题意，得∠ACB=60°，在△ABC中，由正弦定理，得，60°=，所以∠CAB≈22°，从而方位角为45°+22°≈67°，（3分）在△ABC中，由余弦定理得，（vt）2=（9t）2+102﹣2×9t×10×cos60°，当v=21时，36t2+9t﹣10=0，解得（负值已舍），答：缉私船的航向约为方位角67°，截获走私船所需时间为h．（7分）（2）由（1）知，（vt）2=（9t）2+102﹣2×9t×10×cos60°，即，令，因为缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，所以关于x的方程100x2﹣90x+81﹣v2=0必有两不同的正实根，（11分）所以解得．（14分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，正确计算，合理转化是关键．18．（16.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知点P为直线l：x=2上一点，过点A（1，0）作OP的垂线与以OP为直径的圆K相交于B，C两点．（1）若BC=，求圆K的方程；（2）求证：点B始终在某定圆上．（3）是否存在一定点Q（异于点A），使得为常数？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设P（2，t）（t≠0），则圆K的方程为，通过圆心到直线BC的距离，可得t=±2，从而得圆K的方程；（2）设B（x0，y0），利用消去参数t，即得点B的轨迹方程；（3）设点Q（a，b），（c为常数），利用x2+y2=2计算（x﹣a）2+（y﹣b）2=c[（x﹣1）2+y2]即可．【解答】解：（1）设P（2，t）（t≠0），则圆K的方程为，直线OP的斜率为，又OP⊥BC，所以BC的斜率，从而BC的方程为，即2x+ty﹣2=0，则圆心K（1，）到直线BC的距离为，由（）2+（）2=，解得t=±2，所以圆K的方程为（x﹣1）2+（y±1）2=2；（2）设B（x0，y0），由得，消去参数t，得，所以点B的轨迹方程为圆：x2+y2=2；（3）设点Q（a，b），（c为常数），则（x﹣a）2+（y﹣b）2=c[（x﹣1）2+y2]，整理，得（c﹣1）（x2+y2）+2（a﹣c）x+2by+c﹣a2﹣b2=0，由于x2+y2=2，所以2（a﹣c）x+2by+3c﹣a2﹣b2﹣2=0，从而，解得或（舍），所以存在定点Q（2，0），使得．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（16.00分）已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0，b，c∈R）（1）设c=0①若a=b，f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立．【分析】（1）①求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程，代入点（1，0），即可得到所求值；②若a＞b，c=0，求出导数，讨论b，结合函数的单调区间，即可求得最大值；（2）运用反证法证明．假设存在a，b，使得f（x1）=x1，f（x2）=x2同时成立．设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），根据极值和二次函数的性质，即可得到矛盾，进而得证．【解答】（1）解：①若a=b，c=0，则f（x）=a（x3﹣x2），f′（x）=a（3x2﹣2x），f（x）在x=x0处的切线斜率为k=a（3x02﹣2x0），则切线方程为y﹣a（x03﹣x02）=a（3x02﹣2x0）（x0﹣1），又切线过点（1，0），则a（3x02﹣2x0）（x0﹣1）=a（x03﹣x02），解得x0=0或1；②若a＞b，c=0，则f′（x）=3ax2﹣2bx=3ax（x﹣），可得x=0或x=＜1，若b≤0，则f′（x）≥0，f（x）为（0，1]上的增函数，f（x）的最大值为：f（1）=0，若b＞0，在（0，）上f′（x）＜0，f（x）递减；在（，1）上f′（x）＞0，f（x）递增．f（0）=b﹣a＜0，f（1）=0，则有f（x）的最大值为f（1）=0．综上可得，f（x）在区间[0，1]上的最大值为0；（2）证明：假设存在a，b，使得f（x1）=x1，f（x2）=x2同时成立．设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），由f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，则f′（x）=3ax2﹣2bx+c=3a（x﹣x1）（x﹣x2）（a＞0），由x1＜x＜x2，f′（x）＜0，f（x）为（x1，x2）内的减函数，则有f（x1）＞f（x2），。
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(6)含答案
（第5题）CO (第11题图)2016年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．已知集合A ＝{x|x ＞1}，B ＝{x|x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝ ▲ ．2．若复数z 满足240z +=，则z = ▲ ．3． 已知幂函数()f x 的图象经过点()124，，则()f x = ▲ ． 4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中___▲ 根棉花纤维的长度小于15mm ．5． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ． 6．某校有,A B 两个学生食堂，若,,a b c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 7．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题．．．的序号是 ▲ ． 8．过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+ ，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。
若对一切n N *∈,1n n na b a +=总成立，则d q += ▲ ．10．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＋f(x ＋5)＝16，当x ∈(－1，4]时，f(x)＝x 2－2x，则函数f(x)在[0，2016]上的零点个数是_____▲_____.11．如图，已知点O 为△ABC 的重心，OA ⊥OB ，AB 6=，则A C B C ⋅ 的值为 ▲ ． 12．已知实数x ，y ，z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则z 的最大值是▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数(1)0()(1)0x mx x f x x mx x +≥⎧=⎨-<⎩，，若关于x 的不等式()()f x f x m >+的解集为M ，且[]1,1M -⊆，则实数m 的取值范围是 ▲ .A B PN C M （第15题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，4BC =，2AC =．M 为BC 的中点，N 为AC 上一点，且MN ∥平面PAB ，MN = 求证：（1）直线AB ∥平面PMN ； （2）平面ABC ⊥平面PMN ．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.3a b = （1）当c =1，且ABC ∆的面积为43时，求a 的值； （2）当33=C cos 时，求)cos(A B -的值. 17．（本小题满分14分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角△EFH ，其中FE ⊥FH ．现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD (不计损耗) ，AD ∥BC ，且点A ，B 在弧EF 上．点C ，D 在斜边EH 上．设∠AOE ＝θ.（1） 求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．(第17题图)18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率； （2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN A D O C HE Bθ1O2O ABPQDC19．（本小题满分16分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1) (*n ∈N )． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，n b =(2n ≥，*n ∈N )，求{b n }的前n 项和T n ；（3）若数列{c n }满足11lg 3c =，1lg 3n n n a c -=(2n ≥，*n ∈N )，试问是否存在正整数p ，q （其中1 < p < q ），使c 1，c p ，c q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数2()2ln ()f x x x a x a =-+∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在(1(1))f ，处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1212()x x x x <，，不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，1O ，2O 交于两点P Q ，，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A B ，，直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点CD ，．求证：AC ∥BD ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵M 满足 12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (1）求二阶矩阵M ；(2）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)4C ρπθ=+上． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数0x >，0y >，0z >，证明：1239()(2462y x z x y z ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，已知抛物线()220C x py p =>：，其焦点F 到准线的距离为2，点A 、点B 是抛物线C 上的定点，它们到焦点F 的距离均为2，且点A 位于第一象限．（1）求抛物线C 的方程及点A 、点B 的坐标；（2）若点()00,Q x y 是抛物线C 异于A 、B 的一动点，分别以点A 、B 、Q 为切点作抛物线C 的三条切线123l l l 、、，若12l l 与、13l l 与、23l l 与分别相交于D 、E 、H ，设,AB Q D E H ∆∆的面积依次为,S ABQ DEH S ∆∆，记=S ABQ DEHS λ∆∆，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
2016年高考模拟试卷参考答案(1)
若 ，则 ，故 在 上是单调减函数，
若 ，则 ，故 在 上是单调增函数，
∴当 时， ，
又∵ ， 在 上的图象不间断，
∴函数 在区间 上有1个零点，符合题意．……………………7分
综上所述， 的取值范围为 ．………………………………………8分
（3）假设存在正整数 ，使得 在 上恒成立，
由题意， ，则 =4，
所以p 1．
14． 或 .【解析】方法一：以 为直径的圆记为 ，圆 记为 ．
由题意知圆 与圆 外离，且直线 与圆 无公共点．
圆 ，圆 外离 ，
解得 或 ；
直线 与圆 无公共点 ，解得 或 ．
所以 或 ．
方法二：设 ．
由题意得 ，且点 不在直线 上．
，
必须 ，所以 ，
解得 或 ；
则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
因为＝λ，所以C(λ，2，0)，……………………………………2分
（2）法一：设过E的切线与圆C交于切点F，EF2=EM·EN，…………………………10分
又M是线段NE的中点，所以EN= 2MN，EM=MN，所以EF2= 2MN2，
又EF2=EO2–OF2= 22+t2–1 =t2+ 3，…………………………13分
MN≤2，t2+ 3≤8，所以t∈[，]．…………………………16分
因为F是BD1的中点，所以EF∥AB,…………………………4分
又因为AB 平面ABCD,EF 平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.…………………………7分
（2）连接D1C,在菱形DCC1D1中，因为∠D1DC=60°，
所以△D1DC是等边三角形，因为M是DC的中点，
高考专题高考模拟试卷参考答案(5).docx
2016年高考模拟试卷(5) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{}2．2．4-．3．91．4．{}2,5,10．5．12．6．(3,1)(3,)-+∞U ．7．3．8. ．9．35．10．3(1,]2．11．21n n -+．12．充要．13．14．12(,0)(,)5-∞+∞U ．【解析】．设N （x,y)，由12NO NA =得：22224()(3),x y x y +=+-化简得：22(1)4x y ++=，表示为以(0,1)B -为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B 与圆(,24)M a a -无交点，即222(241)(21)a a +-+>+或222(241)(21)a a +-+<-，解得圆心M 横坐标的取值范围为：12(,0)(,)5-∞+∞U ．二、解答题15．（1）由题意知，cos AB AC bc A ⋅=u u u r u u u r ,1sin 2S bc A =,所以cos sin bc A A ， ……………………………………2分即cos A A =，tan A ∴=，因为A 为三角形内角，所以6A π=；……………………6分（2）设tan A m =，tan 2B m =，tan 3C m =，由题意知，0m >． 因为tan tan tan tan() 1tan tan A BC A B A B+=-+=--⋅，………………………8分则23312mm m =--，解得1m =，则tan 2B =，tan 3C =，从而sin B =，sin C =12分所以sin sin AC B AB C =AC =……………………14分 16．（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，在PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，……………………………………2分 四边形ENMA 是平行四边形，得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB ……………………6分（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 面PMC ⊥面PAD ，面PMC I 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，……………………8分 CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CM ,Q PA ⊥平面ABCD ，……………………………10分CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ,Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，……………………12分AD ⊂Q 面PAD ，CM AD ∴⊥．……………………14分17. 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()22P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x = (2)（1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB 的面积()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭，………………6∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+，得23t =，当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当2, 23t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <， ()S t 单调递减，所以当23t =时，()S t 有最大值12827，改挖后的水渠的底宽为43可使填土的土方量最少. ……………………8分（2设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭，则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-分别令0,2y y ==得2, 0,, 222tt A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，所以梯形OABC 的面积()12222S t t t t t ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≥，………12当且仅当t 此时2OA =.m 时，可使挖土的土方量最少. …………14分 18．（1）由题意，离心率c e a ==2c =，所以224a b =，故椭圆的方程为22244x y b +=，将点代入，求得21b =，所以椭圆的标准方程为2214xy +=； ……………4分（2）①设直线BQ 的方程为1y kx =+，则由题意直线AP 的方程为(2)y k x =--，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(14)80k x kx ++=， 所以点Q 的坐标为222814(,)1414k k k k --++，……………………6分同理可求得点P 的坐标为222824(,)1414k kk k -++． ……………………8分所以直线l 的斜率为222222221441441141488288221414k kk k k k k k k k k k ----++==---+--++． ……………………………10分 ②设P ，Q 两点到直线AB 的距离分别为12,d d ， 因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限，所以12k >，且点P 、Q 分别在直线:220AB x y +-=的上、下两侧，所以220P P x y +->，220Q Q x y +-<，从而22218282k kd -+-==2222828222k k x y d --++-==所以22222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k kS d k k k k k k k k S d k k k k kk k -+--+-+-++====---+++-+++，……………14分 令21(0)k t t -=>，则122222113242(1)1323S k t t S k k t t t t t t -====≤=-++++++++ 当且仅当2t t=，即t =12k =时，12S S有最大值为3-16分19．（1）函数2()(2)ln f x mx m x x=-+-的定义域为(0,)+∞．2222(2)(1)()m mx x f x m x x x +--'=-+=， ① 为0m <，则当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为[1,)+∞．……………2分②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥，等价于[1,2]x ∈时，max min ()()1f x g x ≥+成立． 由①得，当0m <时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，所以当[1,2]x ∈时，max ()(1)2f x f m ==-．……………………4分而222()1()124m m g x x mx x =++=++-．（ⅰ）当012m<-<，即20m -<<时，min ()(1)2g x g m ==+，于是23m m -≥+，矛盾! ……………………6分(ⅱ) 122m≤-≤，即42m -≤≤-时，2min ()14m g x =-，于是2224m m -≥-，矛盾! ……………………………8分（ⅲ）当22m->，即4m <-时，min ()(2)52g x g m ==+，于是262m m -≥+，所以8m ≤-．综上，m 的取值范围是8m ≤-．……………………10分（2）因为ln 1()xx h x e +=，所以1ln 1()x x x h x e --'=，所以21()(ln 1)(1)(1ln )[()1]()x xx x x x x x x x g x h x e e +--+--'-==，要证2[()1]()1g x h x e -'-<+，由0x >，即证2(1)1ln 1x e e x x x x -+>--+．设()1ln x x x x ϕ=--，()1x em x x =+，所以()ln 2x x ϕ'=--，当20x e -<<时，()0x ϕ'>；当2x e ->时，()0x ϕ'<．所以当2x e -=时，()1ln x x x x ϕ=--取得最大值为21e -+． 由2()0(1)xxe m x x '=>+，所以()m x 在(0,)+∞单调增，所以()(0)1m x m >=，所以2[()1]()1g x h x e -'-<+． ……………………16分20． （1）82423()03(30)9a a a a =+-=+⨯-=91314()24210a a a a =+⨯-=+⨯=,8919a a ∴+= …………………………2分（2）{}n a 是3级等差数列，332n n n a a a +-+=，2(2sin )2(3)sin(3)2(3)sin(3)n n n n n n ωωωωω+=++++-+-（n ∈*N ） 2sin sin(3)sin(3)2sin cos3n n n n ωωωωωωω∴=++-=（n ∈*N ）所以sin 0n ω=，或cos31ω=，sin 0n ω=对n ∈*N 恒成立时， π()k k ω=∈Zcos31ω=时，2π32π(),(),3k k k k ωω=∈∴=∈Z Z2π{|()}{|π()}3k k k k ωωωωω∴∈=∈=∈Z Z Uω最小正值等于2π3，此时2π2sin 3n n a n =+.……………………6分由于2(32)π2(31)π2(3)πsin sin sin 0333n n n --++=（n ∈*N ）323136(31)n n n a a a n --∴++=-（n ∈*N ）312345632313[126(31)]()()()2n n n n n n S a a a a a a a a a --+-=+++++++++=L 293n n =+（n ∈*N ）…10分 （3）若{}n a 为2级等差数列，222n n n a a a +-+=，则212{},{}n n a a -均成等差数列，设等差数列212{},{}n n a a -的公差分别为12,d d ，{}n a 为3级等差数列，332n n n a a a +-+=，则32{}n a -成等差数列，设公差为D 17,a a 既是中21{}n a -的项，也是32{}n a -中的项，71132a a d D -== 410,a a 既是中2{}n a 的项，也是32{}n a -中的项，104232a a d D -==12332d d D ∴==设122d d d ==，则3D d =所以21111(1)(22)n a a n d a n d -=+-=+-（n ∈*N ）， 2222(1)(22)n a a n d a n d =+-=+-，（n ∈*N ）又4113a a D a d =+=+，42222a a d a d =+=+，所以21a a d =+， 21(21)n a a n d ∴=+-（n ∈*N ）综合得 1(1)n a a n d ∴=+-，显然{}n a 为等差数列．……………………………………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．连结OT .因为AT 是切线,所以OT AP ⊥. ……………………………………2分 又因为PAQ ∠是直角,即AQ AP ⊥,……………4分 所以//AB OT ,所以TBA BTO ∠=∠. ……………………6分 又OT OB =,所以OTB OBT ∠=∠,…………8分 所以OBT TBA ∠=∠,即BT 平分OBA ∠. ……………………………10分B ．1101212013434-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q B =BAA ……………………5分 1213122B --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦ ……………………………10分C ．（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22y ax =(0)a >；直线l 的普通方程为20x y --=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得22(4)28(4)0t a t a -+++= （*） 8(4)0a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t 恰为上述方程的根．则12,PM t PN t ==，12MN t t =-．由题设得()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=．由（*）得121222(4),8(4)0t t a t t a +=+=+>，则有2(4)4(4)0a a +-+=，得1a =，或4a =-．因为0a >，所以1a =．D ．因为000x y x y >>->,,，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-…………4分 232211()()3()3()()x y x y x y x y x y =-+-+≥-=--，…………8分所以2212232x y x xy y +≥+-+．…………………10分22． （1）如图，以1AB AC AA ,,分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则(,0,1)P λ，11(,,0)22N ，1(0,1,)2M ，从而11(,,1)22PN λ=--u u u r ，1(0,1,)2AM =u u u u r ，111()0110222PN AM λ⋅=-⨯+⨯-⨯=u u u r u u u u r ，所以异面直线PN ，AM 所成的角为90o .……………5分（2）平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n AA ==r u u u r．设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，由（1）得1(,1,)2MP λ=-u u u r ．由0,0,m NP m MP ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u r u u u r u r u u u r得11()0,2210.2x y z x y z λλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得21,32(1).3y xz xλλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩令3x=,得(3,21,2(1))mλλ=+-u r．Q平面PMN与平面ABC所成的二面角为45o，|cos,|||||||m nm nm n⋅∴<>===⋅u r ru r ru r r，解得12λ=-．故点P在11B A的延长线上，且112A P=．…………………10分23．（1）228S=，4232S=…………2分；（2）设集合{0}P=，{1,1}Q=-．若12||||||1nx x x+++=L，即123,,nx x x xL，,中有1n-个取自集合P，1个取自集合Q，故共有112nnC-种可能，即为112nC，…………4分同理，12||||||2nx x x+++=L，即123,,,nx x x xL，中有2n-个取自集合P，2个取自集合Q，故共有222nnC-种可能，即为222nC，……若12||||||nx x x m+++=L，即123,,,nx x x xL，中有n m-个取自集合P，m个取自集合Q，故共有2n m mnC-种可能，即为2m mnC，所以1122222n m mm n n nS C C C=++⋅⋅⋅+，…………………6分因为当0k n≤≤时，1knC≥，故10knC-≥,所以1122222n m mm n n nS C C C=+++L001122112(222)(1)2(1)2m m m m n nn n n n n nC C C C C C++<+++++-++-L L0011221112(222222)(222)m m m m n n m m nn n n n n nC C C C C C++++=+++++++-++L L L11(12)(22)n n m++=+--11322n n m++=-+．…………………10分。
江苏省南通市高考数学模拟试卷
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设集合A={1，m}，B={2，3}，若A∩B={3}，则m=．2．（5分）设a∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1﹣i）为纯虚数，则a=．3．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．4．（5分）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．5．（5分）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为．6．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．7．（5分）如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为．9．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是．10．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若?=3，则?=．11．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|?|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为．12．（5分）已知实数x，y满足﹣≤x≤，﹣≤y≤，若2?3x+sinx﹣2=0，9y+sinycosy﹣1=0，则cos（x﹣2y）的值为．13．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinB=，且?=12．（1）求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等差数列，求b的值．16．（14分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面DCC1D1是菱形，且平面DCC1D1⊥平面ABCD，∠D1DC=，E是A1D的中点，F是BD1的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若M是CD的中点，求证：平面D1AM⊥平面ABCD．17．（14分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且=k（k为常数）．（1）求A，B的坐标及常数k的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=x3+x2+kx，k∈R，函数f′（x）为f（x）的导函数．（1）数列{a n}满足a n=，求a1+a2+a3+a4+a5；（2）数列{b n}满足b n+1=f′（b n），①当k=﹣且b1＞1时，证明：数列{lg（b n+）}为等比数列；②当k=0，b1=b＞0时，证明：＜．20．（16分）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1），k∈R．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两题）21．（10分）如图，☉O1，☉O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与⊙O1，⊙O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与⊙O1，⊙O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2）．解答题25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．26．（10分）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2015，使用f（n）具有性质P，求n的最大值．2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016?南通模拟）设集合A={1，m}，B={2，3}，若A∩B={3}，则m=3．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出m的值即可．【解答】解：∵A={1，m}，B={2，3}，且A∩B={3}，∴m=3，故答案为：32．（5分）（2016?南通模拟）设a∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1﹣i）为纯虚数，则a=﹣1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（a+i）（1﹣i）=（a+1）+（1﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）（2016?南通模拟）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出这组数据的平均数，由此再求出这组数据的方差．【解答】解：∵数据4，6，5，8，7，6的平均数为=（4+6+5+8+7+6）=6，∴这组数据的方差为S2=×[（4﹣6）2+2×（6﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（7﹣6）2]=．故答案为：．4．（5分）（2016?南通模拟）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】男生2名记为A，B，女生1名记为C，一一列举并根据概率公式计算即可．【解答】解：男生2名记为A，B，女生1名记为C，现从中任选2名学生，共有AB，AC，BC，3种选择方法，恰有一名男生与一名女生的有有AC，BC，2种故则恰有一名男生与一名女生的概率为，故答案为：5．（5分）（2016?南通模拟）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为﹣4．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．【解答】解：由11a5=5a8，得6a1 +9d=0，又a1=﹣3，故d=2．故a n =﹣3+（n﹣1）2=2n﹣5，故此数列为递增数列．故等差数列{a n}的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）=﹣4，故答案为﹣4．6．（5分）（2013?徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．7．（5分）（2016?南通模拟）如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，圆锥筒的高，利用圆锥的体积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则×2π×2=2π r，∴r=1，这个圆锥筒的高为：=，这个圆锥筒的容积为：=．故答案为：．8．（5分）（2016?南通模拟）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：是梯形，由可得A（a，a），解得B（a﹣1，a），平面区域的面积是2，可得梯形的面积为：a2﹣=2．解得a=，故答案为：．9．（5分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间【解答】解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k?﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z10．（5分）（2016?南通模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若?=3，则?=﹣3．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AD=，E为BC中点，∴A（0，0），B（3，0），D（0，），设C（x，），∴=（3，0），=（x，），∵?=3，∴3x=3，解得x=1，∴C（1，），∵E为BC中点，∴E（，），即为（2，），∴=（2，），=（﹣2，），∴?=2×（﹣2）+×=﹣4+1=﹣3故答案为：﹣3．11．（5分）（2016?南通模拟）已知F1，F2是椭圆+=1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|?|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，利用基本不等式的性质可得：|PF1|+|PF2|≥，化简整理即可得出．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得：+﹣2|PF1||PF2|cosθ=（2c）2=16．++2|PF1||PF2|=4m2．相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】解：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，∴2m=|PF1|+|PF2|≥=2，化为，又m＞2，解得．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得：+﹣2|PF1||PF2|cosθ=（2c）2=16．++2|PF1||PF2|=4m2．相减可得：1+cosθ=．∵θ∈[0，π），∴0＜≤2．m≥2∴2≤m≤+．∴==∈，∴该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：．12．（5分）（2016?南通模拟）已知实数x，y满足﹣≤x≤，﹣≤y≤，若2?3x+sinx﹣2=0，9y+sinycosy﹣1=0，则cos（x﹣2y）的值为1．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设f（u）=u3+sinu，根据题设等式可知f（x）=2，f（2y）=2，可得f（x）=f（2y），利用单调性进而推断出x﹣2y=0，进而求得cos（x﹣2y）的值．【解答】解：实数x，y满足﹣≤x≤，﹣≤y≤，若2?3x+sinx﹣2=0，9y+sinycosy ﹣1=0，设f（u）=2?3u+sinu，由题意得f（u）=2，f（x）=2．由9y+sinycosy﹣1=0，即32y+sin2y﹣1=0，即2?32y+sin2y=2，故f（2y）=2．因为f（u）在区间[﹣，]上是单调函数，∴f（x）=f（2y），∴x=2y，即x﹣2y=0．∴cos（x﹣2y）=cos0=1，故答案为：1．13．（5分）（2016?南通模拟）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【考点】曲线与方程．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，可得≥20（a2+b2）min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min=那么a2+b2的最小值为：d2=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，∴≥20（a2+b2）min=4，∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥1+p+2=1+p+2，当且仅当tan2θ=时取等号．∴1+p+2≥4，p＞0，解得1≤p．∴tanθ=1，即时取等号．故答案为：[1，+∞）．14．（5分）（2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞或a＜﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】设以MN为直径的圆的圆心为A，得到MN的中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得a．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣2，0），N（0，2），所以中点A （﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜﹣；所以a的取值范围是a＞或a＜﹣；故答案为：a＞或a＜﹣．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016?南通模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinB=，且?=12．（1）求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等差数列，求b的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；解三角形．【分析】（1）展开数量积，可得cosB＞0，由sinB=，求得cosB，进一步得到ac，代入三角形面积公式求得答案；（2）由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，结合余弦定理即可求得b值．【解答】解：（1）由?=12，得ca?cosB=12，可得cosB＞0，由sinB=，可得cosB=，即有ac=13，∴；（2）由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，在△ABC中，由余弦定理得，即，解得b=．16．（14分）（2016?南通模拟）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面DCC1D1是菱形，且平面DCC1D1⊥平面ABCD，∠D1DC=，E是A1D的中点，F是BD1的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若M是CD的中点，求证：平面D1AM⊥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AD1，利用中位线定理得出EF∥AB，故而EF∥平面ABCD；（2）连结CD1，则△D1DC为等边三角形，于是D1M⊥CD，利用面面垂直的性质得出D1M ⊥平面ABCD，故而平面D1AM⊥平面ABCD．【解答】证明：（1）连结AD1，∵四边形AA1D1D是平行四边形，E是A1D的中点，∴E是AD1的中点，又F是BD1的中点，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（2）连结CD1．∵四边形CDD1C1是菱形，∠D1DC=，∴△D1DC是等边三角形，∵M是CD的中点，∴D1M⊥CD，又平面DCC1D1⊥平面ABCD，平面DCC1D1∩平面ABCD=CD，∴D1M⊥平面ABCD，又D1M?平面D1AM，∴平面D1AM⊥平面ABCD．17．（14分）（2016?南通模拟）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由题意，QP，交AB于E利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求l的最小值．【解答】解：（1）由题意，延长QP，交AB于E，则=（﹣θ），△BPE中，∠EPB=θ，∠EBP=﹣θ，∠BEP=，∴EP=sin（﹣θ），EB=sinθ，∴PQ=2﹣sin（﹣θ），QD=2﹣sinθ，∴l=﹣θ+2﹣sin（﹣θ）+2﹣sinθ=4﹣sin（﹣θ）﹣sinθ+﹣θ=4﹣2sin（θ+）+﹣θ（0＜θ＜）；（2）l′=﹣2cos（θ+）﹣1，∴0＜θ＜时，l′＜0，＜θ＜，时，l′＞0，∴θ=时，l取得最小值，最小值为（4﹣+）百米．18．（16分）（2016?南通模拟）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且=k（k为常数）．（1）求A，B的坐标及常数k的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【考点】圆方程的综合应用．【专题】方程思想；分析法；直线与圆．【分析】（1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，可得圆的方程，再由恒等思想，即可得到所求；（2）由圆x2+y2=1的参数方程，可设N（（cosθ，sinθ），由中点坐标公式可得M的坐标，代入圆的方程，化简整理，运用辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设P（x，y），由|PA|=k|PB|，（k＞0且k≠1）可得=k，平方可得，（k2﹣1）（x2+y2）+（2a﹣2k2m）x+（4﹣2k2）y+k2（m2+1）﹣a2﹣4=0，由P的轨迹方程为x2+y2=4，可得，解得k=，m=1，a=2，即有A（2，2），B（1，1），k=；（2）由圆x2+y2=1的参数方程，可设N（（cosθ，sinθ），由M点恰好是线段NE的中点，可得M（，），代入圆方程，可得（）2+（）2=1，化简可得4cosθ+2tsinθ=﹣1﹣t2，由辅助角公式可得sin（θ+φ）=﹣1﹣t2，由|sin（θ+φ）|≤1，可得|﹣1﹣t2|≤，即为t4﹣2t2﹣15≤0，即有﹣3≤t2≤5，解得﹣≤t≤．则实数t的取值范围是[﹣，]．19．（16分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=x3+x2+kx，k∈R，函数f′（x）为f（x）的导函数．（1）数列{a n}满足a n=，求a1+a2+a3+a4+a5；（2）数列{b n}满足b n+1=f′（b n），①当k=﹣且b1＞1时，证明：数列{lg（b n+）}为等比数列；②当k=0，b1=b＞0时，证明：＜．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得a n===﹣，运用裂项相消求和即可得到所求值；（2）求得当k=﹣且b1＞1时，b n+1=b n2+b n﹣，两边同加，配方后，取常用对数，由等比数列的定义，即可得证；②求得b n+1=b n2+b n，即有=﹣，即有﹣=，运用裂项相消求和，可得，﹣=++…+，再将原不等式左边化简，由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+x2+kx的导数为f′（x）=x2+x+k，a n===﹣，可得a1+a2+a3+a4+a5=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（2）证明：①当k=﹣且b1＞1时，b n+1=f′（b n）=b n2+b n﹣，即有b n+1+=b n2+b n+=（b n+）2，两边取常用对数，可得lg（b n+1+）=lg（b n+）2=2lg（b n+），则数列{lg（b n+）}为首项为lg（b1+），公比为2的等比数列；②当k=0，b1=b＞0时，b n+1=b n2+b n，即有=﹣，即有﹣=，可得﹣=，﹣=，…，﹣=，相加可得，﹣=++…+，则=++…+=++…+=﹣＜，则原不等式成立．20．（16分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1），k∈R．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）将k=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，根据y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，得到e k﹣1＞1，解出即可；（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx﹣k（x﹣1）+x，求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，问题转化为需e k﹣2≤1，解出即可．【解答】解：（1）k=1时，f（x）=xlnx﹣x+1，x＞0，f′（x）=lnx+1﹣1=lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=lnx+1﹣k，令f′（x）＞0，解得：x＞e k﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜e k﹣1，∴f（x）在（0，e k﹣1）递减，在（e k﹣1，+∞）递增，而f（1）=0，∴只需e k﹣1＞1，解得：k＞1；（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx﹣k（x﹣1）+x，g′（x）=lnx+2﹣k，令g′（x）＞0，解得：x＞e k﹣2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e k﹣2，∴g（x）在（0，e k﹣2）递减，在（e k﹣2，+∞）递增，∴只需e k﹣2≤1，即k﹣2≤0，解得：k≤2，故存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，k的最大值是2．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两题）21．（10分）（2016?南通模拟）如图，☉O1，☉O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与⊙O1，⊙O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与⊙O1，⊙O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】运用圆的内接四边形的性质，及圆周角定理，得出∠A=∠PBD，即可证明结论．【解答】证明：连结PQ，因为四边形ACQP是☉O1的内接四边形，所以∠A=∠PQD， (3)分又在⊙O2中，∠PBD=∠PQD，…6分所以∠A=∠PBD，…8分所以AC∥BD附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；矩阵和变换．【分析】由题意及矩阵乘法的意义可得：BA==，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．【解答】解：∵A=（0＜θ＜2π），B=（0＜k＜1），∴由题意可得：BA==，∴=，解得：，∵0＜θ＜2π，0＜k＜1，∴解得：k=，θ=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016?南通模拟）在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，判断出点P与圆的位置关系，即可得出切线方程．【解答】解：点P（，）化为直角坐标：P（1，1）．曲线ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心（1，0），半径r=1．由于点P满足圆的方程，可得切线方程为：y=1．化为极坐标方程：ρsinθ=1．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016?南通模拟）已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2）．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】运用绝对值不等式可得|b|﹣|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，将原不等式左边分解因式，结合分析法证明，即可得证．【解答】证明：由|b|﹣|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，|a2+2a﹣b2+2b |=|（a+b）（a﹣b）+2（a+b）|=|a+b|?|a﹣b+2|≤2|a﹣b+2|，要证|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2），即证|a﹣b+2|≤2（|a|+2），由于|a﹣b+2|≤|a|+|b|+2，即证|a|+|b|+2≤2（|a|+2），即为|b|≤|a|+2，显然成立．故原不等式成立．解答题25．（10分）（2016?南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；=λ，可得C（λ，2，0）．（1）=（λ，2，﹣2），=（﹣1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得=，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2），平面PCD的法向量=（x，y，z）．则且，即：x+y﹣z=0，y﹣z=0，∴x=0，不妨去y=z=1，平面PCD的法向量=（0，1，1）．又=（1，0，2）．故cos==．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．26．（10分）（2016?南通模拟）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2015，使用f（n）具有性质P，求n的最大值．【考点】二项式定理的应用．【专题】综合题；二项式定理．【分析】（1）f（7）=（a+b）7，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，可得结论；（2）由题意，2C n r=C n r﹣1+C n r+1，整理可得4r（n﹣r）=（n﹣2）（n+1），可得（n﹣2）（n+1）能被4整除，从而n﹣2或n+1为偶数时，必须能被4整除，结合n≤2015，即可求n的最大值．【解答】（1）证明：f（7）=（a+b）7，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f（7）具有性质P．（2）解：由题意，2C n r=C n r﹣1+C n r+1，整理可得4r（n﹣r）=（n﹣2）（n+1），∴（n﹣2）（n+1）能被4整除，∵n﹣2、n+1一奇一偶，∴n﹣2或n+1为偶数时，必须能被4整除，∵n≤2015∴n的最大值为2012．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；742048；whgcn；caoqz；minqi5；qiss；w3239003；沂蒙松；changq；zhczcb；刘长柏；双曲线；刘老师；lcb001（排名不分先后）菁优网2016年11月9日。
【精品】2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(5)
2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（5）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={1}，B={1，9}，则A∪B=．2．（5.00分）已知实数a，b满足（9+3i）（a+bi）=10+4i（其中i为虚数单位），则a+b的值为．3．（5.00分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为．4．（5.00分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于32cm2的概率为．5．（5.00分）如图是某校限时12min跑体能达标测试中计算每一位参加测试的学生所跑路程S（单位：m）及时间t（单位：min）的流程图，每跑完一圈（400m），计一次路程，12min内达标或超过12min则停止计程．某同学成功通过该项测试，则该同学所跑路程至少为m．6．（5.00分）已知向量，满足||=1，||=3，+=（，1），则|﹣|=．7．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，“双曲线C的标准方程为﹣=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±x”成立的条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种）8．（5.00分）设a，b，c为空间中三条不同的直线，给出如下两个命题：①若a∥b，b⊥c，则a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c．试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设α，β，γ为三个不同的平面，．9．（5.00分）若函数是偶函数，则实数a的值为．10．（5.00分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是．11．（5.00分）在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，且AB=BC=CD=1cm，则四面体ABCD的外接球的表面积为cm2．12．（5.00分）已知正五边形ABCDE的边长为，则的值为．13．（5.00分）设集合A={x|x（x﹣a）＜0}，B={x|x2﹣7x﹣18＜0}，若A?B，则实数a的取值范围为．14．（5.00分）已知两个等比数列{a n}，{b n}满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，则a=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的所对边的长，若acosB=1，bsinA=，且A﹣B=．（1）求a的值；（2）求tanA的值．16．（14.00分）如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：（1）EF=BC；（2）平面EFD⊥平面ABC．17．（14.00分）已知函数f（x）=x3+ax+b的图象关于坐标原点对称，且与x轴相切．（1）求实数a，b的值．（2）是否存在正实数m，n，使函数g（x）=3﹣|f（x）|在区间[m，n]上的值域仍为[m，n]？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．18．（16.00分）如图是一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°．拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．设EB=x，EF=y（单位：m）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）试确定点E，F的位置，使直路EF长度最短．19．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：3x+2y﹣8=0，圆M：（x ﹣3）2+（y﹣2）2=1．（1）设A，B分别为直线l与圆M上的点，求线段AB长度的取值范围；（2）试直接写出一个圆N（异于圆M）的方程（不必写出过程），使得过直线l 上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T M，T N，且PT M=PT N；（3）求证：存在无穷多个圆N（异于圆M），满足对每一个圆N，过直线l上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T M，T N，且PT M=PT N．20．（16.00分）定义：从一个数列{a n}中抽取若干项（不少于三项）按其在{a n}中的次序排列的一列数叫做{a n}的子数列，成等差（比）的子数列叫做{a n}的等差（比）子列．（1）求数列1，，，，的等比子列；（2）设数列{a n}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1．（i）试给出一个{a n}，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；（ii）若{a n}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[几何证明选讲]21．（10.00分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM 的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA?PC．B．[矩阵与变换]22．（10.00分）已知a，b∈R，矩阵所对应的变换T A将直线2x﹣y﹣3=0变换为自身，求实数a，b的值．C．[极坐标与参数方程]23．设直线l：（l为参数）与曲线C：（t为参数，实数a≠0）交于不同两点，求实数a的取值范围．D．[不等式选讲]24．求不等式．二、[必做题]第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10.00分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD=1，D1D=λ（λ＞0），若棱C1C上存在唯一的一点P满足A1P⊥PB，求实数λ的值．26．（10.00分）设n是给定的正整数，有序数组（a1，a2，…，a2n）同时满足下列条件：①a i∈{1，﹣1}，i=1，2，…，2n；②对任意的1≤k≤l≤n，都有．（1）记A n为满足“对任意的1≤k≤n，都有a2k﹣1+a2k=0”的有序数组（a1，a2，…，a2n）的个数，求A n；（2）记B n为满足“存在1≤k≤n，使得a2k﹣1+a2k≠0”的有序数组（a1，a2，…，a2n）的个数，求B n．2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（5）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={1}，B={1，9}，则A∪B={1，9} ．【分析】根据集合A和B，找出既属于集合A，又属于集合B的元素，即可确定出两集合的并集．【解答】解：∵A={1}，B={1，9}，∴A∪B={1，9}．故答案为：{1，9}【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的意义是解本题的关键．2．（5.00分）已知实数a，b满足（9+3i）（a+bi）=10+4i（其中i为虚数单位），则a+b的值为．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（9+3i）（a+bi）=10+4i，∴9a﹣3b+（3a+9b）i=10+4i，∴9a﹣3b=10，3a+9b=4，解得a=，b=，∴a+b=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．3．（5.00分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100．【分析】由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）．故答案为：100【点评】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属于简单题型，注意纵坐标意义．4．（5.00分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于32cm2的概率为．【分析】求出矩形面积大约8的等价条件，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：设AC=x，则CB=12﹣x，则矩形的面积S=x（12﹣x），由x（12﹣x）＞32得x2﹣12x+32＜0，解得4＜x＜8，根据几何概型的概率公式可得所求的概率P==，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用条件求出矩形面积大于32cm2的等价条件是解决本题的关键．5．（5.00分）如图是某校限时12min跑体能达标测试中计算每一位参加测试的学生所跑路程S（单位：m）及时间t（单位：min）的流程图，每跑完一圈（400m），计一次路程，12min内达标或超过12min则停止计程．某同学成功通过该项测试，则该同学所跑路程至少为2000m．【分析】12min内达标或超过12min则停止计程，结合程序框图可知，该同学成功通过该项测试所跑路程至少为2000m．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，t=0满足条件S≤2000且t≤12，S=S+400=400满足条件S≤2000且t≤12，S=S+400=800满足条件S≤2000且t≤12，S=S+400=1200满足条件S≤2000且t≤12，S=S+400=1600满足条件S≤2000且t≤12，S=S+400=2000满足条件S≤2000且t≤12，S=S+400=2400不满足条件S≤2000且t≤12，退出循环，输出S的值为2400m，因为12min内达标或超过12min则停止计程，该同学成功通过该项测试，故由程序运行可知该同学所跑路程至少为2000m．故答案为：2000．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确理解题意，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，属于基础题．6．（5.00分）已知向量，满足||=1，||=3，+=（，1），则|﹣|=4．【分析】计算得出，再计算（）2，开方即可．【解答】解：（）2=+2+=10+2．∵+=（，1），∴（）2=4，∴10+2=4．解得=﹣3．∴（）2=﹣2+=10﹣2=16．∴|﹣|=4．故答案为4．【点评】本题考查了平面向量的数量级运算，属于基础题．7．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，“双曲线C的标准方程为﹣=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±x”成立的充分非必要条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种）【分析】利用双曲线的渐近线的定义及其求法即可判断出结论．【解答】解：双曲线C的标准方程为﹣=1”可得：“双曲线C的渐近线方程为y=±x”，反之不成立，例如双曲线=1是渐近线方程仍然为y=±x．∴，“双曲线C的标准方程为﹣=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±x”成立的充分非必要条件．故答案为：充分非必要．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5.00分）设a，b，c为空间中三条不同的直线，给出如下两个命题：①若a∥b，b⊥c，则a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c．试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设α，β，γ为三个不同的平面，若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ．【分析】根据已知的两个命题，类比：一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，是正确的；若类比α⊥β，β⊥γ，则α∥γ是错误的．【解答】解：由已知可以类比①为若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；由面面平行和面面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理可以判断是正确命题；故答案为：若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力，以及对每个命题涉及的定理定义等熟练掌握并能灵活运用它们解题9．（5.00分）若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，考查特值法的应用，属于基础题．10．（5.00分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）．【分析】由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x＜0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴不等式可转化为：f（x）x＜0根据条件可作一函数图象：∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）【点评】本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题．11．（5.00分）在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，且AB=BC=CD=1cm，则四面体ABCD的外接球的表面积为3πcm2．【分析】把四面体扩展为正方体，求出正方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出表面积．【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一部分，如图，正方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以直径为：，所以球的表面积为：4π（）2=3π．故答案为：3π．【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力．12．（5.00分）已知正五边形ABCDE的边长为，则的值为6．【分析】取线段AE的中点F，由正五边形的对称性知AF为在上的投影，结合数量积的几何意义即可求出结果．【解答】解：如图取线段AE的中点F，连接CA，CE，CF．由正五边形的对称性知：CA=CE，∴△CAE为等腰三角形，CF⊥AE，∴在上的投影为AF知==6．【点评】本题考查向量数量积的几何意义，求得CA在AE上的投影是关键，属于基础题．13．（5.00分）设集合A={x|x（x﹣a）＜0}，B={x|x2﹣7x﹣18＜0}，若A?B，则实数a的取值范围为[﹣2，9] ．【分析】由题意知化简B=（﹣2，9），再讨论a以确定集合A，从而由A?B求得．【解答】解：由题意知，B=（﹣2，9），当a＞0时，A=（0，a），则由A?B得，0＜a≤9；当a＜0时，A=（a，0），则由A?B得，﹣2≤a＜0；当a=0时，A=?，也成立；综上可得，实数a的取值范围为[﹣2，9]．故答案为：[﹣2，9]．【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．14．（5.00分）已知两个等比数列{a n}，{b n}满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，则a=．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得（2+aq）2=（1+a）（3+aq2），根据a＞0，△=4a2+4a＞0，可得此方程必有一根为0，由此解得a的值．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，∴b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2 ；∵b1，b2，b3成等比数列，由题意可得（2+aq）2=（1+a）（3+aq2），整理得关于未知数q的方程：aq2﹣4aq+3a﹣1=0．∵a＞0，∴△=4a2+4a＞0，关于公比q的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积等于3﹣．再由数列{a n}唯一，公比q的值只能有一个，故这两个q的值必须有一个不满足条件．再由公比q的值不可能等于0，可得方程aq2﹣4aq+3a﹣1=0必有一根为0，把q=0代入此方程，求得a=．故答案为：．【点评】本题主要考查等比数列的通项，等比中项及方程思想，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的所对边的长，若acosB=1，bsinA=，且A﹣B=．（1）求a的值；（2）求tanA的值．【分析】（1）由正弦定理可知bsinA=asinB，进而利用acosB=1，相加即可求得a．（2）根据第一问先求得tanB的值，进而求得A和B的关系，利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）由正弦定理知，bsinA=asinB=，①，又acosB=1，②①，②两式平方相加，得（asinB）2+（acosB）2=3，因为sin2B+cos2B=1，所以a=（负值已舍）；（2）①，②两式相除，得=，即tanB=，因为A﹣B=，∴A=B+，∴tanA=tan（B+）===﹣﹣3﹣2【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键．16．（14.00分）如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：（1）EF=BC；（2）平面EFD⊥平面ABC．【分析】（1）利用平面与平面平行的性质，可得EG∥BD，利用G为AD的中点，可得E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，即可证明EF=BC；（2）证明AB⊥平面EFD，即可证明平面EFD⊥平面ABC．【解答】证明：（1）因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，所以EG∥BD，…（4分）又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以EF=BC．…（7分）（2）因为AD=BD，由（1）知，E为AB的中点，所以AB⊥DE，又∠ABC=90°，即AB⊥BC，由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，又DE∩EF=E，DE，EF?平面EFD，所以AB⊥平面EFD，…（12分）又AB?平面ABC，故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14.00分）已知函数f（x）=x3+ax+b的图象关于坐标原点对称，且与x轴相切．（1）求实数a，b的值．（2）是否存在正实数m，n，使函数g（x）=3﹣|f（x）|在区间[m，n]上的值域仍为[m，n]？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件，说明函数是奇函数，求出b的值，利用函数与x 轴相切，求出a的值即可；（2）假设存在正实数m，n满足题意，因g（x）=3﹣x3在区间[m，n]上是减函数，利用?，两式相减，结合基本不等式，即可得到与条件矛盾，此时m，n不存在．【解答】解：（1）由f（x）的图象关于坐标原点对称，即有f（﹣x）=﹣f（x）可得b=0，设曲线C与x轴切于T（t，0），则??a=t=0?f（x）=x3．（2）假设存在正实数m，n满足题意．因g（x）=3﹣x3在区间[m，n]上是减函数，故?，两式相减可得m2+mn+n2=1?（m+n）2﹣mn=1，由于mn＜?（m+n）2﹣＜1?m+n＜．由0＜m＜n，?m＜，n＜?m3+n＜＜3，与条件矛盾，此时m，n不存在．【点评】本题考查函数的导数与曲线的切线方程的求法，函数的零点，函数的值域的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18．（16.00分）如图是一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°．拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．设EB=x，EF=y（单位：m）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）试确定点E，F的位置，使直路EF长度最短．【分析】（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S?ABCD，即?EB?h=AB?h，从而确定点E的位置；（2）点E在线段AB上，分10≤x≤20与0≤x＜10讨论以确定y关于x的函数关系式，从而利用分段函数解得；（3）当0≤x＜10时，y=2由二次函数求最小值，当10≤x≤20时，y=由基本不等式求最值；从而可得．【解答】解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S?ABCD，即?EB?h=AB?h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点．（2）∵点E在线段AB上，∴0≤x≤20，当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，∴S?ABCD=AB?BC?sin∠ABC=20×10×=100．由S△EBF=x?BF?sin120°=25得，BF=，所以由余弦定理得，y=EF==，当0≤x＜10时，点F在线段CD上，由S四边形EBCF=（x+CF）×10×sin60°=25得，CF=10﹣x，当BE≥CF时，EF=，当BE＜CF时，EF=，化简均为y=EF=2，综上所述，y=；（3）当0≤x＜10时，y=2，当x=时，y有最小值y min=5，此时CF=；当10≤x≤20时，y=≥=10＞5，故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用及基本不等式与二次函数的性质应用，属于中档题．19．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：3x+2y﹣8=0，圆M：（x ﹣3）2+（y﹣2）2=1．（1）设A，B分别为直线l与圆M上的点，求线段AB长度的取值范围；（2）试直接写出一个圆N（异于圆M）的方程（不必写出过程），使得过直线l 上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T M，T N，且PT M=PT N；（3）求证：存在无穷多个圆N（异于圆M），满足对每一个圆N，过直线l上任一点P均可作圆M与圆N的切线，切点分别为T M，T N，且PT M=PT N．【分析】（1）利用圆心到直线的距离以及垂径定理集合圆的直径求解即可．（2）判断圆的位置关系，写出方程即可．（3）设圆N：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0，a≠3），利用PT M=PT N，推出2a﹣3b）x+r2﹣a2﹣b2+8b﹣4=0．列出方程组，化简证明即可．【解答】解：（1）易得圆心M（3，2）到直线l：3x+2y﹣8=0的距离，故直线l与圆M相离，从而，所以线段AB长的取值范围是．（5分）（2）易得圆M关于直线l对称的圆必满足题意，故满足题意的一个圆N的方程为：．（8分）（3）设圆N：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0，a≠3），由PT M=PT N，得PM2﹣1=PN2﹣r2，即（x﹣3）2+（y﹣2）2﹣1=（x﹣a）2+（y﹣b）2﹣r2，（10分）整理得，2（a﹣3）x+（b﹣2）?2y+r2+12﹣a2﹣b2=0，因为3x+2y﹣8=0，所以2y=8﹣3x，。
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(5)含答案
2016年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．设a R ∈，复数212a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分 为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8， 乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．6．设函数24 6 ,0,()6, 0,x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是 ▲ ．7．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和 点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为 ▲ ．9．若tan()24πα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．10．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(],1-∞，则A = ▲ ． 11．数列{}n a 中10a =，47a =-，对n N *∀∈，当2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a a a +--=--，则数列{}n a 的前n 项的和为 ▲ ．12．设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 13．在ABC ∆中，45B =，,M N 分别为边,AC AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅，则BA BCBC BA+的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上,若圆M 上不存在点N ，使12NO NA =,其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若23AB AC ⋅=，求A 的值；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且1c =，求b ．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点．（1）求证：//MN 面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM AD ⊥．17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m ，渠深为2m ． （1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a ba b +=>>的右顶点与上顶点分别为,A B ，且过点． （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于,P Q 两点，直线,BQ AP 的斜率互为相反数．①求证：直线l 的斜率为定值；②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为12,S S ，求1S的最大值．（第17题图）19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x mx m x x=-+-，2()1g x x mx =++，m R ∈． （1）当0m <时，①求()f x 的单调区间；②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥成立，求m 的取值范围；（2）设ln 1()xx h x e+=的导函数()h x '，当1m =时，求证：2[()1]()1g x h x e -'-<+（其中e 是自然对数的底数）．20．（本小题满分16分）若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得2n k n k n a a a +-+=对一切,n n k ∈>*N 都成立，则称数列{}n a 为k 级等差数列．（1）已知数列{}n a 为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a +的值；（2）若2sin (n a n n ωω=+为常数），且{}n a 是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；（3）若{}n a 既是2级等差数列，{}n a 也是3级等差数列，证明：{}n a 是等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点BC 、.求证:BT 平分OBA ∠.B ．（选修４－２：矩阵与变换）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线错误！未找到引用源。
江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题6
解：〔 1〕由 f ( x) g ( x) e x得， f ( x) g ( x) e x，因为 f ( x) 是奇函数，g (x) 是偶函数，所以 f ( x)g( x) e x，从而 f ( x)e x e x e x +e x2， g (x)2(4 分)〔 2〕当 x0 时， e x1，0 e x 1 ，所以 f ( x)0 ， g (x)e x +e x x x1 .(6分 )2 e e由〔 1〕得， f ( x)当x 0 时，f ( x)xf (x)x设函数 P(x) f (x)e x +e xg( x) ， g ( x)e x e xf ( x) ， (8分)22ag( x)(1a) f ( x)axg( x)(1a) x ，bg( x)(1b) f ( x)bxg( x)(1b) x ，cxg ( x)(c1)x ， (10分 )那么 P (x) f( x) c g( x)xg ( x) (c 1) (1c) g( x) 1 cxf ( x) ， (12 分 )假设 c ≤0 ，x 0 ，那么 P( x)0 ，故 P( x) 为 0 ，上增函数，所以 P( x)P(0)0，假设c≥1 ， x0 ，那么P ( x)0 ，故 P(x) 为 0 ，上减函数，所以 P( x)P (0)0，综上知， ag( x) (1 a)f ( x)分〕bg( x) (1 b) . 〔16x20．〔此题总分值16 分〕设 f k (n) 为关于n的k ( k N )次多项式．数列{a n}的首项a11，前n项和为 S n．对于任意的正整数 n，a n S n f k (n) 都成立．〔 1〕假设 k0 ，求证：数列 { a n} 是等比数列；〔 2〕试确定所有的自然数k，使得数列{ a n}能成等差数列．解：〔 1〕假设 k 0 ，那么 f k (n) 即 f0 (n ) 为常数，不妨设f0 ( n)c 〔c为常数〕．因为 a S f(n)恒成立，所以a S c ，即 c2a2．n n k111而且当 n≥2 时， a n S n 2 ，①a n1S n1 2 ，②①－②得 2a n a n 10( n N ，n≥2)．假设 a n=0，那么a n1 =0 ，, ，a1=0，与矛盾，所以a n0( n N*)．故数列 { a n} 是首项为1，公比为1的等比数列．〔 4分〕2〔2〕 (i) 假设k=0，由〔 1〕知，不符题意，舍去．〔 6 分〕(ii)假设 k=1，设f1( n)bn c 〔b，c为常数〕，当 n≥2 时， a n S n bn c ，③a n1S n1b(n1) c ，④③－④得2a n a n1 b (n N，n≥2)．要使数列 { a n} 是公差为d〔d为常数〕的等差数列，必须有 a n b d 〔常数〕，而 a =1，故{ a }只能是常数数列，通项公式为a=1n N*，1n n故当 k=1时，数列{ a n}能成等差数列，其通项公式为a n=1n N*，此时f1( n) n 1 ．〔9 分〕(iii)假设 k=2，设f2(n)an 2bn c 〔 a0 ，a，b，c是常数〕，当 n≥2 时， a n S n an2bn c，⑤a n 1S n2b(n1) c ，⑥1 a( n 1)⑤－⑥得2a n a n 12an b a(n N，n≥2)，要使数列 { a n} 是公差为d〔d为常数〕的等差数列，必须有a n 2an b a d ，且d=2a，考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕B．选修 4— 2：矩阵与变换〔本小题总分值10 分〕设 x 为实数．假设矩阵M 15为不可逆矩阵，求 M 2．2x解：依题意， x10 ，〔4 分〕所以M21515945．〔 10 分〕2102101890C．选修 4— 4：极坐标与参数方程〔本小题总分值10 分〕极坐标系中的曲线2sin与曲线 sinπ2交于A，B 两点，求线段cos4AB的长．2sin 2y ；〔 4 分〕解：曲线 cos化为 xsin π2同样可化为 x y2，〔8 分〕4联立方程组，解得 A (1，1)，B (－ 2，4) ，所以 AB(12)2(14)23 2 ．〔10 分〕D．选修 4— 5：不等式选讲〔本小题总分值 10 分〕设 a1，a2，a3均为正数，且a1a2a3 1 ，求证：111≥9.a1a2a3证明：因为 a1，a2，a3均为正数，且a1a2a3 1 ，11 1 11 3所以111(a1a2a3 )111≥3 a1 a2 a33 39 ，a1a2a3a1a2a3a1 a2 a3〔当且仅当 a1a2a31时等号成立〕〔 8 分〕3所以111≥9.〔10分〕D1C1 a1a2a3A1B1【必做题】第 22、23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域〔第 22 题〕内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值 10分〕如图，在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1中， AB 1， A 1PAC 1 (01) ．〔 1〕假设1PB 与 PD 所成角的正弦值；2 ，求直线〔 2〕假设直线 AC平面 PBD ，XX 数的值．1解： 如图，以 D 为坐标原点，分别以DA ， DC ，D D 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角1坐标系 Oxyz ，则 A (1，0，0)， B (1，1，0)， C (0，1，0)， D (0，0，0)，A 1(1，0，1)， B 1(1，1，1) ，1(0，1，1) ，1(0，0，1)，CD〔1〕由1得P 1，1，1，222 2所以PB1 ，1， 1 ， 1，1，1，2 2 2 PD2221 1 1 1所以 cos PBPD4 4 4 ，3332 2所以，直线 PB 与 PD 所成角的正弦值为2 2．〔5分〕3〔 2〕易得AC 1，， 1，1 1由A 1 P AC 1，，1)得， P(1 ，， 1) ，( 1 1此时 BP (，1，1) ，因为 AC平面 PBD，所以 BPA C11，从而 AC 1 BP0 ，即11 0 ，解得2 ．〔 10 分〕323．〔本小题总分值 10分〕设 i 为虚数单位， n 为正整数．〔 1〕证明： (cosxisin ) n cos nx isinnx ；x11〔 2〕结合等式“n(1cos x) isin n〞证明：1 (cos x isin x)x12n2 n cos nx cosnx1 C n cos x C n cos2 xC n cosnx2 2 ． 证明：〔 1〕①当 n 1 时， cos xisin x cos x isin x ，即证；②假设当 n k 时， (cos x isin x)kcos kxisin kx 成立，那么当 nk 1 时， (cos x isin x) k1cos kxisin kx (cos x isin x)coskx cos x sin kx sin xsin kx cos x sin x coskx icos k1 xisin k 1 x ，故命题对 n k 1 时也成立，由①②得， (cos xisin x)ncosnx isin nx ；〔 5 分〕〔2〕由〔1〕知，nnnC n r(cos x isin x)rC n r(cos rx isin rx) ，1 (cos x isin x)r 0r 0其实部为 1 C 1n cos x C n 2 cos2 xC n n cosnx ；nnn(1 cos x) isin x2 xx xn n xxx2cos 22isin 2 cos 22 cos 2 cos 2 isin 2nn xnxnx，2 cos 2 cos 2 isin 2其实部为 2n cosn xcosnx ，22根据两个复数相等，其实部也相等可得：12cos2 x ncos nx 2n cosnxcos nx．〔 10 分〕1 C n cos x C n C n 2212。
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)
2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．（ 5 分）设集合 A= { 1，m} ， B= { 2， 3} ，若 A ∩B={ 3} ，则 m= ． 2．（ 5 分）设 a ∈ R ， i 是虚数单位，若（ a+i ）（ 1﹣ i ）为纯虚数，则 a=． 3．（ 5 分）已知一组数据 4，6， 5， 8，7， 6，那么这组数据的方差为 ． 4．（ 5 分）某兴趣小组有男生 2 名，女生 1 名，现从中任选 2 名学生去参加问卷调查，则恰 有一名男生与一名女生的概率为 ． 5．（ 5 分）等差数列 { an} 中， a1=﹣3， 11a5=5a8，则其前 n 项和 Sn 的最小值为 ． 6．（ 5 分）如图是一个算法的流程图，若输入 n 的值是 10，则输出 S 的值是 ．7．（5 分）如图，用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 那么这个圆锥筒的容积是 ．8．（ 5 分）不等式组 表示的平面区域的面积为 2，则实数 a 的值为 ．9．（ 5 分）已知函数 f （x ） =2sin （ ωx+ ）（ ω＞ 0），函数 f （x ）的图象与 x 轴两个相邻交点的距离为 π，则 f （x ）的单调递增区间是 ．10．（ 5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ ADC=90 °，AB=3 ， AD= ， E 为BC 中点，若 ? =3，则 ? = ．第 1 页（共 23 页）11．（5 分）已知 F 1， F 2 是椭圆 + =1（ m ＞ 2）的左，右焦点，点 P 在椭圆上，若 | PF 1| ?| PF 2| =2 m ，则该椭圆离心率的取值范围为 ． 12．（ 5 分）已知实数 x ，y 满足﹣ ≤ x ≤ ，﹣ ≤ y ≤ ，若 2?3x +sinx ﹣ 2=0，9y +sinycosy ﹣1=0 ，则 cos （ x ﹣ 2y ）的值为 ． 13．（5 分）若存在实数 a 、b 使得直线 ax+by=1 与线段 AB （其中 A （ 1， 0）， B （ 2，1））只 有一个公共点，且不等式 + ≥ 20（ a 2+b 2）对于任意 θ∈（ 0， ）成立， 则正实数 p 的取值范围为 ． 14．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y=x +2 与 x 轴，y 轴分别交于 M 、N 两点， 2 2 上运动，若∠ MPN 恒为锐角，则 a 的取值范围是 ． 点 P 在圆（ x ﹣ a ） +y =2 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（ 14 分）在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 sinB= ，且 ? =12 ．（ 1）求△ ABC 的面积；（ 2）若 a ，b ， c 成等差数列，求 b 的值．16（． 14 分）如图，在平行六面体 ABCD ﹣ A 1B 1C1D 1 中，侧面 DCC1D1 是菱形，且平面 DCC1D 1 ⊥平面 ABCD ，∠ D1DC= ， E 是 A 1 D 的中点， F 是 BD 1 的中点． （1）求证： EF ∥平面 ABCD ； （2）若 M 是 CD 的中点，求证：平面 D1AM ⊥平面 ABCD ．17．（ 14 分）如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD ，其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形，∠ ABC= ，管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路；在 上选一 点 P （异于 M 、 N 两点），过点 P 修建与 BC 平行的小路PQ ．（1）设∠ PBC= θ，试用θ表示修建的小路与线段 PQ 及线段QD 的总长度l；（2）求 l 的最小值．第 2 页（共 23 页）2 2 18．（ 16 分）已知圆 O ： x +y =4，两个定点 A （ a ，2）， B （ m ， 1），其中 a ∈ R ， m ＞ 0． P 为圆 O 上任意一点，且 =k （ k 为常数）． （1）求 A ， B 的坐标及常数 k 的值；（2）过点 E （ a ，t ）作直线 l 与圆 C ：x 2+y 2 =m 交于 M 、N 两点，若 M 点恰好是线段 NE 的 中点，求实数 t 的取值范围．19．（ 16 分）已知函数 f （ x ） = x3+ x 2+kx ， k ∈ R ，函数 f ′（ x ）为 f （ x ）的导函数． （1）数列 { a n } 满足 a n = ，求 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5；（2）数列 { bn} 满足 bn+1=f ′（ bn ）， ① 当 k= ﹣ 且 b1＞ 1 时，证明：数列 { lg （ bn+ ） } 为等比数列；② 当 k=0 ， b1=b ＞ 0 时，证明： ＜ ． 20．（ 16 分）已知函数 f （ x ） =xlnx ﹣k （ x ﹣ 1）， k ∈ R ． （ 1）当 k=1 时，求函数 f （ x ）的单调区间．（ 2）若函数 y=f （ x ）在区间（ 1， +∞）上有 1 个零点，求实数 k 的取值范围．（3）是否存在正整数 k ，使得 f （ x ） +x ＞ 0 在 x ∈（ 1， +∞）上恒成立？若存在，求出 k 的最大值；若不存在，说明理由．附加题 [ 选修 4-1：几何证明选讲 ] （任选两题）21．（ 10 分）如图，☉ O1，☉ O2 交于两点 P ，Q ，直线 AB 过点 P ，与⊙ O1，⊙ O2 分别交于点 A ，B ，直线 CD 过点 Q ，与⊙ O 1，⊙ O 2 分别交于点 C ， D ．求证： AC ∥BD ．附加题 [ 选修 4-2：矩阵与变换]第 3 页（共 23 页）22．（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，先对曲线 C 作矩阵 A= （0＜ θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵 B=（ 0＜ k ＜ 1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为 ，求 k ，θ的值． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ] 23．在极坐标系中，过点 P （ ， ）作曲线 ρ=2cos θ的切线 l ，求直线 l 的极坐标方程． [ 选修 4-5：不等式选讲 ] 2+2a ﹣ b 2+2b | ≤ 4（| a|+ 2）． 24．已知实数 a ， b 满足 | a+b| ≤ 2，求证： | a解答题 25．（ 10 分）如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，已知棱 AB ，AD ，AP 两两垂直， 长度分别为 1， 2， 2．若 =λ ，且向量 与 夹角的余弦值为 ．（ 1）求实数 λ的值；（ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．26．（ 10 分）设 f （ n ）=（ a+b ）n （ n ∈N *，n ≥ 2），若 f （ n ）的展开式中，存在某连续三项， 其二项式系数依次差数列，则称 f （ n ）具有性质 P ．（ 1）求证： f （7）具有性质 P ；（ 2）若存在 n ≤ 2015，使用 f （ n ）具有性质 P ，求 n 的最大值．第 4 页（共 23 页）2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）设集合 A= { 1， m} ，B= { 2，3} ，若 A ∩B={ 3} ，则 m= 3 ．【考点】 交集及其运算．【专题】 集合思想；定义法；集合． 【分析】 由 A ，B ，以及两集合的交集，确定出 m 的值即可．【解答】 解：∵ A= { 1， m} ， B={ 2， 3} ，且 A ∩B= { 3} ，∴ m=3 ，故答案为： 3 2．（ 5 分）（2016?南通模拟）设 a ∈R ，i 是虚数单位，若（a+i ）（ 1﹣ i ）为纯虚数，则 a= ﹣ 1 ． 【考点】 复数的基本概念． 【专题】 计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值． 【解答】 解：∵（ a+i ）（ 1﹣ i ） =（ a+1） +（ 1﹣ a ） i 为纯虚数， ∴ ，解得 a=﹣ 1． 故答案为：﹣ 1． 3．（ 5 分）（ 2016?南通模拟） 已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ． 【考点】 极差、方差与标准差． 【专题】 对应思想；定义法；概率与统计． 【分析】 先求出这组数据的平均数，由此再求出这组数据的方差． 【解答】 解：∵数据 4， 6， 5， 8， 7，6 的平均数为 = （ 4+6+5+8+7+6） =6， ∴这组数据的方差为 2 2 2 2 2 2 ． S = × [ （ 4﹣ 6）+2×（ 6﹣6） +（ 5﹣ 6） +（8﹣ 6） +（7﹣ 6） ] = 故答案为： ．4．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）某兴趣小组有男生 2 名，女生1 名，现从中任选 2 名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为 ．【考点】 古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】男生 2 名记为 A ， B ，女生 1 名记为 C，一一列举并根据概率公式计算即可．【解答】解：男生2 名记为 A ， B，女生 1 名记为 C，第 5 页（共 23 页）现从中任选 2 名学生，共有AB ， AC ， BC， 3 种选择方法，恰有一名男生与一名女生的有有AC ， BC ， 2 种故则恰有一名男生与一名女生的概率为，故答案为：5．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）等差数列 { an} 中， a1=﹣3， 11a5=5a8，则其前 n 项和 Sn 的最小值为﹣ 4 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．【解答】解：由 11a5=5a8，得 6a1 +9d=0，又 a1=﹣ 3，故 d=2．故an =﹣ 3+（n﹣ 1） 2=2n﹣ 5，故此数列为递增数列．故等差数列 { a n} 的前 2 项为负数，从第三项开始为正数，故前 2 项的和最小为﹣ 3+（﹣ 1） =﹣ 4，故答案为﹣ 4．6．（ 5 分）（ 2013?徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是 10，则输出S 的值是54 ．【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件 n＜ 2 时，S=10+9+8+⋯+2 的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2 时， S=10+9+8+⋯+2 的值．∵S=10+9+8+⋯+2=54 的值，故输出 54．故答案为： 54．第 6 页（共 23 页）7．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）如图，用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】由题意知圆锥筒的母线长为 2，设圆锥筒的底面半径等于 r，圆锥筒的高，利用圆锥的体积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则×2π× 2=2 πr，∴r=1 ，这个圆锥筒的高为：= ，这个圆锥筒的容积为：= ．故答案为：．8．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数 a 的值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：是梯形，由可得 A （ a，a），解得 B（ a﹣ 1， a），平面区域的面积是2，可得梯形的面积为：a2﹣=2．解得a= ，故答案为：．第 7 页（共 23 页）9．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）已知函数f（x） =2sin （ωx+ ）（ω＞0），函数 f（ x）的图象与 x 轴两个相邻交点的距离为π，则 f（ x）的单调递增区间是[ ﹣+2k π，+2k π] ，k∈ Z ．【考点】由 y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数 f （ x）的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出 f （ x）的单调递增区间【解答】解：函数f（ x）的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2 π，又∵ω＞ 0∴ω=1故 f （ x） =2sin（ x+ ），由 2k ? ﹣+2kπ≤ x≤+2kπ， k∈ Z故答案为： [ ﹣+2kπ，+2kπ] ，k∈ Z10．（5 分）（ 2016?南通模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥ CD，∠ADC=90 °，AB=3 ，AD= ， E 为 BC 中点，若? =3，则? = ﹣ 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．第 8 页（共 23 页）【分析】以 A 为坐标原点， AB ，AD 所在直线为x， y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以 A 点为原点， AB 所在的直线为x 轴，AD 为 y 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3 ， AD= ， E 为 BC 中点，∴A （ 0， 0）， B（ 3，0）， D （0，），设 C（ x，），∴=（3， 0）， =（x，），∵? =3，∴3x=3 ，解得 x=1 ，∴C（ 1，），∵E 为 BC 中点，∴E（，），即为（ 2，），∴=（2，）， =（﹣ 2，），∴? =2×（﹣ 2） + ×=﹣ 4+1=﹣ 3故答案为：﹣ 3．11．（5 分）（ 2016?南通模拟）已知F1， F2是椭圆+ =1 （ m＞ 2）的左，右焦点，点 P 在椭圆上，若 |PF1| ?| PF2| =2 m，则该椭圆离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．第 9 页（共 23 页）【分析】由椭圆的定义可得| PF1|+| PF2| =2m，利用基本不等式的性质可得：| PF1|+| PF2|≥，化简整理即可得出．另一方面：设∠F1 2PF =θ，由余弦定理可得：+ ﹣ 2| PF1|| PF2| cosθ=（ 2c）2=16．+ +2|PF1||PF2| =4m2．相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】解：由椭圆的定义可得| PF1 |+| PF2|=2m，∴2m= | PF1|+| PF2|≥=2 ，化为，又 m＞2，解得．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得：+ ﹣ 2|PF1||2PF2| cosθ=（ 2c）=16 ．+ +2|PF1||PF2| =4m2．相减可得： 1+cosθ= ．∵θ∈[ 0，π），∴0＜≤2． m≥2∴2≤ m≤ + ．∴= = ∈，∴该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：．x 12．（5 分）（ 2016?南通模拟）已知实数x，y 满足﹣≤ x≤，﹣≤ y≤，若 2?3 +sinx﹣2=0 ， 9y+sinycosy﹣ 1=0 ，则 cos（ x﹣ 2y）的值为 1 ．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设 f（ u）=u3 +sinu，根据题设等式可知 f（ x）=2，f（2y）=2，可得 f（ x）=f（2y），利用单调性进而推断出 x﹣ 2y=0，进而求得 cos （ x﹣ 2y）的值．第 10 页（共 23 页）【解答】解：实数 x，y 满足﹣≤x≤，﹣≤ y≤，若 2?3x+sinx﹣ 2=0，9y+sinycosy﹣1=0 ，设f （u） =2?3u+sinu，由题意得 f （u） =2，f （x） =2．由9y+sinycosy﹣ 1=0 ，即 32y+ sin2y ﹣ 1=0 ，即 2?32y+sin2y=2 ，故 f（ 2y ）=2．因为 f（ u）在区间 [ ﹣， ] 上是单调函数，∴ f （x） =f （ 2y），∴ x=2y ，即 x﹣ 2y=0．∴cos（ x﹣ 2y） =cos0=1，故答案为： 1．13．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）若存在实数a、 b 使得直线 ax+by=1与线段AB （其中 A（ 1，0）， B（2， 1））只有一个公共点，且不等式+2 2≥ 20（a+b ）对于任意θ∈（ 0，）成立，则正实数 p 的取值范围为[ 1，+∞）．【考点】曲线与方程．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，可知：点 A （ 1，0）， B （ 2， 1）在直线ax+by=1 的两侧，因此（ a﹣ 1）（ 2a+b﹣ 1）≤ 0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点 O 到直线 2x+y﹣1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得 d min= ．由于存在实数a、b 使得不等式+ ≥20（ a2+b2）对于任意θ∈（ 0，）成立，可得≥ 20（ a2+b2） min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．【解答】解：∵直线ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，∴点 A （1， 0），B （ 2， 1）在直线ax+by=1 的两侧，∴（ a﹣ 1）（ 2a+b﹣ 1）≤ 0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．2 2a +b 表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线 2x+y﹣ 1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵dmin=那么 a2+b2的最小值为： d2=．由于存在实数a、 b 使得不等式+≥ 20（ a2+b2）对于任意θ∈（ 0，）成立，第 11 页（共 23 页）∴≥ 20（ a2+b2） min=4，∵θ∈（ 0，），∴ sinθ，cosθ∈（ 0，1）．∴+2 2=1+p+ + ≥=（ sin θ+cos θ）1+p+2 =1+p+2 ，当且仅当tan2θ= 时取等号．∴1+p+2 ≥ 4， p＞ 0，解得 1≤ p．∴tanθ=1 ，即时取等号．故答案为： [ 1， +∞）．14．（ 5分）（ 2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 y=x +2 与 x轴， y 轴分别交于2 2上运动，若∠ MPN 恒为锐角，则a 的取值范M 、 N 两点，点 P 在圆（ x﹣a） +y =2围是a＞或 a＜﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】设以 MN 为直径的圆的圆心为 A ，得到 MN 的中点 A（﹣ 1，1）；点 P 与 M ，N 构成∠ MPN 恒为锐角，则点 P 恒在圆 A 之外，又两个圆半径相等，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得 a．【解答】解：设以 MN 为直径的圆的圆心为 A ，则 M （﹣ 2， 0），N（ 0， 2），所以中点 A （﹣ 1， 1）；点P 与 M ，N 构成∠ MPN 恒为锐角，则点 P 恒在圆 A 之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，第 12 页（共 23 页）所以（ a+1）2+12＞（ 2 ）2，解得 a＞或 a＜﹣；所以 a 的取值范围是a＞或 a＜﹣；故答案为： a＞或 a＜﹣．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 14 分）（2016?南通模拟）在△ ABC 中，角 A ，B，C 的对边分别为 a、b、c，已知 sinB= ，且 ? =12 ．（1）求△ ABC 的面积；（2）若 a，b， c 成等差数列，求 b 的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；解三角形．【分析】（ 1）展开数量积，可得cosB＞ 0，由sinB=，求得 cosB ，进一步得到ac，代入三角形面积公式求得答案；（2）由 a，b， c 成等差数列，得2b=a+c，结合余弦定理即可求得 b 值．【解答】解：（ 1）由? =12，得 ca?cosB=12，可得 cosB＞ 0，由sinB= ，可得 cosB= ，即有 ac=13，∴；（2）由 a，b， c 成等差数列，得2b=a+c，在△ ABC 中，由余弦定理得，即，解得 b= ．16．（ 14 分）（ 2016?南通模拟）如图，在平行六面体ABCD ﹣ A1B1 C1D1 中，侧面DCC 1D1是菱形，且平面 DCC 1D 1⊥平面ABCD ，∠ D1DC= ，E 是 A 1D 的中点， F 是BD1 的中点．（1）求证： EF∥平面ABCD ；（2）若 M 是 CD 的中点，求证：平面D1AM ⊥平面 ABCD ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．第 13 页（共 23 页）【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（ 1）连结 AD 1，利用中位线定理得出EF∥ AB ，故而 EF∥平面ABCD ；（2）连结 CD1，则△ D1DC 为等边三角形，于是 D 1M ⊥ CD ，利用面面垂直的性质得出 D1 M ⊥平面 ABCD ，故而平面 D 1AM ⊥平面ABCD ．【解答】证明：（ 1）连结 AD 1，∵四边形 AA 1D 1D 是平行四边形， E 是 A 1D 的中点，∴E 是 AD 1的中点，又 F 是 BD1的中点，∴EF ∥AB ，又EF?平面 ABCD ， AB ? 平面ABCD ，∴EF ∥平面 ABCD ．（2）连结 CD1．∵四边形 CDD 1C1 是菱形，∠ D 1DC= ，∴△ D1DC 是等边三角形，∵M 是 CD 的中点，∴D 1M ⊥ CD，又平面D CC 1D1⊥平面 ABCD ，平面 DCC 1D1∩平面ABCD=CD ，∴D 1M ⊥平面 ABCD ，又 D 1M ? 平面 D1AM ，∴平面 D1AM ⊥平面 ABCD ．17．（ 14 分）（2016?南通模拟）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形，∠ ABC= ，管理部门欲在该地从M 到 D 修建小路；在上选一点 P（异于 M 、N 两点），过点 P 修建与 BC 平行的小路P Q．（1）设∠ PBC= θ，试用θ表示修建的小路与线段 PQ 及线段QD 的总长度l；（2）求 l 的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．第 14 页（共 23 页）【分析】（ 1）由题意， QP，交 AB 于 E 利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路与线段 PQ 及线段 QD 的总长度 l；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求l 的最小值．【解答】解：（ 1）由题意，延长 QP，交AB 于 E，则=（﹣θ），△BPE 中，∠ EPB= θ，∠EBP= ﹣θ，∠BEP=，∴EP = sin（﹣θ）， EB=sinθ，∴PQ=2﹣sin（﹣θ），QD=2﹣sinθ，∴l= ﹣θ+2﹣sin（﹣θ）+2﹣sinθ=4﹣sin（﹣θ）﹣sin θ+ ﹣θ=4﹣ 2sin （θ+ ）+﹣θ（ 0＜θ＜）；（2） l′=﹣ 2cos（θ+）﹣ 1，∴0＜θ＜时， l ′＜ 0，＜θ＜，时， l′＞0，∴θ= 时， l 取得最小值，最小值为（4﹣+ ）百米．18．（ 16 分）（ 2016?南通模拟）已知圆2 2（ m，1），其中O：x+y =4，两个定点 A（ a，2），Ba∈R， m＞ 0． P 为圆 O 上任意一点，且=k （ k 为常数）．（1）求 A， B 的坐标及常数 k 的值；（2）过点 E（ a，t）作直线 l 与圆 C：x2+y2=m 交于 M 、N 两点，若 M 点恰好是线段 NE 的中点，求实数t 的取值范围．【考点】圆方程的综合应用．【专题】方程思想；分析法；直线与圆．【分析】（ 1）设 P（x， y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，可得圆的方程，再由恒等思想，即可得到所求；2 2M 的坐标， （2）由圆 x +y =1 的参数方程，可设 N （（ cos θ， sin θ），由中点坐标公式可得 代入圆的方程， 化简整理，运用辅助角公式和正弦函数的值域， 解不等式即可得到所求范围．第 15 页（共 23 页）【解答】 解：（ 1）设 P （ x ，y ），由 | PA| =k | PB| ，（ k ＞ 0 且 k ≠ 1）可得 =k ， 2 2 2 ） +（ 2a ﹣ 2k 2 2 2 2 2 ，平方可得，（ k ﹣ 1）（x +y m ） x+（4﹣ 2k ） y+k （ m +1）﹣ a ﹣4=02 2由P 的轨迹方程为 x +y =4 ，可得，解得 k= ， m=1， a=2，即有 A （2， 2），B （ 1， 1）， k= ；2 2（ 2）由圆 x +y =1 的参数方程，可设 N （（ cos θ， sin θ）， 由 M 点恰好是线段 NE 的中点，可得 M （ ， ）， 代入圆方程，可得（ ） 2+（） 2=1，化简可得 4cos θ+2tsin θ=﹣1﹣ t 2，由辅助角公式可得sin （ θ+φ） =﹣ 1﹣t 2，由| sin （θ+φ） | ≤1，可得 | ﹣ 1﹣ t 2| ≤ ， 即为 t 4﹣ 2t 2﹣ 15≤ 0，即有﹣ 3≤ t 2≤5， 解得﹣ ≤ t ≤ ．则实数 t 的取值范围是 [ ﹣ ， ] ．19．（ 16 分）（ 2016?南通模拟）已知函数 f （ x ）= x 3+ x 2+kx ，k ∈ R ，函数 f ′（ x ）为 f （ x ） 的导函数．（1）数列 { a n } 满足 a n = ，求 a1+a2+a3+a4+a5； （2）数列 { bn} 满足 bn+1=f ′（ bn ），① 当 k= ﹣ 且 b 1＞ 1 时，证明：数列{ lg （ b n + ） } 为等比数列；② 当 k=0 ， b1=b ＞ 0 时，证明： ＜ ．【考点】 数列与函数的综合．【专题】 转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（ 1）求得 f （ x ）的导数，可得 an= = = ﹣，运用裂项相消 求和即可得到所求值；（2）求得当 k= ﹣且 b1＞ 1 时，b n+1=b n2+b n﹣，两边同加，配方后，取常用对数，由等比数列的定义，即可得证；第 16 页（共 23 页）②求得bn+1=b n 2+bn，即有= ﹣，即有﹣=，运用裂项相消求和，可得，﹣= + +⋯+，再将原不等式左边化简，由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（ 1）函数 f（ x） = x3+ x2+kx 的导数为 f′（x） =x2+x+k，an= = = ﹣，可得 a1+a2+a3+a4+a5=1﹣ + ﹣+⋯+ ﹣ =1 ﹣= ；（2）证明：①当 k= ﹣且 b1＞ 1 时， bn +1=f ′（bn） =bn2+bn ﹣，即有 b n+1+ =b n2+b n+ =（ b n+ ）2，两边取常用对数，可得lg（ b n+1 + ） =lg （ b n+ ）2=2lg （b n+），则数列 { lg（ b n+ ） } 为首项为lg（ b1 + ），公比为2 的等比数列；②当 k=0 ， b1=b＞ 0 时， bn+1=bn2+bn，即有= ﹣，即有﹣= ，可得﹣= ，﹣= ，⋯，﹣= ，相加可得，﹣= + +⋯+ ，则= + +⋯+= + +⋯+ = ﹣＜，则原不等式成立．20．（ 16 分）（ 2016?南通模拟）已知函数f（ x） =xlnx ﹣ k（ x﹣ 1），k∈R．（1）当 k=1 时，求函数 f（ x）的单调区间．（2）若函数 y=f （ x）在区间（ 1， +∞）上有 1 个零点，求实数 k 的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得 f （ x） +x＞ 0 在 x∈（ 1， +∞）上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．第 17 页（共 23 页）【分析】（ 1）将 k=1 代入 f （ x），求出 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，根据y=f （x）在区间（ 1，+∞）上有 1 个零点，得到 e k﹣1＞ 1，解出即可；（3）令 g（ x） =f （ x） +x=xlnx ﹣ k（x﹣ 1） +x，求出 g（x）的导数，得到 g（ x）的单调区间，问题转化为需 e k﹣2≤1，解出即可．【解答】解：（ 1） k=1 时， f（ x） =xlnx ﹣ x+1，x＞ 0，f ′（ x） =lnx +1﹣ 1=lnx ，令f ′（ x）＞ 0，解得： x＞ 1，令f ′（ x）＜ 0，解得： 1＜ x＜1，∴f （x）在（ 0， 1）递减，在（1， +∞）递增；（2） f ′（x） =lnx +1﹣ k，令f ′（ x）＞ 0，解得： x＞ e k﹣1，令f ′（ x）＜ 0，解得： x＜ e k﹣1，∴f （x）在（ 0， e k﹣1）递减，在（e k﹣1，+∞）递增，而f （1） =0，∴只需 e k﹣1＞ 1，解得： k＞ 1；（3）令 g（ x） =f （ x） +x=xlnx ﹣ k（x﹣ 1） +x，g′（ x）=lnx +2﹣ k，令g′（ x）＞ 0，解得： x＞e k﹣2，令g′（ x）＜ 0，解得： 0＜x＜ e k﹣2，∴g（ x）在（ 0， e k﹣2）递减，在（ e k﹣2， +∞）递增，∴只需 e k﹣2≤ 1，即 k﹣2≤ 0，解得： k≤ 2，故存在正整数 k，使得 f（ x） +x＞0 在 x∈（ 1， +∞）上恒成立，k 的最大值是2．附加题 [ 选修 4-1：几何证明选讲] （任选两题）21．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）如图，☉ O1，☉ O2 交于两点 P， Q，直线 AB 过点 P，与⊙ O1，⊙ O2分别交于点 A ， B，直线 CD 过点 Q，与⊙ O1，⊙ O2分别交于点 C， D．求证： AC ∥ BD ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】运用圆的内接四边形的性质，及圆周角定理，得出∠ A= ∠PBD ，即可证明结论．【解答】证明：连结 PQ，因为四边形 ACQP 是☉ O1的内接四边形，所以∠ A= ∠PQD，⋯3分第 18 页（共 23 页）又在⊙ O2 中，∠ PBD= ∠ PQD，⋯6 分所以∠ A= ∠ PBD ，⋯8 分所以 AC ∥ BD附加题 [ 选修 4-2：矩阵与变换]22．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵 A=（ 0＜θ＜ 2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B= （ 0＜k＜ 1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求 k，θ的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；矩阵和变换．【分析】由题意及矩阵乘法的意义可得：BA= = ，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．【解答】解：∵ A= （ 0＜θ＜ 2π）， B= （ 0＜ k＜1），∴由题意可得：BA= = ，∴= ，解得：，∵0＜θ＜ 2π，0＜ k＜ 1，∴解得： k= ，θ= ．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]23．（ 2016?南通模拟）在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线 l 的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，判断出点P 与圆的位置关系，即可得出切线方程．【解答】解：点 P（，）化为直角坐标： P （ 1， 1）．2ρcosθ，化为直角坐标方程：2 2，曲线ρ=2cosθ，即ρ=2 x +y =2x配方为（ x﹣=1，可得圆心（ 1， 0），半径r=1．1）2+y2由于点 P 满足圆的方程，可得切线方程为：y=1．化为极坐标方程：ρsinθ=1．第 19 页（共 23 页）[ 选修 4-5：不等式选讲 ] 2+2a ﹣b 2+2b | ≤ 4（ |a|+ 2）． 24．（ 2016?南通模拟）已知实数 a ， b 满足 | a+b| ≤2，求证： | a【考点】 不等式的证明．【专题】 转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】 运用绝对值不等式可得| b| ﹣ | a| ≤ | a+b| ≤ 2，可得 | b| ≤ | a|+2，将原不等式左边分 解因式，结合分析法证明，即可得证．【解答】 证明：由 | b| ﹣ | a| ≤ | a+b| ≤ 2，可得 | b| ≤| a|+ 2，| a 2+2a ﹣ b 2+2b | =| （ a+b ）（ a ﹣b ）+2（ a+b ） |=| a+b| ?| a ﹣ b+2| ≤ 2|a ﹣ b+2| ，要证 | a 2+2a ﹣b 2+2b | ≤4（ | a|+2），即证 | a ﹣ b+2| ≤ 2（ |a|+ 2），由于 | a ﹣ b+2| ≤ | a|+|b|+ 2，即证 | a|+| b|+ 2≤ 2（ | a|+ 2），即为 | b| ≤ | a|+ 2，显然成立．故原不等式成立．解答题25．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，已知棱 AB ， AD ， AP 两两 垂直，长度分别为 1， 2， 2．若 =λ ，且向量 与 夹角的余弦值为 ．（ 1）求实数 λ的值；（ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．【考点】 直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算．【专题】 计算题；规律型；数形结合；转化思想；综合法；空间向量及应用． 【分析】（ 1）根据已知条件即可建立坐标系：以 A 为坐标原点，分别以边 AB ，AD ，AP 所 在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点 P ， A ， B ， C ， D点的坐标，利用向量 与夹角的余弦值为求出 λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．【解答】解：以 A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为 x， y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；则： A（0， 0， 0）， B（1， 0， 0），D（ 0， 2，0），P（ 0，0，2）；=λ，可得 C（λ，2，0）．第 20 页（共 23 页）（1）=（λ， 2，﹣2），=（﹣ 1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得= ，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）=（ 2， 2，﹣2），=（ 0， 2，﹣ 2），平面PCD 的法向量=（ x， y，z）．则且，即： x+y﹣ z=0，y﹣ z=0，∴ x=0 ，不妨去 y=z=1 ，平面 PCD 的法向量=（ 0，1，1）．又=（ 1， 0，2）．故 cos = = ．直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为：．26．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）设f（n）=（ a+b）n（ n∈ N *，n≥ 2），若 f（ n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（ n）具有性质 P．（1）求证： f （7）具有性质 P；（2）若存在n≤2015，使用f （n）具有性质P，求 n 的最大值．【考点】二项式定理的应用．【专题】综合题；二项式定理．【分析】（ 1）f（ 7）=（ a+b）7，二、三、四项的二项式系数为 7，21，35，依次成等差数列，可得结论；rr﹣1 r+1，整理可得4r（ n﹣ r）=（ n﹣ 2）（n+1），可得（ n﹣ 2）（n+1）（2）由题意， 2C n=C n+C n能被 4 整除，从而n﹣ 2 或 n+1 为偶数时，必须能被 4 整除，结合n≤2015，即可求n 的最大值．【解答】（ 1）证明： f（7）=（ a+b）7，二、三、四项的二项式系数为7， 21，35，依次成等差数列，所以 f（ 7）具有性质P．r r﹣ 1r+1（2）解：由题意， 2C n =C n+C n，整理可得 4r（n﹣ r） =（ n﹣2）（ n+1），∴（ n﹣2）（ n+1）能被 4 整除，第 21 页（共 23 页）∵n﹣ 2、 n+1 一奇一偶，∴n﹣ 2 或 n+1 为偶数时，必须能被 4 整除，∵n≤ 2015∴n 的最大值为2012．第 22 页（共 23 页）参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn ； sxs123；742048 ；whgcn ； caoqz；minqi5 ； qiss；w3239003 ；沂蒙松； changq； zhczcb ；刘长柏；双曲线；刘老师；lcb001 （排名不分先后）菁优网2016 年 11 月 9 日第 23 页（共 23 页）。
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)含答案
（第12题）ABPC（第13题）1100223Pr int I While I I I S I End While S←<←+←+（第5题）2016年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 已知集合{}|22A x x =-<<，集合B 为自然数集，则A B = ▲ ． 2． 已知()()()211z a a i a =-+-∈R ，若z 为纯虚数，则a = ▲ ．3．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为__▲______.4． 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是___▲_____．7． 已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ▲ ． 8．ln 22与22e 的大小关系是 ▲ ．（用“>”或“<”连接） 9． 为了得到()πcos 62x y =-的图像，只需将sin 2x y =的图像向左平移ϕ()0ϕ>个单位，则ϕ的最小值为 ▲ ．10． 若函数 0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲ ．11．已知{}{}n n a b ，均为等比数列，其前n 项和分别为n n S T ，，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=，则33a =▲ ． 12．如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为 ▲ ．13．如图，oo19045AB BC APB BPC ==∠=∠=，，，则PA PC ⋅=▲ ．14．已知正实数a b c ，，满足111a b +=，1111ab bc ca ++=，则实数c 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量(sin ,cos )x x =a , (sin ,sin )x x =b ， (1,0)=-c ． （1）若π3x =，求向量a ，c 的夹角θ；（2）若3ππ,84x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x λ=⋅a b 的最大值为12，求实数λ的值．16．（本小题满分14分）如图，平面ABC ⊥平面DBC ，AB AC AB AC DB DC =⊥=，，， DE DBC ⊥平面，2BC DE =．（1）求证：//DE ABC 平面； （2）求证：AE ABC ⊥平面．17．（本小题满分14分）现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点 C 、D ，作DE ∥OA 、CF ∥OB 交弧AB 于点E 、F ，且BD = AC ，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、 FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA =1km ，π2AOB ∠=，π(0)2EOF θθ∠=<<．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总 收入为y 万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？BE CDA（第16题）（第17题）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是椭圆G ：2214x y += 的左、右顶点，()()20P t t t ∈≠R ，，且为直线2x =上的一个动点，过点P 任意作一条直线 l 与椭圆G 交于C ，D ，直线PO 分别与直线AC ，AD （1）当直线l 恰好经过椭圆G 的右焦点和上顶点时，求（2）记直线AC ，AD 的斜率分别为12k k ，.① 若1t =-，求证：1211+为定值；② 求证：四边形AFBE 为平行四边形.19．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }满足：对于任意的正整数n ，当n ≥2时，22121n n n a b a n -+=+. （1）若(1)nn b =-，求1821i i a =∑的值；（2）若数列{a n }的各项均为正数，且12a =，1n b =-.设1124i na n i S ==∑，n T =试比较n S 与n T 的大小，并说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．（第21题（A ）（第22题）B ．（选修４－２：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的最大值与最小值．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知 a b c ，，均为正数，且a ＋2b ＋3c ＝9．求证： 14a ＋118b ＋1108c ≥19．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分106分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y px =（0p >）的准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线与抛物线交于A B ，两点．设11A x y （，）到准线l 的距离d p λ=（0λ>）．（1）若11y d ==，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+=0，求证：直线AB 的斜率为定值．23．（本小题满分10分）在自然数列123n ，，，，中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ． （1）求()31P ； （2）求()440k P k =∑；（3）证明()()110n n n n k k kP k n P k --===∑∑，并求出()0nn k kP k =∑的值．2016年高考模拟试卷(4) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{}0,1. 21-． 3.32． 4．45.【解析】概率241105P =-=． 5．205.【解析】21013205S =⨯+=． 6.3＋3.【解析】设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋3. 7．2 . 8．2ln 222e >. 【解析】因为ln 2123=，222113e e 2=<，所以2ln 22e >．9．2π3.【解析】()πcos 62x y =-可化为()πsin 23x y =+，而()()π12πsin sin 2323x y x =+=+，则ϕ的最小值为2π3．10．1e.【解析】易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x-'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e ea g ==.11．9 .【解析】设{}{}n n a b ，的公比分别为,q t ，取1,2,3n =可知，11a b =，9,3q t ==， 所以233()9a q b t==．12．取点A 关于y轴的对称点1)A '，易知A '为 MN 的中点，连接OA '，则OA MN '⊥，因为OA k '=MN k =（提示：本题还可以采取特殊化处理）. 13．45- .【解析】（方法一）2()PA PC PA PB BC PA BC PA AB PA ⋅=⋅+=⋅=⋅=- ，在△APC 中，设PB x =，知易2PA x =，所以22(2)1x x +=，即215x =，所以PA PC ⋅= 45-；（方法二）设PB x =，知易2PA x =，同方法一有215x =，又PC =，所以PA PC ⋅=3π4(2))cos 45x ⋅⋅=-；（方法三）（方法4）建立如图所示的坐标系，设(,0)A a ，(,)C b b -，（0,0)a b >>，则(0,)2b B ，所以b a =且2214b a +=， 所以245a =，即A，(C ，所以PA PC ⋅= 45-． 14．4(1,]3 .【解析】（方法一）由题意，a b ab +=，a b c abc ++=， 令tan a A =，tan b B =，tan c C =，π,,(0,)2A B C ∈，因为tan tan tan tan 1tan tan()1tan tan 1tan tan 1tan tan 1A B A B c C A B A B A B A B +==-+===+---，由题意，tan tan tan tan A B A B +=≥， 所以tan tan 4A B ≥，所以413c <≤．（方法二）因为11,(0,1)a b ∈，可设2211cos ,sin a b αα==（π02α<<），由1111ab bc ca ++=，易得)21131sin 2,144c α⎡=-∈⎢⎣.，所以413c <≤．（方法三）由题意可得，1c a b ab c +==-， 因为()22a b ab +≤，所以()21141c c c c --≤，所以41c c -≥，解得413c <≤．（方法四）由方法三知，11ca b c c ab c ⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩，故b a ,可看做方程2011c c x x c c -+=--的两根，由于方程有两正根，故1212000x x x x ∆⎧⎪+>⎨⎪>⎩≥，结合c 为正数即可得到413c <≤．二、解答题15．（1）当πx =时，12⎫=⎪⎝⎭a，所以2cos |||11θ⋅===⋅⨯a c |a c ， 又[0,π]θ∈，因而5πθ=．…………………………………………………………6分（2）()π()(1cos2sin 2)1)f x x x x λλ=-+=+-， ……………………8分因为3ππ,84x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2,44x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当0λ>时，()max 1()1122f x λ=+=，即12λ=， ……………………………10分当0λ<时，(max 1()122f x λ=-=，即1λ=-12分 所以2121--==λλ或． ………………………………………………14分 16．（1）取BC 中点F ，连结AF ， 因为AB ＝AC ，所以AF ⊥BC ， 因为平面ABC ⊥平面DBC ，且交线为BC ，所以AF ⊥平面DBC ， ………………………………………………3分 因为平面DE DBC ⊥，所以，AF ∥DE ． 因为AF ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以//DE ABC 平面． ………………………………………………6分 （2）连结DF ．因为，AB AC AB AC =⊥，所以2BC AF =，因为2BC DE =，所以AF DE =． ………………………………………………8分 因为AF ∥DE ，所以四边形AEDF 是平行四边形， 所以//AE DF ．因为DB DC =，F 为BC 中点，所以DF BC ⊥，所以AE BC ⊥． ………………………………………………10分 因为平面DE DBC ⊥，平面DF DBC ⊂，所以DE DF ⊥， 所以四边形AEDF 是矩形，所以AE AF ⊥． ………………………………………………12分 因为,AF BC ⊂平面ABC ，AF BC F = ，所以AE ABC ⊥平面． ………………………………………………14分 17．（1）因为BD AC OB OA ==，，所以OD OC =． 因为π2AOB ∠=，DE ∥OA ，CF ∥OB ， 所以DE OB CF OA ⊥⊥，．又因为OE OF =，所以Rt ODE ∆≌Rt OCF ∆．所以1π()22DOE COF COF θ∠=∠∠=-，． ………………………………2分所以1πcos cos[()]22OC OF COF θ=⋅∠=-．所以11sin cos 24COF S OC OF COF θ∆=⋅⋅⋅∠=，所以II 1=cos 2S θ区域，π(0)2θ<<． …………………………………6分（2）因为I 12S θ=区域，所以III I II π11cos 422S S S S θθ=--=--总区域区域区域．所以11π111520cos 10(cos )22422y θθθθ=⨯+⨯+⨯--55ππ5cos (0)222θθθ=++<<，， …………………………………10分 所以5(12sin )2y θ'=-，令=0y '，则π=6θ． …………………………………12分当π6θ<<0时，0y '>，当ππ62θ<<时，0y '<．故当π=6θ时，y 有最大值． 答：当θ为π6时，年总收入最大． …………………………………14分 18．（1）由题意,上顶点()0,1C，右焦点()E，所以:1l y =+，令2x =，得1t =-…………………………………4分 （2）直线()1:2AC y k x =+，与2214x y +=联立得2112211284,1414k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，…6分 同理得2222222284,1414k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由,,C D P 三点共线得CP DP k k =, 即1222122212124414142828221414k k t t k k k k k k --++=----++，化简得 ()12124k k t k k =+， ①1t =-时，12114k k +=-（定值） ……………………………………10分②要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E 、F 的中点即点O ，由()111,4222E t y x k x t k y k x ⎧=⎪⇒=⎨-⎪=+⎩， ……………………………………12分 同理2242F k x t k =-，将12124k k t k k =+代入得()121121242E k k k x t k k k +==--，()122212242F k k k x t k k k +==--，……14分 所以0E F x x +=,()02E F E F ty y x x +=+=. 即四边形AFBE 为平行四边形. ……………………………………16分19．（1）由题意，22215a a +=，22439a a +=，226513a a +=，…，22181737a a +=.将上面的式子相加，得1821591337189i i a ==++++=∑ . …………………5分（2）由22121(2)n n a a n n--=+≥， 22215a a -=，22327a a -=，22439a a -=，…，22121n n a a n --=+.将上面的式子相加，得221(215)(1)2n n n a a ++--=，所以22(215)(1)4(1)(2)2n n n a n n ++-=+=+≥.因为{a n }的各项均为正数，故1n a n =+(2)n ≥.因为12a =也适合上式，所以1n a n =+（*n ∈N ）. …………………………8分 所以21n n S =-，n T ……………………………………10分 下面我们来比较S n 2与T n 2的大小. 取n =1，2，3，4，5，6，有S 12<T 12， S 22>T 22 ，S 32>T 32， S 42>T 42， S 52>T 52 ，S 62<T 62. …………12分当6n ≥时，令22n n nT c S =，则2221122121(2)(21)(21)n n n n n n n n c T S n c T S +++++-=⨯=-， 记264n t =≥，则212222(2)(21)(21)8(1)(21)41270n n n t t t t ++------=-+>≥， 所以当6n ≥时，11n nc +>，即{}n c 是递增数列. ………………………………14分 所以266261n T c c S =>≥，所以6n ≥时，S n 2<T n 2，综上所述，当n =2，3，4，5时S n >T n ；当n =1或6n ≥时S n <T n . …………16分 20．（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得a y x '=-，由题意，13a -=，所以2a =-． ………………………………3分 （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+， 因为对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，问题等价于函数()()2F x h x x =-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数．…6分所以()20a F x x x '=+-≥在()0,+∞上恒成立，即22a x x -≥在()0,+∞上恒成立，所以()2max21a x x -=≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．……………………………8分 （3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln a m x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．………10分由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x--+--++'=--==． 因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+． ① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………12分 ② 当11e a <+≤，即0e 1a <-≤时，()m x 在1x a =+处取最小值．令()11ln(1)10m a a a a +=+-++<，即11ln(1)a a a ++<+，可得11ln(1)a a a ++<+．考查式子1ln 1t t t +<-，因为1e t <≤，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分 ③ 当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0a m a +=-+<，解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞- ． …………………………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．连接BD ，因为直线AE 与圆O 相切，所以∠EAD ＝∠ABD ．……………………………………4分 又因为AB ∥CD ， 所以∠BAD ＝∠ADE ，所以△EAD ∽△DBA ． ……………………………………………8分 从而ED DA ＝ADBA ，所以AD 2＝AB ·ED ． …………………………………………………10分B ．设P ()x y ，是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x ay bx y +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，…………………………………………………4分 与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故A ＝1 10 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………8分 求得逆矩阵111 210 2-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ． …………………………………………………10分C ．（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=， 因为5,3,4a b c ===,则点F 的坐标为(4,0).因为直线l 经过点(,0)m ，所以4m =.………………………………………………4分（2）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得： 222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.………………………………………6分 设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则 12||FA FB t t ⋅==22281819cos 25sin 916sin ααα=++． 当sin 0α=时，FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，FA FB ⋅取最小值8125． …………………………………………10分 D ．证明：因为a ，b ，c 都是正数，所以(a +2b +3c )()2111418108a b c++≥， ……8分 因为a +2b +3c ＝9，所以14a +118b +1108c ≥19． …………………………………………10分 22．（1）由条件知，(11)2p A -，， 代入抛物线方程得1p =．所以抛物线的方程为22y x =．………………………4分（2）设22B x y （，），直线AB 的方程为()2p y k x =+． 将直线AB 的方程代入22y px =，消y 得22222(2)04k p k x p k x +-+=，所以1x =2x =． ……………6分 因为d p λ=，所以12p x p λ+=， 又AM AB λ+=0 ，所以121()2p x x x λ+=-，所以21p x x =-=8分所以22k =，所以直线AB 的斜率为定值． …………………………………………………10分23．（1）因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,23,2,12,1,3或或， 所以()313P =； …………………………………………………………………2分（2） ()()()()()()4444444001234k P k P P P P P ==++++∑ 011112433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24； ………………………………4分（3）把数列1,2,,n ⋅⋅⋅中任取其中k 个元素位置不动， 则有k n C 种；其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()()0k n n n k P k C P -=，………6分故()()000n n k n n n k k k kP k kC P -===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=，所以()()()()11111000000.n n n n k k n nn k n n k n k k k k kP k kC P n C P n P k -------=======∑∑∑∑， …………8分 令()0,nn n k a kP k ==∑则1,n n a na -=且1 1.a =于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯，左右同除以2341n a a a a -⋅⋅⋅，得234!n a n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= 所以()0!nn k kP k n ==∑ ……………………………………………………………10分。
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20XX 年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2．设a R ∈，复数212a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ． 6．设函数24 6 ,0,()6, 0,x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是 ▲ ．7．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和 点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为 ▲ ． 9．若tan()24πα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．10．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(],1-∞，则A = ▲ ． 11．数列{}n a 中10a =，47a =-，对n N *∀∈，当2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a a a +--=--，则数列{}n a 的前n 项的和为 ▲ ．12．设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 13．在ABC ∆中，45B =，,M N 分别为边,AC AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅，则BA BCBC BA+的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上,若圆M 上不存在点N ，使12NO NA =,其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若23AB AC ⋅=，求A 的值；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且1c =，求b ．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N 是PC中点．（1）求证：//MN面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM AD⊥．17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0) x ya bab+=>>的右顶点与上顶点分别为,AB，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于,P Q两点，直线,BQ AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设ABP∆与ABQ∆的面积分别为12,S S，求1S的最大值．（第17题图）19．（本小题满分16分）已知函数2 ()(2)lnf x mx m xx =-+-，2()1g x x mx=++，m R∈．（1）当0m<时，①求()f x的单调区间；②若存在12,[1,2]x x∈，使得12()()1f xg x-≥成立，求m的取值范围；（2）设ln1()xxh xe+=的导函数()h x'，当1m=时，求证：2[()1]()1g x h x e-'-<+（其中e是自然对数的底数）．20．（本小题满分16分）若数列{}na满足条件：存在正整数k，使得2n k n k na a a+-+=对一切,n n k∈>*N都成立，则称数列{}na为k级等差数列．（1）已知数列{}na为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a+的值；（2）若2sin(na n nωω=+为常数），且{}na是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}na的前3n项和3nS；（3）若{}na既是2级等差数列，{}na也是3级等差数列，证明：{}na是等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠PAQ是直角,圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B C、.求证:BT平分OBA∠.B．（选修４－２：矩阵与变换）设二阶矩阵A，B满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA，求1-B．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:C2sin2cos(0)a aρθθ=>，过点(2,4)P--的直线l的参数方程为222242x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），l与C分别交于,M N．（Ⅰ）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（Ⅱ）若,,PM MN PN成等比数列，求a的值．（第21题A）D ．（选修４－５：不等式选讲） 设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）求异面直线PN ，AM 所成的角；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件 “121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：nm S 111322n m n +++<+-．（第22题）20XX 年高考模拟试卷(5) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{}2．2．4-．3．91．4．{}2,5,10．5．12．6．(3,1)(3,)-+∞．7．3．8. ．9．35．10．3(1,]2．11．21n n -+．12．充要．13．14．12(,0)(,)5-∞+∞．【解析】．设N （x,y)，由12NO NA =得：22224()(3),x y x y +=+-化简得：22(1)4x y ++=，表示为以(0,1)B -为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B 与圆(,24)M a a -无交点，即222(241)(21)a a +-+>+或222(241)(21)a a +-+<-，解得圆心M 横坐标的取值范围为：12(,0)(,)5-∞+∞． 二、解答题15．（1）由题意知，cos AB AC bc A ⋅=,1sin 2S bc A =,所以cos sin bc A A ， ……………………………………2分即cos A A ，tan A ∴=因为A 为三角形内角，所以6A π=；……………………6分（2）设tan A m =，tan 2B m =，tan 3C m =，由题意知，0m >． 因为tan tan tan tan() 1tan tan A BC A B A B+=-+=--⋅，………………………8分则23312mm m=--，解得1m =，则tan 2B =，tan 3C =，从而sin B =，sin C =12分所以sin sin AC B AB C =AC ……………………14分16．（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，在PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，……………………………………2分 四边形ENMA 是平行四边形，得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB ……………………6分（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，面PMC ⊥面PAD ，面PMC面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，……………………8分CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CM,PA ⊥平面ABCD ，……………………………10分CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ,PA AH A =，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，……………………12分 AD ⊂面PAD ，CM AD ∴⊥．……………………14分17. 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()22P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x = (2)（1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB 的面积()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭，………………6∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+，得23t =，当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当2, 23t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <， ()S t 单调递减，所以当23t =时，()S t 有最大值12827，改挖后的水渠的底宽为43可使填土的土方量最少. ……………………8分（2设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭，则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222tt A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，所以梯形OABC 的面积()12222S t t t t t⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≥，………12当且仅当t = 此时OA =m 时，可使挖土的土方量最少. …………14分 18．（1）由题意，离心率c e a ==2c =，所以224a b =，故椭圆的方程为22244x y b +=，将点代入，求得21b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=； ……………4分（2）①设直线BQ 的方程为1y kx =+，则由题意直线AP 的方程为(2)y k x =--，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(14)80k x kx ++=， 所以点Q 的坐标为222814(,)1414k k k k--++，……………………6分 同理可求得点P 的坐标为222824(,)1414k kk k -++． ……………………8分所以直线l 的斜率为222222221441441141488288221414k kk k k k k k k k k k ----++==---+--++． ……………………………10分 ②设P ，Q 两点到直线AB 的距离分别为12,d d ， 因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限， 所以12k >，且点P 、Q 分别在直线:220AB x y +-=的上、下两侧， 所以220P P x y +->，220Q Q x y +-<，从而22218282k kd -+-=2222828222k k x y d --++-==所以22222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k k S d k k k k k k k k S d k k k k kk k -+--+-+-++====---+++-+++，……………14分 令21(0)k t t -=>，则122222113242(1)1323S k t t S k k t t t t t t-====≤=-++++++++ 当且仅当2t t=，即t =12k =时，12S S有最大值为3-16分19．（1）函数2()(2)ln f x mx m x x=-+-的定义域为(0,)+∞． 2222(2)(1)()m mx x f x m x x x+--'=-+=，① 为0m <，则当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为[1,)+∞．……………2分②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥，等价于[1,2]x ∈时，max min ()()1f x g x ≥+成立．由①得，当0m <时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，所以当[1,2]x ∈时，max ()(1)2f x f m ==-．……………………4分而222()1()124m m g x x mx x =++=++-．（ⅰ）当012m<-<，即20m -<<时，min ()(1)2g x g m ==+，于是23m m -≥+，矛盾! ……………………6分(ⅱ) 122m≤-≤，即42m -≤≤-时，2min ()14m g x =-，于是2224m m -≥-，矛盾! ……………………………8分（ⅲ）当22m->，即4m <-时，min ()(2)52g x g m ==+，于是262m m -≥+，所以8m ≤-．综上，m 的取值范围是8m ≤-．……………………10分（2）因为ln 1()xx h x e+=，所以1ln 1()x x x h x e --'=， 所以21()(ln 1)(1)(1ln )[()1]()xxx x x x x x x x g x h x e e +--+--'-==， 要证2[()1]()1g x h x e -'-<+，由0x >，即证2(1)1ln 1xe e x x x x -+>--+．设()1ln x x x x ϕ=--，()1xe m x x =+，所以()ln 2x x ϕ'=--，当20x e -<<时，()0x ϕ'>；当2x e ->时，()0x ϕ'<． 所以当2x e -=时，()1ln x x x x ϕ=--取得最大值为21e -+． 由2()0(1)xxe m x x '=>+，所以()m x 在(0,)+∞单调增，所以()(0)1m x m >=，所以2[()1]()1g x h x e -'-<+． ……………………16分20． （1）82423()03(30)9a a a a =+-=+⨯-=91314()24210a a a a =+⨯-=+⨯=,8919a a ∴+= …………………………2分（2）{}n a 是3级等差数列，332n n n a a a +-+=，2(2sin )2(3)sin(3)2(3)sin(3)n n n n n n ωωωωω+=++++-+-（n ∈*N ） 2sin sin(3)sin(3)2sin cos3n n n n ωωωωωωω∴=++-=（n ∈*N ）所以sin 0n ω=，或cos31ω=，sin 0n ω=对n ∈*N 恒成立时， π()k k ω=∈Zcos31ω=时，2π32π(),(),3k k k k ωω=∈∴=∈Z Z2π{|()}{|π()}3k k k k ωωωωω∴∈=∈=∈Z Z ω最小正值等于2π3，此时2π2sin 3n n a n =+.……………………6分由于2(32)π2(31)π2(3)πsin sin sin 0333n n n --++=（n ∈*N ）323136(31)n n n a a a n --∴++=-（n ∈*N ）312345632313[126(31)]()()()2n n n n n n S a a a a a a a a a --+-=+++++++++=293n n =+（n ∈*N ）…10分 （3）若{}n a 为2级等差数列，222n n n a a a +-+=，则212{},{}n n a a -均成等差数列，设等差数列212{},{}n n a a -的公差分别为12,d d ，{}n a 为3级等差数列，332n n n a a a +-+=，则32{}n a -成等差数列，设公差为D17,a a 既是中21{}n a -的项，也是32{}n a -中的项，71132a a d D -== 410,a a 既是中2{}n a 的项，也是32{}n a -中的项，104232a a d D -==12332d d D ∴==设122d d d ==，则3D d =所以21111(1)(22)n a a n d a n d -=+-=+-（n ∈*N ）， 2222(1)(22)n a a n d a n d =+-=+-，（n ∈*N ） 又4113a a D a d =+=+，42222a a d a d =+=+，所以21a a d =+， 21(21)n a a n d ∴=+-（n ∈*N ）综合得 1(1)n a a n d ∴=+-，显然{}n a 为等差数列．……………………………………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．连结OT .因为AT 是切线,所以OT AP ⊥. ……………………………………2分又因为PAQ ∠是直角,即AQ AP ⊥,……………4分 所以//AB OT ,所以TBA BTO ∠=∠. ……………………6分 又OT OB =,所以OTB OBT ∠=∠,…………8分 所以OBT TBA ∠=∠,即BT 平分OBA ∠. ……………………………10分B ．1101212013434-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B =BAA ……………………5分 1213122B --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦ ……………………………10分C ．（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22y ax =(0)a >；直线l 的普通方程为20x y --=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得22(4)28(4)0t a t a -+++= （*）8(4)0a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t 恰为上述方程的根．则12,PM t PN t ==，12MN t t =-．由题设得()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=．由（*）得121222(4),8(4)0t t a t t a +=+=+>，则有2(4)4(4)0a a +-+=，得1a =，或4a =-．因为0a >，所以1a =．D ．因为000x y x y >>->,,，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-…………4分 232211()()3()3()()x y x y x y x y x y =-+-+≥-=--，…………8分所以2212232x y x xy y +≥+-+．…………………10分22． （1）如图，以1AB AC AA ,,分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则(,0,1)P λ，11(,,0)22N ，1(0,1,)2M ，从而11(,,1)22PN λ=--，1(0,1,)2AM =，111()0110222PN AM λ⋅=-⨯+⨯-⨯=，所以异面直线PN ，AM 所成的角为90.……………5分（2）平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n AA ==．设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =， 由（1）得1(,1,)2MP λ=-．由0,0,m NP m MP ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 得11()0,2210.2x y z x y z λλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得21,32(1).3y x z x λλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩令3x =,得(3,21,2(1))m λλ=+-．平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45， 222|cos ,|||||||9(21)4(1)m n m n m n λλ⋅∴<>===⋅+++-，解得12λ=-．故点P 在11B A 的延长线上，且112A P =．…………………10分 23．（1）228S =，4232S =…………2分； （2）设集合{0}P =，{1,1}Q =-． 若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，,中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n nC -种可能，即为112n C ，…………4分同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,,n x x x x ，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ， ……若12||||||n x x x m +++=，即123,,,n x x x x ，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m nC -种可能，即为2m m n C ， 所以1122222n m m mn n n S C C C =++⋅⋅⋅+，…………………6分 因为当0k n ≤≤时，1k nC ≥，故10k n C -≥, 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++ 11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． …………………10分。