《二次函数》教材分析

《二次函数》教材分析本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。

二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。

函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。

学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。

本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。

二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。

本章教学时间约需13课时，具体安排如下：2．1节二次函数…………………………1课时2．2节二次函数的图象…………………3课时2．3节二次函数的性质…………………1课时2．4节二次函数的应用…………………3课时复习、评价3课时，机动2课时，合计13课时。

一、教科书内容和课程教学目标（2）本章教学目标如下：（3）本章教学要求①经历描点法画函数图象的过程。

②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。

③经历二次函数图象平移的过程。

④了解y =ax 2，y =a (x ＋m )2，y =a (x ＋m )2＋n 三类二次函数图象之间的关系。

⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。

⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。

⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。

⑧能运用配方法将c bx ax y ++=2变换成k h x a y +-=2)(的的形式。

⑨了解二次函数与二次方程的相互关系。

探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。

⑩体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。

经历数学建模的基本过程。

感受数学的应用价值。

发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

(4)本章教材分析1．教材注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。

2. 教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。

3. 教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。

注重在具体二次函数的研究中掌握方法，理解原理（如图象的变换）。

4. 教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。

（5）本章教学目标1． 正确理解二次函数的概念，了解函数产生的背景，在原有的函数知识的基础上学习和掌握二次函数的概念和性质，能利用二次函数刻画事物的变化规律。

2． 理解二次函数的意义，掌握二次函数的概念、图象和性质，知道二次函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

3． 了解二次函数与二次方程之间的关系，会利用函数图象求一些简单二次方程的近似解，了解二次函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会用二次函数知识分析问题，解决问题，使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具。

4． 培养学生的理性思维能力，辩证思维能力，分析问题和解决问题的能力，创新意识与探究能力，数学建模能力以及数学交流能力。

5． 通过现代信息技术的合理应用，教师在教学中适度地使信息技术描绘函数图象，动态地变换函数图象，让学生体会到信息技术是认识世界的有效手段和工具。

6． 要使学生体验数学的文化价值，使学生感受数学美，培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观，价值观和辩证唯物主义世界观。

（6）本章内容安排1．本章通过章前图中的问题以及三个现实问题引入二次函数的概念，通过例1使学生理解和掌握二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变量与函数值的对应关系，表2—1是函数的列表表示法。

2．由于二次函数的概念的引入避免了抽象的函数定义，因此利用待定系数法是确定二次函数的基本方法。

3．二次函数图象是本章的重点之一，二次函数的图象是它性质的直观体现，函数图象是函数的直观表示，图象法也是表示函数的基本方法。

函数图象对于了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，要使学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

4．函数图象的特征是函数性质的几何体现，教科书通过变换的观点，强调变与不变的辨证关系，重点是同一坐标系中具有相同二次项系数的二次函数图象间的位置关系的变换规律。

利用配方法研究二次函数解析式与二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标之间的关系，使学生认识二次函数的本质。

5．教科书通过是通过实例来归纳二次函数的性质，目的是通过直观的图示理解抽象的函数性质，通过二次函数图象使学生了解抛物线与x 轴交点的横坐标，即当y =0时对应的x 值就是方程02=++c bx ax 的根，利用这个二次方程根的判别式，可以判定抛物线与x 轴交点的个数，并且由此确定二次函数的的特征点，通过这些特征点可以方便画出其草图。

6．教科书从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情景—数学活动—数学应用—回顾反思”的顺序编制教材，通过实例巩固学生所学的知识。

试图发挥学生学习的主动性，引导学生联系自己的生活经历，使学生感受到函数就在身边，体会到数学知识的广泛性、应用性。

7．利用二次函数图象求方程的近似值，可以把方程的解看作是函数与x轴的交点的横坐标，也可以看成是两函数图象交点的横坐标，引导学生不断创新，可以结合信息技术的使用，如几何画板等软件的应用，不断地优化教学过程。

二、本章编写特点有关函数的内容是中学数学中的一条主线，也是中学数学中的一个稳定的内容。

因此，如何有助于教师和学生利用教材这一课程资源，丰富教与学的方式，帮助学生更好地认识和理解函数概念，了解函数与其它内容的联系，初步运用函数这一描述现实世界中变量之间依赖关系的重要数学模型去解决一些实际问题，关注信息技术与数学内容的有机整合，体现新课程的理念，是我们在编写教材时着力研究的问题。

在对上述各方面问题研究的基础上，我们在教材的体例、结构、呈现方式等方面作了新的尝试和努力，力求体现以下特点：（一）强调背景，展现过程，改进学习方式任何一个数学概念和结论的引入，总有它的现实或数学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，因此，我们在教材的编排和内容的选择上，强调背景，展现过程，让学生感到概念和结论的得出是水到渠成的，自然的，而不是强加于人的。

以便有利于学生认识数学内容的实际背景。

具体地，针对本书中的数学概念，在教材编写过程中，我们力求选取贴近学生生活、具有时代气息的实例，创设学习数学概念和结论的背景情境。

例如在函数的相关内容中，通过典型的、丰富的具体实例（涉及运动变化、经济生活等），展示函数概念产生的背景，使学生理解如何用函数来刻画现实世界中变量之间的相互依赖关系，通过实例（最佳设计、销售方案、物体运动等），帮助学生理解二次函数模型。

在丰富的背景中，教科书在恰当的采用“合作学习”、“节前问题思考”、“设计题”及“章前问题”等形式提出问题，引导学生思考、经历知识发生发展的过程，经历观察、归纳、概括、交流、反思的思维过程；通过留白、留空等方式鼓励学生积极参与这个过程，主动思考、自主探索；等等。

例如在函数概念学习中，教科书通过观察实例、归纳共性、逐层分析概念，让学生将正比例函数、一次函数与二次函数学习相联系，通过比较、讨论，交流感受函数概念发生发展的过程，提升的过程。

（二）突出联系，体现应用，培养应用意识数学学习本身和新课程模块式的结构，都需要我们充分关注知识内容间的联系。

集合作为一种语言，它的使用几乎渗透到了数学的各个领域；而函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中都有着广泛的应用。

因此，本册教科书非常注重体现知识之间的联系、知识与实际的联系、知识的广泛应用，等等。

以使学生能够感受到不同知识间的联系，从整体上把握所学的数学知识，加强学生的应用意识，提高学生的数学创造力。

对于二次函数函数，教科书安排了较多的实际应用问题，如储蓄问题、种植面积问题、最佳设计问题、船只运动问题、销售问题等等，并专门设置了第4节介绍函数的应用，其中就包括函数与方程的联系、函数模型及其应用，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，让学生初步体验建立函数模型的过程和方法。

（三）重视数学思想方法数学的学习不仅是单纯的知识学习，更应注意提炼和逐渐掌握其中蕴含的数学思想方法。

本章中蕴含了丰富的数学思想方法，主要有数形结合、用函数观点研究问题、数学建模的思想方法。

数形结合的思想方法贯穿了本章的始末，在研究二次函数性质过程中函数图象、表格与解析式的相互结合使用；根据实际问题的数据画图、建立拟合函数的解析式、估计事物发展趋势等等。

用函数观点研究问题、数学建模的思想方法主要反映在第4节建立实际问题的二次函数模型的过程中。

（四）注重信息技术与数学课程的整合信息技术是一种有效的认知工具，能够为学生进行自主探究提供强有力的平台，呈现以往教材和其他教学手段难以呈现的内容，帮助学生更好地理解数学本质，从而主动地探索和研究数学。

在本章的编写中，我们在教学参考书中适宜与信息技术整合的内容用，都建议或提示使用信息技术，如在讨论函数的图象与性质的叙述中都做出了相应的建议或提示；此外，专门设置了“用计算机画二次函数图象”的阅读材料，介绍了用计算机画函数图象的方法。