新课标八年级数学竞赛讲座：第二十八讲奇妙的对称

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八年级数学竞赛例题专题讲解：相对相称—对称分析法

八年级数学竞赛例题专题讲解:相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出:对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称:1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b a +，ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决. 2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径. 例题与求解【例l 】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB ，BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 . (荆门市中考试题)解题思路:作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.BC【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路:用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值.【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证:122=+b a （四川省竞赛试题）解题思路:解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是:乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞OD ，求证:BC ＋AD ＞AB ＋CD .（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路:解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC 为对称轴，将部分图形翻折．DBC【例5】如图，矩形ABCD 中，AB ＝20厘米，BC ＝10厘米，若在AC 、AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）解题思路:要使BM ＋MN 的值最小，应该设法将折线BM ＋MN 拉直，不妨从作出B 点关于AC 的对称点入手.A N能力训练1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)A BO(第1题图) （第2题图）（第3题图） 2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .(济南市中考试题)3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .4. 比6)56( 大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，则PE ＋PC 的最小值为（）.A ．32B ．13C ．14D ．15 6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.A ．)1854(+英里B ．16英里C ．17英里D ．18英里（美国中学生竞赛试题）BCADPEMP(第5题图) （第7题图）（第8题图） 8.如图，等边△ABC 的边长为2，M 为AB 中点，P 为BC 上的点，设P A ＋PM 的最大值和最小值分别为S 和L ，则22L S -等于（）A ．24B ．34C ．23D ．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c =060，求e d +与x 的值. （江苏省竞赛试题）10. 求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学图1 图2图3的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）．探索归纳（1）① 当4a =时，比较大小:12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小:12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)12．如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）（1）若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若C （a ，0），D （3+a ，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，问:是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．x13.在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．CB DA(宁夏中考试题)14. 阅读下列材料:小贝遇到一个有趣的问题:在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动:它从A点出发，沿着AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45︒的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的:如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．请你参考小贝的思路解决下列问题:(1) P点第一次与D点重合前与边相碰次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm．(2) 进一步探究:改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB:AD的值为．。

八年级数学公开课教案图形的对称活动课教案

生活中的对称美一、活动目的1．通过拼图和设计等活动，使学生感受几何图形的对称美在生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和自信心，培养学生应用数学的意识和能力。

2．通过小组竞赛，培养学生交流的意识和合作精神。

二、活动对象初中二年级学生三、活动时间2课时四、活动准备1．全班同学选出主持人和计分员各1名，其余同学分成8小组，每组4～6人，各设组长1名。

2．活动工具：抢答器，“F”形全等彩色硬纸片，A4空白纸，双面胶，圆规，三角板。

五、活动规则和方式1．全部问题分为：A （抢答题），B（必答题），C（实习作业）共三种类型。

主持人在出示题目之前必须说明题目类型（A、B、C）2．A类题必须按动手中的抢答器进行抢答，答对一题加10分，回答不完全不得分，答错倒扣5分，其他同学可继续抢答。

B类题和C类题以小组为单位先选出1～2幅作品上台展示，凡符合题意加20分，有创意则另加5～20分。

3．根据得分情况奖励小组前三名，颁发奖品，本次活动不设个人奖。

4．本规则的解释权属于教师。

六、活动内容第一轮：A类（抢答题）1．联想猜谜，请根据下列提示猜一几何名词，并说明理由。

【参考答案】轴对称或轴对称图形。

理由如下：全等——关于某条直线对称的图形是全等形。

垂直平分线——如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

折叠——如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

飞机——飞机是轴对称图形。

2．写出十个具有轴对称结构特征的汉字。

（全部写好后，再按抢答器。

）【参考答案】中、串、甲、由、品、晶、申、里、土……3．在26个大写英文字母中，是轴对称图形的是__________，是中心对称图形的是___________，既是轴对称又是中心对称图形的是___________。

【参考答案】A B C D E H I K M O T U V W X Y ；H I O S X Z ； H I O X 。

数学与物理的奇妙融合——对称与守恒

数学与物理的奇妙融合——对称与守恒物理学家杨振宁（1922-）先生认为，20世纪物理学有三大主旋律：量子化、对称与相位因子．关于对称性，伟大的德国女数学家，有着“代数学女王”之称的艾米˙诺特（E.Noether，1882－1935）认为：“物理体系的每一个连续的对称变换，都对应于一个守恒定律”，这就是著名的诺特定理．大自然中处处有对称，对称性很早就是物理学研究的指导原则．对称原本是数学的概念，守恒则是物理定律，诺特定理却揭示二者之间存在紧密而奇妙的联系．本讲将介绍物理学中的对称性与守恒律．主要内容分三部分：第一部分介绍对称性与守恒律之间的联系；第二部分通过拉格朗日函数的变分，将力学系统的运动规律表述为“最小作用量原理”；第三部分则通过考察作用量的三种对称性，导出物理学中的三大守恒定律：（1）由“时间平移对称性”推导“能量守恒定律”；（2）由“空间平移对称性”推导“动量守恒定律”；（3）由“空间旋转对称性”推导“角动量守恒定律”．这一讲，通过对称性与守恒律在数学和物理角度的分别诠释，我们可以更加深入体会到数学语言在物理中的运用，并进一步了解数学与物理之间分分合合的关系：二者都源于哲学，曾经一度分家，到了现代，又产生了密不可分的联系．作为科学上最重要的两个分支，数学与物理互相促进、相辅相成．第1节对称性与守恒律1.1 对称与群人们很早就注意到我们生活的这个世界充满了对称性，并对之加以探究，早在古希腊、古罗马以及古代中国，都有关于对称概念的研究记载．简单来说，对称性就是“变中有不变”，即在某种变换下保持不变的性质． 1872年，德国数学家克莱因（F.C.Klein ，1849-1925）在埃尔朗根大学的就职演说中提出了著名“埃尔朗根纲领”，将19世纪及之前的几何学概括为“研究在某种变换群下保持不变性质和不变量的学科”．例如，欧氏几何研究的是在刚体变换下保持不变性质的几何学，其变换群是正交矩阵群；仿射几何研究的是在仿射变换下保持不变性质的几何学，其变换群是一般线性群．例1（平面上的刚体变换）平面上的一点(,)x y 经过平移和旋转的刚体变换到另一点(,)x y ''，则有如下的对应关系00'cos sin 'sin cos x x x y y y θθθθ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例2（平面上的仿射变换）平面上的一点(,)x y 经过仿射变换到另一点(,)x y ''，则有如下的对应关系011121112021222122',0'x a a a a x x y a a a a y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．研究对称性最重要的数学工具就是群论——抽象代数的一个重要分支，群的概念在第2讲中已有详细介绍．群的发明来源于法国数学家伽罗瓦（É. Galois ，1811-1832）对一元n (5)n ≥次代数方程是否可以根式求解问题的研究．早在古巴比伦时期，一元一次和二次方程求根问题就已经解决，并有一元二次方程的求根公式．16世纪意大利的数学家给出了一元三次方程和四次方程的求根公式，但是，此后人们在长达300多年内寻求高于四次方程的求根公式均以失败告终．至19世纪上半叶，“求代数方程的根”一直是古典代数学的中心问题，直到伽罗瓦证明了：一元n 次代数方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为可解群．作为这个结果的一个推论是：对应于一般形式的n 次代数方程的伽罗瓦群，只有当 1，2，3，4时才是可解群．因此，五次及五次以上代数方程不存在求根公式．所谓伽罗瓦群是指由方程的根的置换群中保持方程根的以“基本域”中的元素为系数的全部代数关系不变的置换构成的子群．可解群可作如下简单解释：由群中元素的换位子11[,]a b aba b −−=全体生成的子群，即换位子群，而换位子群的换位子全体又可以生成一个新的子群……，若经过有限次成为只含幺元的幺群，则此群称为可解群．图1. 伽罗华1.2 对称性与守恒律物理系统中常见的对称性有时间平移对称性、空间平移对称性和空间旋转对称性等；物理系统常见的守恒律有能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律等，对称性与守恒律有着千丝万缕的联系．德国著名女数学家艾米·诺特是抽象代数的开创者，她被爱因斯坦赞誉为“最伟大的女数学家”．艾米·诺特是从数学及物理上阐明了对称性与守恒律的联系的第一人，她在1918年发表的题为《变分问题的不变量》的论文中提出了著名的“诺特定理”：物理系统的每一个连续的对称变换，都对应于一个守恒定律．1926年，美国物理学家维格纳（E.P.Wigner,1902-1995）还提出了宇称守恒定律，想把对称性和守恒律的关系进一步推广到微观世界．所谓“宇称”，是指一种粒子之间互为镜像，粒子的运动是相同的．但在1956年，美籍华裔物理学家李政道（1926-）和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后，提出“在弱相互作用下宇称不是守恒的”，美籍华裔实验物理学家吴健雄（1912-1997）则通过一个巧妙的钴60衰变实验验证了“宇称不守恒”．李政道和杨振宁因此获得1957年的诺贝尔物理学奖，成为首次获得该奖项的华裔科学家．图2. 诺特与《代数学》例3（开普勒第二定律与角动量守恒）在第8讲中的开普勒行星第二运动定律（即面积律），本质上反映了太阳-行星系统的角动量守恒．事实上，由面积律，我们知道212r A θ≡（常数），而行星运动时的线速度0()()lim t r t t r t v t∆→+∆−=∆，则角动量的大小为 2200()[()()]lim lim t t r t r r t t r t r v r t t θθ∆→∆→∆⨯+∆−⨯===∆∆．诺特定理直观的理解就是：每一种对称性都对应一个守恒律．例如，时间平移对称性对应能量守恒定律；空间平移对称性对应动量守恒定律；空间旋转对称性对应角动量守恒定律．这个定理培育出了物理学家的一种思维习惯：只要发现一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒律；反之，只要发现了一条守恒律，也总要把相应对称性找出来，下面是一个对称性与守恒定律及使用范围的关系表．对称性守恒定律使用范围时间平移能量守恒完全空间平移动量守恒完全空间旋转角动量守恒完全镜像反射宇称守恒弱作用中破缺电荷规范变换电荷守恒完全重子规范变换重子数守恒完全轻子规范变换轻子数守恒完全1.3 自发对称破缺自然规律的确具有某种对称性，对称使得万物和谐、均衡，但对称中也潜藏着不对称，对称中的不对称使得事物变得生机、灵动．五彩缤纷的大自然中，无处不有对称与不对称，物理学也是如此．物理规律的某种对称性表现在真实世界的具体现象时，却不是对称的，这一看起来似乎很简单的现象，却曾经使得科学家困惑多年．“自发对称破缺”的理论给予了解释．“自发对称破缺”作为专业术语，常常被人们用一个简单的例子解读，例如，一支铅笔竖直立在桌子上，按照物理定律，铅笔所受的力在四面八方都是对称的，及满足旋转对称性，因此铅笔向任何一个方向倒下的概率都应该相等．但是，铅笔最终只会倒向一个方向，倒下之后，铅笔原有的对称性就被破坏掉，而这种破坏是铅笔自身发生的，因此被称为“自发对称破缺”．20世纪60年代中期，科学家们通过对数学物理理论的研究，预言了一种名为希格斯粒子的基本粒子，这与上述的“自发对称破缺”这一术语相关．2012年，希格斯粒子被欧洲核子中心发现，与此相关的研究获得了2013年的诺贝尔物理学奖．事实上，物理学家经过多年的研究，提出了关于物质世界的组成的“标准模型”，在这个“标准模型”中，物质的本源来自四种基本力：引力、电磁力、弱力和强力，以及61种基本粒子，其中包括36种夸克，12种轻子，8中胶子，2种W粒子，另外还有Z粒子、光子以及希格斯粒子．希格斯粒子是“标准模型”中最后被发现的粒子，被称为“上帝粒子”．“标准模型”成功地统一了除了引力以外的三种力，并且基本精确地解释了与三种力有关的所有实验事实．物理学家用“自发对称破缺”的概念来研究基本粒子和场，认为它们遵循某种“规范对称性”，希格斯粒子的发现证明了“标准模型”基本正确．在微观世界里，基本粒子有三种基本的对称方式：（1）电荷（C）对称（共轭对称）：对于粒子和反粒子，物理定律是相同的．（2）宇称（P）对称（空间反射对称）：互为镜像的同一种粒子的运动规律相同．（3）时间（T）对称（时间反演对称）：如果颠倒粒子的运动方向，则粒子的运动是相同的．高能物理实验告诉我们，对于粒子世界的物理规律，以上3种对称性全部破缺，世界从本质上被证明了是不完美的、有缺陷的．因此，可以认为我们这个五彩缤纷的物质世界，包括人类自身，都是对称性的细微破缺留下的遗迹．第2节最小作用量原理2.1 拉格朗日函数我们描述系统中的N 个点的位置信息需要3N 个坐标，当增加约束时，这个系统的自由度便会降低．所谓自由度，指的是能够完全描述某一物理系统状态的相互独立的最少变量个数，当增加某些约束时，会使其中某些变量不再相互独立，导致自由度降低．为了研究问题方便，我们要引进广义坐标系统．s 个自由度的系统可以用s 个独立变量1,,s q q 和变量的变化率1,,s q q 以及时间t 的函数()()11,,,,,,,,s s L q q t L q q q q t =来表示，称之为拉格朗日函数，拉格朗日函数对于时间的积分()21,,t t S L q q t dt =⎰即为作用量．最小作用原理指的是物理系统的真实运动轨迹是使作用量达到最小的轨迹．据此可以推导出著名的欧拉-拉格朗日方程．例4（费马原理）光学中的费马原理指的是：光的轨迹总是遵循使光程B A nds ⎰（其中n 是介质的折射率）取极值的轨迹．根据费马定理，可以推导出光传播的三大规律——光的直线传播定律、反射定律和折射定律，包含了几何光学的主要内容．这其实很有趣：光是没有脑子的，但它走的总是最省时间的路．斯奈尔折射定律的内容是：设一道光线从一点A 以速度1v 、入射角1α进入较密媒质后以较低速度2v 、折射角2α 到达点B ，则有1212sin sin v v αα=. 例5（最速降线问题）伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——一个质点在重力作用下从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿什么曲线滑下所需时间最短？伽利略错误的认为这曲线是个圆．瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再次提出这个最速降线问题，次年（1697年）已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达以及雅可比·伯努利与约翰·伯努利兄弟．其中，牛顿、莱布尼兹、洛必达利用的是微积分的方法，雅可比·伯努利的方法虽然比较繁琐，但其中孕育了变分法的思想，约翰·伯努利的方法似乎缺乏根据但十分简明．约翰·伯努利采用费马最小时间原理，将质点在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播，得到最速降线问题中的路径所需满足的微分方程．假设质点沿从点A 滑行到点B 的路径，所需时间最短．从光学的原理得出，sin vα=常数. 根据能量守恒定律，质点在一定高处的速度，完全由其到达该高处所损失的势能确定，而与所经过的路径无关，从而，有2v gy =.由几何关系，还可以得到 221sin cos sec 1tan 1()y αβββ===='++ 将上述三式结合起来，得到2[1()]().y y c '+=常数这就是最速降线所满足的常微分方程．解此微分方程，可以得到(sin ),(1cos ).x a y a θθθ=−=− 这是旋轮线（也称摆线）的标准方程，而最速降线问题的正确答案就是连接两点上凹的唯一一段旋轮线（即倒置的摆线）．1673年，惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629～1695）证明了旋轮线是摆线．因为钟摆做一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线又称等时曲线．雅可比·伯努利的方法则接近于现代的变分法思想．以变分法的思想，最速降线问题应该是一个求泛函极值的问题，其数学表达如下：()()()()2121121'min min '22x x y x y x y x v J dx y y x g g αα+⎛⎫==− ⎪−⎝⎭⎰．这个数学问题的正确的解答也是倒置的摆线图3. 最速降线问题与摆线作用量在数学上被称为泛函，即“函数的函数”，而最小作用原理从数学角度来说是研究泛函的极值，而要计算泛函的极值，需要运用变分法，变分法可以理解为微分法的推广．微分法研究自变量的改变对于函数值的影响，而泛函中是将函数映射为一个实数，可以把这里的函数类比微分中的自变量，本质思想是相同的．变分法是研究泛函的极值方法．1756年，欧拉在论文中将变分法正式命名为“the calculus of variation ” ．1760年，拉格朗日引入变分的概念，在纯分析的基础上建立变分法。

初中数学竞赛中的“轴对称”

．
证明：Ｑ＝Ｃ．ＢＰ证明由题意
Ｐ
作Ｄ上ＢＨＥ于点Ｈ，Ｋ上于点ＫＧ．
易证 △ ＩＨ丝 △ ＩＫ．ＤＧ
进而，Ｋ＝ＤＧＨ．
网４
知
ＢＣ＋ＣＢＱＰ
＝Ａ＋一１
一
故Ｉ－Ｈ：Ｉ．Ｋ，ＥＤＦＧ即
上分别取点Ｑ、Ｐ，
使得
ＰＢＣ
＝
ＡＥ：ｔＡＦ＝ＩＢＤ＝ＩＢＧ＝４Ｉ５．Ｏ
ＱＢＣ
Ｂ
故ＦＧ＝ＡＢ一ＭＦ一ＢＧＩＩＩ
Ｃ
＝１５３。一４一４５。５。＝５ＢＤ．４。＝Ｉ
：
收稿日期：０１８— １２１ —０３
２１０２年第１期
３
２求线段的长度，明线段相等证
例３如图３在矩形ＡＣ中，，ＢＤ已知对
ＢＣ＋Ｂ１０．Ｃ＝ＱＰＣ＝８。ＰＰＣ
Ｂ、Ｃ、Ｐ、Ｑ四点共圆＝ＰＢＰＣ＝ＱＢ＝＞Ｃ＝ＢＣ
（本讲适合初中）
又ＯＡ：Ｏ则Ａ，
△ＡＯ △Ａ．ＢＭ０
许多数学问题所涉及的对象具有对称
性，轴对称就是常见的形式之一．轴对称的性质在探求几何最值、解决生活实际问题等方
面有着奇妙的作用．
１计算角的度数
于是，Ｂ＝Ｍ．ＯＯ
例４如图４在 △ ＡＣ的边ＡＡ，ＢＢ、Ｃ
的对称点Ｆ、．Ｆ、Ｇ则Ｇ

奇妙的对称

奇妙的对称河西学院物电系07级4班杨福平指导老师王仁虎袁晓红摘要：对称性是自然界最普遍、最重要的特性之一。

近代科学表明，自然界的所有重要的规律均与某些对称性有关，甚至所有自然界中的相互作用，都有某种特殊的对称性——所谓“规范对称性”。

实际上，随着对称性研究的日趋深入，对称性越来越广泛的应用到物理学的各个领域：量子论、相对论、高能物理、晶体物理、原子与分子物理、原核物理以及化学、生物和工程技术，并且，它还跟不变性、守恒律有着更为紧密的关系[1].除此之外，对称性还跟数学的一些重要领域有关系，如数论、群论等。

因此，本文将对一类对称性——“自然数的对称性”作以讨论.关键词：对称；弦理论；数论；宇宙；相对论Wonderful symmetryYang Fuping.Institute of Electrical Hexi-07 Class 4Instructor Wang Renhu Yuan XiaohongAbstract: Symmetry is the most common and important character of nature. Modern science suggests that the important rules of all have relationship with symmetry, even all the interactions of nature have some kind of special symmetry——the so-called "Gauge symmetry". In fact, with the increasingly deeper research of symmetry, it has found more and more wide application in various fields of physics: the quantum theory, theory of relativity, high-energy physics, crystal physics, atomic and molecular physics, nuclear physics, as well as the chemistry, biology and Engineering technology, and it also has close relationship with inflexibility and conservation laws [1]. In addition, symmetry also has connection with some fields of mathematics such as number theory and group theory,etc.. Therefore, the most basic symmetry ----"nature number of symmetry" will be discussed in the article.Key words : Symmetry string theory number theory the univers theory of relativity数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分.数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃.一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平.今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具.其中，自然数是数系中最基本的数，因此，学习和发现自然数中的一些规律和性质是必要的，而数论又是专门研究自然数规律的一门学科，所以，了解和学习一些数论的知识是必需的.人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0.它们合起来叫做整数.利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索.数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论.后来整数论又进一步发展，就叫做数论了.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.随着数系理论和研究方法的日益完善，数论分为初等数论、解析数论、代数数论、几何数论、组合数论…….对于学习物理的人来说,不仅要了解数论,还要学习数学中一些关于对称的性质和规律,这对我们学习物理有很大的帮助，因为对称性在物理学中起着很重要的作用.在经典物理中定量的描写对称性，指出它是与体系在某一变换下的不变性相联系的观念.发展到量子力学，与经典力学相比，对称性的研究大大地丰富了人们对自然界的认识，在量和质上都有了明显的变化.量子力学中的对称性表现远比经典力学来得丰富多彩而且深刻[2].因此，用数学中对称的规律研究物理中的一些现象,这是非常有用的.过去百年里，我们明白了一个大道理，那就是物理学定律总联系着对称性.狭义相对论的基础是相对性原理所赋予的对称性——即常速运动的观测者之间的对称性，广义相对论的引力的基础是等效原理——相对性原理向所有观测者.另外，强力、弱力和电磁力的基础是更加抽象的规范对称性.同艺术一样，对称性也是物理学美的一个重要组成部分，不同的是物理学中的对称性有非常具体而精确的含义.根据对称性的精确概念和它们的数学结论，物理学家在过去几十年里建立了一些新奇的理论，在这些理论中，物质粒子和力的信使粒子之间的关联比我们过去想象的要密切得多.这些理论不尽统一了大自然的力，也统一了物质的基本组成，具有最大可能的对称性，因为这一点，它们被称为超对称，我们将看到超弦理论就是在超对称框架下树起的一个例子，它既是第一个，也是登峰造极的一个[3]. 目前从大统一到超弦理论的研究中，对称性起着关键作用[4].超弦理论是现在最有希望将自然界的基本粒子和四种相互作用力统一起来的理论，超弦理论认为弦是物质组成的最基本单元，所有的基本粒子如电子、光子和夸克都是弦的不同振动激发态.超弦理论第一次将20世纪的两大基础理论——广义相对论和量子力学组合到一个数学上的框架里，超弦理论有可能解决一些长期困扰物理学家的世纪难题，如黑洞的本质和宇宙的起源[5].一次偶然的机会，我看了一本陈景润先生写的初等数论，其中有一些关于自然数的对称的研究, 本文将在此基础上作更进一步的讨论，现介绍如下：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中任意取出两个数字组成二位数，比如取1和2，用这两个数字可以作出12和21这样的两个自然数，将这两个自然数相加，我们得到：12+21=33如果取2和9这两个数字，由它们可以作出29和92这样的两个自然数，相加我们得到：29+92=121如果取0和2这两个数字，由它们可以作出02和20这样的两个自然数，相加我们得到：02+20=22到这里我们可以看到，一个顺序数和一个逆序数相加，如果用ab表示这个二位数，若a+b<10,则个位数字和十位数字相等；若a+b>10,则个位数字与百位数字之和等于十位数字，现举出几个例子加以解释：04+40=44 06+60=66 03+30=33 08+80=8824+42=66 45+54=99 26+62=88 35+53=8847+74=121 67+76=143 89+98=187 57+75=132并且，通过计算，发现这些数的和都有一个规律，都是11的倍数，而且都可以用同一个式子表示.对于四位数，比如取1、3、4和7，用这四个数字可以作出1347和7431这样的两个自然数，将这两个自然数相加，我们得到：1347+7431=8778如果取0、4、5和8，用这四个数字可以作出8540和0458这样的两个自然数，将这两个自然数相加，我们得到：8540+0458=8998当取4、5、6和8，用这四个数字可以作出4568和8654这样的两个自然数，将这两个自然数相加，我们得到：4568+8654=13222到这里我们可以看到，对于四位数，并不是所有的四位数都有对称性质，但是，它们的和仍然可以用同一个式子表示.由此我们得到：猜想一：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中任意取出两个数字a、b组成两个二位数ab与ba，若a+b≤10,则这两个数的个位数字和与十位数字和相等；若a+b>10,则这两个二位数的和的个位数字与百位数字之和等于十位数字；并且在两种情况下都有顺序数与逆序数之和为11的整数倍，即ab+ba=11(a+b).猜想二：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中任意取出四个数字a、b、c、d组成两个四位数abcd与dcba，则有11+=，这里k自然数.abcd dcba k对于更多位数，可以类推.下面给出两个猜想的证明.猜想一的证明：用ab表示一个二位数，其个位数字为b，十位数字为a ，则1≤a≤9, 0≤b≤9.当a=1时，就有10+01=11 15+51=66 17+71=88 16+61=77 19+91=110ab+ba=10+b+10b+1=10(1+b)+(1+b)=11(1+b)由此可以看出十位数字和个位数字都是(1+b),并且和是11的倍数.当a=2时，就有20+02=22 23+32=55 26+62=88 28+82=110 29+92=121ab+ba=20+b+10b+2=10(2+b)+(2+b)=11(2+b)由此可以看出十位数字和个位数字都是(2+b), 并且和是11的倍数.当a=3时，就有30+03=33 34+43=77 44+44=88 48+84=132 49+94=143ab+ba=30+b+10b+3=10(3+b)+(3+b)=11(3+b)由此可以看出十位数字和个位数字都是(3+b), 并且和是11的倍数.当a=4时,就有40+04=44 42+24=66 47+74==121 48+84=132 43+34=77ab+ba=40+b+10b+4=10(4+b)+(4+b )由此可以看出十位数字和个位数字都是(4+b), 并且和是11的倍数.┊当a=9时，就有90+09=99 91+19=110 96+69=165 97+79=176 99+99=198 ab+ba=90+b+10b+9=10(9+b)+(9+b)=11(9+b)由此可以看出，当a+b>10时，其百位数字与个位数字之和等于十位数字.综上所述,我们得到一个重要的结论：定理一：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中任意取出两个数字a、b组成两个二位数ab与ba，若a+b≤10,则这两个数的个位数字和与十位数字和相等；若a+b>10,则这两个二位数的和的个位数字与百位数字之和等于十位数字；并且在两种情况下都有顺序数与逆序数之和为11的整数倍，即ab+ba=11(a+b).猜想二的证明：与猜想一相同，abcd表示一个四位数，a,b,c,d分别表示其千位数字、百位数字、十位数字及个位数字.为了使这样的四位数有所要求的性质，必须要求：1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，且 0≤a+d≤9，0≤c+b≤9当满足这些条件时，这个四位数就有严格的对称性质，现证明如下：当a=1，b=0时，就有1022+2201=3223 1078+8701=9779 1045+5401=6446 1090+0901=1991abcd+dcba=1000+10c+d+1000d+100c+1=1000(1+d)+100(0+c)+10(0+c)+(1+d) =11[10(0+c)+91(1+d)]由此可以看出千位数字和个位数字都是(1+d)、百位数字和十位数字都是(0+c)，并且也是11的倍数。

奇妙的对称性认识形的对称特性

奇妙的对称性认识形的对称特性奇妙的对称性——认识形的对称特性对称是一种美丽而神奇的现象，它存在于自然界的各个角落。

无论是植物的花朵、动物的身体结构，还是艺术作品和建筑设计中，对称性都扮演着重要的角色。

本文将对对称性的概念、种类及其在不同领域中的应用进行探讨，以展示对称所具有的奇妙魅力。

一、对称性的概念与种类对称是指物体或事物在某个平面、轴线或中心点上的镜像或旋转等变换下保持不变的性质。

它是一种关于形状、大小、位置上的相似而相互镜像的特性。

根据对称轴或面的不同，对称性可以分为轴对称和中心对称。

轴对称是指物体能够围绕一个轴线实现镜像对称，即两边完全相同。

常见的例子是人体的左右对称、动物的身体结构以及许多几何图形，如正方形、长方形等。

中心对称是指物体能够围绕一个中心点进行旋转180度后实现镜像对称，即物体的各个部分都相同。

植物的花朵、星星的形状以及人脸的特征等都表现出中心对称性。

二、对称性在自然界中的应用对称性在自然界中具有极其广泛的应用。

它不仅赋予物体美感，还对生物的生存和繁衍起到重要作用。

1. 生物进化与对称性生物界中许多动物都具有对称的身体结构，这种对称性对于它们在环境中的适应和生存至关重要。

例如，鱼类和鸟类的身体结构都呈现出轴对称，这使得它们可以更好地在水中和空中移动。

而人类的身体结构则体现出了更复杂的对称特性，左右对称的身体能够更好地实现平衡和协调运动。

2. 植物的花朵和叶子植物王国中的花朵和叶子也展现了对称的美丽。

许多花朵都表现出以花心为中心的辐射对称，这种对称性能够吸引昆虫传播花粉，实现繁殖。

而叶子的对称性则有助于植物在光线接收和养分吸收方面的均衡分配。

三、对称性在艺术领域中的应用对称性在艺术创作中起到了重要的引导作用，它能够给观众带来视觉的舒适感和美感。

1. 建筑中的对称性古希腊和古罗马建筑中广泛采用了对称的设计原则。

庙宇和宫殿常常沿着中轴线对称布局，使得建筑整体显得平衡而庄严。

著名的巴黎圣母院和印度泰姬陵等建筑都以对称性为特色，给人以庄重而精致的美感。

探索数学中的奇妙对称

探索数学中的奇妙对称数学作为一门抽象而又精确的学科，一直以来都充满了无限的魅力和奥秘。

在数学的世界里，数学家们探索出了许多引人入胜的概念和定理。

其中，对称性被公认为是一种最为重要且深奥的概念之一。

让我们一同来探索数学中的奇妙对称。

一、几何中的对称几何学是研究形状、大小、位置和其他属性的数学分支。

在几何学中，对称性起着重要的作用。

对称可以分为平面对称和中心对称。

平面对称是指一个图形能够经过某个平面的翻转、旋转或滑动而得到自身。

比如正方形，它具有四个平面对称操作，即以中心点、垂直中线、水平中线以及45度对角线为轴，旋转180度或翻转都可以得到原来的正方形。

中心对称则是指一个图形以某个中心为对称中心，任何一点经过这个中心的对称操作都能得到自身。

比如圆形就具有中心对称性，任何一点经过圆心对称后，都能得到圆形。

除了平面对称和中心对称外，还有轴对称、点对称等各种对称形式。

这些不同的对称形式在几何学中起到了重要的作用，以及在实际生活中具有广泛的应用，如建筑设计、工艺制作等。

二、代数中的对称代数学是研究数和运算的关系的学科，对称性在代数中扮演着重要的角色。

在代数学中，对称往往与方程和函数有着密切的联系。

首先，我们来谈谈方程的对称性。

对称方程是指其形式在变换之后依然不变。

比如二次方程 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，如果交换 x、y 的角色或者将 x 变为 -x，y 变为 -y，方程形式不变，那么这个二次方程就具有对称性。

除了方程的对称性，函数的对称性同样也是代数学中的重要概念。

常见的函数对称性包括偶函数和奇函数。

偶函数是指满足 f(x) = f(-x) 的函数。

简单来说，如果一个函数关于y 轴对称，那它就是偶函数。

例如，y = x^2 + 2 是一个典型的偶函数，它的图像在 y 轴上是对称的。

奇函数则是满足 f(x) = -f(-x) 的函数。

通俗地说，如果函数具有原点对称性，那它就是奇函数。

对称录播课

二、探究新知
说一说下面图片中哪些是轴对称的？
是
是
是
是
是
不是
是
不是
二、探究新知
请你仔细观察这些对称我图们形把，这它条们折形痕状不叫同作，对但称是轴它。们有什么共同点呀？
轴对称图形
对称轴
对称轴
两边一样，中间都有折痕。
对称轴对称轴
二、探究新知
找一找它们的对称轴。
三、知识应用
说一说下面的数字图案，哪些是轴对称的？
图形的运动（一）
对称
一、美图欣赏
说观一察说这生些活图中形还有有哪什些么轴共对同称点图。形。
这样的图形是对称的，它们都是轴对称图形。
图形两边一样。
二、探究新知
小组任务：
第一对幅折图后是完轴全对重称合图的
1.想一想这两个图形形。图是第形不二是是幅轴轴图对对不称称是图图轴形形。。
2.说一说你是怎么对判称断图的形。。
三、知识应用
动脑筋想一想这三个图形的对称轴有几种画法。
2条
4条
无数条
三、知识应用
还可以横着画或者斜着画。
Байду номын сангаас
下面想的一图想案，分后别两是个从图哪形张的对折后的对纸称上轴剪还下可来以的怎？样连画一？连，并画出它们的对称轴。
四、课堂作业
作业：第29页“做一做”。第33页练习七，第1题。

第28课时图形的对称、平移与旋转

基础点巧练妙记贵州4年真题精讲练
基础点 2 图形的平移与旋转
1.平移(遵义2016.27，黔西南州2015.10)
定义
三大要素
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小_完__全__相__同__ 平移的起点,方向,___距__离____
基础点巧练妙记贵州4年真题精讲练
AB=A′B′,BC=B′C′
AC=⑧_A__′_C_′___
∠A=⑩__∠__A__′ ___,
∠B=∠B′,∠C=∠C′
对应点所连的线段被对称轴
基础点巧练妙记贵州4年真题精讲练
(2)常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形、圆等. (3)图形的折叠:折叠问题是轴对称变换,折痕所在的直线就是____对__称__轴_____,折叠前后的图形 ____全__等_______.
如果一个平面图形沿着一条直
定线折叠,直线两旁的部分能够互义相①__重__合___ ,那么这个图形就
叫做②__轴__对__称__图线
AB=⑦__A_C____
段相等
性对应角质相等
∠B=⑨__∠___C___
把一个图形沿着某一条直线折叠, 如果它能够与另一个图形④ 重合 ______,那么就说这两个图形关于这条轴直对线称成⑤______,这条直线叫做对⑥称__轴_______
④按原图形依次连接各对应点,得到平移后的图形
基础点巧练妙记贵州4年真题精讲练
2.旋转(遵义必考，黔东南州3考，黔西南州2015.26，毕节3考，安顺2017.16)
定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,点O叫旋转中心,转动的角叫旋转角

初中八年级初二数学《作轴对称图形》参考教案

作轴对称图形作轴对称图形（一）教学目标（一）教学知识点1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．（二）能力训练要求经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点1．轴对称变换的定义．2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．2．利用轴对称进行一些图案设计．教学方法讲练结合法．教具准备多媒体课件．教学过程Ⅰ．设置情境，引入新课在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．[生甲]将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．[生乙]准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．[师]大家回答得太好了，•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．Ⅱ．导入新课[师]刚才同学们说出了几种得到轴对称图形的方法，•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．（电脑演示下面图案的变化过程）大家看大屏幕．对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．[师]下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．（学生动手做）结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．[师]我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．动手做一做．（课件演示）取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E 挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．投影仪演示学生的作品．[生甲]相邻两个图案成轴对称图形，相间的两个图案之间大小和方向完全一样．[生乙]都成轴对称关系．[生丙]得到与上面类似的两层花边，它仍然是轴对称图形．[师]下面我们做练习．Ⅲ．随堂练习（课件演示）（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？（2）这个图形有几条对称轴？（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？答案：（1）轴对称图形．（2）这个图形至少有3条对称轴．（3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，•得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，•打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．（二）回顾本节课内容，然后小结．Ⅳ．课时小结本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．Ⅴ．课后作业（课件演示）（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，•展开后结果又会怎样？为什么？（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．（2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2条对称轴；因此（1）•中的图案一定有2条对称轴．（3）按题中的方式将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，•因此得到的图案一定有4条对称轴．（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，•剪出的图案至少有4条对称轴．（二）自己设计并制作一个花边．（三）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出它的对称轴吗？Ⅵ．活动与探究如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图．“十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．板书设计备课资料艺术作品中的对称许多著名画家在作品中运用简单的图形创造出了奇妙的韵意．•法国著名画家V．瓦萨雷利于1969年创作了名画《委加．派尔》，画中仅仅用了“圆”形图案，就形成了一幅动态的轴对称图形！在从古至今的艺术创作中，不仅画家大量运用了对称，许多别的艺术家也经常运用对称的手法．如雕刻家威廉斯．多佛1971年在加蓬《非洲人的设计》中创作的“木制卫兵雕像”就是典型的雕刻艺术中的对称．带状装饰图案的做法油漆工只需要不断移动镂花模板（可以直接移动，也可以将翻转与移动相结合），就可以完全一条美丽的镶边图案．感兴趣的话自己试一试．§12．2．1作轴对称图形（二）教学目标（一）教学知识点1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．轴对称的简单应用．（二）能力训练要求1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力．3．使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点应用轴对称解决实际问题．教学方法讲练结合法．教具准备多媒体课件，方格纸数张．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，•知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？这就是我们这节课要学习的．•下面同学们来仔细观察一个图案．（课件演示）以虚线为对称轴画出图的另一半：[生甲]这个图案（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸．[生乙]图案（2）画出另一半后应该是一座小房子．[师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗？[师]我们利用方格纸来试着画一画（教师发给每人一张方格纸，且纸上画有图）．……[师]画好了吧？我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形．Ⅱ．导入新课[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：•对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L•的对应点A′，可采取如下方法：（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．点A′就是点A关于直线L的对应点．好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性．……[师]画好了没有？[生]画好了．[师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？•大家请看大屏幕．（演示课件）[例1]如图（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．[师]同学们讨论一下．……[生甲]可以在已知图形上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连结这些点．这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了．[师]说说看，找几个什么样的点就行呢？[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了． [师]好，下面大家一起动手做．作法：如图（2）．（1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．[师]大家做完后，•我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．归纳：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另一半，哪些点可以作为特殊点？并画出图形的另一半．[师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题．[生]在图形（1）上找三个点，在图形（2）中找一个点就可以，如下图：[师]现在我们来做练习．Ⅲ．随堂练习课本P41练习 1、2．1．如图，把下列图形补成关于直线L对称的图形．提示：找特殊点．答案：图（略）2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，•看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．答案：本题答案不唯一，要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述．Ⅳ．课时小结本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．Ⅴ．课后作业（一）课本P45习题─1、5、8、9题．（二）预习内容P43～P46．Ⅵ．活动与探究[探究1]如图（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？过程：把管道L近似地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，•将问题转化为在L上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线L的交点C的位置即为所求．结果：作B关于直线L的对称点B′，连结AB′，交直线L于点C，C为所求．[探究2]为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．结果：如上图，在直线L上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，•而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB<AC′+C′B．由于C′点的任意性，所以C点的位置修建泵站，可以使所用输气管线最短．板书设计§12．2．1作轴对称图形（二）一、已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对称点A′，方法如下：（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B．（2）在垂线上截取BA′=AB．则点A′就是点A关于直线L的对应点，二、例1三、随堂练习四、课时小结五、课后作业备课资料参考练习1．已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；（2）作点B关于直线L的对称点B′；（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．则△A′B′C′就是所求作的三角形．2．已知a⊥b，a、b相交于点O，点P为a、b外一点．求作：点P关于a、b的对称点M、N，并证明OM=ON（不许用全等）．作法：（1）过点P作PC⊥a，并延长PC到M，使CM=PC．（2）过点P作PD⊥b，并延长PD到N，使得DN=PD．则点M、N就是点P关于a、b的对称点．证明：∵点P与点M关于直线a对称，∴直线a是线段PM的中垂线．∴OP=OM．同理可证：OP=ON．∴OM=ON．3．为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，•要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．答案：略。

八年级数学竞赛讲座第二十八讲奇妙的对称新版

第二十八讲奇妙的对称对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩魔斓的蝴蝶等，最令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构的每一个尺度上找到．对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称．对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式、几何中的轴对称、中心对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用．例题求解【例1】如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△AB C中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．注物理学家皮埃尔·居里曾说，“结果与其原因一样对称．”大干世界，许多事物都具有某种对称性．许多化学分子是对称的，细胞结构是对称的，病毒往往也是对称的，……对称给人们以和谐均衡的羌感，完全的对称是重复性的可预言的，人类在漫长的岁月里，体验着对称，享受着对称．求几何量的最值问题常用方法有：(1)应用几何中的不等式性质，定理；(2)对称分析；(3)代数法．即着眼于揭示问题中变动元素的代数关系．【例2】如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC 的最小值为( )A．23 B．13 C．14 D．15 (“新蕾杯”数学竞赛题)思路点拨 C、E两点位置固定，从对称性考虑，确定P点位置．【例3】现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求帮助木工师傅分别设计一种方案：(1)板面形状为非正方形的中心对称图形；(2)板面形状为等腰梯形；(3)板面形状为正方形．思路点拨问题(1)，由“中心对称的四边形是平行四边形”想象出中心对称的多边形的大致形状；问题(2)，先计算等腰梯形面积为5，猜想等腰梯形的高，可能为2，因此，上、下底的和应为5；问题(3)，由正方形的面积为5，计算出它的边长应为5．【例4】已知11122=-+-a b b a ，试确定a 、b 的关系．(江苏省竞赛题)思路点拨有理化是解根式问题的基本思路，乘方、配方、换元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道脍炙人口的名题，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简解．注数学中的对称，不仅指几何图形中的对称，代数表示式中，若各个宇母互相替代，表示式不变，也称这个表示式关于这些字母是对称的，一个复杂的二元对称式．都可以用最简单对称式b a +，ab 表示．许多数学问题有着和谐的对称美．对原题匹配一个与之相对的数学式，然后一起参与运算，这就是常说的“对称性地处理具有对称性的问题”，是数学解题中的一个一般性原则．用对称法解几何题的常见的方式有：(1)作出常见轴对称图形的对称轴，或利用题设条件中的垂线、角平分线翻折造全等；(2)利用中点构造中心对称图形．【例5】如图，凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞~OD ，比较BC+AD 与AB+CD 的大小． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨以AC 为对称轴，将部分图形翻折，把相关线段集中到同一个三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，这是解本例的关键．【例6】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且∠MDN=90°，如果BM 2+CN 2＝DM 2+DN 2，求证：AD 2=)(4122AC AB +．(北京市竞赛题)思路点拨易想到勾股定理，需要把分散的条件加以集中，利用中点，构造中心对称全等三角形．学力训练1．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形；理由是：． (吉林省中考题)2．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD＝4，P在直线MN上运动，则PBPA 的最大值等于．( “希望杯”邀请赛试题)3．如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么B′点与B点的原来位置相距 cm．4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于O点)，则△PQR的周长的最小值为． (黄冈市中考题)5．设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是( ) (2003平龙岩市中考题)6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m 和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走( )A．10029m B．1200m C ．1300m D．1700m7．如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2 a ，∠BAD=120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为( )A．6 a0 B．5 a C．4 a D． 23 a8．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄．(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路AB上分别画出点P、Q的位置(保留画图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必证明)(3)在公路AB 上是否存在这样一点H ，使汽车行驶到该点时，与村庄M 、N 的距离相等?如果存在，请在图中的AB 上画出这一点(保留画图痕迹，不必证明)：如果不存在，请简要说明理由． (2001年浙江省嘉兴市中考题)9．(1)用四块如图I 所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使之形成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法(在①②③中操作)；(2)请你任意改变图I 瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案(在④中操作)． (仙桃、潜江、天门、江汉油田中考题)10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FD 2=FB ×FC ．11．如图，设L l 和L 2，是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在之间，小球放在镜L l 中的像为A ′，A ′在镜L 2中的像为A ″，若L l 、L 2的距离为7，则AA ″ ．(江苏省竞赛题)12．如图，设M 是△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，则△ABC 的面积为． 13．如图，ABCD —A'B'C'D'为长方体，AA'=50cm ，AB=40cm ，AD=30cm ，把上、下底面都等分成3× 4个小正方形，其边长均为l0cm ，得到点E 、F 、G 、H 和E'，、F'，、G'，、H'，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面E 点沿表面爬行至上底面G'，点至少要花时间秒．14．无理数4)21(+的整数部分是． ( “希望杯”邀请赛试题)15．当x 等于19931，19921，…，21，1，2，…，1992，1993时，计算代数式221x x +的值，再将所得的结果全部加起来，总和等于．16．一束光线经3块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=60°，求d+e 与x 的值． 17．如图，在△ABC 中，AD ∥BC ，已知∠ABC>∠ACB ，P 是AD 上的任一点，求证：AC+BP ＜AB+PC ．18．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．19．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似． (2004年武汉市选拔赛试题)。