常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析

常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析(function() {var s = "_" + Math.random().toString(36).slice(2);document.write('');(window.slotbydup = window.slotbydup || []).push({id: "u3686515",container: s});})();[摘要] 期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权，而并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。

那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。

在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。

[关键词] Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价doi ：10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 050[中图分类号] F830.9 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）23- 0117- 041 Black-Scholes期权定价模型1970年初，美国经济学家布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。

该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯以及后来为该方程做出重大贡献的默顿（Merton）共同获得了1997年10月10日的诺贝尔经济学奖。

Black-Scholes期权定价模型是建立在以下假设之上的：（1）股票不支付红利，且股价St服从几何布朗（Brown）运动，其随机微分方程为dSt=μStdt+σStdWt（1）其中，μ，σ均为常数，Wt是定义在概率空间（Ω，F，P）上的标准布朗运动。

（2）市场是完全的，所有未定权益都是可复制的，且不存在任何套利机会；（3）无风险利率r是一个常数，并且任何期限的借贷利率都相等；（4）允许无限制的卖空；（5）市场是无摩擦的，即无税收成本、无交易成本；（6）股票可以以任何数量在任何连续的时间交易。

首先求解随机微分方程式（1）。

根据伊藤（It？?h）公式可得：d ln St=μ- dt+σdWt（2）给定初始股价S0，在式（2）的两边同时取[0，t]上的积分便可解得：St=S0e （3）如果一个金融市场仅包括无风险资产和股票两种资产，无风险利率为r，给定时间区间[0，T]，将[0，T]进行N等分，每个子区间的长度均为Δt，则T=NΔt。

设t∈[0，T]，令t=nΔt。

在离散情形下，投资者的初始财富为X0，他于nΔt时刻购买了？准nΔt份股票，若nΔt时刻的股价为SnΔt，则在下一时刻，投资者拥有的财富值满足：X（n+1）Δt =？准nΔtS（n+1）Δt +（XnΔt -？准nΔt=SnΔt）erΔt化简整理得：X（n+1）Δt-XnΔt=？准nΔt（S（n+1）Δt-SnΔt）+（XnΔt -？准nΔtSnΔt）（erΔt-1）（4）当Δt→0时，erΔt-1～rΔt，再根据微分与差分的关系，结合式（1），（4）可变为dXt=[（μ-r）？准tSt+rXt]dt+σ？准tStdWt（5）给定一个适应过程θt= ，令Zt=e ，则Z0=1，根据伊藤公式，在概率测度P下，有dZt=-θtZtdWt（6）式（6）说明，Zt在概率测度P下是一个鞅。

在式（6）的两边同时取[0，t]上的积分，Zt=1- ZsHsdWs由于ZsHsdWs是一个随机伊藤积分，所以期望为0。

令ZT=Z，则EP（Z）=EP（ZT）=EP（1- ZsHsdWs）=1如果把Z（ω）视为概率空间（Ω，F，P）上一个几乎必然为正的随机变量，且EP（Z）=1，定义一个新的概率测度Q：Q（A）= Z（ω）dP（ω），？坌A∈F（7）就会有如下形式的拉东-尼柯迪姆（Radon-Nikodym）导数：dQ=Z（ω）dP若概率测度Q～P，并且假定EP（θs2ZS2ds）考虑一份在T时刻到期的欧式期权，期权在到期时刻的价值VT=V（T，ST）满足：VT=V（T，ST）=max{ST-K，0} 欧式看涨期权max{K-ST，0} 欧式看跌期权（15）其中，K>0表示期权合约的敲定价格。

根据完全市场的可复制原理，令X=V，在风险中性概率测度Q 下，由于资产组合价值的贴现过程Xt*是一个鞅，所以期权价值的贴现过程Vt*=e-rtVt也是一个鞅，即EQ（e-rTVT|Ft）=e-rtVt（16）稍做整理便可得到风险中性定价公式：Vt=EQ[e-r（T-t）VT|Ft]（17）仿照式（3），根据式（9），在风险中性概率测度Q下可以解得：St=S0e于是，在最终时刻T，ST=S0e =Ste （18）假设随机变量Y=- ～N（0，1），其累积分布函数为N（?），则式（18）可写为ST=Ste （19）首先考虑一份在T时刻到期的欧式看涨期权，其价值函数不妨设为Ct=C（t，St），则CT=C（T，ST）=max{ST-K，0}（20）当ST=Ste >K时，解此不等式得：Y0，0 首先求解随机微分方程式（25）。

根据伊藤公式可得：d（lnSt）=μ- -μa ln Stdt+σdWt（26）不妨设Yt=ln St，则式（26）可变为dYt=μ- -μa Ytdt+σdWt（27）又因为d（eμatYt）=μaeμatYtdt+eμatdYt结合式（27）得：d（eμatYt）=μ- eμatdt+σeμatdWt（28）而Y0=ln S0=0，故在式（28）的两边同时取[0，t]上的积分便可解得：St=e （29）由此可见，当a→0+时，1-e-μat→μat，从而，μ- →μ- t且σe-μat eμasdWs→σ dWs=σWt故St→e ，这恰好是当S0=1时的几何布朗运动模型的解析解，所以Ornstein-Ulhenbeck期权定价模型是Black-Scholes期权定价模型假设股价遵循随机微分方程式（1）的一个极限情况，同样，这也是对经典的Black-Scholes期权定价模型的一个改进。

在概率空间（Ω，F，P）上，若设股价的贴现过程St*=e-rtSt，则有dSt*=[μ（1-aln St）-r]St*dt+σSt*dWt（30）如果Q为风险中性概率测度，且Q-P，令θt= ，故θt是一个适应过程，则在Q下，定义一个标准布朗运动：t=Wt+ θtds另设Zt=e ，Zt在P下是一个鞅，于是式（30）可变为dSt*=σSt*d t（31）式（31）说明，在风险中性概率测度Q下，股价的贴现过程St*是一个鞅，并且可以解得：St*=S0*e （32）其中，St*=1。

这样，式（32）与式（12）在形式上是一致的。

在风险中性概率测度Q下，式（25）可变为dSt=rStdt+σStd t（33）由此可见，式（33）与式（9）在形式上也是一致的，这样就可以断定，在Black-Scholes模型和Ornstein-Ulhenbeck模型下，欧式期权具有相同的价格。

3 跳跃-扩散过程的期权定价模型Black-Scholes模型是一个经典的、典型的期权定价模型，它利用几何布朗运动来模拟连续时间、连续状态下股票?r格的运动模式，但是股票价格的变动并非都是连续的，有时会发生跳跃的行为。

例如，在1987年的“?\色星期五（Black Friday）”中，股票价格日平均跌幅高达30%，这时的股价就呈现出跳跃状态。

为了全面描绘股价的真实运动情况，1975年，默顿在其发表的论文《股票收益不连续时的期权定价》中假设股价会产生跳跃的行为，即在原几何布朗运动的基础上加了一个跳跃项。

给定一个概率空间（Ω，F，P），设X1，X2，…，是一列独立同分布的随机变量，数学期望为EP（Xi）=β，i=1，2，…。

Nt是强度为λ的泊松（Poisson）过程，对于任意的0≤s≤t≤T，其增量的分布为P（Nt-Ns=n）= e-λ（t-s），n=0，1，…，（34）其中，N0=0，泊松过程的增量是独立的，并且EP（Nt）=Varp（Nt）=λt。

若Xi与Nt相互独立，定?x 复合泊松过程Yi= Xi，这样，EP（Yt）=EP[EP（Yt|Nt=n）]= e-λt? EP（Xi）=βλt若定义补偿复合泊松过程为Mt=Yt-βλt，则Mt在概率测度P下是一个鞅，即EP（Mt|Fs）=EP（Yt-βλt|Fs）=Ys-βλs=Ms其中，0≤s≤t≤T，Fs=σ（Yu，0≤u≤s）表示由Yt 生成的σ-域流。

默顿的跳跃-扩散模型是建立在几何布朗运动基础之上的，即在原有的几何布朗运动模型中加入跳跃项。

假设股票的价格满足如下的随机微分方程：dSt=μStdt+σStdWt+StdMt=（μ-βλ）Stdt+σStdWt+StdYt（35）这里，Wt是定义在（Ω，F，P）上的标准布朗运动。

根据多莱昂-戴德（Doleans-Dade）指数公式，方程式（35）的解为St=S0e （Xi+1）（36）其中，S0为初始股价。

若设Bi=ln（Xi+1）服从正态分布，则Bi也是独立同分布的，且（Xi+1）= e这样，式（36）可写为St=S0e （37）给定一个风险中性概率测度Q-P，则在Q下，定义标准布朗运动t=Wt+θt，Nt是风险中性强度为的泊松过程，EQ（Xi）= ，且Mt=Yt- t。

由于测度变换改变了股票的平均回报率，使它成为无风险利率r，即dSt=rStdt+σStd t+StdMt=（r+σθ- ）Stdt+σStdWt+StdYt（38）因为Q～P，所以式（35）与式（38）相等，即μ-βλ=r+σθ- （39）式（39）就是该模型的风险的市场价格方程。

类似于式（35），方程式（38）的解为St=S0e （40）考虑一份在T时刻到期的欧式看涨期权，Q为风险中性概率测度，在最终时刻T，期权的价值为CT=C（T，ST）=max{ST-K，0}（41）如果股价没有发生跳跃，则根据欧式看涨期权的Black-Scholes定价公式，令StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）Δ=g（T-t，St）（42）则在Nt=n的条件下，对于t∈[0，T），根据风险中性定价原理便可得到此时的欧式看涨期权的定价公式，即Ct=C（t，St）= e-r（T-t）EQ（g（T-t，Ste ））（43）其中，N（?）是标准正态分布的累积分布函数，且有d1= ln +r+ （T-t）d2= ln +r- （T-t）根据式（43），再结合平价公式（23）便可求得欧式看跌期权的定价公式。