1.1.2验证勾股定理及其计算

1.1.2 验证勾股定理及其计算
[归纳总结] 图形折叠问题实际上是对称问题的应用 ，解决此类问题的关键是抓住对称的性质： (1)关于一条直线对称的两个图形全等； (2)在求解这类问题时可以根据题意引进未知数，利
用勾股定理来列方程，灵活运用数形结合、方程等数
学思想，对线段、面积等问题进行求解．
1.1.2 验证勾股定理及其计算
1.1.2 验证勾股定理及其计算
解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8， 由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100， 所以AB＝10. 由折叠的性质可知∠C＝∠AED＝90°， AE＝AC＝6，所以BE＝AB－AE＝4. 设CD＝x，则DE＝x，BD＝8－x.
在Rt△BDE中，
由勾股定理知DE2＋BE2＝BD2， 即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3. 答：CD的长为3 cm.
数 学
新课标（BS） 八年级上册
1.1.2 验证勾股定理 及其计算
1.1.2 验证勾股定理及其计算
探 究 新 知
活动1 知识准备 在前面的学习中，我们可以用拼图的方法来推出乘法 公式．例如：(a＋b)2＝A2＋2ab＋b2.我们可以用一个边长为a 的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b (a＋b) 的正方形 的长方形拼成如图1－1－14所示的边长为________ ，那么这个大的正方形的面积可以 (a＋b)2 表示为____________ ；又可以表示为 __________________ ．所以(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2 a2＋2ab＋b2.
AC2＋BC2＝AB2，
即152＋x2＝(45－x)2， 解得x＝20.
图1－1－17
答：在离蛇洞20尺处孔雀与蛇相遇．
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[归纳总结] 勾股定理揭示了直角三角形中三边的数量 关系，成为解决“几何学”有关“线段长度计算、图形形 状和大小问题”的强有力的工具．
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图1－1－19
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[归纳总结] 勾股定理的验证主要是通过拼图法完成的
，这种方法是以数形转换为指导，图形拼补为手段，以 各部分面积和等于整体面积的思想为依据而达到目的的
．
说明：(1)探索勾股定理时找面积相等是关键． (2)由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形 可推导出勾股定理． (3)拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以 下步骤： 拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→ 恒等变形→推导出勾股定理．
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重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理解决实际问题
例1 [教材例题变式题] 有一根木柱，木柱下有一个
蛇洞．柱高15尺，柱顶落着一只孔雀，孔雀见一条蛇 正向洞口爬来，此时蛇与洞口的距离还有三倍柱高． 就在这时，孔雀猛地向蛇扑过去，问离蛇洞多远处孔
雀与蛇相遇？(假定孔雀与蛇的速度相同)
探究问题二 利用勾股定理解决折叠中的计算问题 例2 如图1－1－18所示，一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在 斜边AB上的点E处，试求CD的长． [解析]根据勾股定理很容易求出斜边
AB的长，由折叠的性质可知∠C＝∠DEA
＝90°，从而可得∠DEB＝90°，AC＝AE ＝6 cm，CD＝ED.在Rt△BDE中求出DE的 长，从而得到CD的长． 图1－1－18
图1－1－14
1.1.2 验证勾股定理及其计算
活动2 教材导学 验证勾股定理 将四块全等的直角三角形纸板拼成如图1－1－15所示的 图案，你能由此确定出直角三角形三边a，b，c之间的关系 吗？试试看．
1 2 4 ab c × ＋ ，又可表示为_____________ ，从而可 2
(1)大正方形的面积可表示为( ______ a＋b)2
1.1.2 验证勾股定理及其计算
解：根据题意，可以画出如图1－1－17所示的示意图，设蛇 自D点向洞口C爬去，孔雀从柱顶A向蛇扑去，它们在B处相 遇． 设蛇与孔雀相遇时离洞口x尺，
由题意，得BD＝3×15－x＝(45－x)(尺)．
又因为AB＝BD，所以AB＝(45－x)尺． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得
得到__________________ ． a2＋b2＝c2 图1－1－15
1.1.2 验证勾股定理及其计算
(2)若将这四块纸板拼成如图1－1－16所示的图案，你能通 过图1－1－15与图1－1－16，换一种方法证明勾股定理吗？ 显然，图1－1－15与图1－1－16拼出 的大正方形面积相等(因为边长均为a＋b) ，因此两图中白色部分的面积相等，即
___________ a2＋b2＝c2 ．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点 图1－1－16
1.1.2 验证勾股定理及其计算
新 知 梳 理
知识点 勾股定理的应用
1．运用勾股定理解决实际问题时，先要确定或构造一个直 角三角形．
2．运用勾股定理解决实际问题时，可以采用直接算法和方 程法． 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， c2＝a2＋b2 ；若∠C>90°， 若∠C＝90°，则其三边关系为___________ 则其三边关系为c2>a2＋b2；若∠C<90°，则其三边关系为 c2<a2＋b2.
备选探究问题
勾股定理的验证
例 图1－1－19①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角 形，两条直角边分别为a和b，斜边为c；图1－1－19②是以 c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成 一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形； (2)用这个图形证明勾股定理； (3)假设图1－1－19①中的直角三角形有若干个，你能运 用图1－1－19①中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾 股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图(无需证明)．