初中数学切线的性质与判定
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问题：
如图，在圆O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA， 则直线L圆O的位置关系怎样？为什么？
O
A
l
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
证明直线与圆相切有如下三种途径： １、定义法：和圆有且只有一个公共点的直 线是圆的切线。 ２、数量法（ｄ＝ｒ）：和圆的距离等于半 径的直线是圆的切线。 ３、判定定理：经过半径外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
证明： 连接AB AC，连接BO并延长与圆O相交于点D 在△PBA和 △PAC中，PA/PC=PB/PA（题意） ， ∠P这公共角， ∴△PBA和 △PAC相似 ∴∠PAB=∠PCA 连接OA AD,易知 ∠ADB=∠PCA(圆周角) ∵BD是直径，OB OA OD是半径 ∴∠BAO+∠OAD=90°，∠OAD=∠ODA ∴∠PAB=∠OAD ∴∠PAB+∠BAO=90° ∴PA是圆O的切线(切线判定定理)
O
E
F G
D
A C
B
如图所示，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°， ＡＤ／／ＢＣ，Ｅ为ＡＢ上一点，ＤＥ平分∠ＡＤＣ，CE 平分∠BCD。 求证:(1)DE ⊥CE. (2)以AB为直径的圆与CD相切。
C
D 3 A
1
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Fra Baidu bibliotek
4
E
B
如图，圆O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE 切YY圆O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BD=y. (1)求证：AM//BN; (2)求y关于x的关系式； (3)求四边形ABCD的面积是S，并证明：S1≥S2
Ｄ E
Ｃ
切线的性质：
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。 ３、切线垂直于过切点的半径。 ４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
如图所示，直线AB切圆O于点C，DE是圆O的直径， EF⊥AB于F，DC的延长线与EF的延长线交于点G，若 ∠E=80°，求∠G的度数。
解：连接BO 可知：OA=OB 所以∠A= ∠OBD 又ＯＡ⊥ＣＤ ∠A+ ∠ADO=90°。 CB为圆Ｏ的切线。 ∠ＯＢＤ＋ ∠DBC=90° 所以∠ADO= ∠DBC ∠ADO=∠BDC（对顶角） 即∠BDC=∠DBC 所以∆BDC为等腰三角形。 Ａ
Ｄ Ｏ Ｂ
Ｃ
如图所示，ＰＢＣ是圆Ｏ的割线，Ａ点是圆Ｏ上一点，且 ＰＡ２＝ＰＢ×ＰＣ。求证：PA是圆O的切线.
在直角∆ABC中，∠B=90°，∠A的平分线 交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作圆D。 试说明：AC是圆O的切线。
证明：连DF 因为DB⊥AB 垂足为点B，又点B在圆上。 所以AB为圆D的切线。 又AD为∠A的角平分线 所以DF ⊥AC且DB=DF 即：AC为圆D的切线。
A
F
B
D
C
AB是圆O的弦，C是圆O外一点，BC是圆O的切 线，AB交过Ｃ点的直径于点Ｄ，ＯＡ⊥ＣＤ， 试判断∆ＢＣＤ的形状，并说明你的理由。
内切圆和内心的定义：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点，叫做三角形的内心。
∆ABC的内切圆圆O与ＢＣ、CA、AB分别相切于D、E、 F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。 F
解：连OA、OB、OC，OE、OF、OD 根据垂直平分线的性质。有 AE=AF，BF=BD，CD=CE 可设AE=AF=x 则BF=BD=9-x,CD=CE=13-x BD+CD=9-x+13-x=14 x=4 所以AF=4，BD=5，CE=9 B D C A E O
P B
A
C
已知直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以腰DC的 中点E为圆心的圆与ＡＢ相切，梯形的上底ＡＤ与 底ＢＣ是方程ｘ２－１０ｘ＋１６＝０的两根，求 圆Ｅ的半径ｒ． Ａ
解：连接EF，F为圆E的切点 因为EF⊥ＡＢ 所以EF//BC F 且E为CD中点 所以ＥＦ为梯形ABCD的中位线 又AD、BC的为x2-10x+16=0的两根 所以AD=2，BC=8 Ｂ EF=1/2(AD+BC)=5 即半径为5.
A
D E
M
O
B
C N
如图所示，已知AD为圆O的直径，BC与圆O相切于点D，AB、 AC分别交圆O于E、F。求证：AE*AB=AF*AC。
A O
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如图，在圆O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA， 则直线L圆O的位置关系怎样？为什么？
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切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
证明直线与圆相切有如下三种途径： １、定义法：和圆有且只有一个公共点的直 线是圆的切线。 ２、数量法（ｄ＝ｒ）：和圆的距离等于半 径的直线是圆的切线。 ３、判定定理：经过半径外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
证明： 连接AB AC，连接BO并延长与圆O相交于点D 在△PBA和 △PAC中，PA/PC=PB/PA（题意） ， ∠P这公共角， ∴△PBA和 △PAC相似 ∴∠PAB=∠PCA 连接OA AD,易知 ∠ADB=∠PCA(圆周角) ∵BD是直径，OB OA OD是半径 ∴∠BAO+∠OAD=90°，∠OAD=∠ODA ∴∠PAB=∠OAD ∴∠PAB+∠BAO=90° ∴PA是圆O的切线(切线判定定理)
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如图所示，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°， ＡＤ／／ＢＣ，Ｅ为ＡＢ上一点，ＤＥ平分∠ＡＤＣ，CE 平分∠BCD。 求证:(1)DE ⊥CE. (2)以AB为直径的圆与CD相切。
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如图，圆O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE 切YY圆O于E,交AM于D,交BN于C,设AD=x,BD=y. (1)求证：AM//BN; (2)求y关于x的关系式； (3)求四边形ABCD的面积是S，并证明：S1≥S2
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切线的性质：
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。 ３、切线垂直于过切点的半径。 ４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
如图所示，直线AB切圆O于点C，DE是圆O的直径， EF⊥AB于F，DC的延长线与EF的延长线交于点G，若 ∠E=80°，求∠G的度数。
解：连接BO 可知：OA=OB 所以∠A= ∠OBD 又ＯＡ⊥ＣＤ ∠A+ ∠ADO=90°。 CB为圆Ｏ的切线。 ∠ＯＢＤ＋ ∠DBC=90° 所以∠ADO= ∠DBC ∠ADO=∠BDC（对顶角） 即∠BDC=∠DBC 所以∆BDC为等腰三角形。 Ａ
Ｄ Ｏ Ｂ
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如图所示，ＰＢＣ是圆Ｏ的割线，Ａ点是圆Ｏ上一点，且 ＰＡ２＝ＰＢ×ＰＣ。求证：PA是圆O的切线.
在直角∆ABC中，∠B=90°，∠A的平分线 交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作圆D。 试说明：AC是圆O的切线。
证明：连DF 因为DB⊥AB 垂足为点B，又点B在圆上。 所以AB为圆D的切线。 又AD为∠A的角平分线 所以DF ⊥AC且DB=DF 即：AC为圆D的切线。
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AB是圆O的弦，C是圆O外一点，BC是圆O的切 线，AB交过Ｃ点的直径于点Ｄ，ＯＡ⊥ＣＤ， 试判断∆ＢＣＤ的形状，并说明你的理由。
内切圆和内心的定义：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点，叫做三角形的内心。
∆ABC的内切圆圆O与ＢＣ、CA、AB分别相切于D、E、 F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。 F
解：连OA、OB、OC，OE、OF、OD 根据垂直平分线的性质。有 AE=AF，BF=BD，CD=CE 可设AE=AF=x 则BF=BD=9-x,CD=CE=13-x BD+CD=9-x+13-x=14 x=4 所以AF=4，BD=5，CE=9 B D C A E O
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已知直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以腰DC的 中点E为圆心的圆与ＡＢ相切，梯形的上底ＡＤ与 底ＢＣ是方程ｘ２－１０ｘ＋１６＝０的两根，求 圆Ｅ的半径ｒ． Ａ
解：连接EF，F为圆E的切点 因为EF⊥ＡＢ 所以EF//BC F 且E为CD中点 所以ＥＦ为梯形ABCD的中位线 又AD、BC的为x2-10x+16=0的两根 所以AD=2，BC=8 Ｂ EF=1/2(AD+BC)=5 即半径为5.
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如图所示，已知AD为圆O的直径，BC与圆O相切于点D，AB、 AC分别交圆O于E、F。求证：AE*AB=AF*AC。
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