分解质因数(一)

第29讲分解质因数(一)

2005年2月28日，设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织的一名数学爱好者，发现了迄

2－1。素数也叫做质数，是只能被自己和1整除的数。

今为止最大的素数，即25964951

如果一个质数是某个数约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。例如：2、3都是36的质因数，4和9都是36的因数，但不是36的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。我们常用分解质因数的方法，并利用已知的条件和未知条件中的数的特征，从而顺利地解决一些相关的数学问题。

例题与方法

例1、23÷( )=( )……5。在括号填入适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法？

思路点拨

丁丁：这是一道带余除法，被除数是23，余数是5，要求的是除数和商。根据“被除数=除数×商+余数”，可以知道“除数×商=被除数－余数=23－5=18”。

小麦斯：对!这道题要用到带余除法算式的数量关系：除数×商=被除数－余数，在上述讨论中，既然知道了“除数×商”的积是18，将18写成两个自然数相乘的形式，这样共有三种情况：1×18、2×9、3×6。

机灵猴：特别注意的是，余数必须比除数小，那么可以将1、2、3排除，因为它们都小于5，不能作为除数，剩下的只能是6、9和18作为除数了。

解：

符合题意的填法有：

23÷(6)=3……5；

23÷(9)=2……5；

23÷(18)=1……5。

小麦斯：聪明的小读者，如果上面算式中的余数与商相同，被除数又应是多少？

例2、小华的妹妹参加了今年中学数学智力竞赛，小华问他妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”

思路点拨

丁丁：由题中“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910”可以知道，2910是三个数量的乘积，那么就要把2910分解质因数。

小麦斯：将一个合数分解质因数，常用短除法求得，有时也采用直接分解的方法，要注意的是，在质因数的连乘中，一般要按照从大到小的顺序排列。

机灵猴：将2910分解质因数得2910=2×3×5×97。

小华的妹妹是个中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不能是6岁、10岁，因此，可以肯定，小华妹妹是3×5=15(岁)，名次是第2名，成绩是97分。

解：将2910分解质因数得

2910=2×3×5×97

=2×(3×5)×97

答：小华的妹妹今年15岁，名次是第2名，成绩为97分。

小麦斯：数学问题来源于生活，因此，有些数量可以结合实际情况作出判断。

例3、学校木工组做了一些长方形的教学用板，它们的长和宽是互质数，而且这些长方形的面积都是2008平方厘米，这样的长方形可能有多少种？

思路点拨

丁丁：前面我们学过了长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽，由题意可知，木板的面积是2008平方厘米，说明长乘的宽的积是2008 平方厘米，只要将2008写成两个数的乘积就可以了。即：

2008=1×2008

=2×1004

=4×502

=8×251

小麦斯：上面将2008写成两个整数的形式，要注意的是“它们的长和宽是互质数”这一个条件及一些实际情况。

机灵猴：互质数就是公约数只有1的两个数。在上面4组乘法算式中，只有1和2008互质、8和251互质，所以可能的答案只有两组，另外，2008厘米长的木板，即20.08米长的教学木板，是不切实际的。

丁丁：哦!这道题不仅要将2008写成两个整数的乘积，同时还要根据互质数的概念，将不符合题意的数组排除在外。

解：将2008写成两个整数相乘的形式，共有4组。

11×2008、2×1004、4×502、8×251。

其中互质的是1和2008、8和251，1和2008不切实际，排除掉。

答：可能的情况只有一组，即长251厘米、宽8厘米。

小麦斯：公约数只有1的两个数叫做互质数，上面的数组虽然有4组，但真正符合题意的只有1组，另外还要考虑一些实际情况。

例4、将下列八个数平均分成两组，并使这两组数的乘积相等：

12、18、33、35、36、65、77、104．

思路点拨

丁丁：将这八个数平均分成两组，每组四个数，并要求这两组数的乘积相等，应该怎么办？

小麦斯：注意到两组乘式的积相等可以知道，在这两组数的乘积中，所含有质因数必须完全相同，因此，必须将这八个数分解质因数，得：

12=2×2×3；36=2×2×3×3；18=2×3×3；65=5×13；33=3×11；77=7×11；35=5×7；104=2×2×2×13。

机灵猴：观察上述分解式中，虽然有很多的质因数，但只要适当归类，就可以发现其中的奥妙。

小麦斯：从上面可以看出，104和65分在不同的组里，因为含有质因数13的只有这两个数，又因为65含有质因数5，所以，35和104应在同一组；35里有质因数7，那么77必须和65一组，同理，33、35和104一组，因为共有8个质因数2，每边共有4个质因数2，所以，33、35、104和18一组，77、65、36和12应为另一组。

解：先把这八个数分解质因数，再按各组中每种质因数的个数相同的原则进行划分，可得：

（22×3）×（22×23）×（5×13）×（7×11）＝（2×23）×（3×11）（5×7）

×（32×13）

即12×36×65×77＝18×33×35×104

答：这两组数分别是：12、36、65、99和18、33、35、104。

小麦斯：两组数的乘积相等，那么两组数分解质因数后，它们的质因数也应相同，真是利用这一特征，巧妙解决了这一问题。

例5、504乘以自然数a ，得到一个平方数，即等于某自然数的平方。求a 的最小值和这个平方数。（a 不为0）

思路点拨

丁丁：我知道，平方数是两个相同的自然数相乘的积，如0、1、4、9、16、25、36、……，而504×a 是一个较大的平方数，这可把我难住了！

小麦斯：这其实并不难！要从平方数的特征分析起，因为一个平方数所含有的每种质因数的个数都为偶数。例如：26＝36,36＝2×2×3×3，2和3的个数都是偶数。

机灵猴：只要将504分解质因数就可以了，然后将不是偶数个质因数的补上1个，这样就可以求出a 的最小值，也就能求出这个平方数了！

解：504＝32×2

3×7

a ＝2×7＝14 42×23×27＝7056

答：a 的最小值是14，这个平方数是7056。

小麦斯：关于平方数，它有许多特征，如它的每类质因数都是偶数个；平方数的末尾只能是0、1、4、5、6、9；平方数除以4所得的余数只能余0或1……，利用这些特征可以解决看似复杂却很简单的数学问题。

例6、把若干个自然数1、2、3、4、……，连乘起来，当乘积的最末20位恰好都是0时，最后出现的自然数最小是多少？

思路点拨

丁丁：在乘法计算中，因为2×5＝10，这样含有质因数一个2和一个5乘积的末尾就有一个0了！

小麦斯：要求乘积的末尾有20个0，必须有20对“2×5”这样两个质因数相乘，在若干个连续自然数（0除外）的算式中，含有质因数2的个数一定多于含有质因数5的个数。

机灵猴：这题的关键即是只需知道乘积中共需要20个质因数5。

丁丁：质因数5包含在5的倍数中：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85等中，共有20个质因数5，所以，最小值为85。

小麦斯：这题还可以用估算的方法，确定含有质因数5的个数的范围。假如最小值为70，质因数5的个数有［

570］＋［2570］＝16（个）；假如最小值为90，质因数5的个数有［590］＋［25

90］＝21（个），90－5＝85即是最小值。 机灵猴：上面的解法真好，聪明的小读者，你明白了吗？

解：1×2×3×4×5×…×84×85的积的末尾正好有20个0。

答：最后出现的自然数最小是85。

小麦斯：如果要求的是最大值，答案又应是多少？