分解质因数(一)

第29讲分解质因数(一)2005年2月28日，设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织的一名数学爱好者，发现了迄2－1。

素数也叫做质数，是只能被自己和1整除的数。

今为止最大的素数，即25964951如果一个质数是某个数约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

例如：2、3都是36的质因数，4和9都是36的因数，但不是36的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

我们常用分解质因数的方法，并利用已知的条件和未知条件中的数的特征，从而顺利地解决一些相关的数学问题。

例题与方法例1、23÷( )=( )……5。

在括号填入适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法？思路点拨丁丁：这是一道带余除法，被除数是23，余数是5，要求的是除数和商。

根据“被除数=除数×商+余数”，可以知道“除数×商=被除数－余数=23－5=18”。

小麦斯：对!这道题要用到带余除法算式的数量关系：除数×商=被除数－余数，在上述讨论中，既然知道了“除数×商”的积是18，将18写成两个自然数相乘的形式，这样共有三种情况：1×18、2×9、3×6。

机灵猴：特别注意的是，余数必须比除数小，那么可以将1、2、3排除，因为它们都小于5，不能作为除数，剩下的只能是6、9和18作为除数了。

解：符合题意的填法有：23÷(6)=3……5；23÷(9)=2……5；23÷(18)=1……5。

小麦斯：聪明的小读者，如果上面算式中的余数与商相同，被除数又应是多少？例2、小华的妹妹参加了今年中学数学智力竞赛，小华问他妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”思路点拨丁丁：由题中“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910”可以知道，2910是三个数量的乘积，那么就要把2910分解质因数。

小麦斯：将一个合数分解质因数，常用短除法求得，有时也采用直接分解的方法，要注意的是，在质因数的连乘中，一般要按照从大到小的顺序排列。

机灵猴：将2910分解质因数得2910=2×3×5×97。

小华的妹妹是个中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不能是6岁、10岁，因此，可以肯定，小华妹妹是3×5=15(岁)，名次是第2名，成绩是97分。

解：将2910分解质因数得2910=2×3×5×97=2×(3×5)×97答：小华的妹妹今年15岁，名次是第2名，成绩为97分。

小麦斯：数学问题来源于生活，因此，有些数量可以结合实际情况作出判断。

例3、学校木工组做了一些长方形的教学用板，它们的长和宽是互质数，而且这些长方形的面积都是2008平方厘米，这样的长方形可能有多少种？思路点拨丁丁：前面我们学过了长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽，由题意可知，木板的面积是2008平方厘米，说明长乘的宽的积是2008 平方厘米，只要将2008写成两个数的乘积就可以了。

即：2008=1×2008=2×1004=4×502=8×251小麦斯：上面将2008写成两个整数的形式，要注意的是“它们的长和宽是互质数”这一个条件及一些实际情况。

机灵猴：互质数就是公约数只有1的两个数。

在上面4组乘法算式中，只有1和2008互质、8和251互质，所以可能的答案只有两组，另外，2008厘米长的木板，即20.08米长的教学木板，是不切实际的。

丁丁：哦!这道题不仅要将2008写成两个整数的乘积，同时还要根据互质数的概念，将不符合题意的数组排除在外。

解：将2008写成两个整数相乘的形式，共有4组。

11×2008、2×1004、4×502、8×251。

其中互质的是1和2008、8和251，1和2008不切实际，排除掉。

答：可能的情况只有一组，即长251厘米、宽8厘米。

小麦斯：公约数只有1的两个数叫做互质数，上面的数组虽然有4组，但真正符合题意的只有1组，另外还要考虑一些实际情况。

例4、将下列八个数平均分成两组，并使这两组数的乘积相等：12、18、33、35、36、65、77、104．思路点拨丁丁：将这八个数平均分成两组，每组四个数，并要求这两组数的乘积相等，应该怎么办？小麦斯：注意到两组乘式的积相等可以知道，在这两组数的乘积中，所含有质因数必须完全相同，因此，必须将这八个数分解质因数，得：12=2×2×3；36=2×2×3×3；18=2×3×3；65=5×13；33=3×11；77=7×11；35=5×7；104=2×2×2×13。

机灵猴：观察上述分解式中，虽然有很多的质因数，但只要适当归类，就可以发现其中的奥妙。

小麦斯：从上面可以看出，104和65分在不同的组里，因为含有质因数13的只有这两个数，又因为65含有质因数5，所以，35和104应在同一组；35里有质因数7，那么77必须和65一组，同理，33、35和104一组，因为共有8个质因数2，每边共有4个质因数2，所以，33、35、104和18一组，77、65、36和12应为另一组。

解：先把这八个数分解质因数，再按各组中每种质因数的个数相同的原则进行划分，可得：（22×3）×（22×23）×（5×13）×（7×11）＝（2×23）×（3×11）（5×7）×（32×13）即12×36×65×77＝18×33×35×104答：这两组数分别是：12、36、65、99和18、33、35、104。

小麦斯：两组数的乘积相等，那么两组数分解质因数后，它们的质因数也应相同，真是利用这一特征，巧妙解决了这一问题。

例5、504乘以自然数a ，得到一个平方数，即等于某自然数的平方。

求a 的最小值和这个平方数。

（a 不为0）思路点拨丁丁：我知道，平方数是两个相同的自然数相乘的积，如0、1、4、9、16、25、36、……，而504×a 是一个较大的平方数，这可把我难住了！小麦斯：这其实并不难！要从平方数的特征分析起，因为一个平方数所含有的每种质因数的个数都为偶数。

例如：26＝36,36＝2×2×3×3，2和3的个数都是偶数。

机灵猴：只要将504分解质因数就可以了，然后将不是偶数个质因数的补上1个，这样就可以求出a 的最小值，也就能求出这个平方数了！解：504＝32×23×7a ＝2×7＝14 42×23×27＝7056答：a 的最小值是14，这个平方数是7056。

小麦斯：关于平方数，它有许多特征，如它的每类质因数都是偶数个；平方数的末尾只能是0、1、4、5、6、9；平方数除以4所得的余数只能余0或1……，利用这些特征可以解决看似复杂却很简单的数学问题。

例6、把若干个自然数1、2、3、4、……，连乘起来，当乘积的最末20位恰好都是0时，最后出现的自然数最小是多少？思路点拨丁丁：在乘法计算中，因为2×5＝10，这样含有质因数一个2和一个5乘积的末尾就有一个0了！小麦斯：要求乘积的末尾有20个0，必须有20对“2×5”这样两个质因数相乘，在若干个连续自然数（0除外）的算式中，含有质因数2的个数一定多于含有质因数5的个数。

机灵猴：这题的关键即是只需知道乘积中共需要20个质因数5。

丁丁：质因数5包含在5的倍数中：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85等中，共有20个质因数5，所以，最小值为85。

小麦斯：这题还可以用估算的方法，确定含有质因数5的个数的范围。

假如最小值为70，质因数5的个数有［570］＋［2570］＝16（个）；假如最小值为90，质因数5的个数有［590］＋［2590］＝21（个），90－5＝85即是最小值。

机灵猴：上面的解法真好，聪明的小读者，你明白了吗？解：1×2×3×4×5×…×84×85的积的末尾正好有20个0。

答：最后出现的自然数最小是85。

小麦斯：如果要求的是最大值，答案又应是多少？总结与提示分解质因数是数论的一个重要组成部分，它是判定一个数是否质数或合数的重要标准。

将自然数列中的合数分解质因数是自然数的重要特性（质数不可以分解质因数），同时也为我们解决一些数学问题和生活中的数学问题提供了一种重要的数学思考方法，我国著名的数学家华罗庚、陈景润等在数论领域作出了杰出的贡献。

练习与提示（每题10分，共100分）1、用1、2、3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？2、三个自然数的乘积为120，其中两个数的和等于另一个数，求这三个数。

3、用462个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？4、把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？5、如果两个自然数的和是32，这两个数的积可以整除3003，那么，这两个数的差是多少？6、要使145×32×20×□积的末五位数都是0，□里填入的自然数的最小值是多少？7、班主任李老师带领五（1）班同学去种树，全班同学恰好可以平均分成3组，如果老师与学生每人种树棵数一样多，则共种了364棵树。

五（1）班学生有多少人？每人种树多少棵？8、有若干箱同样大小的正方形瓷砖，每箱360块。

问：至少取多少箱，才能使所取出的瓷砖能拼出一个正方形？要求整箱整箱地取，所取的瓷砖要全部用上）。

9、2008乘以一个自然数a得到一个平方数（即等于某个自然数的平方），求a的最小值及这个平方数。

10、有1～9九张牌，甲、乙、丙各拿了三张，甲说：“我的三张牌的积是48”。

乙说：“我的三张牌的积是63”。

丙说：“我的三张牌的和是15”。

他们各拿了哪三张牌。