标量场和矢量场
电磁场名词解释
电场：任何电荷在其所处的空间中激发出对置于其中别的电荷有作用力的物质。
磁场：任一电流元在其周围空间激发出对另一电流元（或磁铁）具有力作用的物质。
标量场：物理量是标量的场成为标量场。
矢量场：物理量是矢量的场成为矢量场。
静态场：场中各点对应的物理量不随时间变化的场。
有源场：若矢量线为有起点，有终点的曲线，则矢量场称为有源场。
通量源：发出矢量线的点和吸收矢量线的点分别称为正源和负源，统称为通量源。
有旋场：若矢量线是无头无尾的闭曲线并形成旋涡，则矢量场称为有旋场。
方向导数：是函数u （M ）在点 M0 处沿 l 方向对距离的变化率。
梯度：在标量场 u (M ) 中的一点 M 处，其方向为函数 u (M )在M 点处变化率最大的方向，其模又恰好等于此最大变化率的矢量 G ，称为标量场 u (M ) 在点 M 处的梯度，记作 grad u (M )。
通量：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量。
环量：矢量场 A 沿有向闭曲线 L 的线积分称为矢量 A 沿有向闭曲线 L 的环量。
亥姆霍兹定理：对于边界面为S 的有限区域V 内任何一个单值、导数连续有界的矢量场，若给定其散度和旋度，则该矢量场就被确定，最多只相差一个常矢量；若同时还给出该矢量场的边值条件，则这个矢量场就被唯一确定。
（前半部分又称唯一性定理） 电荷体密度： ，即某点处单位体积中的电量。
传导电流：带电粒子在中性煤质中定向运动形成的电流。
运流电流：带电煤质本身定向运动形成形成的电流。
位移电流：变化的电位移矢量产生的等效电流。
电流密度矢量（体（面）电流密度）：垂直于电流方向的单位面积（长度）上的电流。
静电场：电量不随时间变化的，静止不动的电荷在周围空间产生的电场。
电偶极子：有两个相距很近的等值异号点电荷组成的系统。
磁偶极子：线度很小任意形状的电流环。
感应电荷：若对导体施加静电场，导体中的自由带电粒子将向反电场方向移动并积累在导体表面形成某种电荷分布，称为感应电荷。
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
工程电磁场与电磁波名词解释大全
《电磁场与电磁波》名词解释不完全归纳（By Hypo ）第一章 矢量分析1.场：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
2.标量：一个仅用大小就能够完整描述的物理量。
标量场：标量函数所定出的场就称为标量场。
（描述场的物理量是标量）3.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
矢量场：矢量场是由一个向量对应另一个向量的函数。
（描述场的物理量是矢量）4.矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。
5.通量：如果在该矢量场中取一曲面S ，通过该曲面的矢线量称为通量。
6.拉梅系数：在正交曲线坐标系中，其坐标变量（u1 ,u2,u3）不一定都是长度， 可能是角度量，其矢量微分元，必然有一个修正系数，称为拉梅系数。
7.方向导数：函数在其特定方向上的变化率。
8.梯度：一个大小为标量场函数在某一点的方向导数的最大值，其方向为取得最大值方向导数的方向的矢量，称为场函数在该点的梯度，记作 9.散度：矢量场沿矢线方向上的导数（该点的通量密度称为该点的散度）10.高斯散度定理：某一矢量散度的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量。
11.环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。
12.旋度： 一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的一个法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
13.斯托克斯定理：一个矢量场的旋度在一开放曲面上的曲面积分等于该矢量沿此曲面边界的曲线积分。
14.拉普拉斯算子：在场论研究中，定义一个标量函数梯度的散度的二阶微分算子，称为拉普拉斯算子。
第二章 电磁学基本理论1.电场：存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。
2.电场强度：单位正试验电荷在电场中某点受到的作用力（电场力），称为该点的电场d grad d n a nφφ=强度。
3.电位差：单位正电荷由P 点移动到A 点，外力所做的功称为A 点和P 点之间的电位差。
标量场和矢量场
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
A B
B
A
B
A
AB
B
矢量的乘法
1）矢量与标量相乘
v kA
evx
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。
2）矢量与矢量点乘
A B | A || B | cosAB Ax Bx Ay By Az Bz
设矢量 A与三个坐标轴 x, y, z 的夹角分别为, , ，则
z
Ax Acos
Ay Acos
v Az
v A
Az Acos
A A(ex cos ey cos ez cos ) 任一方向的单位矢量为
v Ax
o
eA ex cos ey cos ez cos x
v Ay
y
2
2.位置矢量
R2 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]
3
3.矢量的代数运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evyLeabharlann ByevzBz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
Bx
)
evy (Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
A B | A || B | sin AB en Ax
Ay
Az
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
物理学中的场-概述说明以及解释
物理学中的场-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在物理学中，场是一种描述空间中物质或物理量如何随时间和空间位置变化的概念。
场可以是标量场，也可以是矢量场。
标量场只有大小没有方向，例如温度场；而矢量场不仅有大小还有方向，例如电场和磁场。
场在物理学中起着至关重要的作用，它可以描述物质之间的相互作用以及能量的传递。
通过研究场，我们可以更好地理解宇宙中的各种现象，从微观粒子到宏观物体都可以用场来描述。
本文将深入探讨物理学中不同类型的场以及它们在各个领域的应用。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分中，将介绍物理学中场的概念以及本文的目的和重要性。
在正文部分，将详细讨论场的概念、不同类型的场以及场在物理学中的应用。
最后在结论部分中，将对整篇文章进行总结，并强调场在物理学中的重要性。
同时，对该领域未来的发展进行展望，指出可能的研究方向和挑战。
通过以上结构的安排，本文将全面深入地介绍物理学中的场，希望读者能对该领域有更深入的了解和认识。
1.3 目的物理学中的场是一种重要的研究对象，它们在描述自然界中的相互作用和力的传递过程中起着关键的作用。
本文旨在深入探讨场的概念、不同类型的场以及它们在物理学中的应用，从而帮助读者更全面地理解场在自然界中的作用和意义。
通过对场的研究，我们可以更好地理解宇宙中的规律和现象，为进一步探索未知的物理现象打下基础。
同时，本文也旨在强调场在物理学中的重要性，引发读者对这一概念的深入思考和讨论。
通过本文的阐述，希望能够为读者提供一个全面了解物理学中的场的视角，激发对于自然规律的好奇心和求知欲。
2.正文2.1 场的概念在物理学中，场是一种描述空间中物质或能量分布的概念。
场可以是标量场，也可以是矢量场。
在场论中，场是一种物质与其周围环境相互作用的方式，它可以传递力和能量。
场的产生可以来源于物质的分布，也可以来源于粒子的运动。
例如，电磁场是由带电粒子产生的，引力场是由质量产生的。
矢量场与标量场以及计算方法资料
图 1-5 矢量管
矢量管：
通过场域某一曲面s上的所有点的矢量 线的全体构成的管状区域。
0.2 标量场的梯度
Gradient of Scalar Field
1.方向导数：设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 l 的变化率称
为方向导数，即
l
（
x
ex
y
ey
(x2 y2 z2 )3/2
40 r 40r2
0.3 矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector 1 通量 ( Flux )
矢量E 沿有向曲面 S 的面积分
Φ S AndS = S A dS
若 S 为闭合曲面Φ S A dS
图0.3.1 矢量场的通量
（设曲面S的单位法向矢量en），An为A在en上的投影
l A dl S ( A) dS
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。
在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是 两个非常重要的公式。
例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1) 处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
lim
V 0
1 V
A dS lim = d =divA
V 0 V dV
根据奥式公式
蜒 S
A dS
S
( Axdydz
Aydzdx
Azdxdy)
V
( Ax x
Ay y
Az )dV z
通量可看成V内各点处的发散强度的体积分
divA
A
Ax x
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
电动力学0.2-0.5 标量场的方向导数和梯度
个标量场来表示一个矢量场。 个标量场来表示一个矢量场。
v 在矢量场 F中，如果一条曲线在空间各点都始终与矢 v v 相切， 的方向， 量 F 相切，而曲线切线方向总取为矢量 F 的方向，则 v r 这条曲线称为矢量场 F 的矢量线
矢量线的密度与矢量场的模成正比， 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单 位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
§0.3 矢量场的通量和散度
1 矢量线
v v 一般是空间坐标和时间的函数， 矢量场 F 一般是空间坐标和时间的函数， 可表示为 F v v v v v v v v v F = F ( r , t ) = ex Fx ( r , t ) + ey Fy ( r , t ) + ez Fz ( r , t ) ，即可以用三
v v F (M ) < F ( P)
P
M r F ( P)
F(M)
C
矢量场的通量 2 矢量场的通量
v v 在矢量场 F 中，任取一面元矢量dS，定 v v 义矢量F 通过面元矢量dS 的通量为
r r dΦ = F ⋅ dS
r en r dS
θ
r F
通过曲面 S 的通量为 Φ = ∫S
r r F ⋅ dS
r en θ
r l
P2
P0
标量场 ϕ ( P ) 在某一方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投
r 影，即 ∂ϕ = ∇ ϕ ⋅ e l . ∂l
证明： 证明： ∂ϕ = ∂ϕ cos α + ∂ϕ cos β + ∂ϕ cos γ
∂l ∂x ∂y ∂z v ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v v v = ex + ey + ez ⋅ e x cos α + e y cos β + ez cos γ ∂x ∂y ∂z r = ∇ ϕ ⋅ el
N0.3-4--第一章 标量场的梯度 矢量场的散度旋度 亥姆定理及矢量场的分类
div A = A
可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A ± B ) = A ± B (φ A ) = φ A ± A φ
20
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
三、高斯散度定理
矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分 等于穿过包围该体积封闭面的总通量:
（1）开曲面：沿封闭曲线 n的取法：
l 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向
（2）封闭面： 取为封闭面的外法线方向 外法线方向
14
矢量A穿过整个曲面S的通量:
Φ = ∫ A ds = ∫ A nds
s s
如果S是一个封闭面, 则
Φ = ∫ A ds
S
15
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
22
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
同理
D y
q r 2 3y 2 = y 4π r5
D z q r 2 3z 2 = z 4π r5
故
Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) D = + + = =0 5 x y z 4π r
可见，除了点电荷所在源点 (r = 0)外，空间各点的电通密度散度均为 ，它是管形场 。 空间各点的电通密度散度均为0， 可见，
（C点）
电偶极子的电力线和等位线 17
1.2通量 散度、 通量、 §1.2通量、散度、散度定理
b) 散度的分量表示式
穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积 v = xyz 的通量： 的通量： 计算 A 穿过包围点 的无穷小体积 右边向外流出的通量： A 穿过右边 右边
完整版电磁场理论复习总结
完整版电磁场理论复习总结1.1 标量场和⽮量场1.2 三种常⽤的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)⼆CVw3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「⼩V x V/z = 0产⽣场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指向场点的⽮量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度. ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'⽮童场的雄度1.4⽮量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度-------------------- V VV v ?c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議⽮量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。
第1章 矢量分析 电磁场与电磁波教案
定义矢量 A 沿有向曲面S 的面积分 Φ AdS S
为矢量 A 穿过有向曲面S 的通量
若S 为闭合曲面
Φs AdS
矢量场的通量
二、散度 如果包围点P 的闭合面S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与
体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A 在P 点的散度。即
d iv A lim 0 1
A d S
s
直角坐标系中散度的计算公式 d iv A A A x x A y y A z z
1.3 矢量场的环流 旋度
一、环流
定义矢量场A沿空间有向闭合曲线C的积分 A dl c
为A的环流
二、旋度
1. 环流密度
SnS
P
A C
环流的计算
ห้องสมุดไป่ตู้
◇ 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手
螺旋关系。当S 收缩至P 点附近时,存在极限 lim c Α d l
S 0
S
◇ 该极限值与S 的形状无关，但与S的方向n 有关。称为矢量场 A 在P 点沿n 方向的环流密度
2. 旋度
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。
用 ro表t A示
它与环流密度的关系为
Αdl
u
y
g rad u ey
u
z
g rad u ez
在直角坐标系中梯度的计算公式
u u u graduxexyeyzez u
1.5 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。
已知
矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件
在电磁场中
标量场和矢量场的例子
标量场和矢量场的例子
嘿，朋友！让我来给你讲讲标量场和矢量场的那些超有趣的例子吧！
咱先来说说标量场，这就好比是你家里的温度分布。
你想想啊，在一个
房间里，每个地方的温度都不一样，这就是一个标量场呀！温度就是个标量，它只有大小，没有特定的方向。
夏天的时候，你是不是会感觉到有的地方热得要命，有的地方稍微凉快一点？这就是标量场的特点嘛！
再说说矢量场，那就像风一样！风可不是只有大小哦，还有方向呢！一
阵风吹过来，你能明显感觉到它从哪个方向吹来，吹向哪里。
这就是矢量呀！你可以想象一下刮大风的时候，那风在城市里到处乱窜，这不就像是矢量场在作用嘛！
你可能会问了，那电和磁是不是也跟这标量场和矢量场有关呢？当然啦！电场和磁场可都是很典型的矢量场呢。
就好比你用磁铁去吸铁钉，那磁力的作用是不是有方向呀？那就是矢量场在起作用呢！
“哎呀，原来它们都这么常见呀！”你肯定会这么感叹吧！标量场和矢量场在我们的生活中无处不在，它们就像隐藏在幕后的小魔法师，默默地影
响着我们生活的方方面面呢！我们周围的一切，从简单的温度变化到复杂的电磁现象，都离不开标量场和矢量场的作用。
所以说呀，世界真的很神奇！标量场和矢量场让这个世界变得丰富多彩，充满了各种各样奇妙的现象和可能性。
我们应该多去了解它们，感受它们的魅力，不是吗？。
第0章矢量分析与场论
在空间任意靠近两点函数 ϕ的全微分
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
d ℓ = dxex + dyey + dzez
dϕ =∇ϕ ⋅ el = ∇ϕ cosθ dℓ
3. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量，是空 标量场的梯度是一个矢量， 间坐标点的函数； 间坐标点的函数； 梯度的大小为该点标量函数 ϕ 的 最大变化率，即该点最大方向导数； 最大变化率，即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数 的方向,即与等值线（ 的方向,即与等值线（面）垂直的方 它指向函数的增加方向. 向，它指向函数的增加方向. 例 电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向 导数； 导数； • 指向电位增加的方向。 指向电位增加的方向。
S
S
ϕ = 0 (无源) 无源)
ϕ < 0(有负源)
ϕ > 0 ( 有正源)
定义 的闭合面∆ 所围区域∆ 如果包围点P 的闭合面∆S 所围区域∆V 以任意方 通量与体积之比的极限存在， 式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，即 散度(divergence) 散度(divergence) divA = lim
(负源) 负源)
在矢量场中，若 ∇ ⋅ A = ρ ≠ 0 ，称之为有源场， 在矢量场中， 称之为有源场， ρ 称为（通量）源密度；若矢量场 称为（通量）源密度； ∇ ⋅ A， 0 称 = 之为无源场. 之为无源场.
高斯公式(散度定理) 4. 高斯公式(散度定理)
divA = lim
ϕ
∆v
∆v →0
∆l ' ∆l
r
∆l ''
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解
1.梯度gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
矢量分析
| 首页 | 目录 | 向前 | 向后 | 资源 | 搜索 | 帮助 | 矢量分析 > 标量场和矢量场 标量场和矢量标量场和矢量场概念标量：只有大小而没有方向的量。
如电压U 、电荷量Q 、电流I 、面积S 等。
矢量：具有大小和方向特征的量。
如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。
例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。
矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。
例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。
标量场 矢量场矢量描述矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。
场的"场图"表示研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。
对标量场，用等值面图表示。
空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。
显然，等值面的方程式为＝常数值对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。
力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即, 称为力线的微分方程式。
式中为力线切向的一段矢量。
在直角坐标内，力线的微分方程式可写成按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。
P点处的矢量力线图矢量代数平行四边形法则求和差作图法遵循平行四边形法则分量法.求点积（标量积、内积）公式：特点：应用：电通量的计算求矢积（矢量积、外积）公式：特点：应用：磁感应强度的计算|首页|目录|向前|向后|资源|搜索|帮助|矢量分析> 矢量的环流、旋度矢量的环流、矢量的环流定义：矢量沿某一有向闭合曲线的线积分为沿的环流，即。
物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。
标量场的方向导数和梯度
y
方向导数 4
4 标量场的梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向， 即标量场 (P)在一点处的方向导数有无穷 多个，在这无穷多个方向中方向导数在什 么方向上最大？
4.1 梯度(gradient)的定义
c2 c1
r en
P1 r
l
P2
P0
lim ( p) ( p0 )
l l0 P0
l
标量场 (P)在点P0处的梯度是一个矢量，其方向 为函数 (P)在点P0处方向导数取得最大值的方向，其 模等于这个最大的方向导数，记作
rr
向外通过闭合曲面S 的通量为 ÑS F dS
➢
面元矢量
v dS
evn
dS
➢
v F
cos
dS
，以外法线方向为正
s
9
2 通量的物理意义
矢量场通过闭合曲面的通量的三种可能结果
0 正通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
0 负通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线进入
0 无通量源
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
Vi 0
Vi
12
Ñ 可得：
的矢量线
➢ 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单
位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
v F
M
Fv P
M
F P
P
F M
C
8
2 矢量场的通量
在矢量场
v F
中，任取一面元矢量dSv，定
F
义矢量Fv通过面元矢量dSv的通量为
en
d F dS
垂直通过某一面积的量
dS
rr
通过曲面S 的通量为 S F dS
闭合曲面的通量从的通量源的关系。 10
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第 1 章矢量分析
1.2 标量场和矢量场
1.2.1 场的分类
1.2.2 场的表示
一. 什么是场
-具有某种物理量在空间的分布。
如地球周围的温度场、湿度场、重力场；
另外还有气功场；
百慕大三角场（洞、汇）
-场在数学上用函数表示。
即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量。
场量在占有空间区域中，除开有限个点和某些表
面外，是处处连续、可微的。
二. 场的分类
标量场：具有标量特征的物理量在空间的分布，
如温度场T(x,y,z)、电位Φ(x,y,z)等。
矢量场：具有矢量特征的物理量在空间的分布，
如重力场F(x,y,z)、流速场v(x,y,z)等。
标量场和矢量场都有可能随时间变化。
动态场: 场量随时间变化（时变场）
f ( x, y, z, t ), A( x, y, z ,t ), 四元函数
静态场: 场量不随时间变化（恒定场）
f ( x, y, z), A( x, y, z), 三元函数
2）图示法
u (x,y,z )：等值面、等值线
1. 标量场的表示方法
1）数学法f = f ( x, y, z
)
（A ）等高线图（B ）色码图（C ）地势图
三. 场的表示方法
标量场Scalar Field
火星夜间温度图
2. 矢量场的表示方法
F(x,y,z) = a x F x(x,y,z) + a y F y(x,y,z) + a z F z(x,y,z) 1）数学法
2）图示法
（A）矢量图
箭头方向→场量的方向
箭头颜色或长度→场量的大小
（A ）矢量图
2.图示法
（B）场线图
切向→场量的方向
疏密程度→场量的大小。
（B）场线图
（C）纹理图(Grass Seeds)
纹理与场方向平行
（C）纹理图
点电荷产生的电场无限长载流线产生的磁场
TE10电场、磁场、电流TE10电场、磁场
矢量场
和标量场
点电荷产生的电场和电位
四.场源Source of Field
•场是由源产生的，场不能离开场源而存在•不同的场对应不同的源
•源有矢量和标量之分（旋度源和散度源）如：温度场由热源产生
静止电荷电场
运动电荷磁场
Note：电荷及电流是产生电磁场唯一的源。