第二章 拉普拉斯变换的数学方法

2. 实数域的位移定理－延时定理
L[ f (t a)] e as F ( s)
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且：
f (t a) 0, t a
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例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 1 1 1(t ) 1(t T ) T T
f (t ) Meat
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（2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
该条件使得积分绝对值收敛。
8
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
L1[ F ( s)]
定义为如下积分：
L[e at cos t ]
sa ( s a) 2 2
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2.4 拉氏变换的性质
5. 相似定理（也称尺度定理）
对于任意常数a, 有 1 s L[ f (at )] F ( ) a a (2 - 7)
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2.4 拉氏变换的性质
6. 微分定理
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2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
L[ K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )] K1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
(2-3)
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2.4 拉氏变换的性质
拉氏变换
复数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
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引言 复数和复变函数 （1）复数的概念
s j,
1
数。 j
其中， ,
均为实
为虚单位。 （2）复数的表示法 s j, 点表示法 2 2 arctan 向量表示法 s r 三角函数表示法 s r (cos j sin ) j j e cos j sin 指数表示法 s re 2013-12-30
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2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)， 并定义为：
L[ f (t )] F (s) f (t )est dt
0

(2－1)
f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：
（1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点；
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
1 1 sT 1 L[ f (t )] e (1 e sT ) Ts Ts Ts
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例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
f (t ) L1[ F ( s )] t 1 e t
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1.部分分式法求原函数
B( s) bm s m bm 1 s m 1 ... b0 F ( s) A( s) an s n an 1 s n 1 ... a0 其中 : ai (i 1, 2,..., n), b j ( j 1, 2,..., m)为实数，且n m。 (2 - 21)
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8 终值定理
Back
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
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9 初值定理
Back
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2.4 拉氏变换的性质
10. tf(t)的拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s ), 则函数tf (t )的拉氏变换为 L[tf (t )] d F (s) ds (2 -17)
L[sin t ] sin t e st dt
0
1 jt sin t (e e jt ) 2j
s2 2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为：
L[cost ]
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cost
1 jt (e e jt ) 2
11. f(t)/t的拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s ), 则函数f (t ) / t的拉氏变换为
f (t ) L[ ] F ( s )ds s t
(2 -18)
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2.4 拉氏变换的性质
12. 卷积定理 函数f(t)和g(t)的卷积定义为：

t
0
f (t ) g ( )d f (t ) g (t )
L[t ]
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0
e st e st te st dt t ( )dt 0 s 0 s e st 1 st 1 dt 2 e 2 0 s s s
12
0
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t ) e
其中，函数f(t)和g(t)满足：当t<0时， f(t)=g(t)=0
拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的 条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：
L[ f (t ) g ( )d ] F ( s )G ( s )
0 t
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T T
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2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换
设f(t)是以T为周期的周期函数，即：
f (t nT ) f (t )
则f(t)的拉氏变换为：
1 L[ f (t )] 1 e sT

T
0
f (t )e- st dt
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2.4 拉氏变换的性质
控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
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拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程
单位阶跃函数的拉氏变换为：

L[1(t )]
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0
e st 1 1(t )e st dt s 0 s
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
2 单位脉冲函数 定义为： , t 0 (t ) 0, t 百度文库 0 单位脉冲函数的重要性质：
4. 复数域位移定理(也称衰减定理)
若f (t )的拉氏变换为F ( s), 则 对任一常数a(实数或复数），都有 L[e at f (t )] F ( s a) （2－6）
复数域位移定理的应用： L[e at sin t ]

( s a) 2 2 n! L[e at t n ] ( s a) n 1

0
s cost e dt 2 s 2
st
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
7 幂函数（作业）
其拉氏变换为：
L[t ]
n

0
n! t e dt n1 s
n st
例：
L[t 2 ] 2! 2 3 3 s s
常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏 变换。
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2.5 拉氏反变换的数学方法
拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法－简单象函数； (2) 有理函数法－需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式 之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。
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若时间函数f (t )的拉氏变换为F ( s)，且其一阶导数f '(t )存在，那么 L[ f '(t )] sF ( s) f (0 ) 其中f (0 )是时间正向趋近于零时的f (t )值。 （2－8）
7. 积分定理
假设f (t )的拉氏变换F ( s )，则 L[
t 0
F ( s) f (t )dt ] s
1 j f (t ) L [ F ( s)] F ( s)e st ds 2j j
1
(2－2)
其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 定义为：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
4 4 s 2 4 s 2 4 sT F ( s ) L[ f (t )] 2 2 2 2 e 2 2 e 2 2 e T s T s T s T s T s 4 2 2 (1 2e 2 e sT ) T s


0
(t )dt 1 (t ) f (t ) dt f (0)
0
单位脉冲函数的拉氏变换为：
L[ (t )] (t )e st dt e st 2013-12-30
0
t 0
1
11
2.3 典型时间函数的拉氏变换
3 单位斜坡函数 定义为： 0, t 0 f (t ) t, t 0 单位斜坡函数的拉氏变换为：
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若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例1： F (s)
1 1 1 1 ( ) ( s a )( s b) b a s a s b
e at e bt 则f (t ) ba 1 例2：求 F ( s) s 2 ( s 1) 的逆变换。 1 1 1 1 F ( s) 2 2 s ( s 1) s s s 1 解：
at
指数函数的拉氏变换为：
L[e ] e e dt e ( s a )t dt
at at st 0 0


e ( s a ) t 1 sa 0 sa
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为：
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2.5 拉氏反变换的数学方法
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 。 L1 [ F ( s)] 由F(s)可按下式求出
1
1 C j st f (t ) L [ F ( s )] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须 是一种能直接查到的原函数的形式。
G(s) u jv
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G (s) s 2 1 ( 2 2 1) j 2
6
K ( s z1 ) ( s zm ) G( s) ( s p1 ) ( s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
4
引言 复数和复变函数 （3）复变函数的概念
G( s) u(s) jv (s)
s
为自变量。
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例：
s j
s j
u u ( , ) v v( , )
u u ( , ) 2 2 1 v v( , ) 2