初中数学竞赛专题选讲《解三角形》
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一、内容提要
1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.
2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠).
① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2
. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）
SinA=
c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=a
b
. ④ 互余的两个角的三角函数的关系：
Sin(90
－A)= CosA ， Cos(90
－A)= SinA ， tan(90
－A)= CotA, Cot(90
－A)= tanA. ⑤ 特殊角的三角函数值：
锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.
3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)
① 正弦定理：
SinC
c
SinB b SinA a =
==2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2
=a 2
+b 2
－2abCosC ； b 2
=c 2
+a 2
－2ca CosB ； a 2
=c 2
+b 2
－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：
Sin(180
－A)= sinA ， Cos(180
－A)= － cosA ， tan(180
－A)=－cotA ， cotA(180
－A)=－tanA. ④ S △ABC ＝
21absinC=21bcsinA=2
1
casinB. 4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，
方位角等. 二、例题
例1. 已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60
，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.
求：AC 的长.
解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30 .
在Rt △ECD 中，∵sinE=CE
CD
, ∴CE=
30
sin 1=1÷21
＝2. EB ＝4. 在Rt △EAB 中， ∵tanE=EB
AB
,
∴AB=EBtan30。
=3
3
4.
根据勾股定理AC ＝223
342）＋（
＝2132
. 又解：连结BD ，设AB 为x ，AD 为y.
根据勾股定理 AC 2＝x 2+22=y 2+12
.
根据余弦定理BD 2
＝x 2
+y 2
－2xyCos60 =22
＋12
－2×2×1Cos120 .
得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-.
07032222xy y x y x ，
解这个方程组， 得 x=
3
3
4. (以下同上一解) 例2. 已知：如图，要测量山AB 的高，在和B 同一直线上的C ，D 处,分别测得对A 的仰
角的度数为n 和m ，CD=a. 试写出表示AB 的算式. 解：设AB 为x ，BD 为y.
在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，
⎩⎨
⎧=+=.cot cot n x a y m x y ，
xCotm=xCotn －a .
∴ x=
Cotm
Cotn a
-.
答：山高AB ＝Cotm
Cotn a
-.
例3. 已知：四边形ABCD 中，∠ABC ＝135 ，∠BCD ＝120
，CD ＝6，AB ＝6，
BC ＝5－3.
求：AD 的长. （1991年全国初中数学联赛题）
B
解：作AE ∥BC 交CD 于E ， BF ⊥AE 于F ， CG ⊥AE 于G..
在Rt △ABF 中，
BF ＝6Sin45 =3, AF ＝BF ＝3
在Rt △CGE 中， GE ＝CGtan30 =3×
3
3
＝1, ∴CE ＝2， ED ＝4.
∴AE=3+5－3+1=6， ∠AED ＝120 . 在△AED 中，根据余弦定理，得 AD 2
＝62
＋42
－2×6×4Cos120 =76.
∴AD ＝219.
例4. 如图，要测量河对岸C ，D 两个目标之间的距离，在A ，B 两个测站，测得平面角∠CAB ＝30 ，∠CAD ＝45 ，∠DBC ＝75 ，∠DBA ＝45 ，AB ＝3. 试求C ，D 的距离.
解：在△ABC 中，
∵∠ACB ＝∠CAB ＝30 ，
∴BC ＝AB ＝3, ∴AC ＝23cos30 =3. 在△ABD 中，∠ADB ＝60 由正弦定理，
45sin AD ＝
60
sin AB
， AD ＝
60
sin AB ×sin45
=3÷23×22＝2. 在△ACD 中，由余弦定理，得
CD 2
＝32
＋（2）2
－2×3×2Cos45
=5
∴CD ＝5.
例5. 已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且
∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9和∠10相等或互补
(1985年全国初中数学联赛题)
证明：根据正弦定理，得