2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)10月月考数学试卷及答案
专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)
专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。
2020-2021学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．“2x <”是“24x <”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】先化简条件“24x <”为“22x -<<”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可.【详解】解：因为24x <，所以22x -<<，设{|22}A x x =-<<，{|2}B x x =<，则A B所以“2x <”是“24x <”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.2．不等式20x bx c -++>的解集是{}21x x -<<，则1b c +-的值为（ ） A ．2B ．1-C ．0D ．1 【答案】C【解析】由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出b c 、的值，再求和.【详解】解：由不等式20x bx c -++>的解集是{}21x x -<<，得2-和1是20x bx c -++=方程的解，由根与系数的关系知，211211b c ⎧-=-+⎪⎪-⎨⎪=-⨯⎪-⎩， 解得1b =-，2c =；所以1b c +-=1210-+-=.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题.3．设集合{|,}24k M x x k ππ==+∈Z ，{|,}42k N x x k ππ==+∈Z ，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】从元素满足的公共属性的结构入手，对集合M 中的k 分奇数和偶数讨论，从而可得两集合的关系．【详解】对于集合M ，当2()k m m =∈Z 时，,4222k m x m Z ππππ=+=+∈ 当21()k m m Z =-∈时，,4224k m x m Z ππππ=+=+∈ ∴{|,}{|,}2224m m M x x m Z x x m Z ππππ==+∈⋃=+∈ {|24k N x x ππ==+，}k Z ∈， M N ∴⊇,故选：A ．【点睛】本题的考点是集合的包含关系判断及应用，解题的关键是对集合M 中的k 分奇数和偶数讨论，属于基础题.4．已知函数2,2()(1),2k x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程1()2f x =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[1,)+∞C ．[1,2)D ．[2,)+∞【答案】B【解析】先求得()21122x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩有两个根12x =±，再利用122k x x ⎧=⎪⎨⎪≥⎩有解可得答案. 【详解】因为()21122x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩有两个根1x =±， 所以，要使方程1()2f x =有三个不同的实根， 只需122k x x ⎧=⎪⎨⎪≥⎩有解， 即12k x =在[2,)+∞上有解， 因为在[2,)+∞上112x ≥， 所以实数k 的取值范围是[1,)+∞， 故选：B.【点睛】本题主要考查分段函数的性质以及函数与方程思想的应用，属于基础题.二、填空题5．已知集合{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，则AB =___________. 【答案】{1,3,5}【解析】本题根据集合的交集运算直接计算即可.【详解】解：因为{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，所以{1,3,5}A B =故答案为：{1,3,5}【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.6．集合{0,1}A =的所有子集中，含有元素0的子集个数是___________.【答案】2【解析】本题先写出集合{0,1}A =的所有子集，再判断含有元素0的子集个数即可.【详解】解：集合{0,1}A =的子集：∅，{1}，{0}，{0,1}，其中含有元素0的子集个数是2个故答案为：2【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.7．若关于x 的不等式210x ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(2,2)-【解析】将关于x 的不等式210x ax -+>在R 上恒成立，转化成0<，从而得到关于a 的不等式，求得a 的范围．【详解】因为不等式210x ax -+>在R 上恒成立． ∴()240a =--<，解得22a -<< 故答案为：(2,2)-．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．故答案为对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．9．设集合{(,)|2,,}M x y x y x y =+=∈∈R R ，{(,)|,,}N x y x y x y ==∈∈R R ，则M N =___________.【答案】{(1,1)}【解析】求得直线2x y +=与直线x y =的交点坐标即可得答案.【详解】因为集合{(,)|2,,}M x y x y x y =+=∈∈R R ，{(,)|,,}N x y x y x y ==∈∈R R ， 所以M N ⋂的元素就是直线2x y +=与直线x y =的交点坐标，由2x y y x +=⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以M N ={(1,1)}，故答案为：{(1,1)}.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，解答问题的关键是找到直线2x y +=与直线x y =的交点坐标，属于基础题.10．已知集合{1}A =，2{},3a a B +=，若A B ⊆，则实数a 的值为___________.【答案】1【解析】由A B ⊆可知1B ∈，即可求出.【详解】A B ⊆，1B ∴∈，若1a =，则{}1,4B =，满足题意；若231a +=，无解，综上，1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.11．设集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，A B A ⋃=，则实数a 的取值集合为___________. 【答案】11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】先根据已知判断出B A ⊆，再分B =∅，{1}B =-或{3}=B 三种情况讨论求实数a 的取值集合．【详解】解：因为2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，所以{1,3}A =-，{|1}B x ax ==因为A B A ⋃=，所以B A ⊆所以B =∅，{1}B =-或{3}=B当B =∅时，0a =；当{1}B =-时，则1a -=，解得1a =-；当{3}=B 时，则31a =，解得13a =； 所以实数a 的取值集合为11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 故答案为：11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查利用集合的运算判断集合的关系、利用集合的基本关系求参数，还考查了分类讨论的数学思想，是中档题. 12．设实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，则A =R ___________. 【答案】1[,3]2- 【解析】本题先求出1(,)(3,)2A =-∞-+∞，再求A R 即可. 【详解】 解：因为2103x x+<-⇔2103x x +>-⇔(3)(21)0x x -+>⇔12x <-或3x > 因为实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，所以1(,)(3,)2A =-∞-+∞， 所以1[,3]2R A -= 故答案为：1[,3]2- 【点睛】本题考查求解分式不等式、集合的补集运算，是基础题.13．已知:2A x <，:(2)()0B x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.【答案】2a <-【解析】设:2A x <的解集为集合A ，:(2)()0B x x a ++<的解集设为B ，由 A 是B 的充分不必要条件，可得A B ，即可列出不等式求出a 的范围.【详解】 由:2A x <解得22x -<<，设为集合A ，:(2)()0B x x a ++<的解集设为B ，若A 是B 的充分不必要条件，则A B ，2a ∴->，解得2a <-.故答案为：2a <-.【点睛】本题考查由集合关系判断充分、必要条件，属于基础题.14．已知集合{}1,1,12A a a =++，{}21,,B b b=，则A B =的充要条件是___________. 【答案】34a =-，12b =- 【解析】由集合相等的定义列出方程即可求解.【详解】A B =，2112a b a b +=⎧∴⎨+=⎩或2112a b a b⎧+=⎨+=⎩， 解得01a b =⎧⎨=⎩或3412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 当0,1a b ==时，{}1,1,1A =，不符合，舍去； 当31,42a b =-=-时，111,,42A B ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，符合题意， ∴A B =的充要条件是31,42a b =-=-.故答案为：31,42a b =-=-. 【点睛】 本题考查集合相等求参数，属于基础题.15．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13a ≤-【解析】由2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，可求()[1g x ∈，2]，对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12()()f x g x 成立，可得12()()max max f x g x ，结合二次函数的性质可求【详解】2()23f x x x a =-+在1[0x ∈，3]上先减后增故当1x =时，函数有最小值f （1）31a =-，当3x =时，函数有最大值f （3）33a =+ 故1()[31f x a ∈-，33]a +，2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，故()[1g x ∈，2]， 对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x 成立，12()()max max f x g x ∴，∴332a +≤，解可得，13a ≤-故答案为：13a ≤-【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用，属于中档题．16．已知a ∈R ，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：①对任意0x ∈R ，0()f x 的值为0x 或20x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解.则a 的取值范围是___________.【答案】(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞【解析】根据条件①可知00x =或1，进而结合条件②可得a 的范围.【详解】根据函数的定义可知，一个自变量0x 只能对应一个函数值，所以0x =20x ，解得00x =或01x =，可得(0)0f =或f （1）1=，又因为关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠且1a ≠，故(a ∈-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞，故答案为：(-∞，0)(0⋃，1)(1⋃，)+∞．【点睛】本题考查函数函数的定义以及零点与方程根的关系，解题的关键是根据函数的定义确定自变量的范围，属于中档题．三、解答题17．已知0ab ≠，求证：33220a b ab a b ++-=-的充要条件是1a b +=.【答案】证明详见解析.【解析】先证充分性，由条件去推结论成立，然后再证必要性，由结论去推条件成立即可.【详解】证明：（1）充分性（条件⇒结论）因为1a b +=，3322()()a b a b a ab b +=+-+， 33222222)()(a b ab a b a b a ab b ab a b ++---++--=+22220a ab b ab a b =-++-=-所以成立；（2）必要性（结论⇒条件）因为33220a b ab a b ++-=-，且3322()()a b a b a ab b +=+-+，所以33222222)()(a b ab a b a b a ab b ab a b ++---++--=+ 22(10)()a a a b b b =-++-=而222a ab b ab ab ab -+≥-=，又0ab ≠，所以10a b +-=，所以1a b +=，所以成立，综上：33220a b ab a b ++-=-的充要条件是1a b +=.【点睛】本题考查了充要条件的证明，即证充分性，又证必要性，属于基础题.18．已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≥-【解析】B A ⊆时，要分类讨论，分B =∅和B ≠∅讨论．【详解】∵B A ⊆，∴当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥， 当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．【点睛】本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集．因此需分类讨论． 19．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y (米)与汽车车速x (千米/小时)满足下列关系式：2100400nx x y =+（n 为常数，且n ∈N ）.在两次试验刹车中，所取得的有关数据如图所示，其中157y <<，21315y <<.（1）求n ；（2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？【答案】（1）3；（2）最大速度80千米/小时.【解析】（1）先由题意建立不等式组2240405710040070701315100400n n ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩并求解出5110228n <<，再因为n ∈N ，求出3n =；（2）先确定函数解析式23100400x x y =+，再建立不等式2318.4100400x x +≤并求解得9280x -≤≤，最后给出答案即可.【详解】解：（1）因为函数关系2100400nx x y =+，且157y <<，21315y <<. 所以2240405710040070701315100400n n ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，解得51522301102828n n ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，则5110228n <<， 因为n ∈N ，所以3n =，（2）由（1）可知3n =，所以23100400x x y =+ 因为要使刹车距离不超过18.4米，则2318.4100400x x +≤， 解得：9280x -≤≤，所以要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为80千米/小时【点睛】本题考查根据实际问题建立不等关系求参数的值、求解一元二次不等式、20．设函数2()f x ax bx c =++（0a >）且(1)2a f =-. （1）求证：方程()0f x =有两个不同的实根；（2）设1x 、2x 是方程()0f x =的两个不同实根，求12x x -的取值范围； （3）求证：方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内.【答案】（1）证明过程见详解；（2）)+∞；（3）证明过程见详解.【解析】（1）先由(1)2a f =-得到32a b c =--，再判断>0∆，最后判断方程()0f x =有两个不同的实根；（2）先求出方程()0f x =的两个不同实根12x x =，，再化简整理得12x x -12x x -的取值范围；（3）直接分两种情况讨论，当0c ≤时，化简整理得到(1)(2)0f f ⋅<，判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(1,2)内；当0c >时，化简整理得到(0)(1)0f f ⋅<，判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,1)内，最后判断方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内.【详解】（1）因为函数2()f x ax bx c =++（0a >）且(1)2a f =-， 所以2a abc ++=-，即32a b c =--， 则方程()0f x =，即20ax bx c ++=，且0a >，22224()34()0222a b ac ac c a a c ∆=-=-=-+->-， 所以方程()0f x =有两个不同的实根；（2）因为1x 、2x 是方程()0f x =的两个不同实根，12x x =，，又因为0a >，所以12x x ==-≥ 所以12x x -的取值范围：)+∞（3）当0c ≤时，因为0a >，所以(1)02a f =-< 因为2()f x ax bx c =++，所以(2)42f abc =++，由（1）得：32a b c =--，所以(2)4(32)0f a a c c a c =+--+=-> 所以(1)(2)0f f ⋅<，所以方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(1,2)内；当0c >时，因为2()f x ax bx c =++，所以(0)0f c =>，因为0a >，所以(1)02a f =-< 所以(0)(1)0f f ⋅<， 所以方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,1)内综上所述：方程()0f x =的两个不同实根1x 、2x 至少有一个在范围(0,2)内【点睛】本题考查利用根的判别式证明二次函数对应的一元二次方程有两个不同的实根、利用零点存在性定理判断方程的解所在区间，是基础题.。
上海市高一上学期10月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故答案为：3．2．已知，全集，则___（用区间表示） {}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣U =R A B ⋂=【答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】，{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=所以，.(][),02,B ∞∞=-⋃+(](),03,A B =-∞+∞ 故答案为：.(](),03,-∞+∞3．设A ＝，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．{}|N x x k =∈【答案】{}1,4,6,9【分析】的的取值范围，从而可求得.10,N k ∈k A B ⋂【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈得10,N k ≤∈019,N k k ≤≤∈由题：{}|19,N x x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故答案为：{}1,4,6,94．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数U A B =⋃m A B ⋃n A B ⋂A B ⋂为___个． 【答案】m n -【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.A B A B = 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，A B ⋃n又中有个元素，故中有个元素；U A B =⋃m A B ⋂m n -法二：因为有个元素，又全集中有个元素，A B A B = n U A B =⋃m 故的元素个数个．A B ⋂m n -故答案为：.m n -5．“若，则”的否定形式为____．220x x --≤12x -≤≤【答案】若，则或220x x --≤1x <-2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：220x x --≤12x -≤≤若，则或.220x x --≤1x <-2x >故答案为：若，则或.220x x --≤1x <-2x >6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．【答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关()18010x +系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为元，定价增加了10x 元，()18010x +由题意可得，利润，当且仅当()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天1850x x +-＝16x =1801610340+⨯=的房价定为340元．故答案为：340．7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．2(0)y ax bx c a =++≠（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取,a b 1x =3x =40a b +=4y =x 值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为 ()2,0,(6,0)-x ，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确； 2x =22b x a=-=,a b 40a b +=因为对称轴为，故当和时，函数值相等， 22b x a=-=1x =3x =当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.4y =x 故答案为：3.8．若的图像x =1对称，则c =_______．()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈【答案】2【详解】本题考查函数的对称性又的对称轴为 ()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22b x +=则，得； 212b +=0b =由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈1x =[],b c 1x =；2b c +=所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为 ______．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ， 2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若，，则集合”是假命题，()22f x m x =()22g x mx m =-1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭则实数的取值范围是 ______．m 【答案】 ()7,0-【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦造函数，结合二次函数的图象可求的范围.()()222h x m m x m =-+m 【详解】∵，，()22f x m x =()22g x mx m =-又∵“”是假命题， 1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭∴，即在区间上有解 2222m x mx m <-()2220m m x m -+<1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦令，()()222h x m m x m =-+①当，即或时，或，20m m -=0m =1m =()0h x =()2h x =在区间上无解，不合题意； ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦②当，即且时，20m m -≠0m ≠1m ≠是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，()h x y 若要使在区间上有解，则需满足： ()0h x <1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦或 22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得，即的取值范围是.70m -<<m ()7,0-故答案为：.()7,0-【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用. 11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x ◎y ＝x +y ； **2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩②当时，x ◎y ＝xy ． **2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是 _____．【答案】2048【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．A 【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为，112=2048故答案为：2048．12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，x 3|1||1|2x ax +++≥R 0x 003|1||1|2x ax +++=则实数的所有取值是____．a 【答案】或. 12-2-【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求()f x ()f x 解即可.【详解】令，当时，，不合题意，故.()|1||1|f x x ax =+++0a =()|1|11f x x =++≥0a ≠由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或()f x ()f x 10x +=10ax +==1x -， 1x a=-又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得. ()|1||1|f x x ax =+++32()f x 当时，则，解得或， =1x -3|1|2a -+=12a =-52所以或， 13()|1||1|22f x x x =++-+≥53()|1||1|25x f x x =+++≥因为的最小值为，所以； ()f x 3212a =-当时，则，解得或， 1x a =-13|1|2a -+=2a =-25所以或，所以. 3()|1||21|2f x x x =++-+≥23()|1||1|55f x x x =+++≥2a =-综上所述，或． 12a =-2a =-故答案为：或. 12-2-二、单选题13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅()0()0f xg x <⎧⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．∅(,1)(2,)-∞⋃+∞(1,2)R 【答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，()0f x ≥[1,2]()0g x ≥∅所以不等式的解集为，不等式的解集为 ()0f x <(,1)(2,)-∞⋃+∞()0g x <R 所以不等式的解集为. ()0()0f x g x <⎧⎨<⎩(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：B ．三、多选题14．已知为正常数，则不等式（ ） ,,a b m a m a b m b +>+A ．当时成立 B ．当时成立a b <a b >C ．是否成立与无关D ．一定成立 m 【答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与,,a b m ()()a m a a m b a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+无关.m 故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，p ⌝q ⌝p q ⌝⇒⌝则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.q p ⇒⇒故选：B ．16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数1x 2x 20x px q ++=11x +21x +20x qx p ++=p ，q 分别等于（ ）A ．，B ．3，C ．1，3D ．，1 1-3-1-3-【答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p ，q 的式子，消去，求解即可得出答案.1x 2x 1x 2x 【详解】，为方程的两根， 1x 2x 20x px q ++=①， 1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ，为方程的两根，11x + 21x +20x qx p ++=②， ()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ 由①②式消去，可得：，解得， 1x 2x 21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩13p q =-⎧⎨=-⎩17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的:p x 28200x x --≤:q x 22210(0)x x m m -+->≤p q 必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．3m ≥03m <≤3m >03m <<【答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】，因为是的必要而不充分条件， [][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+p q 所以，所以且等号不同时成立，所以， [][]1,12,10m m -+⊂-12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩03m <≤故选：B.五、解答题18．解下列不等式： (1)； 25123x x x -<---(2).2(1)(2)0x x -+≥【答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1），由数轴标根法得，解集22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----为；(1,1)(2,3)-U （2）或， 210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩20x +=易得解集为.{2}[1,)-+∞ 19．解下列不等式： (1)； 132x-<<(2).(0x -≥【答案】(1) 11(,(,)32-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）时，解得；时，解得. 0x >12x >0x <13x <-故解集为； 11(,(,)32-∞-⋃+∞（2），故解集为. (2)0(0(00x x x -≥⎧-≥⇔-≥⇔≥[3,)+∞20．已知集合，求：{}2|20A x x x m =-+=(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；A m (2)若，求实数的取值范围.(,0)A ⊆-∞m 【答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； m （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.A =∅220x x m -+=m 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根{}2|20A x x x m =-+=220x x m -+=所以，故；440m ∆=-≤m 1≥（2）由题意得或只有负根，A =∅220x x m -+=当时，，故，A =∅Δ440m =-<1m >当只有负根时，，无解，220x x m -+=1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩综上，实数的取值范围为.m 1m >21．关于的不等式，其中. x 2282002(1)94x x mx m x m -+<++++R m ∈(1)解集为空集时，求实数的取值范围； m (2)解集为时，求实数的取值范围.R m 【答案】(1)； 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2). 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)940mx m x m ++++≥(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；22(1)94mx m x m ++++0<【详解】（1）解：因为恒为正，22820(4)4x x x -+=-+所以解集为空集时，恒成立，22(1)940mx m x m ++++≥当时，不恒成立，舍去；0m =240x +≥当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩14m ≥所以实数的取值范围是； m 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立， 22820(4)4x x x -+=-+R 22(1)94mx m x m ++++0<当时，不恒成立，舍去；0m =240x +<当时，，解得， 0m ≠()()20Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩12m ≤-所以实数的取值范围是. m 1,2⎛⎤-∞- ⎝⎦22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能(14)a a ≤≤够持续有效净化，试求a 的最小值．【答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.x 44y ≥（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调a 性求得的取值范围，进而求得的最小值.a a【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度， ()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩则当时，由，得；04x ≤≤26844x -≥04x ≤≤当时，由，解得，所以．410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上所述，，08x ≤≤故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过天，(610)x x ≤≤浓度， 21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，， 610x <≤2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----因为在上单调递减， 17()(6)6h x x x =---(6,10]所以当时，取得最小值， 10x =()h x 1(10)4h =则的最大值为4，所以； 117(6)6x x ---4a ≥当时，恒成立．6x =()4174g x a =+≥综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R x ()0f x =12,x x 的两实根为．()f x x =,αβ(1)若，求与的关系式；||1αβ-=a b (2)若均为负整数，且，求的解析式；,a b ||1αβ-=()f x (3)若，求证：．12αβ<<<12(1)(1)7x x ++<【答案】(1)；249(0,,)a ab a a b +=<∈R (2)；()242f x x x =-+-(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ可求解；||1αβ-=（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；249a ab +=,a b （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 12124,b x x x x a a+=-=12αβ<<<【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R αβ所以． 3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由得，即， ||1αβ-=()21αβ-=2294()41b a aαβαβ+-=-=所以，即．294ab a -=249(0,,)a ab a a b +=<∈R （2）由（1）得，因为均为负整数，249a ab +=,a b 所以或或， 149a a b =-⎧⎨+=-⎩941a a b =-⎧⎨+=-⎩343a a b =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 149a a b =-⎧⎨+=-⎩1a =-2b =-故所求函数解析式为．()242f x x x =-+-（3）由题意得， 12124,b x x x x a a+=-=又由，得，故， 12αβ<<<30,2b a a αβαβ+=-<=<11a-<所以． ()()121212*********b x x x x x x a a++=+++=-+<++=。
上海市曹杨第二中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题(教师版)
2019~2020学年曹二高一上12月份月考试卷一、填空题1. 不等式2016x <<的解集为____________ 【答案】()()4,00,4-【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可直接得出结果.【详解】由2016x <<得216x x ⎧<⎨≠⎩，解得40x -<<或04x <<，即原不等式的解集为()()4,00,4-.故答案为：()()4,00,4-.2. “1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的__________条件（填写“充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也非必要”）【答案】必要不充分 【解析】 【分析】取0,3x y ==得到3x y +=，不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真，得到必要性；得到答案. 【详解】取0,3x y ==得到3x y +=，故不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题：若1x =且2y = ，则3x y +=易知成立，必要性； 故答案为必要不充分【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力，取特殊值可以快速得出结论，是解题的关键.3. 35,21x y ≤≤-≤≤-，则x y -的取值范围是_____________ 【答案】[4,7] 【解析】 【分析】先计算12y ≤-≤，再利用不等式性质得到答案.【详解】35,21x y ≤≤-≤≤-，则35,1247x y x y ≤≤≤-≤∴≤-≤ 故答案为[4,7]【点睛】本题考查了不等式的性质，先确定12y ≤-≤是解题的关键.4. 函数()11f x x=-的定义域是____________ 【答案】[)()2,11,-⋃+∞ 【解析】 【分析】由解析式列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】因为()11f x x=-， 所以2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥-或1x ≠，则函数()11f x x=-的定义域是[)()2,11,-⋃+∞. 故答案为：[)()2,11,-⋃+∞ 5. 函数)1y x =>的最小值为____________【答案】2 【解析】 【分析】先将函数解析式化为12y =+，再利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为1x >，所以1222y ==+=+≥=，1=，即3x =+.故答案为：2.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 6. 函数1423x x y +=+-的零点是____________ 【答案】0x = 【解析】 【分析】直接令14230x x y +=+-=，求解，即可得出结果.【详解】由14230x x y +=+-=得()()23210x x+-=，所以21x =，解得0x =.即函数1423x x y +=+-的零点是0x =. 故答案为：0x =7. 设1x ，2x 是方程2lg lg 0x a x b ++=（a ，b 为常数）的两个根，则12x x ⋅的值是______. 【答案】110a【解析】 【分析】先用换元法，令lg x t =得出20t at b ++=，则由韦达定理可得1212t t at t b +=-⎧⎨⋅=⎩，利用对数运算化简.【详解】解：令lg x t =，则2lg lg 0x a x b ++=化为：20t at b ++=则由韦达定理可得1212t t at t b +=-⎧⎨⋅=⎩，则()121212lg lg lg x x x x t t a ⋅=+=+=-， 则()12lg x x a ⋅=-，则1211010aa x x -⋅==故答案为:110a【点睛】本题考查了根与系数的关系及对数的运算，属于基础题.8. 函数()()222a a f x a a x -=-是定义在()0,∞+上的增函数，则a 的取值范围____________【答案】（1，2）【解析】 【分析】利用幂函数的性质列不等式求解即可【详解】由题意2220a a a a ⎧-<⎨-<⎩，无解； 或2220a a a a ⎧->⇒⎨->⎩(1)0(2)0a a a a ->⎧⎨->⎩，解得12a <<， 综上，12a << 故答案：（1，2）9. 光线通过某种玻璃时，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的13以下，至少需要____________块这样的玻璃（参考数据lg30.4771≈）. 【答案】11 【解析】 【分析】设需要()N n n *∈块这样的玻璃，根据题意可得出关于n 的不等式，求得n 的取值范围，进而可求得结果.【详解】设需要()N n n *∈块这样的玻璃，由题意可得91103n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可得9101log 3n ≥， 而9101lg1lg33log 10.4179312lg3lg 10==≈-，n N *∈，因此，至少需要11块这样的玻璃.故答案为：11.10. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递增，则下列函数：①()f x ；②()f x ；③()1f x ；④()()f x f x -；其中在(),0-∞上递减的是____________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上递增，则(0)0f =，当0x >时，()0f x >,当 0x <时，()0f x <，再利用复合函数的增减性的判断，逐一检验即可. 【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上递增， 则(0)0f =，当0x >时，()0f x >，当 0x <时，()0f x <，对于①|()|f x ，当0x <时，|()|()f x f x =-，则|()|f x 在(,0)-∞上递减； 对于②(||)f x ，函数(||)f x 为偶函数，则(||)f x 在(,0)-∞上递减；对于③1()f x ，由复合函数单调性可得，1()f x 在(,0)-∞上递减； 对于④()()f x f x -，2()()()f x f x f x -=-，当0x <时，()0f x <，且函数()f x 为增函数，由复合函数单调性可得，则2()y f x =-在(,0)-∞上递增， 综上可得在(,0)-∞上递减的是①②③； 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛： 复合函数单调性的判定方法：复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦由外函数()y f t =与内函数()t x g =复合而成，其单调性由内函数与外函数同时决定，根据同增异减的判定方法，即可得出结果.11. 已知函数()f x 是定义在区间[3,3]-上的奇函数,当(0,3]x ∈时，()f x 图像如图，则不等式()0f x ≤的解为____________.【答案】[1,0][1,3]-⋃ 【解析】 【分析】根据图像得到(0,3]x ∈的解为[]1,3，根据奇函数性质得到()00f =和[)3,0x ∈-的解为[)1,0-，综合得到答案.【详解】函数()f x 是定义在区间[3,3]-上的奇函数. 当(0,3]x ∈时，根据图像知()0f x ≤的解为[]1,3； 当0x =时，()00f =，满足；当[)3,0x ∈-时，根据奇函数性质知()0f x ≤的解为[)1,0-； 综上所述：()0f x ≤的解为[1,0][1,3]-⋃ 故答案为[1,0][1,3]-⋃【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生对于函数图像和函数性质的综合应用. 12. 设函数()21xf x x=+，区间[](),M a b a b =<，集合(){}|,N y y f x x M ==∈，则使得M N 的实数对(),a b 有____________对 【答案】3 【解析】 【分析】由()2,02121,01xx x x f x x x x x ⎧≥⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，根据单调性，求出函数值域，再由M N ，得到2121a a a b bb⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，求解即可求出结果.【详解】因为()2,02121,01xx x xf x xx x x ⎧≥⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩， 当0x ≥时，()22211x f x x x ==-++显然单调递增； 当0x <时，()22211x f x x x==-+--显然单调递增； 因此函数()f x 在R 上单调递增，所以当[],x M a b ∈=时，其值域为()()22,,11a b N f a f b a b ⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎣⎦++⎣⎦，由M N 可得2121aa ab b b⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，由21a a a=+可得0a =或1=a ，所以0a =或1a =±； 同理0b =或1b =±；因为a b <时，所以01a b =⎧⎨=⎩或10a b =-⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，即满足条件的实数对(),a b 有3个.故答案为：3.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键，在于由题中条件M N ，得到函数的定义域和值域相等，再根据函数单调性，确定值域，即可列出方程，求解出结果.二、选择题13. 设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A. ()(),f x x g x == B. ()()()22,xf xg x x==C. ()()()01,1f x g x x ==- D. ()()29,33x f x g x x x -==-+【答案】B 【解析】 【分析】()f x 与()g x 表示同一个函数，则函数的定义域、对应法则、值域都相同，对选项进行逐一分析,得到答案.【详解】A. ()g x x ==表达式与()f x x =不同，所以不是同一函数，A 不正确.B ．()()1f x g x ==()0x >,()(),f x g x 的定义域、对应法则、值域都相同，所以表示同一函数，正确. C. ()()01g x x =-的定义域为{}|,1x x R x ∈≠且，()1f x =的定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，C 不正确.D.()293x f x x -=+ 的定义域为{}|,3x x R x ∈≠-且，()3g x x =-的定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，D 不正确. 故选：B【点睛】本题考查同一函数的判断，属于基础题.14. 在下列图象中，二次函数2y ax bx =+及指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B 、D 选项，再根据-a b 的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案.【详解】根据指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭知a ，b 同号且不相等， ∴二次函数2y ax bx =+对称轴02ba-<，可排除选项B ，D ； 对于选项C ，当1x =-时，二次函数0y a b =->，且0a <，1ba∴>，则指数函数在R 上单调递增，则C 不正确；故选：A.【点睛】本题考查二次函数和指数函数的图象与性质，恰当的利用特殊点，并结合函数性质进行排除是解决图象题的常用方法.15. 定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x ++=，且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，给出以下2个结论：①函数()f x 的图象关于点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，正确的结论是（ ） A. ①和②都是 B. 只有①C. 只有②D. 都不是【答案】A 【解析】 【分析】先由32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，得到其图象关于原点对称，再根据()f x 的图象可由32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像向左平移32个单位得到，即可判断①正确；根据奇偶性得到()()3f x f x -=--，再由()()30f x f x ++=得到()()f x f x -=，进而可判断函数()f x 的奇偶性.【详解】因为32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，所以其图象关于原点对称；又()f x 的图象可由32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像向左平移32个单位得到，所以函数()f x 的图象关于点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；即①正确；由32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数可得3322f x fx ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3f x f x -=--， 又()()30f x f x ++=，所以()()3f x f x +=-，则()()3f x f x =--，因此()()f x f x -=， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称；即②正确. 故选：A.16. 设()f x 是定义在R 上的函数，下列关于()f x 的单调性的说法：（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c d <，满足[][],,c d a b ⊆，且()f x 在[],c d 上递增（2）若()f x 在R 上单调，则存在x ∈R ，使得()()f f x x ≠-（3）若对任意0a >，存在d R ∈，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈R 成立，则()f x 在R 上递增其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据单调性的定义即可判断（1）是否正确；利用反证法的思想可判断（2）的正误；再根据平移的性质可判断（3）是否正确.【详解】对于（1），若函数()f x 在[],a b 上单调，则当()()f a f b <时，()f x 在[],a b 上递增，所以[][],,c d a b ⊆时，()f x 在[],c d 单调递增；若()f x 在[],a b 上不单调，但()()f a f b <，故函数()f x 在[],a b 上存在单调递增区间，所以存在c d <，[][],,c d a b ⊆时()f x 在[],c d 上递增，故A 正确；对于（2），若()f x 在R 上单调，则存在x ∈R ，使得()()ff x x =-，反之假设对于任意的x ∈R ，使得()()f f x x ≠-，则函数()f x 为一次函数，且()()y f f x =图象与y x =-平行，即()()ff x x t =-+，设()f x kx b =+，则()()()2f f x k kx b b kxkb b x t =++=++=-+，矛盾，所以B 错误；对于（3），若对任意0a >，存在d R ∈，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈R 成立，只能说明将函数()f x 图象向左平移d 个单位后，函数值变大，不能说明原函数递增，故C 错误. 故选：B.【点睛】本题考查函数的单调性，注意紧单调性的定义，注意反证法的运用，难度一般.三、解答题17. 设集合A={x||x －a|<2}，B={x|212x x -+<1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 【答案】01a ≤≤ 【解析】 【分析】“A ⊆B”说明集合A 是集合B 的子集，由此列端点的不等关系解得实数a 的取值范围． 【详解】由|x －a |<2，得a －2<x<a +2，所以A={x|a －2<x<a+2}． 由212x x -+<1，得32x x -+<0，即－2<x <3，所以B={x|－2<x<3}． 因为A ⊆B ，所以2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，于是0≤a≤1．【点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.18. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？【答案】当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 【解析】【详解】设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，其中x ＞20，y ＞25两栏面积之和为2(x －20)，由此得y=广告的面积S=xy=x()＝x ，整理得S=因为x －20＞0， 所以S≥2当且仅当时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y ＝175，即当x=140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.【点睛】本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式求最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.19. 函数()y f x =是定义在11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭上的奇函数，当12x ≥，()22f x x x =-． （1）求当12x ≤-时，()f x 的解析式；（2）若函数()()1f xg x x-=，求()g x 的值域． 【答案】（1）()212,2f x x x x =+≤-；（2）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】 【分析】（1）由12x ≤-得12x -≥，代入已知解析式，由函数奇偶性，即可得出结果；（2）分别讨论12x ≥，12x ≤-两种情况，根据基本不等式，以及函数单调性，分别求出值域，即可得出结果.【详解】（1）当12x ≤-时，12x -≥，因为12x ≥时，()22f x x x =-，所以()()2222f x x x x x -=--=---，又函数()y f x =是定义在11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭上的奇函数， 所以()()22x f x x f x =----=，则()22f x x x =+，即当12x ≤-时，()22f x x x =+； （2）当12x ≥时，()22f x x x =-，则()()21212012f x x x g x x x x x -===--≤--=-，当且仅当1x x=，即1x =时，取得最大值0，无最小值； 当12x ≤-时，()()212121f x x x g x x x x x -+===+--在12x ≤-上显然单调递增，因此()11722222g x g ⎛⎫≤-=-+= ⎪⎝⎭，综上，()g x 的值域为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求函数解析式时，一般根据所求解析式对应的自变量范围，求其相反数的范围，再代入已知解析式，根据函数奇偶性，即可得出结果.20. 已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，请满足对任意,x y R ∈．()()()()()(),f x y f x f y f xy f x f y +=+=． （1）求()f x 的零点；（2）判断()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由； （3）①当x ∈Z 时，求()f x 的解析式； ②当x ∈R 时，求()f x 的解析式．【答案】（1）0；（2）奇函数，递增，理由见解析；（3）①(),f x x x Z =∈；②()f x x =． 【解析】 【分析】（1）记()()()f x y f x f y +=+，取0y =得(0)0f =．若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y R ∈，通过()()()()0y yf y f x f x f x x=⨯==，说明函数的零点是0．（2）在()()()f x y f x f y +=+中取y x =-，推出()()f x f x -=-，x ∈R ，即可证明函数是奇函数．利用函数的单调性的定义证明即可．（3）①由()()()f xy f x f y =中取x ，1y =，推出f （1）1=，转化()()()111n f n f f n n=+⋯+=⨯=个，结合奇偶性可得()f x x =； ②先证明对任意有理数(m m N n ∈，)n N ∈，()()m f m mf n n n==．若存x ∈R ，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x --代替()f x ，x -代替x 即可），然后推出矛盾结论，得到结果．【详解】（1）记()()()f x y f x f y +=+①，()()()f xy f x f y =②， 在①中取0y =得(0)0f =． 若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y R ∈，()()()()0y yf y f x f x f x x =⨯==，与()f x 不恒为0矛盾．所以0x ≠时，()0f x ≠，所以函数的零点是0 （2）①中取y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-．x ∈R 所以()f x 是奇函数．x ，y R ∈，x y <时，2()()()()()(0f y f x f y f x f y x f -=+-=-=>，可得()()f x f y <．所以函数()f x 在R 上递增．（3）①由()()()f xy f x f y =中取x ，1y =得f （1）(f =（1）2)． 因为f （1）0≠，所以f （1）1=， 对任意正整数n ，由①，()()()111n f n f f n n=+⋯+=⨯=个，()()f n f n n -=-=-，又因为(0)0f =，所以x ∈Z 时，()f x x =； ②对任意有理数(mm N n∈，)n N ∈，由①， ()n m m m m f m f n f f nf n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭个， 所以()()m f m mf n n n==，即对一切x Q ∈，()f x x =． 若存在x ∈R ，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x --代替()f x ，x -代替x 即可）， 则存在有理数α，使得()x f x α<<（例如可取1[]1()n f x x =+-，[]1m nx =+，)mnα=．x α<但()()f x f αα>=，与f 的递增性矛盾．所以x ∈R 时，()f x x =．【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()()0f x f x +-= (奇函数)或()()0f x f x --= (偶函数)是否成立． 四、附加题21. 对于函数()()y f x x D =∈，若对任意12,x x D ∈，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称此函数为下凸函数，试证明函数()()23220x x f x x =+>是下凸函数． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】任取()12,0,x x ∈+∞，比较()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭大小，根据下凸函数的概念，即可证明结论成立.【详解】任取()12,0,x x ∈+∞， 则()()2323112212222222x x x x f x f x +++=+，1212232212222x x x x x x f ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=⎪⎝⎭+，因为2222121222222x x x x ++≥=，又因为22221212120222x x x x x x ++-⎛⎫⎛⎫-=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222121222x x x x ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以222121222222x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+≥①，又因为3333121222222x x x x ++≥=，则()()()32233312112212121242288x x x x x x x x x x x x +-++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()()()21212221122123363088x x x x x x x x x x ++=-+=-≥，因此333121222x x x x ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则33312122222x x x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，所以333331212122222222x x x x x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥≥②，由①②可得，()()12323231122212122212222222222x x x x x x x x f x f x x x f ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++⎛⎫=++= ⎝≥⎪⎭，所以函数()()23220x x f x x =+>是下凸函数.【点睛】思路点睛：求解函数新定义问题时，一般根据新定义的概念，结合题中条件，逐步计算，即可得出结果.。
2019届上海市曹杨二中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知R a ∈，则“1a >”是“11a <”的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】“a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a ＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“11a ＜”的充分非必要条件．故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．2．在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，c =，23C π=，则b 的值为（ ）B.2 D.【答案】B【解析】运用余弦定理：c 2＝b 2+ a 2﹣2bacosC ，解关于b 的方程，即可得到b ＝2． 【详解】a ＝2，c ＝C 23π=，且b ＜c ， 由余弦定理可得，c 2＝b 2+ a 2﹣2bacosC ，即有12＝b 2+4+412⨯b ， 解得b ＝2或﹣4，由b >0，可得b ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于易错题．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1575S =，则n nS 的最小值为（ ）A.153-B.147-C.125-D.96- 【答案】B【解析】由已知列式求出等差数列的首项和公差，求出前n 项和，代入nS n 后利用导数求最小值．【详解】设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 101110910104502a d a d ⨯=+=+=，① 151115141515105752S a d a d ⨯=+=+=．② 联立①②，得192a d =-=，，∴()2192102n n n S n n n -=-+⨯=-．则f （n ）＝nSn ，即()3210f n n n =-，令()3210f x x x =-， ()2320f x x x -'=．令f ′（x ）＝0，得x ＝0或203x =． 当203x ＞时，f ′（x ）＞0，0＜x 203＜时，f ′（x ）＜0， ∴当203x =时，f （x ）取最小值，而n ∈N ，又f （6）＝﹣144，f （7）＝﹣147， ∴当n ＝7时，f （n ）取最小值﹣147．故选：B ．【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，考查了利用导数求函数的最值，是中档题． 4．若函数||1y x =-的图像与曲线22:1C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A.[1,1)-B.(1,0)-C.(,1][0,1)-∞-D.[1,0](1,)-+∞【答案】A【解析】利用绝对值的几何意义，由y ＝|x |﹣1可得，x ≥0时，y ＝x ﹣1；x ＜0时，y ＝﹣x ﹣1，确定函数y ＝|x |﹣1的图象与方程x 2+λy 2＝1的曲线必相交于（±1，0），为了使函数y ＝|x |﹣1的图象与方程x 2+λy 2＝1的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y ＝x ﹣1代入方程x 2+λy 2＝1，整理可得（1+λ）x 2﹣2λx +λ﹣1＝0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x ＜0时的情形．【详解】由y ＝|x |﹣1可得，x ≥0时，y ＝x ﹣1；x ＜0时，y ＝﹣x ﹣1，∴函数y ＝|x |﹣1的图象与方程x 2+λy 2＝1的曲线必相交于（±1，0）所以为了使函数y ＝|x |﹣1的图象与方程x 2+λy 2＝1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y ＝x ﹣1代入方程x 2+λy 2＝1，整理可得（1+λ）x 2﹣2λx +λ﹣1＝0当λ＝﹣1时，x ＝1满足题意，由于△＞0，1是方程的根，∴11λλ-+＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意； y ＝﹣x ﹣1代入方程x 2+λy 2＝1，整理可得（1+λ）x 2+2λx +λ﹣1＝0当λ＝﹣1时，x ＝﹣1满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，∴11λλ-+＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意； 综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）故选：A ．【点睛】本题考查曲线的交点及二次方程根的问题，考查分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题5．已知集合{|21}A x x =-<≤，{2,1,0}B =--，则AB =________【答案】{1,0)-【解析】根据交集的定义，写出A ∩B ．【详解】集合A ＝{x |﹣2＜x ≤1}，B ＝{﹣2，﹣1，0}，则A ∩B ＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．6．抛物线24x y =的焦点坐标是__________．【答案】()0,1【解析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为24x y =，所以焦点在y 轴上，且焦点为()0,1. 故答案为()0,1【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.7．若增广矩阵1316a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的线性方程组有唯一解，则实数a 的取值范围是________ 【答案】(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 【解析】根据增广矩阵的定义，增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出其线性方程组，再根据方程组有唯一一组解，求出实数a 的取值范围．【详解】由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，而线性方程组的增广矩阵为1316a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 可直接写出线性方程组为 36ax y x ay +=⎧⎨+=⎩ 线性方程组有唯一一组解，则有：101a a≠， 即1﹣a 2≠0，得a ≠±1故答案为：(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞．【点睛】 本题主要考查方程组增广矩阵的定义，线性方程组的解的问题，属于基础题． 8．方程9360x x --=的解x =________【答案】1【解析】因式分解（3x ﹣3）（3x +2）＝0，从而求得x ＝1．【详解】∵9x ﹣3x ﹣6＝0，∴（3x ﹣3）（3x +2）＝0，∴3x ＝3，∴x ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了因式分解的应用及指数运算的应用，属于基础题．9．设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(2,1)，则a =________【答案】3【解析】由反函数的性质得函数f （x ）＝1og 2（x +a ）的图象经过点（1，2），由此能求出a ．【详解】∵常数a ∈R ，函数f （x ）＝1og 2（x +a ）．f （x ）的反函数的图象经过点（2，1），∴函数f （x ）＝1og 2（x +a ）的图象经过点（1，2），∴log 2（1+a ）＝2，解得a ＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．二项展开式622()x x+中第三项的系数是________【答案】60【解析】利用通项公式写出展开式的第三项，求出系数即可．【详解】∵二项式622()x x +展开式的通项公式为T r+166r r C x -=⋅ 22r x ⋅（）， 所以第三项的系数为2262C ⋅＝60，∴第三项的系数为：60．故答案为：60．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题．11．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种【答案】3【解析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可．【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ．所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为：3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题． 12．若关于x 的方程2lg()1x ax +=在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是________【答案】[3,9]-【解析】关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，⇔2()min a x x-＞，x ∈[1，5]．利用函数的单调性即可得出．【详解】∵关于x 的方程2lg()1x ax +=等价于x 2+ax ﹣10=0在区间[1，5]上有解， ∴10a x x=-在x ∈[1，5]上有解． ∵函数f （x ）10x =-x 在x ∈[1，5]单调递减，∴当x ＝5时，函数f （x ）取得最小值3-．当x ＝1时，函数f （x ）取得最大值9．又x 2+ax ＞0在区间[1，5]上有解，即a ＞-x 在区间[1，5]上有解，∴a ＞-5，∴实数a 的取值范围为[3-，9]．故答案为：[3-，9]．【点睛】本题考查了对数方程的有解问题，涉及函数的单调性、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若向量(1,)d m n =-是直线230x y +-=的一个方向向量，则164m n +的最小值是_____【答案】8【解析】直线2x +y ﹣3＝0的一个方向向量为()12a =-，，与d 共线，得到n +2m =2，利用基本不等式求得最值.【详解】直线2x +y ﹣3＝0的一个方向向量为()12a =-，，∴(1,)d m n =-与()12a =-，共线，∴n +2m =2，∴2164448m n m n +=+≥=，当且仅当2m =n =1时等号成立， 故答案为：8.【点睛】本题主要考查了方向向量，考查基本不等式的应用及指数的运算，属于中档题． 14．在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||3EF =，则AE BF ⋅的最小值为________ 【答案】174- 【解析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b |＝2，即a ＝b +2，或b ＝a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a ＝b +2代入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b ＝a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值．【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴3EF a b =-=；∴a ＝b +3，或b ＝a +3；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a ＝b +3时，()22332AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+3b ﹣2的最小值为981744---=； ∴AE BF ⋅的最小值为174-，同理求出b ＝a +3时，AE BF ⋅的最小值为174-． 故答案为：174-． 【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式，属于中档题．15．定义在R 上的函数()f x ，给出下列四个命题：①若()f x 是偶函数，则(1)f x +的图像关于直线1x =对称；②若(3)(3)f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(3,0)对称；③若(3)(3)f x f x +=-，且(4)(4)f x f x +=-，则()f x 的一个周期为2； ④(3)y f x =+与(3)y f x =-的图像关于直线3x =对称；其中正确命题的序号为________【答案】②③【解析】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到，即可判断；②由f （x +a ）+f （a ﹣x ）＝2b ，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）对称，即可判断； ③由函数的对称性得f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +2）＝f （x ），即可判断；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称，即可判断．【详解】①若f （x ）是偶函数，则f （x ）的图象关于y 轴对称，f （x +1）的图象可由f （x ）图象向左平移1个单位得到，故图象关于直线x ＝﹣1对称，故①错；②若f （x +3）＝﹣f （3﹣x ），即f （3+x ）+f （3﹣x ）＝0，则f （x ）的图象关于点（3，0）对称，故②对；③若f （x +3）＝f （3﹣x ），且f （x +4）＝f （4﹣x ），则f （x +6）＝f （﹣x ），且f （x +8）＝f （﹣x ），即有f （x +6）＝f （x +8）即有f （x +2）＝f （x ），则f （x ）的一个周期为2，故③对；④令x +3＝t ，则x ＝t ﹣3，则y ＝f （t ）和y ＝f （6﹣t ）的图象关于t ＝3对称， 则y ＝f （x +3）与y ＝f （3﹣x ）的图象关于直线x ＝0对称，故④错．故答案为：②③．【点睛】本题考查抽象函数及运用，考查函数的对称性和周期性及应用，属于中档题．16．已知a ∈R ，函数211(1)0()1022x x x a x f x x --+⎧++<⎪=⎨>⎪+⎩，若函数()f x 的图像上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是________ 【答案】31(,)52-【解析】运用对称性及单调性求得x ＞0时，f （x ）的最大值，再求得关于y 轴对称的函数和图象，画出f （x ）和g （x ）的图象，结合图象求得仅有两个交点的a 的范围．【详解】令()11122x x f x --+=+， 则()11122x x f x --+=+是由()22x x t x -=+向右平移1个单位得到的， 而()22x x t x -=+是R 上的偶函数，且在0)-∞（，上单减，在0)+∞（，上单增， ∴()11122x x f x --+=+关于x =1对称，且在1)-∞（，上单减，在1)+∞（，上单增， 即当x ＝1时，f 1（x ）min ＝2，∴当x ＞0时，函数()11122x x f x --+=+，关于x =1对称，且在01)（，上单增，在1)+∞（，上单减，∴当x ＞0时，1()2max f x =； ∴()()111022x x f x x --+=+＞的大致图象如图所示：若f （x ）图象仅有两对点关于y 轴对称，即f （x ）（x ＜0）的图象关于y 轴对称的函数图象与f （x ）（x ＞0）仅有两个交点，而当x ＜0时，f （x ）＝（x +1）2+a ．设其关于y 轴对称的函数为g （x ），∴g （x ）＝f （﹣x ）＝（x ﹣1）2+a （x ＞0），∴g （x ）a ≥，又当x =0时，11111222225x x --+-==++，而当x =0时，（x ﹣1）2+a a =+1， 当g （x ）与f （x ）仅有两个交点时，215a +>且12a ＜， ∴3152a -＜＜， 综上，a 的取值范围是（35-，12）， 故答案为：（35-，12）． 【点睛】 本题考查函数的最值求法和对称性，注意运用数形结合思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知函数22()2sin cos cos )f x x x x x =--.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()2y f x π=-，[0,]2x π∈的值域.【答案】（1）min T π=；（2）[-.【解析】（1）化简可得f （x ）＝2sin （2x 3π+），得ω=2，可得最小正周期；（2）先求得y ＝f （x 2π-）解析式，由02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质可得值域． 【详解】（1）f （x ）=2sinxcosx （sin 2x ﹣cos 2x ）=sin 2x 2x ＝2sin （2x 3π+） 得ω＝2，∴函数f （x ）的最小正周期T 22π==π； （2）∵y ＝f （x 2π-）＝2sin （2x 23π-），∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2x 23π-∈[23π-，3π]，∴sin （2x 23π-）∈[1-，∴2sin （2x 23π-）∈[﹣2，]，故函数y ＝f （x 2π-）在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的值域为[﹣2，]. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，考查了正弦函数的图像及性质的应用，属基础题．18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，4AB =，4BC =，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点.（1）求异面直线1AB 与1C N 所成的角； （2）求三棱锥1M C CN -的体积.【答案】（1）2）2【解析】（1）过A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，连接B1Q，可得∠B1A Q（或其补角）是异面直线AB1与C1N所成角．在△B1A Q中，分别求出AB1、AQ和B1Q的长，结合余弦定理算出cos∠B1AQ的值，从而得到异面直线AB1与C1N所成的角是；（2）平面A1B1C1中，过M作MH⊥A1C1于H．根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理，得到MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱锥M﹣C1CN的高．算出MH的长和△C1CN 的面积，结合三棱锥的体积公式，可得三棱锥M﹣C1CN的体积．【详解】（1）平面AA1C1C中，过A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，连接B1Q∴∠B1A Q（或其补角）就是异面直线AB1与C1N所成的角矩形AA1C1C中，N是AC中点，可得Q是A1C1中点Rt△AA1B1中，AB1==5，同理可得AQ=∵等腰Rt△A1B1C1中，B1Q是斜边的中线∴B1Q=A1B1＝，2△B1AQ中，cos∠B1AQ==0∴∠B1AQ＝，即异面直线AB1与C1N所成的角等于；（2）平面A1B1C1中，过M作MH⊥A1C1于H∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，CC1⊆平面AA1C1C∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∵平面AA1C1C⊥平面A1B1C1＝A1C1，MH⊥A1C1，∴MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱锥M﹣C1CN的高线∵△B1C1Q中，M是B1C1中点，MH∥B1Q∴MH 是△B 1C 1Q 的中位线，得MH 112B Q ==∵△C 1CN 的面积S 12=CN ×C 1C 12=⨯3＝∴三棱锥M ﹣C 1CN 的体积1113M NCC C CM V S MH -∆=⋅13=⨯=2【点睛】本题给出特殊三棱柱，求异面直线所成角并求锥体的体积，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，异面直线所成角的求法和锥体体积公式等知识，属于基础题．19．已知直线:l y kx m =+与椭圆22:14x C y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）若直线l 斜率为1，过椭圆C 的右焦点，求弦AB 的长； （2）若2m =，且AOB ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围. 【答案】（1）85；（2）3(2,(,2)-. 【解析】（1）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦AB 的长；（2）直线l 方程为y ＝kx +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A 、B ，△＞0且∠AOB 为锐角，转化为12120OA OB x x y y ⋅=+＞利用韦达定理，代入化简，求直线l 的斜率k 的取值范围． 【详解】（1）由题意知，右焦点F 20），则直线l 的方程为y ＝x联立2214y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得5x 2﹣x +8＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则121285x x x x +==，∴|AB|1285x =-==；（2）若2m =，则l 的方程为y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立()22222214(2)4141612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由△＝（16k ）2﹣4•（1+4k 2）•12＞0，16k 2﹣3（1+4k 2）＞0，4k 2﹣3＞0，得234k ＞．① 又∠AOB 为锐角00cos AOB OA OB ⇔∠⇔⋅＞＞， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+＞又y 1y 2＝（kx 1+2）（kx 2+2）＝k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4∴x 1x 2+y 1y 2＝（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4()22212161241414k k k kk ⎛⎫=+⋅+⋅-+ ⎪++⎝⎭()22212121641414k k k k k +⋅=-+++()2244014k k -=+＞∴2144k -＜＜．② 综①②可知2344k ＜＜，∴k的取值范围是22⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 【点睛】本题考查弦长公式的应用，考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力，考查数学转化思想方法，是中档题． 20．已知函数32()21x F x x -=-（12x ≠），数列{}n a 满足12a =，1()n n a F a +=，数列{}n b 满足11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）设数列{}n c 满足n bn c k =（1k >），且{}n c 中任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，求2k 的取值范围；（3）设数列{}n d 满足2122nn n b n k d n k=-⎧=⎨=⎩（*k ∈N ），求{}n d 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）1(1,2；（3）21(1)4(21)223242123n n n n n n kS n n n k +⎧-⋅-+=⎪⎪=⎨+-⎪+=-⎪⎩，*k ∈N .【解析】（1）等式两边同时减去1，得1321112121n n n n n a a a a a +---=-=--，从而11111n n a a +-=--2，由此能证明数列{n b }是以2为公差，1为首项的等差数列．（2）由（1）可得数列{n b }的通项公式，得到{n c }递增，将问题转化为21n k -+21n k +＞23n k +，解出2k 即可．（3）利用等差数列等比数列求和公式对n 分奇偶分别求和． 【详解】（1）∵()13221n n n n a a F a a +-==-，等式两边同时减去1，得1321112121n n n n n a a a a a +---=-=--，∴121111n n n a a a +-==--211n a +-，∴11111n n a a +-=--2，又11n n b a =-，即12n n b b +-=又1111121b a ===--1， ∴数列{n b }是以2为公差，1为首项的等差数列．（2）由（1）知数列{n b }是以2为公差，1为首项的等差数列， ∴n b =1+（n ﹣1）×2＝2n ﹣1， ∴c n ＝21n k -．因为k ＞1，显然{n c }递增，由{}n c 中任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，得21n k -+21n k +＞23n k +，即k +2k ＞4k2k k ＞1，∴2112k ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，． （3）∵212122n n nb n n k d n k =-=-⎧=⎨=⎩， ∴当n 为偶数时，159234162n n S n =+++⋯+-+++⋯+=()24141232214nn n ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭+-=()()421123n n n --+，∵当n 为奇数时，n 1-为偶数， ∴()()()()()()111142142112112421232323n n n n n nn n n n n n S S d n --+-----++-=+=++-=+=+． 综上：21(1)4(21)223242123n n n n n n kS n n n k +⎧-⋅-+=⎪⎪=⎨+-⎪+=-⎪⎩，*k ∈N【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式求和公式的求法，考查数列的单调性的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21．设定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的12,x x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）若()f x 在[0,1]上满足：(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，1()()52x f f x =， ①记1()5n n a f =（*n ∈N ），求数列{}n a 的通项公式；② 求1()2018f 的值. 【答案】（1）0a ≥；（2）见解析；（3）①12n n a =；②11()201832f =. 【解析】（1）直接由f （x 1）﹣f （x 2）≤0求得a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0∈R ，则有f （x 0）＝f （x 0+T k ），证明对任意x ∈[x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+T k ），可得f （x 0）＝f （x 0+nT k ），n ∈Z ，再由…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…＝R ，可得对任意x ∈R ，f （x ）＝f （x 0）＝C ，为常数； （3）依题意，可求得f （1）＝1，f （12）12=f （1）12=，再分别利用f （5x ）12=f （x ），即可求得答案． 【详解】（1）由f （x 1）≤f （x 2），得f （x 1）﹣f （x 2）＝a （x 13﹣x 23）≤0，∵x 1＜x 2，∴x 13﹣x 23＜0，得a ≥0． 故a 的范围是[0，+∞）；（2）若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0∈R ，则有 f （x 0）＝f （x 0+T k ），由题意，对任意x ∈[x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+T k ）， ∴f （x 0）＝f （x ）＝f （x 0+T k ）． 又∵f （x 0）＝f （x 0+nT k ），n ∈Z ，并且…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…＝R ，∴对任意x ∈R ，f （x ）＝f （x 0）＝C ，为常数； （3）①∵f （0）＝0，f （x ）+f （1﹣x ）＝1， ∴f （1）＝1，由f （12）+f （112-）＝1， ∴f （12）12=，∵f （5x ）12=f （x ），令x ＝1时，可得f （15）12=f （1）12=，f （125）12=f （15）＝（12）2，∴f （15n ）＝（12）n， ∵()*15n n a f n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ∴a n 12n=②∵a 4＝f （1625）411216==，a 5＝f （13125）511232==． ∵f （x ）+f （1﹣x ）＝1，令x 12=，则f （12）12=，由f （5x ）12=f （x ），可得f （110）12=f （12）14=，于是f （150）18=，f （1250）116=，f （11250）132=，由f （13125）≤f （12018）≤f （11250）∴f （12018）132=【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题．。
2022-2023学年上海市曹杨高一年级上册学期10月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集，设集合，，则（ ）．U =R {}|1A x x =≥{}|0B x x =≤A B ⋃=A ．B ．{}|1x x <{}|0x x >C ．D ．{}|01x x ≤≤{}1|0x x <<【答案】D【分析】根据集合的并集和补集运算即可.【详解】解：因为，，所以或{}|1A x x =≥{}|0B x x =≤{|0B x A x =≤ 1}x ≥则.A B ⋃={}1|0x x <<故选：D.2．已知、、．若，则下列不等式中恒成立的是（ ）．a b c ∈R a b c >>A ．B ．ac bc>c cb a >C ．D ．22ac bc>()()a b c b b c ->-【答案】D【分析】根据不等式的性质，取特殊值检验，可得答案.【详解】对于A ，当时，由，则；当时，由，则，故A 错误；0c =a b >ac bc =0c <a b >ac bc <对于B ，当至少一个为时，不等式不成立，故B 错误；,a b 0对于C ，当时，由，则，故C 错误；0c =a b >22ac bc =对于D ，由，则，由，则，故D 正确.b c >0b c ->a b >()()a b c b b c ->-故选：D.3．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、()()120a x x x x -->A ()()120b x x x x --≥B a 是非零常数，则“”是“”的（ ）b 0ab <A B ⋃=R A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断a b 1x 2x A B ⋃=R出“”是“”的充要条件关系.0ab <A B ⋃=R 【详解】（1）若，.0a >0b >①若，不等式即为，则，不等式12x x =()()120a x x x x -->()210x x ->{}1A x x x =≠即为，得，，；()()120b x x x x --≥()210x x -≥B R =A B ⊆A B B R == ②若，不妨设，不等式即为，则12x x ≠12x x <()()120a x x x x -->()()120x x x x -->，不等式即为，得()()12,,A x x =-∞+∞ ()()120b x x x x --≥()()120x x x x --≥，，则；(][)12,,B x x =-∞+∞ A B ⊆A B B R =≠ （2）同理可知，当，时，，不一定为；a<00b <A B ⊆A B B ⋃=R （3）若，.0a >0b <①若，不等式即为，则，不等式12x x =()()120a x x x x -->()210x x ->{}1A x x x =≠即为，则，此时，；()()120b x x x x --≥()210x x -≤{}1B x =A B ⋃=R ②若，不妨设，不等式即为，则12x x ≠12x x <()()120a x x x x -->()()120x x x x -->，不等式即为，则，此时，()()12,,A x x =-∞+∞ ()()120b x x x x --≥()()120x x x x --≤[]12,B x x =；A B ⋃=R （4）同理，当，时，.a<00b >A B ⋃=R 综上所述，“”是“”的充分不必要条件.0ab <A B ⋃=R 故选A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.4．已知集合．若，且对任意，(){},|110,110,,S x y x y x y =≤≤≤≤∈∈N N A S ⊆(,)a b A ∈，均有，则集合中元素个数的最大值为（ ）．(,)s t A ∈()()0a s b t --≤A A ．B ．C ．D ．591519【答案】D 【分析】根据，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的()()0a s b t --≤点最多，点的分布情况，即可得解.【详解】由题知：集合，若，且对任意、(){},|110,110,,S x y x y x y =≤≤≤≤∈∈N N A S ⊆(,)a b A ∈，均有，作如下等价转化：(,)s t A ∈()()0a s b t --≤考虑，是平面内的满足题目条件的任意两点，(,)a b (,)s t “”等价于“或”()()0a s b t --≤0a s -=()()0b t a s -≤-即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线两条直线上的整数点，共19个，1,1t s ==（当然也可考虑直线两条直线上的整数点，共19个）10,10t s ==故选：D二、填空题5．关于与的二元一次方程组的解集为________．（用列举法表示）x y 251y x y x =-+⎧⎨=-⎩【答案】{}(2,1)【分析】解方程组即可.【详解】由题知，集合为点集，因为251y x y x =-+⎧⎨=-⎩解得21x y =⎧⎨=⎩所以解集为，{}(2,1)故答案为：{}(2,1)6．若，则实数________．{}222,a a a∈+=a 【答案】2-【分析】本题考查集合元素的特征，注意检验互异性.【详解】，则或，{}222,a a a∈+22a =22aa +=当解得，代入检验不成立；22a =1a =当解得或，分别代入检验知：满足.22a a +=1a =2a =-2a =-故答案为：2-7．陈述句“或”的否定形式是________.1x >1y >【答案】且.1x ≤1y ≤【解析】含有“或”联结词的否定是“且”.【详解】解：或的否定是：且.1x >1y >1x ≤1y ≤故答案为：且.1x ≤1y ≤8．已知集合，，则________．{}2,0,1A =-1,R B x x x x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭A B = 【答案】{}2-【分析】解集合B 中的不等式，得到集合B ，再求.A B ⋂【详解】不等式，等价于或，解得或，1x x <201x x >⎧⎨<⎩201x x <⎧⎨>⎩01x <<1x <-所以或，则.{1B x x =<-}01x <<{}2A B =- 故答案为：{}2-9．满足的集合的个数是__________．{}{}0,10,1,2,3,4,5P ⊆⊆P 【答案】16【分析】由题意可知,可在或不在集合中,即可求得的个数．0,1P ∈2,3,4,5P P 【详解】,{}0,1P ⊆⊆ {}0,1,2,3,4,5,可在或不在集合中,0,1P ∴∈2,3,4,5P 集合的个数是,∴P 4216=故答案为:．16【点睛】本题主要考查子集个数公式,等价转化的数学思想等知识.将原问题转化为子集个数公式的问题是解本题关键.10．已知全集．若集合、满足，，则________．{}1,2,3,4,5U =A B {}2A B ⋂={}1,3A B ⋂=A =【答案】{}1,2,3【分析】充分理解集合的运算的定义即可得出答案.【详解】说明；{}2A B ⋂=2A ∈说明，所以.{}1,3A B ⋂=1,3A ∈{}1,2,3A =或解：()(){}1,2,3A B A B A ⋂⋃⋂==故答案为：{}1,2,311．不等式的解集用区间表示为________．221123x x x +<--【答案】(,2)(1,3)-∞-⋃-【分析】分式不等式先转化为与之等价的整式不等式，然后再用数轴穿根法解.【详解】原式等价于()()2222211232410312323x x x x x x x x x x x ++-+++-==<-+----等价于，()()()22310x x x +-+<数轴穿根法易得：.(,2)(1,3)x ∈-∞-⋃-故答案为：(,2)(1,3)-∞-⋃-12．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________．x 20x ax a -+>R a 【答案】(0,4)【分析】二次不等式恒成立问题可以考虑判别式.【详解】的解集为则有，20x ax a -+>R 240a a ∆=-<解之：.()0,4a ∈故答案为：()0,4a ∈13．已知是关于的方程的两个实数根，若，则实数12,x x x 220x x m -+=2212(1)(1)8x x ++=________．m =【答案】1-【分析】本题考查根与系数的关系，设而不求的思想，注意检验实数根是否存在.【详解】有解，则有220x x m -+=12,x x 121222Δ240x x x x mm +=⎧⎪=⎨⎪=-≥⎩()()()22222221212*********(1)(1)121x x x x x x x x x x x x =++=+++=++-+韦达定理代入得：，222218m m +-+=整理得：，2230m m --=解之或，1m =-3m =经判别式检验知，1m =-故答案为：1-14．设为常数，已知集合，，．若集合中所有元素m {}1,2,A m ={}2|,B x x a a A ==∈C A B = C 之和为，则的值为________．5m 【答案】或2-1-【分析】根据集合，，可得：，{}1,2,A m ={}2|,B x x a a A ==∈2{1,4,}B m =再结合且集合中所有元素之和为，可得：或，再根据集合元素的互异性C A B = C 524m =21m =可知：或，进而求出结果.2m =-1m =-【详解】因为集合，，{}1,2,A m ={}2|,B x x a a A ==∈所以集合中的元素为：，又因为，且集合中所有元素之和为，B 21,4,m C A B = C 5所以或，根据集合元素的互异性可得：或，24m =21m =2m =-1m =-故答案为：或.2-1-15．若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是x 22202(52)50x x x k x k ⎧--≥⎨+++≤⎩k ________．【答案】(2,1][4,5)-⋃【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论，即可.52k ≥52k <【详解】由，解得或，220x x --≥1x ≤-2x ≥由，解得或，22(52)50x k x k +++=x k =-52x =-当时，的解为，52k ≥22(52)50x k x k +++≤52k x -≤≤-因为不等式有且仅有两个整数解，所以，解得，54k -<-≤-45k ≤<当时，的解为，52k <22(52)50x k x k +++≤52x k -≤≤-因为不等式有且仅有两个整数解，所以，解得，12k -≤-<21k -<≤综上所述，实数的取值范围是k (2,1][4,5)-⋃故答案为：.(2,1][4,5)-⋃16．设为常数，若关于的不等式组在区间上有解，则的取值范围是a x 221a x a ≤≤-[0,2]a________．【答案】,[1,2]⎛-∞⋃ ⎝【分析】根据题意列方程组解决即可.【详解】由题知，不等式组在区间上有解，221a x a ≤≤-[0,2]所以，解得，22212210a a a a ⎧≤-⎪≤⎨⎪-≥⎩,[1,2]⎛-∞⋃ ⎝故答案为：.,[1,2]⎛-∞⋃ ⎝三、解答题17．设、为正实数，试比较与的值的大小，并说明理由．x y 33x y +22x y xy +【答案】，理由见解析3322x y x y xy +≥+【分析】比较两个表达式的大小可以考虑作差法，作差之后分解为一些容易判断正负的表达式乘积再判断，作差之后和0比较.【详解】．3322222()())(()()x y x y xy x y x y x y x y +-+=--+=-由于、为正实数，故，x y 0x y +>又，于是有．2()0x y -≥2()()0x y x y -+≥因此，3322x y x y xy +≥+等号当且仅当时成立．x y =18．已知，设命题：，命题：关于的一元二次方程m ∈R p (){}21220x x m x m ∈+--≥q x 有两个不相等的正根．220x x m -+=(1)若为真命题，求的取值范围；p m (2)若、中有且仅有一个是真命题，求的取值范围．p qm 【答案】(1)1m £(2)(){}01-∞⋃，【分析】（1）把1带入不等式成立可解出；（2）需要分类讨论、两个命题谁真谁假.m p q【详解】（1）若为真命题，则，p ()212120m m +-⨯-≥解得．1m £（2）若为真命题，则解得．q1212Δ440,20,0,m x x x x m =->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩()01m ∈，若为真命题且为假命题，则或；p q 0m ≤1m =若为假命题且为真命题，则，p qm ∈∅综上知(){}01m ∈-∞⋃，19．已知，设集合，．a ∈R 2511x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭{}|232B x a x a =≤≤+(1)求集合；A (2)若，求的取值范围．B A B = a 【答案】(1)(1,4]A =(2)．12(,2),23a ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦【分析】（1）将1移到左边通分之后可解出不等式的解；（2）先判断两个集合的关系，然后分类讨论子集是否为空集即可.【详解】（1）()()410254101110x x x x x x x ⎧--≤--≤≤⎨---≠⎩，，解得．(1,4]A =（2）由于，故．B A B = B A ⊆若，则，解得；B =∅232a a >+2a <-若，则解得．B ≠∅2,21,324,a a a ≥-⎧⎪>⎨⎪+≤⎩1223a <≤综上知．12(,2),23a ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦20．已知集合（，）具有性质：对任意的、（{}12,,,n A a a a =⋯121n a a a ≤<<< 2n ≥P i j ），与两数中至少有一个属于．1i j n ≤≤≤i j a a ji a a A(1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；{}1,3,4{}1,2,3,6P (2)证明：若集合具有性质，则且．A P 11a =1212111nnna a aa a a a +++=+++ 【答案】(1)具有性质，不具有性质P,理由见解析{1,2,3,6}P {}1,3,4(2)证明见解析【分析】（1）根据性质的定义带入数值判断即可；（2）采用构造对应的方法构造一个新的相等P 的集合，对其元素进行排序后对应相等可解.【详解】（1）对于集合，取，，{1,3,4}2i =3j =则，，故不具有性质．312{1,,4}i j a a =∉4{1,3,4}3ji a a =∉{1,3,4}P 对于集合，{1,2,3,6}A =若，则；i j =1ji a Aa =∈若，则；1i =i j j Aa a a ∈=若，则；4j =6jiia A a a =∈若，，则，2i =3j =6i j a a A=∈综上知具有性质．{1,2,3,6}P （2）首先取，i j n ==由于，故，有，1n a >2i j n n a a a a =>2n a A ∉于是，因此．1jia Aa =∈11a =当时，，命题成立．2n =122122211111a a aa a a a ++==++当时，取，，3n ≥j n =12,3,,n i =⋯-则，故，有．i j i n na a a a a =>i j a a A∉jniia a A a a =∈由于，且它们均为集合的元素，1221n n n n n n a a aa a a a --<<<<< A 故有，，…，，21n n a a a -=32nn a a a -=12n n a a a -=结合，，1nn a a a =1n n a a a =将上述个等式相加得，n 1212111n nn a a a a a a a ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭因此．1212111nnna a aa a a a +++=+++ 【点睛】对于阅读型题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑如何从第一第二小问的方法中提炼第三小问的解决方法.本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.。
上海市曹杨第二中学2019-2020学年第一学期高一12月月考数学试题
2019~2020学年曹二高一上12月份月考试卷 2019.12.5一、填空题1. 不等式2016x <<的解集为____________2.“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的____________条件（填写“充分、充要、既不充分也不必要”）3. 3521x y ≤≤-≤≤-，，则x y -的取值范围是____________4. 函数()11f x x=-的定义域是____________ 5. 函数)1y x =>的最小值为____________6. 函数1423x x y +=+-的零点是____________7. 设12,x x 是方程()2lg lg 0x a x b ++=（,a b 为常数）的两个根，则12x x 的值是____________ 8. 函数()()222a a f x a a x -=-是定义在()0,+∞上的增函数，则a 的取值范围____________9. 光线通过某种玻璃时，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的13以下，至少需要____________这样的玻璃10. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递增，则下列函数：①()f x ；②()f x ；③()1f x ；④()()f x f x -；其中在(),0-∞上递减的是____________11. 已知函数()f x 是定义在区间[]3,3-上的奇函数，当(]0,3x ∈时，()f x 图像如图，则不等式()0f x ≤的解为____________12. 设函数()21xf x x=+，区间[](),M a b a b =<，集合(){}|,N y y f x x M ==∈，则使得M=N 的实数对(),a b 有____________对二、选择题13. 设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A. ()(),f x x g x =B. ()()()22,xf xg x x==C. ()()()01,1f x g x x ==-D. ()()29,33x f x g x x x -==-+14. 在下列图像中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像只可能是（ ）15. 定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x ++=，且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，给出以下2个命题：①函数()f x 的图像关于点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图像关于y 轴对称，其中，真命题是（ ）A. ①和②都是B. 只有①C. 只有②D. 都不是16. 设()f x 是定义在R 上的函数，下列关于()f x 的单调性的说法：（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c<d ，满足[][],,c d a b ⊆，且()f x 在[],c d 上递增 （2）若()f x 在R 上单调，则存在x R ∈，使得()()f f x x ≠-（3）若对任意0a >，存在d R ∈，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x R ∈成立，则()f x 在R上递增其中正确的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题17. 设集合{}21|2,|12x A x x a B x x -⎧⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A B ⊆，求实数a 的取值范围18. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，请你确定广告的高于宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小19. 函数()y f x =是定义在11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭上的奇函数，当12x ≥，()22f x x x =-.（1）求当12x ≤-时，()f x 的解析式；（2）若函数()()1f x g x x-=，求()g x 的值域.20. 已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，请满足对任意,x y R ∈. ()()()()()(),f x y f x f y f xy f x f y +=+=. （1）求()f x 的零点；（2）判断()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）①当x Z ∈时，求()f x 的解析式；②当x R ∈时，求()f x 的解析式.四、附加题21. 对于函数()()y f x x D =∈，若对任意12,x x D ∈，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称此函数为下凸函数，试证明函数()()23220x x f x x =+>是下凸函数.参考答案一、填空题1. ()()4,00,4-⋃2. 必要非充分3. [4,7]4. [)()2,11,-⋃+∞5. 26. 0x =7. 10a -8.（1,2）9. 11 10. ①② 11.[][]1,01,3-⋃ 12. 3 二、选择题13. B 14. A 15. A 16. B三、解答题 17. []0,1a ∈18. 当高为140cm ，宽慰175cm 时，广告面积取得最小值，最小为245002cm 19.（1）()212,2f x x x x =+≤-；（2）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20.（1）0；（2）奇函数，递增；（3）①()f x x =；②()f x x = 21. 证明略。
上海市曹杨第二中学2020年高一数学理联考试卷含解析
上海市曹杨第二中学2020年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=f（x）和x=2的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或1个参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义可得函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点，由此得到结论．【解答】解：根据函数y=f（x）的定义，当x=2为定义域内一个值，有唯一的一个函数值f（x）与之对应，函数y=f（x）的图象与直线x=2有唯一交点．当x=2不在定义域内时，函数值f（x）不存在，函数y=f（x）的图象与直线x=2没有交点．故函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点，即函数y=f（x）的图象与直线x=2的交点的个数是0或1，故选：D．2. 已知角的终边过点，且，则m的值为()A. B. C. D.参考答案：C因为角的终边过点，所以，，解得，故选A.3. ，则的大小关系是（）A． B． C．D．参考答案：A试题分析：因为指数函数的定义域为,值域为,故,由底数,故函数在上单调递减,故,由且底数,故,故,综上可得:,故选A.考点：指数函数性质的应用.4. 椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是（）A．（±3，0）B．（±，0）C．（±，0）D．（0，±）参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将椭圆的方程25x2+16y2=1为标准形式，可得a2=，b2=，即可求得答案．【解答】解：椭圆的方程25x2+16y2=1化为标准形式为： =1，∴a2=，b2=，∴c2=a2﹣b2=，又该椭圆焦点在y轴，∴焦点坐标为：（0，±）．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程化为标准形式是关键，属于基础题．5. 若a＜0，＞1，则（）A．a＞1,b＞0 B．0＜a＜1, b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. a＞1,b＜0 参考答案：B略6. 函数f（x）=的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将函数的零点个数问题转化为方程f（x）=0的根的个数问题，求出方程的根，即可得到答案．【解答】解：∵函数的零点个数，即为f（x）=0的根的个数，∴=0，即（x﹣1）ln（﹣x）=0，∴x﹣1=0或ln（﹣x）=0，∴x=1或x=﹣1，∵，解得x＜0，∵函数f（x）的定义域为{x|x＜0}，∴x=﹣1，即方程f（x）=0只有一个根，∴函数的零点个数1个．故选：A．7. 已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. 4 C. D.参考答案：A试题分析：由双曲线定义得，，由余弦定理得考点：双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.8. 已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，则的取值（）A．（0，2）B．C．D．参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由∠C=90°，可得a=csinA，b=ccosA，代入可得=，由于A∈．可得∈．即可得出．【解答】解：∵∠C=90°，∴a=csinA，b=ccosA，A∈．∴∈，∴∈．则=sinA+cosA=∈．故选：C．9. 已知全集，，则 ( )A． B．C． D．参考答案：C略10. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：A．， B.．，C．， D.以上都不正确．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列是等差数列，且，，则该数列的通项公式_________.参考答案：12. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 参考答案：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率．13. 已知集合A={x|ax+1=0}，B={﹣1，1}，若A∩B=A，则实数a的所有可能取值的集合为．参考答案：{﹣1，0，1}【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题中条件：“A∩B=A”，得到B是A的子集，故集合B可能是?或B={﹣1}，或{1}，由此得出方程ax+1=0无解或只有一个解x=1或x=﹣1．从而得出a的值即可【解答】解：由于A∩B=A，∴B=?或B={﹣1}，或{1}，∴a=0或a=1或a=﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}14. 已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是_____________参考答案：略15. 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)、B(1,0)两点，且函数最大值为，则f(x)＝________.参考答案：－x2－x＋216. 等腰直角三角形的直角顶点对应的向量为，重心对应的向量为，则三角形另二个顶点、对应的向量为。
普陀区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题含解析
普陀区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.2． 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3． 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x4． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．25． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．6． 定义运算，例如．若已知，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7． 函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．48． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则21z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．54 C ．i - D ．i 54 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.9． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（） B ．（，]C ．（） D ．（]11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若a=ln2，b=5，c=xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB B ．b ＜a ＜cC C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a 与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 14．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．15．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x = 处的导数302f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________． 16．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．三、解答题17．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．（Ⅰ）证明AD⊥BE；（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．18．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．19．如图，已知椭圆C ，点B 坐标为（0，﹣1），过点B 的直线与椭圆C 的另外一个交点为A ，且线段AB 的中点E 在直线y=x 上． （1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线y=x 于点M ，N ，直线BM 交椭圆C 于另外一点Q ． ①证明：OM •ON 为定值； ②证明：A 、Q 、N 三点共线．20．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．21．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD ．普陀区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】A.【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A. 2． 【答案】B【解析】【知识点】集合的运算【试题解析】所以。
2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)12月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）12月月考数学试卷一、填空题1．（3分）不等式0＜x2＜16的解集为．2．（3分）x≠1或y≠2是x+y≠3的条件．3．（3分）3≤x≤5，﹣2≤y≤﹣1，则x﹣y的取值范围是．4．（3分）函数y＝的定义域是．5．（3分）函数的最小值为．6．（3分）函数y＝4x+2x+1﹣3的零点是．7．（3分）设x1，x2是方程（lgx）2+algx+b＝0（a，b为常数）的两个根，则x1x2的值是．8．（3分）函数是定义在（0，+∞）上的增函数，则a的取值范围．9．（3分）光线通过某种玻璃时，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃．10．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递增，则下列函数（1）|f（x）|，（2）f（|x|），（3），（4）f（x）f（﹣x），中在（﹣∞，0）上递减的是11．（3分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣3，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）图象如图，则不等式f（x）≤0的解为．12．（3分）设函数f（x）＝（x∈R），区间M＝[a，b]（a＜b），集合N＝{y|y＝f（x），x∈M}，则使M＝N成立的实数对（a，b）有对．二、选择题13．（3分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）＝x，g（x）＝B．f（x）＝，g（x）＝C．f（x）＝1，g（x）＝（x﹣1）0D．f（x）＝，g（x）＝x﹣314．（3分）在下列图象中，二次函数y＝ax2+bx及指数函数y＝（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．15．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）+f（x）＝0，且函数为奇函数，给出以下2个命题：①函数f（x）的图象关于点对称；②函数f（x）的图象关于y轴对称，其中，真命题是（）A．①和②都是B．只有①C．只有②D．都不是16．（3分）设f是定义在R上的函数，下列关于f的单调性的说法（1）若存在实数a＜b，使得f（a）＜f（b），则存在实数c＜d，满足[c，d]⊆[a，b]，且f在[c，d]上递增；（2）若f在R上单调地，则存在x∈R，使得f（f（x））≠﹣x；（3）若对任意a＞0，存在d∈R，使得0＜d＜a，且f（x+d）＞f（x）对一切x∈R成立，则f在R上递增．其中正确的是个数是（）A．0B．1C．2D．3三、解答题17．设集合A＝{x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？19．函数y＝f（x）是定义在区间上的奇函数，当时，f（x）＝2x﹣x2．（1）求时，f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝，求g（x）的值域．20．已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，满足对任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f （y），f（xy）＝f（x）f（y）．（1）求f（x）的零点；（2）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）①当x∈Z时，求f（x）的解析式；②当x∈R时，求f（x）的解析式；四、附加题21．对于函数y＝f（x）（x∈D），若对任意x1，x2∈D，均有，则称此函数为下凸函数，试证明函数是下凸函数．2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）不等式0＜x2＜16的解集为（﹣4，0）∪（0，4）．【分析】把不等式0＜x2＜16化为，求出解集即可．【解答】解：不等式0＜x2＜16可化为，解得，所以原不等式的解集为（﹣4，0）∪（0，4）．故答案为：（﹣4，0）∪（0，4）．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．2．（3分）x≠1或y≠2是x+y≠3的必要非充分条件．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：根据逆否命题的等价性，只需要判断x+y＝3与x＝1且y＝2的条件关系即可．若x＝0，y＝3时，满足x+y＝3，但此时x＝1且y＝2，不成立，即充分性不成立．若x＝1，y＝2时，则x+y＝3成立，即必要性成立．即x+y＝3是x＝1且y＝2的必要不充分条件，即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故答案为：必要非充分【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（3分）3≤x≤5，﹣2≤y≤﹣1，则x﹣y的取值范围是[4，7]．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵﹣2≤y≤﹣1，∴1≤﹣y≤2，∵3≤x≤5，∴4≤x﹣y≤7．∴x﹣y的取值范围是[4，7]，故答案为：[4，7]．【点评】本题考查了不等式的基本性质，也可以利用线性规划求解，属于基础题．4．（3分）函数y＝的定义域是{x|x≥﹣2，且x≠1}．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，求解x的取值范围后取交集即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解①得：x≥﹣2，解②得：x≠1．所以，原函数的定义域为{x|x≥﹣2，且x≠1}．故答案为{x|x≥﹣2，且x≠1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合．是基础题．5．（3分）函数的最小值为．【分析】根据题意变形为a+的结构，利用基本不等式解题．【解答】解：函数y＝＝﹣1++2≥2+2＝2+2．当且仅当﹣1＝时等号成立，即x＝3+2时取最小值为2+2（x＞1）．故答案为：2+2．【点评】基本不等式a+b≥2 （a＞0，b＞0）是不等式问题中考查的重点之一，在用基本不等式求最值时要注意以下几点：1、正：即a＞0，b＞0，2、定：即a+b或ab是定值，3、等：即当且仅当a＝b时等号成立，能取到最值．6．（3分）函数y＝4x+2x+1﹣3的零点是0．【分析】根据题意，求出方程4x+2x+1﹣3＝0的解，由函数零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，对于y＝4x+2x+1﹣3，若4x+2x+1﹣3＝0，则有（2x）2+2（2x）﹣3＝0，解可得：2x＝1或2x＝﹣3（舍）若2x＝1，则x＝0；即函数y＝4x+2x+1﹣3的零点是0；故答案为：0【点评】本题考查函数零点的计算，涉及零点的定义，属于基础题．7．（3分）设x1，x2是方程（lgx）2+algx+b＝0（a，b为常数）的两个根，则x1x2的值是10﹣a．【分析】由已知结合根与系数关系可求lgx1+lgx2，然后结合对数的运算性质，即可求出x1x2的值．【解答】解：由题意，可得lgx1+lgx2＝﹣a，所以lg（x1x2）＝﹣a，所以x1x2＝10﹣a．故答案为：10﹣a．【点评】本题主要考查了二次方程的根与系数关系，对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．8．（3分）函数是定义在（0，+∞）上的增函数，则a的取值范围（1，2）．【分析】由题意可得（a2﹣a）（2a﹣a2）＞0，结合高次不等式的求法即可求解．【解答】解：由题意可得（a2﹣a）（2a﹣a2）＞0即a2（a﹣1）（a﹣2）＜0，解可得，1＜a＜2．故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，幂函数性质的应用是求解问题的关键．9．（3分）光线通过某种玻璃时，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的以下，至少需要11这样的玻璃．【分析】对数不等式计算【解答】解：设需要n块玻璃，由题意可得，得n＞10.427．故答案为11【点评】本题考查了对数的性质，利用对数性质解对数不等式10．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递增，则下列函数（1）|f（x）|，（2）f（|x|），（3），（4）f（x）f（﹣x），中在（﹣∞，0）上递减的是（1）（2）（3）【分析】f（x）是R上的奇函数，得出f（0）＝0，再根据f（x）在[0，+∞）上递增，得出f（x）在（﹣∞，0）上递增，且x＞0时，f（x）＞0；x＜0时，f（x）＜0，然后通过去绝对值号即可判断|f（x）|和f（|x|）在（﹣∞，0）上的单调性，容易得出在（﹣∞，0）上递减，而f（x）f（﹣x）＝﹣f2（x），根据单调性定义即可判断﹣f2（x）的单调性．【解答】解：f（x）是R上的奇函数；∴f（0）＝0；又f（x）在[0，+∞）上递增；∴f（x）在（﹣∞，0）上递增，且x＞0时，f（x）＞0；x＜0时，f（x）＜0；∴；∴|f（x）|在（﹣∞，0）上递减；；∴f（|x|）在（﹣∞，0）上递减；f（x）在（﹣∞，0）上递增，∴在（﹣∞，0）上递减；f（x）f（﹣x）＝﹣f2（x）；∵x＜0时，f（x）＜0，且f（x）在（﹣∞，0）上递增；∴x∈（﹣∞，0），x减小时，f2（x）增大，﹣f2（x）减小，即﹣f2（x）在（﹣∞，0）上递增．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，奇函数在对称区间上的单调性特点，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，根据单调性定义判断函数单调性的方法．11．（3分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣3，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）图象如图，则不等式f（x）≤0的解为[﹣1，0]∪[1，3]．【分析】根据题意，由函数的图象分析区间[0，3]上f（x）≥0和f（x）≤0的解集，结合函数的奇偶性分析区间[﹣3，0]上的对应的解集，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由函数f（x）的图象可得：在区间[0，1]上，f（x）≥0，在区间[1，3]上，f（x）≤0，又由f（x）为奇函数，则在区间[﹣1，0]上，f（x）≤0，在区间[﹣3，﹣1]上，f（x）≥0，不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，0]∪[1，3]；故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的图象分析，属于基础题．12．（3分）设函数f（x）＝（x∈R），区间M＝[a，b]（a＜b），集合N＝{y|y＝f（x），x∈M}，则使M＝N成立的实数对（a，b）有3对．【分析】函数f（x）＝（x∈R）为奇函数，且函数在R上为增函数，由题意行f （a）＝a且f（b）＝b，令f（x）＝＝x，解得x＝0，或x＝±1，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝（x∈R）为奇函数，且函数在R上为增函数且M＝N成立，∴f（a）＝a且f（b）＝b，令f（x）＝＝x解得x＝0，或x＝±1故使M＝N成立的实数对（a，b）有：（﹣1，0），（﹣1，1），（0，1）三对．故答案为：3．【点评】本题考查满足条件的实数对的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．二、选择题13．（3分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）＝x，g（x）＝B．f（x）＝，g（x）＝C．f（x）＝1，g（x）＝（x﹣1）0D．f（x）＝，g（x）＝x﹣3【分析】根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数．【解答】解：A组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）＝|x|≠x，故A中的两函数不为同一个函数；B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为f（x）＝g（x）＝1，故B中的两函数是同一个函数；C组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠1}，故C中的两函数不为同一个函数；D组中两函数的定义域不同，g（x）的定义域为R，f（x）的定义域由不等于﹣3的实数构成，故D中的两函数不为同一个函数．故选：B．【点评】本题考查函数定义域的求解，函数解析式的化简，考查学生对函数三要素的认识和把握程度，考查学生的转化与化归思想，属于基本的函数题型．14．（3分）在下列图象中，二次函数y＝ax2+bx及指数函数y＝（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．【解答】解：根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等则二次函数y＝ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A．【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．15．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）+f（x）＝0，且函数为奇函数，给出以下2个命题：①函数f（x）的图象关于点对称；②函数f（x）的图象关于y轴对称，其中，真命题是（）A．①和②都是B．只有①C．只有②D．都不是【分析】①由f（x+3）+f（x）＝0，推导出f（x）的周期为6；由函数f（x﹣）为奇函数，图象关于原点对称，通过左移得出f（x）关于点（﹣，0）对称；②根据f（x﹣）是奇函数，且﹣f（x）＝f（x+3），得出f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．【解答】解：由题意，f（x+3）+f（x）＝0，∴f（x）＝﹣f（x+3），∴f（x+3）＝﹣f（x+6），∴f（x）＝f（x+6），∴f（x）的周期为6；又函数为奇函数，图象关于原点对称，向左平移个单位得f（x），所以f（x）关于点（﹣，0）对称，①正确；又∵函数为奇函数，∴f（﹣x﹣）＝﹣f（x﹣），又﹣f（x）＝f（x+3），∴﹣f（x﹣）＝f（x+），∴f（﹣x﹣）＝f（x+），即f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，②正确．综上，正确的命题序号是①②．故选：A．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数图象平移与对称问题，是中档题．16．（3分）设f是定义在R上的函数，下列关于f的单调性的说法（1）若存在实数a＜b，使得f（a）＜f（b），则存在实数c＜d，满足[c，d]⊆[a，b]，且f在[c，d]上递增；（2）若f在R上单调地，则存在x∈R，使得f（f（x））≠﹣x；（3）若对任意a＞0，存在d∈R，使得0＜d＜a，且f（x+d）＞f（x）对一切x∈R成立，则f在R上递增．其中正确的是个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】讨论f（x）的单调性，可判断（1）；通过反推可得y＝f（f（x））的图象与y＝﹣x平行，推得矛盾，可判断（2）；由图象平移和单调性的定义，可判断（3）．【解答】解：对于（1），若存在实数a＜b，使得f（a）＜f（b），当f（x）在R上单调，显然存在实数c＜d，满足[c，d]⊆[a，b]，且f在[c，d]上递增；当f（x）在R上不单调，由于f（x）连续且f（a）＜f（b），一定存在实数c＜d，满足[c，d]⊆[a，b]，且f在[c，d]上递增，故（1）正确；对于（2），若f在R上单调，一定存在x∈R，使得f（f（x））＝﹣x，否则y＝f（f（x））的图象与y＝﹣x平行，可得f（f（x））＝﹣x+t（t≠0），f（x）为一次函数，设为f（x）＝kx+b，则f（f（x））＝k2x+kb+b＝﹣x+t，显然k不存在，综上可得（2）不正确；对于（3），若对任意a＞0，存在d∈R，使得0＜d＜a，且f（x+d）＞f（x）对一切x∈R成立，只能说明f（x）图象向左平移d个单位后函数值变大，不能说明所有的函数值变大，f在R上递增不成立，故（3）不正确．故选：B．【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意运用定义法和反证法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题17．设集合A＝{x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a的取值范围．【分析】解绝对值不等式|x﹣a|＜2，可以求出集合A，解分式不等式，可以求出集合B，进而根据A⊆B，我们可以构造出一个关于参数a的不等式组，解不等式即可求出实数a的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A＝（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A⊆B，∴．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，分式不等式的解法，绝对值不等式的解法，其中解绝对值不等式和分式不等式求出集合A，B是解答本题的关键．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？【分析】设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则依题意可知ab＝9000，代入广告的面积中，根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽．【解答】解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000．①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．广告的面积S＝（a+20）（2b+25）＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2＝18500+2．当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝，代入①式得a＝120，从而b＝75．即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500．故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．19．函数y＝f（x）是定义在区间上的奇函数，当时，f（x）＝2x﹣x2．（1）求时，f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝，求g（x）的值域．【分析】（1）当时，﹣，进而根据时，f（x）＝2x﹣x2，求出f（﹣x）的解析式，进而根据函数y＝f（x）是定义在区间上的奇函数，即可得到答案．（2）由（1）中结论，我们可以分当时和当时两种情况，分别讨论函数g （x）＝的值域，最后综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：（1）∵当时，﹣则f（﹣x）＝2（﹣）x﹣（﹣x）2＝﹣2x﹣x2＝﹣f（x）∴时，f（x）＝2x+x2（2）当时，g（x）＝＝，当且仅当x＝1时取等号当时，g（x）＝＝所以，该函数的值域为【点评】本题考查的知识点是函数解析式及其求法，函数的值域，奇函数的性质，其中（1）的关键是根据奇函数的性质，先求出时，f（﹣x）的解析式，再求f（x）的解析式；而（2）的关键是根据分段函数分段处理的原则，进行分类讨论．20．已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，满足对任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f （y），f（xy）＝f（x）f（y）．（1）求f（x）的零点；（2）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）①当x∈Z时，求f（x）的解析式；②当x∈R时，求f（x）的解析式；【分析】（1）记f（x+y）＝f（x）+f（y），取y＝0得f（0）＝0．若存在x≠0，使得f（x）＝0，则对任意y∈R，通过，说明函数的零点是0．（2）在f（x+y）＝f（x）+f（y）中取y＝﹣x，推出f（﹣x）＝﹣f（x），x∈R，即可证明函数是奇函数．利用函数的单调性的定义证明即可．（3）①由f（xy）＝f（x）f（y）中取x，y＝1，推出f（1）＝1，转化求出x∈n时，f（x）＝x，利用对任意有理数（m∈N•，n∈N•），证明x∈Z，f（x）＝x．②若存在x∈R，使得f（x）≠x，不妨设f（x）＞x（否则以﹣f（﹣x）代替f（x），﹣x代替x即可），然后推出矛盾结论，得到结果．【解答】解：（1）记f（x+y）＝f（x）+f（y）①，f（xy）＝f（x）f（y）②在①中取y＝0得f（0）＝0．若存在x≠0，使得f（x）＝0，则对任意y∈R，，与f（x）不恒为0矛盾．所以x≠0时，f（x）≠0，所以函数的零点是0（2）在①中取y＝﹣x得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x）．x∈R 所以f（x）是奇函数．x，y∈R，x＜y时，，可得f（x）＜f（y）．所以函数f（x）在R上递增．（3）①由f（xy）＝f（x）f（y）中取x，y＝1得f（1）＝（f（1））2．因为f（1）≠0，所以f（1）＝1，对任意正整数n，由①，，f（﹣n）＝﹣f（n）＝﹣n，又因为f（0）＝0，所以x∈n时，f（x）＝x；对任意有理数（m∈N•，n∈N•），由①，，所以，即对一切x∈Z，f（x）＝x．②若存在x∈R，使得f（x）≠x，不妨设f（x）＞x（否则以﹣f（﹣x）代替f（x），﹣x代替x即可），则存在有理数α，使得x＜α＜f（x）（例如可取，m＝[nx]+1，）．x＜α但f（x）＞α＝f（α），与f的递增性矛盾．所以x∈R时，f（x）＝x．【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．四、附加题21．对于函数y＝f（x）（x∈D），若对任意x1，x2∈D，均有，则称此函数为下凸函数，试证明函数是下凸函数．【分析】根据题意可得＝，只需证明≥2①，≥2，②，即可得出证明．【解答】证明：因为函数，任意取x1，x2∈（0，+∞），＝，f（）＝2+2，因为≥＝2，又因为≥（）2，所以≥2①因为≥＝2，则﹣（）3＝＝≥0，故≥2，②①+②可得，所以f（x）是下凸函数．【点评】本题考查“下凸函数”定义，解题关键是应用基本不等式证明，属于中档题．。
上海市高级中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．集合且，且，则____．{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z A B = 【答案】{0,1,2}【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.,A B 【详解】因为集合且，且，{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z 则，且且，{0,1,2}A =2{|9B x x =≤}{|33x x x ∈=-≤≤Z }x ∈Z 所以，{3,2,1,0,1,2,3}B =---则有，{0,1,2}A B ⋂=故答案为：.{0,1,2}2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．{|2},{|}A x x B x x a =≤=≥A B = R a 【答案】2a ≤【分析】数形结合，即可得到答案. 【详解】根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.A B = R a 22a ≤故答案为：.2a ≤3．已知方程的两根为，，则______.230x x +-=1x 2x 12x x -=【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由0∆>12x x +12x x 12x x -=即可求值.【详解】由题设知：，2Δ141(3)130=-⨯⨯-=>∴，，121x x +=-123x x =-∴12x x -===4．已知正实数满足及，则中至少有一128，，， a a a 12820a a a +++= 12812⋅⋅⋅= a a a 128，，， a a a 个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____． 128，，， a a a 【答案】都不小于1【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.故答案为：都不小于15．已知条件，，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为:211p k x k -≤≤-:33q x -≤<_________．【答案】(,2]-∞-【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．k 【详解】∴，[)[]3,321,1k k -⊆--∴，解得， 32131k k -≥-⎧⎨≤-⎩2k ≤-故答案为：．(],2-∞-【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q q p （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；p q p q （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．p q q p 6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+,,a b c a b c -+=【答案】1-【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.0x =【详解】法一：，222231(1)(1)(2)x x a x b x c ax b a x a b c --=-+-+=+-+-+所以；1a b c -+=-法二：在中，令得.22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+0x =1a b c -+=-故答案为：1-7．已知集合，，则____． |0,R 1x A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭{}21,R B y y x x ==+∈A B = 【答案】(1,)+∞【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.A {|1}B y y =≥【详解】等价与，解得：或， 01x x ≥-()1010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x >0x ≤故或，{|0A x x =≤1}x >又，故，211y x =+≥{|1}B y y =≥所以．(1,)A B ⋂=+∞故答案为：.(1,)+∞8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________． ,a ∈R x 2104x x a a ++-+=a 【答案】 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实x 根，那么即，而，从而，解得114()04a a ∆=--+≥1144a a -+≤11244a a a -+≤-11244a -≤． 104a ≤≤ 9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____|3|4x b -<b 【答案】(5,7)【详解】由得 |3|4x b -<4433b b x -+<<由整数有且仅有1，2，3知，解得 40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩57b <<10．定义集合运算，集合，则集合所(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ {}{}0,1,2,3A B ==A B 有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.0,6,12=z 【详解】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18故答案为：1811．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若2{|360M m x mx =∈+-=Z }A A M ⊆，则，则所有这样的集合的个数为____．a A ∈a A -∈A 【答案】31【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目2{|360M m x mx =∈+-=Z }M 信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集A M A 合，即可求解.A 【详解】因为的整数解只能是36的约数，2360x mx +-=当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；1-35m =-2-16m =-当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；3-9m =-4-5m =-当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；6-0m =36-35m =当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；18-16m =312-9m =当方程的解为，时，；49-5m =故集合{35,16,9,5,0,5,9,16,35}M =----由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，A A M ⊆a A ∈a A -∈即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，M A A 得这样的集合共有个，52131-=故答案为：.3112．已知集合，其中，，且{}230123|777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯{}0,1,,6(0,1,2,3)i a i ∈⋅⋅⋅=30a ≠．若正整数m 、n ∈A ，且m+n=2 010(m>n)，则符合条件的正整数m 有_______个．【答案】662【详解】依题意，知m 、n 是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.3267676762400⨯+⨯+⨯+=317343⨯=因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合条件的正整数m 有1667-1006+1=662(个).二、单选题13．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）{},,M a b c =A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC 故选：D ．14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中0123,,},{S A A A A =S :i j k A A A ⊕⊕=k i j +，则满足关系式的的个数为（ ）,0,1,2,3i j =20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.S 【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =2112220()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为2个，20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故选：C ．15．已知，则满足关于的方程的充要条件是A ．B ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≤-C ． D ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≤-【答案】C【详解】试题分析：满足关于的方程，则， 0ax b =220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于0x ()212f x ax bx =-0122b b x a a -∴=-=⨯的方程的充要条件是 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-【解析】充分条件与必要条件点评：若则是的充分条件，是的必要条件p q ⇒p q q p16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 x 2664ax x ax ++--≥a A ．B ．C ．D ．(],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当或时，，x≥x ≤260x ax --≥不等式为，2664ax x ax ++--≥24x ≥若不等式恒成立，必需2664ax x ax ++--≥2112a a ≥≥-⎧⇒⎨≤⎩≤-所以；11a -≤≤（2， x <<260x ax --<不等式为即，26(6)4ax x ax +---≥2280x ax --≤（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，0x =2280x ax--≤a （ⅱ）当时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≥-所以，解得， a ≥1a ≥-（ⅲ时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≤-所以 a ≤1a ≤综上，实数的取值范围是a []1,1-【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.17．已知不等式：①，②，③． |3|2||x x +>22132x x x +≥-+2210x mx +-<(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．x m 【答案】(1)，或{|13}A x x =-<<{|01B x x =≤<24}x <≤(2) 173m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包2210x mx +-<含，结合二次函数的性质即可求解.[0,1)(2,3) 【详解】（1）由①得，即，故解集为， 22|3|4||x x +>23690x x --<{|13}A x x =-<<由②得，即， 224032x x x x -≤-+(4)(1)(2)0(1)(2)0x x x x x x ---≤⎧⎨--≠⎩解得解集或，{|01B x x =≤<24}x <≤（2）或，{|01A B x x =≤< 23}x <<由题意得不等式的解集包含，2210x mx +-<[0,1)(2,3) 令，只需， 2()21f x x mx =+-(0)10(3)18310f f m =-<⎧⎨=+-≤⎩解得． 173m ≤-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{|1}A x x =>{}11A x x =-<列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合． {}22|210B x x x a =++-=（1）若集合B 的子集有2个，求实数a 的取值范围；（2）若，求实数a 的取值范围．A B A ⋃=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）依题意集合B 元素个数为1，则，计算可得；0∆=（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；A AB A ⋃=B A ⊆【详解】解：（1）∵集合B 的子集有2个，∴集合B 元素个数为1∴2441()0a ∆=--=（2）选①集合 1|1(,0)(1,)A x x ⎧⎫=<=-∞⋃∞⎨⎬⎩⎭集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆显然有1a ≠±要满足条件，必有：，解，即，所以解得或111111a a⎧<⎪⎪--⎨⎪<⎪-+⎩111a <--1101a +>+201a a +>+1a >-2a <-；解，即，所以解得或； 111a <-+1101a +>-01a a >-1a >a<0综上可得()()(),21,01,a ∈-∞-⋃-⋃+∞选②，{|1}A x x =>集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 1111a a ->⎧⎨-->⎩a ∈∅选③解得{}11A x x =-<{}02A x x =<<集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 012012a a <-<⎧⎨<--<⎩a∈∅19．选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：a b c d ,,,a b c d +=+（Ⅰ）若；ab cd>>（Ⅱ是的充要条件．>+a b c d -<-【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【详解】（Ⅰ）因为，，得2a b +=++2c d =++a b c d +=+ab cd >22>（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所a b c d -<-22()()a b c d -<-22()4()4a b ab c d cd +-<+-a b c d +=+以，由（Ⅰ．ab cd >+>（ⅱ，则，即>22>a b ++>c d ++，所以，于是．因此，a b c d +=+ab cd >22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-a b c d -<-是的充要条件．>a b c d -<-【解析】推理证明．20．已知关于的不等式的解集为；x 22(23)(1)10(R)k k x k x k --+++>∈M (1)若,求的取值范围；R M =k (2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞k (3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若k *N n ∈n M ∈Z m -∈m M ∉存在，求出的值，若不存在，说明理由．k 【答案】(1)； 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞(2)；13(3,3k ∈(3)存在，3【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R 时k 的取值范2230k k --=围；（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞x a =x b =的两根，由判别式及韦达定理求解即可；22(23)(1)10k k x k x --+++=（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即M 223k k --可．【详解】（1）解：当时，解得或，2230k k --=3k =1k =-当时，不等式化为1＞0，1k =-∴时，解集为R ，1k =-当时，不等式化为，对任意实数x 不等式不成立，3k =410x +>当时，， R M =()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩解得：, 13(,1)(,)3k ∈-∞-⋃+∞综上，的取值范围是； k 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞（2）解：若存在两个不相等负实数，使得， ,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞所以方程的两根分别为和,22(23)(1)10k k x k x --+++=x a =x b =所以，()()222222301423010231023k k k k k k k k k k ⎧-->⎪+--->⎪⎪⎪+⎨-<⎪--⎪⎪>⎪--⎩解得：；13(3,)3k ∈（3）解：根据题意，得出解集，；(,)M t =+∞[1,1)t ∈-当时，解得或， 2230k k --=3k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件； 3k =1(,)4-+∞时，1＞0恒成立，不满足条件；1k =-当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k -->(,)t ∞+当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k --<(,)t ∞+综上，满足条件的值为3.k 21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集{}12,,,(2)k A a a a k =≥ (1,2,,)i a i k ∈=Z A 合：，． {}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． (,)a b S T m n 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．a A ∈a A -∉A P （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合{}0,1,2,3{}1,2,3-P P 和．S T （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明． P A (1)2k k n -≤（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．m n第 11 页 共 11 页【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，{}0,1,2,3P {}1,2,3-P (1,3)S =-(3,1)-，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）(2,1)T =-(2,3)m n =【详解】解：集合不具有性质． {}0123，，，P 集合具有性质，其相应的集合和是， {}123-，，P S T {}(13)(31)S =--，，，．{}(21)(23)T =-，，，（II ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．A ()i j a a ，2k 因为，所以； 0A ∉()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，又因为当时，时，，所以当时，． a A ∈a A -∉a A -∉()i j a a T ∈，()(12)j i a a T i j k ∉= ，，，，，从而，集合中元素的个数最多为， T 21(1)()22k k k k --=即． (1)2k k n -≤（III ）解：，证明如下：m n =（1）对于，根据定义，，，且，从而．()a b S ∈，a A ∈b A ∈a b A +∈()a b b T +∈，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与()a b ，()c d ，S a c =b d =a b c d +=+b d =中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．()a b b +，()c d d +，T 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，S T m n ≤（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与()a b T ∈，a A ∈b A ∈a b A -∈()a b b S -∈，()a b ，是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不()c d ，T a c =b d =a b c d -=-b d =至少有一个不成立，故与也是的不同元素．()a b b -，()c d d -，S 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，T S n m ≤由（1）（2）可知，．m n =。
2019-2020年曹杨二中高一上10月月考数学试卷
一、填空题 1. 被 3 除余数等于 1 的自然数集合，用描述法可表示为______________.
2. 设U 0,1, 2,3, 4, A 0,1, 2,3, B 2,3, 4 ，则 CU A CU B =____________.
3.
若集 S
10. 不等式 x2 4x 1 1的解集用区间表示为_______________. 3x2 7x 2
11. 某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的 2 倍，则明后两年的平均增长率至少是 ______________.（精确到 0.1%）
12. 在 R 上定义运算“*”如下法则： a *b a 1 b ，若不等式 x y* x y 1 对一切
（）
A.
4 3
,
1 2
B.
1 2
,
4 3
C.
,
1 2
D.
4 3
，+
三、解答题
17. 已知集合 A 1,3, x, B 1, x2 ，且 B A ，求实数 x 的值。
18.
不等式
2x 3 3x 2
1
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19. 若关于 x 的不等式 k 1 x2 k 1 x 2 0 的解集为 R，求 k 的取值范围。
x
x
6
2
Z
且x
Z
，则集合
S
的非空真子集的个数为___________.
4. 命题“若 a b 2 ，则 a、b 中至少有一个不小于 1”的一个等价命题是____________________.
5. 对于 n Z ，若 p : x n , q : x n 1 ，则 p 是 q 的___________条件。
2019-2020学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市曹杨二中高一上学期10月月考数学试题一、单选题 1．已知全集，，，则集合（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为A ∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.【考点】集合的运算. 2．设，则“”是“且”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 时，满足，但且不成立，即充分性不成立，若且，则必有，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B ．3．如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C【解析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查比较大小，熟记不等式的性质即可，属于常考题型. 4．已知不等式1x m -<成立的充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是（ ） A.41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】先由1x m -<得11-<<+m x m ，根据题意，得到11,32⎛⎫⎪⎝⎭是()1,1-+m m 的真子集，列出不等式，即可求出结果. 【详解】由1x m -<解得11-<<+m x m ；因为不等式1x m -<成立的充分非必要条件是1132x <<， 所以11,32⎛⎫⎪⎝⎭是()1,1-+m m 的真子集，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423m -≤≤.故选：B 【点睛】本题主要考查由命题的充分非必要条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.二、填空题5．被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为______. 【答案】{}|31,x x k k N =+∈【解析】先表示出满足条件的自然数，再用集合表示，即可得出结果. 【详解】因为被3除余数等于1的自然数为31,=+∈x k k N ， 所以其对应的集合用描述法可表示为：{}|31,x x k k N =+∈.故答案为：{}|31,x x k k N =+∈ 【点睛】本题主要考查集合的表示，熟记集合的表示法即可，属于基础题型.6．若集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()()U U C A C B U ______．【答案】{}0,1,4【解析】分别求U C A 和U C B ，再求并集. 【详解】{}4U C A =，{}0,1U C B = ()(){}0,1,4U U C A C B ∴=故填：{}0,1,4. 【点睛】本题考查列举法表示集合的补集和并集，属于简单题型. 7．若集合62S x ZZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合S 的非空真子集的个数为______. 【答案】254 【解析】先由x ∈Z 且62∈-Z x ，得到x 的所有可能取值，确定集合S 中元素个数，进而可求出结果. 【详解】 因为x ∈Z 且62∈-Z x ，所以21x -=±，2±，3±，6±， 因此3,1,0,4,1,5,8,4=--x ，所以集合S 共含有8个元素， 因此，其非空真子集的个数为：822254-=个： 故答案为：254 【点睛】本题主要考查求解的非空真子集个数，熟记公式即可，属于基础题型.8．命题“若2a b +≥，则a 、b 中至少有一个不小于1”的一个等价命题是______. 【答案】若a ，b 都小于1，则2a b +<【解析】根据互为逆否命题的命题真假性相同，可直接得出结果. 【详解】因为互为逆否命题的命题真假性相同，所以命题“若2a b +≥，则a 、b 中至少有一个不小于1”的一个等价命题是“若a ，b 都小于1，则2a b +<”.故答案为：若a ，b 都小于1，则2a b +< 【点睛】本题主要考查逆否命题，熟记四种命题之间关系即可，属于基础题型. 9．对于n Z ∈，若P ：3n x =，q ：13x n =±，则p 是q 的______条件. 【答案】必要非充分【解析】先由31=±n k ，k Z ∈时，1,33=±∈n k k Z ；得到集合,3n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭包含1,3x x n n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭，从而可得出结果.【详解】当31=±n k ，k Z ∈时，1,33=±∈n k k Z ； 所以集合,3n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭包含1,3x x n n Z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭， 因此，p 是q 的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 【点睛】本题主要考查命题的必要非充分条件，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.10．以下三个条件：（1）0b a >>；（2）0a b >>；（3）0a b >>.其中能使不等式11a b<成立的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【解析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】（1）若0b a >>，则10a <，10b >，所以11a b <； （2）若0a b >>，则110b a a b ab --=<，即11a b <； （3）若0a b >>，则110b a a b ab --=<，则11a b<. 故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，熟记不等式的性质即可，属于基础题型, 11．关于x 的不等式()()31170x x --≥的解集是______. 【答案】11,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由()()31170x x --≥化为()()31710--≤x x ，进而可求出结果. 【详解】因为等式()()31170x x --≥可化为()()31710--≤x x ， 解得：1173≤≤x . 故答案为：11,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，熟记不含参数的一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.12．已知关于x 的不等式11axx <-的解集为{1x x <或}2x >，则实数a 的值为______. 【答案】12【解析】先将不等式化为()11(1)0⎡⎤-+-<⎣⎦a x x ，根据不等式的解集，得到2(1)10-+=a ，从而可求出结果.【详解】 因为不等式11ax x <-可化为不等式101-+<-ax x x ，等价于不等式()11(1)0⎡⎤-+-<⎣⎦a x x ；又关于x 的不等式11axx <-的解集为{1x x <或}2x >， 所以2(1)10-+=a ，解得12a =.故答案为：12【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.13．若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤【解析】先由绝对值不等式性质得到112-++≥x x ，再由题意，即可得出结果. 【详解】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤ 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.14．不等式22411372x x x x -+≤-+的解集用区间表示为______.【答案】()11,,12,32⎛⎫⎡⎤-∞+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U U【解析】先将原不等式化为()()()21(1)0312--≥--x x x x ，得到()()()21(1)03120x x x x ⎧--≥⎪⎨-->⎪⎩或()()()21(1)03120x x x x ⎧--≤⎪⎨--<⎪⎩，求解，即可得出结果. 【详解】因为22411372x x x x -+≤-+可化为222413720372-+-+-≤-+x x x x x x ，即222310372-+-≤-+x x x x ， 即222310372-+≥-+x x x x ，即()()()21(1)0312--≥--x x x x ； 所以有()()()21(1)03120x x x x ⎧--≥⎪⎨-->⎪⎩或()()()21(1)03120x x x x ⎧--≤⎪⎨--<⎪⎩，解得：2x >或13x <或112x ≤≤；即原不等式的解集为：()11,,12,32⎛⎫⎡⎤-∞+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U U故答案为：()11,,12,32⎛⎫⎡⎤-∞+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦U U 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，灵活运用转化与化归的思想，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.15．如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是__；【考点】本题主要考查不等式的概念、一元二次不等式解法。
上海市曹杨第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
曹杨二中2024学年第一学期高一年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题，每题4分，共48分） 1.用区间表示集合{}|1x x ≠= . 2.已知x R ∈,若{}21x,x ∈,则x = . 3.陈述句"1x >或1y >"的否定形式为 . 4.用列举法表示集合2|1x Z x Z x ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭， . 5.若全集{}12345789,,U ,,,,6,A B =，，，为U 的子集,且{}{}19,2A B A B ⋂=⋂=，, {}468A B ,,⋂=,则A = .6.关于x 的不等式11x<的解集为 . 7.已知,a c R ∈,若关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为1132,⎛⎫- ⎪⎝⎭,则关于x 的不等式220cx x a -+>的解集为 .8.已知m R ∈,关于x 的方程()26410x x m -++=的两个实数根为12,x x ,且124x x -=,则221212x x x x += .9.已知k R ∈,关于x 的不等式组2210,20,x kx kx x ⎩++>+<⎧⎨+的解集为A ,若2A ∉,则k 的取值范围是 .10.已知m R ∈,若存在[]01x ,∈,使得不等式22x m x ≥+成立,则m 的取值范围是 .11.已知对任意x R ∈,记[]x 表示不大于x 的最大整数,如[][]1.21,3.63==,[]2.33-=-.设{}[]x x x =-,若[]03x ,∈,则关于x 的不等式[]{}{}21x x x x ⋅+≥+的解集为 .12.已知m R ∈,集合{|31}A x m x m =<<-中的元素恰有2个整数,则m 的取值范围是 .二、选择题（本大题共有4，每题4分，共16分） 13.以下几个关系中正确的是（ ）. A.0∈∅ B.{}2|10x x ∅∈+= C.{}0∅⊂ D.()()A B A B ⋂⊂⋃14.已知a R ∈且0a ≠，则下列不等式中一定成立的是（ ）. A.12a a +>- B.213a a +≥ C.2211a >+D.221323a a ++≥+ 15.若,a b 为实数，则()0ab a b ->成立的一个充要条件为（ ）. A.0a b << B.0b a << C.11a b <D.0a b >> 16.已知非空集合123,,S S S ，满足对于1、2、3的任意一个排列,,i j k ，对任意,i j x S y S ∈∈，都有k x y S -∈。
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2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题1．（3分）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为．2．（3分）设U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁U A）∪（∁U B）＝．3．（3分）若集合，则集合S的非空真子集的个数为．4．（3分）命题“若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的一个等价命题是．5．（3分）对于n∈Z，若，则p是q的条件．6．（3分）以下三个条件：（1）b＞0＞a；（2）0＞a＞b；（3）a＞b＞0，其中能使不等式成立的序号是．7．（3分）关于x的不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0的解集是．8．（3分）若关于x的不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，则实数a的取值范围是．9．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为．10．（3分）不等式的解集用区间表示为．11．（3分）如果某厂扩建后计划后年的产量不底于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是．12．（3分）在R上定义运算：x*y＝（1﹣x）y，若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值集合是．二、选择题13．（3分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 14．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式不成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0C．ab＜ab2D．ac（a﹣c）＜0 16．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17．已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，求实数x的值．18．不等式．19．若关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R，求k的取值范围．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足．（1）若a＝1且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．四、附加题：21．设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．请解答下面的问题：（1）证明：1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）问2005是否为集合A的元素．2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为{x|x＝3k+1，k∈N}．【分析】利用集合的描述法的定义即可解题．【解答】解：被3除余数等于1的自然数可以表示为：x＝3k+1，其中k∈N，所以用描述法可表示为：{x|x＝3k+1，k∈N}，故答案为：{x|x＝3k+1，k∈N}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题．2．（3分）设U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁U A）∪（∁U B）＝{0，1，4}．【分析】先分别求出∁U A和∁U B的值，然后再求（∁U A）∪（∁U B）的值．【解答】解：∵∁U A＝{4}，∁U B＝{0，1}，∴（∁U A）∪（∁U B）＝{4}∪{0，1}＝{0，1，4}．故答案：{0，1，4}．【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意集合的运算法则，合理地选取公式．3．（3分）若集合，则集合S的非空真子集的个数为254．【分析】根据集合S即可得出S＝{﹣4，﹣1，0，1，3，4，5，8}，然后便可得出集合S 的非空真子集的个数．【解答】解：∵S＝{﹣4，﹣1，0，1，3，4，5，8}，∴集合S的非空真子集的个数为28﹣2＝254．故答案为：254．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合子集个数的计算公式，非空真子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（3分）命题“若a+b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的一个等价命题是若a，b 都小于1，则a+b＜2．【分析】根据逆否命题的等价性进行求解即可．【解答】解：∵互为逆否命题的两个命题为等价命题，∴命题的等价命题为：若a，b都小于1，则a+b＜2，故答案为：若a，b都小于1，则a+b＜2【点评】本题主要考查四种命题关系的应用，结合互为逆否命题的等价性一致是解决本题的关键．比较基础．5．（3分）对于n∈Z，若，则p是q的必要不充分条件．【分析】令p：A＝{x|x＝}，q：B＝{x|x＝}，结合集合的包含关系即可判断．【解答】解：由题意可知p：A＝{x|x＝}，q：B＝{x|x＝}，因为当n∈Z，则3n±1表示被3除余1或被3除余2的整数，∴B⫋A，故q⇒p，p推不出q，故p是q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础试题．6．（3分）以下三个条件：（1）b＞0＞a；（2）0＞a＞b；（3）a＞b＞0，其中能使不等式成立的序号是（1）（2）（3）．【分析】利用不等式的基本性质逐个判断即可得出结论．【解答】解：对于（1），由b＞0＞a可知，，符合题意；对于（2），由0＞a＞b可知，0＜﹣a＜﹣b，则，故，符合题意；对于（3），由a＞b＞0可知，，符合题意．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题主要考查不等式基本性质的运用，属于基础题．7．（3分）关于x的不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0的解集是[，]．【分析】把不等式化为（3x﹣1）（7x﹣1）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式（3x﹣1）（1﹣7x）≥0可化为（3x﹣1）（7x﹣1）≤0，解得≤x≤，所以该不等式的解集是[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．8．（3分）若关于x的不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，则实数a的取值范围是．【分析】先将分式不等式进行化简，然后转化成[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0的解集是{x|x ＜1或x＞2}，从而[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解为x＝1或2，建立等式，解之即可．【解答】解：不等式可转化成等价与[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0的解集是{x|x＜1或x＞2}，∴[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解为x＝1或2∴x＝＝2即a＝故答案为【点评】本题主要考查了分式不等式求解，解题的关系分析出[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＝0的解集为x＝1或2，属于中档题．9．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为a≤2．【分析】先求不等式的最值，再根据题意求参数．【解答】解：∵|x﹣1|+|x+1|≥|x﹣1﹣（x+1）|＝2，∴若关于x的不等式|x﹣1|+|x+1|≥a的解集为R，则实数a的取值范围为a≤2，故答案为：a≤2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．10．（3分）不等式的解集用区间表示为．【分析】将分式不等式右边的常数移项，通分，化简后可得，再利用穿针引线法求解即可．【解答】解：由得，即，即，即，解得或或x＞2．故答案为：．【点评】本题考查分式不等式的解法，考查化简求解能力，属于基础题．11．（3分）如果某厂扩建后计划后年的产量不底于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是41.4%．【分析】平均增长率为x，今年的产量为M，M（1+x）2＝2M，由此能求出结果．【解答】解：平均增长率为x，今年的产量为M，M（1+x）2＝2M，（1+x）2＝2，1+x＝±，x1＝﹣1﹣（舍去），x2＝≈0.414＝41.4%．所以平均增长率至少为41.4%．故答案为：41.4%．【点评】本题考查明后两年每年的平均增长率的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．12．（3分）在R上定义运算：x*y＝（1﹣x）y，若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值集合是（﹣，）．【分析】由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＜1对于任意的x都成立，变形整理可得y2﹣y ＜x2﹣x+1对于任意的x都成立，构造函数g（x）＝x2﹣x+1，只要y2﹣y＜g（x）min即可．【解答】解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）＝[1﹣（x﹣y）]（x+y）＝（x+y）（1﹣x+y）＜1对于任意的x都成立，即y2﹣y＜x2﹣x+1对于任意的x都成立，设g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，所以，g（x）min＝，所以y2﹣y＜，所以﹣＜y＜，所以实数y的取值范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．二、选择题13．（3分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求∁U（A∪B）．【解答】解：A∪B＝{x|x≥1或x≤0}，∴∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}，故选：D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．14．（3分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：由a+b＞4不能推出a＞2且b＞2，由a＞2且b＞2能推出a+b＞4，所以a+b＞4是a＞2且b＞2的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．15．（3分）如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式不成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0C．ab＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【分析】根据条件即可得出a＞0，c＜0，b﹣c＞0，b﹣a＜0，a﹣c＞0，从而可判断选项A，B，D都成立，从而不成立的只能选C．【解答】解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴a＞0，c＜0，b﹣c＞0，b﹣a＜0，a﹣c＞0，∴ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，∴ab＞ac，即A成立；c（b﹣a）＞0，即B成立；ab＜ab2不成立，比如b＝0时，即C不成立；ac（a﹣c）＜0成立，即D成立．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，考查了计算能力，属于基础题．16．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：不等式|x﹣m|＜1等价为m﹣1＜x＜m+1，∵不等式|x﹣m|＜1成立的一个充分非必要条件是＜x＜，∴，即，解得，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．三、解答题17．已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，求实数x的值．【分析】根据集合的包含关系，求解．【解答】解：∵集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，且B⊆A，∴x2＝3 或者x2＝x，解之得x＝0或或1，由集合中元素的无序性，不重复性代入检验可知，当x＝1时，A＝{1，3，1}矛盾，舍去，故x＝0或．【点评】本题考查集合的包含关系，属于基础题．18．不等式．【分析】先去掉绝对值符号，再进行解不等式．【解答】解：∵不等式．∴或者，移项通分得或者，解之得或，故答案为：．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．19．若关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R，求k的取值范围．【分析】分k﹣1＝0及k﹣1≠0两种情况讨论即可得解，二次式要大于0恒成立，则需开口向上，且判别式小于0即可．【解答】解：当k﹣1＝0，即k＝1时，2＞0恒成立，符合题意；当k﹣1≠0，即k≠1时，则，解得1＜k＜9．综上，实数k的取值范围为[1，9）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足．（1）若a＝1且p、q同时为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）先分别求出p，q所对应的不等式解集，然后求出两集合的解集即可求解；（2）根据充分必要条件与集合之间包含关系进行转化即可求解．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0可得a＜x＜3a，当a＝1时，设p：{x|1＜x＜3}，由实数x满足可得，2＜x≤3，∵p、q同时为真命题，所以即2＜x＜3，故x的范围（2，3）；（2）因为q是p的充分不必要条件，所以q⇒p，即{x|2＜x≤3}⊆{x|a＜x＜3a}，所以，解可得1＜a≤2，故a的范围为（1，2]．【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，集合的包含关系的应用，体现了转化思想的应用．四、附加题：21．设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．请解答下面的问题：（1）证明：1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）问2005是否为集合A的元素．【分析】（1）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：A的元素个数不小于3；若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．若a∈A，则a的所有因子都属于A．逐一分析1，2，3，4，5与集合A的关系，可得结论；（2）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：A的元素个数不小于3；若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．若a∈A，则a的所有因子都属于A．分析2005与集合A的关系，可得结论．【解答】证明：（1）1是任何正整数的因子，故1∈A，若a为偶数，则2是a的因子，此时2∈A，若a，b均为大于1的奇数，则1+ab为偶数，则2是1+ab的因子，此时2∈A，综上2∈A，若a是3的倍数，则3是a的因子，此时3∈A，若a，b均为大于1的不是3的倍数的数，则1+ab∈A或1+a（1+ab）∈A且为3的倍数，此时3∈A，综上3∈A，由2∈A，故：1+2×3＝7∈A；1+2×7＝15∈A，5是15的因子，∴5是集合A的元素，由3∈A，5∈A，得：1+3×5＝16∈A，故16的因子4∈A．综上，1、2、3、4、5都是集合A的元素．（2）由2∈A，3∈A，4∈A，5∈A，则1+2×3＝7∈A，1+2×7＝15∈A，1+2×15＝31∈A，1+4×31＝125∈A，1+4×125＝501∈A，1+4×501＝2005∈A．∴2005是集合A的元素．【点评】本题考查集合的元素的判断，考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，是中档题．第11页（共11页）。