数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1)
数学物理方程与特殊函数
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例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量：
温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅立叶试验定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S n
M V
S
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
热场
横向： T cos T 'cos '
纵向： T sin T 'sin ' gds ma y
其中： cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
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T T'
其中： m ds
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方 程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
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思考判断下列方程的类型
2u 2t
a2
2u 2x
x
2u x2
a2
u t
xu
2u x2
a2
2u t 2
u1u源自122u2
0
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
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2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0
数学物理方程练习题第七版(学生用)
= u(0, t) 0= , ux (2,t) 1,
u(x= ,0)
cos π x + x3 − 3x2 − x.
2
3．求定解问题的解：
u
x= x + u yy
sinπ x,
0 < x < 1, 0 < y < 1,
= u(0, y) 1,= u(1, y) 2,
u(x,0) =1+ x,
7
u
rr
+
1 u
r
r
+
1 r2
uθθ
= 0,
u= (1,θ ) A cosθ (−π < θ ≤ π ).
4. 设 A, B 为常数，用试探法求如下定解问题的解：
u rr
1 +rur
+
1 r2
u
θθ
=
0,
r < a,
u r= =a A cosθ + B sinθ (−π < θ ≤ π ).
练习十五
练习六
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
3
2．求解如下定解问题：
= u tt
a2u
xx
+
t
sin
π l
x
,
u= (0,t) u= (l,t) 0, t ≥ 0,
X= ′(0)
X= (l)
0.
3. 求如下定解问题的解：
= ut uxx , 0 < x < 2, t > 0, ux= (0, t) u= (2, t) 0,
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数学物理方程与特殊函数试题及答案
数学物理方程与特殊函数试题及答案猜你喜欢： 1. 2. 3. 4. 5.数学物理方程与特殊函数是一门专业性比拟强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好数学物理方程与特殊函数。
下面是给大家的数学物理方程与特殊函数试题及答案，欢送大家学习参考。
1.对于一般的二阶线性偏微分方程0(1) 它的特征方程为，假设在域内ACB那么此域内称(1) 椭圆型假设在域内B那么此域内称(1)为抛物型假设在域内 B 那么此域内称(1)为双曲型。
2. 第一类格林公式第二类格林公式 . 已那么 ;而函数按1xP的展开式4.一维热传导方程可用差分方程似代替。
二维拉普拉斯方程可用差分方0 近似代替。
5. 勒让德多项式的正交性???。
二.用别离变量法求?的解。
(15分) 解：用别离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被别离形式的特解为tTxXtxu?代入方程(1)上式左端不含有x，右端不含有t，从而得到两个线性常微分方程解(6)得 x由(2)得，及相应的固有函数为xlnBxXnn?sin? 7?? ，再由(5)得，? 由(7)，(8)得由(1)，(3)得又由(3) 得所以，原定解问题的解为?三.求方程? 的解。
(15分) 解：对(1)两端积分的通解为任意二阶可导函数，令(4)满足(2)，(3)得解之得6(5)，(6)代入(4)得u 四.求柯西问题的解。
(12分) 解;先确定所给方程的特征线。
为此，写出它的特征方程 dy2-2dxdy-3dx20 它的两族积分曲线为作特征变换4?经过变换原方程化它的通解为中21ff 是两个任意二次连续可微的函数。
方程(1)的通解为由(2。
数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案(1)
《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分⨯10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u nuS=+∂∂)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222x u a t u ∂∂=∂∂的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分=⎰-dx x P 2112)]([（ ） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<∂∂=∂∂====30,0,3,000,30,200322222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(1222=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -.7.2x .8.52.9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1lny y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos (),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n eC t T π-=，于是,4sin(),(16122xn eC t x u t n n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
1-2_初始条件与边界条件chen
练习题： 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． 若 １．杆的两端温度保持零度；
２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案： u
= 0, u = 0;
u = 0, u x = 0;
x=0
x=l
x=0
x=l
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偏微分方程要给出 n 个初始条件才能确定一个特 解．
初始条件的个数的确定：关于时间 t 的 n 阶
边界条件的个数的确定：关于空间变量 x 的 n 阶 偏微分方程不一定要给出 n 个边界条件．
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练习题： 若 考虑长为 l 的均匀杆的导热问题． １．杆的两端温度保持零度； ２．杆的一端为恒温零度，另一端绝热． 写出杆在上面两种情况下的边界条件． 答案：
∂u = f . 外法线方向的方向导数,即 ∂n s 2
第二类边界条件.
第一类边界条件. 三是在边界 S 上给出了未知函数 u 及其沿 S
的外法线方向的方向导数某种线性组合的
⎛ ∂u ⎞ + σ u ⎟ = f3 . 值,即 ⎜ ∂n 第三类边界条件. ⎝ ⎠s
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M
初始条件:
u(M ,t)
t=0
= ϕ (M )
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泊松方程与拉 普拉斯方程
泊松方程与拉 普拉斯方程都是描 述稳恒状态的,与初 始状态无关,不提初 始条件.
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数理方程习题讲议
a 2 n 2 2 l2
t
n cos x l
数学物理方程与特殊函数
习题
2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 a 2 n 2 2 t x t n 2 l u ( 0 , t ) u ( l , t ) u C0 Cn e cos x 0 , 0 , t 0 l n 1 x x 0 xl u ( x,0) x, 1 l l n C x d x 0 0 u ( x,0) x C C cos x
a2 于 是: c
令:
u j r 2 u a 2 t x c
2 2
Байду номын сангаас
数学物理方程与特殊函数
习题
习题2:长为 l 的均质杆,两端受压从而长度缩为 l (l 2 ) 放手后,杆自由振动,试写出该问题的定解问题。
解:因为杆作纵向自由振动,即无外力的作用,其泛 定方程为齐次波动方程。
数学物理方程与特殊函数
习题
习题3 设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。 2 2u 2 u , 0 x l, t 0 2 a 2 x t u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, t 0 u ( x,0) 0, 0 xl t u( x, t ) X ( x)T (t ) h 2 x, XT a X T 0 xc c u ( x,0) X 1 T h c xl 2 l x , X a T l c X X 0 X (0) 0, X (l ) 0 2 T a T 0 X X 0, 0 x l u (0, t ) X (0)T (t ) 0 X (l ) 0 X (0) 0, u (l , t ) X (l )T (t ) 0
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
数学物理方程与特殊函数 华中科技大学 数理方程复习
8
下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法） 记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
u (0, t ) X (0)T (t ) 0 u (l , t ) X (l )T (t ) 0
1
X X 0, 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
0
X X 0, 0 x l X (l ) 0 X (0) 0, X 0 X ( x) Ax B AB0
X X 0
4
T a 2 T 0
X X 0 0 x l X (0) 0, X (l ) 0下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0, 0 X Ax B X B0 X 0 X A sin x B cos x 2 0 X 2 X 0 X (0) A 0 X (l ) B sin l 0 2 n n n 2 x n n , n 1,2,3, X n Bn cos n l l l T a 2T 0
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
数学物理方程与特殊函数第五版王元明课后答案
数学物理方程与特殊函数第五版王元明课后答案1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)<0，则方程f(x)=0在[-1,1]内( )a.可能将存有3个实数根b.可能将存有2个实数根c.有唯一的实数根d.没有实数根解析：由f -12f 12<0得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上以增函数，∴f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根.答案：c2.(长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6f(x) .13 15. -3.92 10.88 -52. -.则函数f(x)存有零点的区间存有( )a.区间[1,2]和[2,3]b.区间[2,3]和[3,4]c.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]d.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，∴f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点.答案：c3.若a>1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是( )a.(3.5，+∞)b.(1，+∞)c.(4，+∞)d.(4.5，+∞)解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出来函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，融合图形所述，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的`2倍，由y=xy=-x+4，Champsaurx=2，所以n+m=4，因为(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm≥4，又n≠m，故(n+m)1n+1m>4，则1n+1m>1.答案：b4.(昌平演示)未知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间就是( )a.(0,1)b.(1,2)c.(2,3)d.(3,4)答案：b答案：(0,1)。
高考数学专题复习-2.6函数与方程及函数的综合应用-模拟练习题(附答案)
2.6函数与方程及函数的综合应用基础篇考点一函数的零点1.(2023届皖优联盟阶段测试一,4)函数f(x)=x-1-4x+4存在零点的一个区间是()A.0,B.1C. D.2答案C2.(2021吉林延边期末,4)某同学用二分法求方程2x+5x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,设f(x)=2x+5x-8,且计算f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)>0,则该同学下次应计算的函数值为() A.f(0.5) B.f(1.125)C.f(1.25)D.f(1.75)答案C3.(2022哈尔滨呼兰一中检测(二),5)函数f(x)=log2x()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C4.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R上的函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x),(x-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)·f(1)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内() A.没有零点 B.有且仅有1个零点C.至少有2个零点D.可能有无数个零点答案B5.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=e,≤0,lns>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是() A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C6.(2021合肥质监(一),8)设函数f(x)=log2,>0,−s≤0.当∈−4,,方程f(x+1)=k 有唯一解,则实数k的取值范围为() A.(0,3) B.[1,3)C.(0,2)D.[1,2)答案B考点二函数模型及其应用1.(2020课标Ⅲ,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=1+e−0.23(K53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)() A.60 B.63 C.66 D.69答案C2.(2022北京,7,4分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态答案D3.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:1(rp2+22=(R+r)13.设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+p2≈3α3,则r的近似值为()D.答案D4.(2022吉林白山模拟,8)有这样一种说法:一张矩形纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离,但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当厚度超过纸张的长边长时,便不能继续对折了.将一张长边为a,厚度为x的矩形纸沿两个方向不断对折,经过两次对折,长边变为12a,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n满足关系:n≤log.根据以上信息,一张长为40cm,厚度为0.01mm的矩形纸经过对折后的厚度的最大值约为(lg2≈0.3)() A.1.28cm B.2.56cmC.12.8cmD.25.6cm答案B5.(2023届河南名校联考,6)二叉树是计算机中数据结构的一种,是树形结构的一个重要类型,许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式,形式如图,其中节点是包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息,树中所有节点层次的最大值称为树的高度,经实验验证,节点数与树的高度呈指数关系,二叉树的高度h与节点数x的关系为x=eℎ+4.13.6,若经测算,一个二叉树的节点大约有800个,则二叉树的高度约为(ln2≈0.7,ln5≈1.6,结果保留整数)A.14B.16C.18D.20答案D6.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-op−op K的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案①②③综合篇考法一判断函数零点所在区间和零点的个数1.(2022四川攀枝花统考一,7)方程f(x)=f'(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”.如果函数g(x)=ln x+2的“新驻点”为a,那么a的取值范围是()A.0,B.1C. D.2答案B2.(2022兰州西北师大附中期中,12)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)-1,则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1答案B3.(2021东北三省四市教研联合体二模,11)若函数f(x)1|,<2,≥2,则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为() A.3 B.4 C.5 D.6答案B4.(2023届赣南五校期中,14)函数f(x)=e x-x-6的零点所在区间为(n,n+1)(n∈N),则n=.答案25.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时,f(x)恰有2个零点;②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是.答案①②④考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)1.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案C2.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)=3,≥0,−s<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.−∞,−(22,+∞)B.−∞,−(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22)D.(-∞,0)∪(22,+∞)答案D3.(2023届皖优联盟阶段测试一,11)已知函数f(x)3(+1)|,−1<<8,2−10+50,≥8,若函数g(x)=f(x)-a恰好有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则11+12+x3x4的取值范围是() A.(97,101) B.(95,99)C.[97,101)D.[95,99)答案B4.(2019浙江,9,4分)设a,b∈R,函数f(x)<0,3−12(+1)2+B,≥0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则() A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0答案C5.(2022安徽滁州二模,12)已知函数f(x)=ln2,关于x的不等式1-op>0的解集中有且只有一个整数,则实数a的范围是()ln2 B.ln2 D.答案B6.(2023届四川绵阳诊断一,16)已知函数f(x)=2−2−3,≥s−2,<s若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是.答案(-2,1)7.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=−4,≥s2−4+3,<u当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)8.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=1−(−1)2,g(x)=o+2),0<≤1,−12,1<≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案专题综合检测一、选择题1.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,2)下列命题中,错误的命题有()A.函数f(x)=x与g(x)=()2不是同一个函数B.命题“∃x0∈[0,1],02+x0≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”C.设函数f(x)=2+2,<0,2,≥0,则f(x)在R上单调递增D.设x,y∈R,则“x<y”是“(x-y)·y2<0”的必要不充分条件答案C2.(2022湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x-1|)的定义域为() A.(-∞,1) B.(-1,1)C.(0,+∞)D.[0,1)答案A3.(2021陕西宝鸡一模,4)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数.请你估算264大致所在的范围是() (参考数据:lg2=0.30,lg3=0.48)A.(1012,1013)B.(1019,1020)C.(1020,1021)D.(1030,1031)答案B4.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=1+log2(2−p,<1,2K1,≥1,则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6C.9D.12答案C5.(2022昆明第一中学检测,4)给出下列三个条件:①函数是奇函数;②函数的值域为R;③函数图象经过第一象限.则下列函数中满足上述三个条件的是()A.f(x)=14B.f(x)=x+1C.f(x)=sin xD.f(x)=2x-2-x答案D6.(2022安徽江南十校一模,3)已知函数f(x)=2|x|,a=f(log0.53),b=f(log45),c=f则()A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b答案B7.(2021全国Ⅰ卷地区联考,6)函数f(x)=4r2+12的图象关于()A.点(-2,0)对称B.直线x=-2对称C.点(2,0)对称D.直线x=2对称答案B8.(2023届内蒙古赤峰二中月考,7)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时, f(x)=x++1.若函数y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为3,则实数a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4答案D9.(2019课标Ⅲ,7,5分)函数y=232+2−在[-6,6]的图象大致为()答案B10.(2022湖南名校10月联考,7)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,则()A.f(x)的最小值为2B.∃x ∈R ,22+4r3op >2C.f (x )的最大值为2D.∀x ∈R ,22+4r5op>2答案D11.(2016课标Ⅱ,12,5分)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =r1与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑=mi 1(x i +y i )=()A.0B.mC.2mD.4m答案B12.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R ,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221k f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A13.(2022全国乙,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221k ∑=221k f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 二、填空题14.(2023届甘肃武威凉州诊断二,14)[(-2)2]12++4log 22+log 24=.答案1215.(2015山东,14,5分)已知函数f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =.答案-3216.(2023届山西临汾期中,14)函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=f(2-x),f(-x2)=-f(x2+2),当x∈[0,4)时,f(x)=sin则=.答案1217.(2016山东,15,5分)已知函数f(x),≤s2−2B+4s>s其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)18.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=−B+1,<s(−2)2,≥u若f(x)存在最小值,则a的一个取值为;a的最大值为.答案12([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);119.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=+4−+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是.答案−∞,三、解答题20.(2023届甘肃武威凉州诊断二,22)新冠肺炎疫情发生以后,口罩供不应求,某口罩厂日夜加班生产,为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元,每生产x万箱,需另投入成本p(x)万元,当产量不足60万箱时,p(x)=12x2+50x;当产量不小于60万箱时,p(x)=101x+6400-1860,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式;(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得利润最大?解析(1)当0<x<60时,y=100x2+50−400=−12x2+50x-400.当x≥60时,y=100x-101+6400−1860−400=1460−+所以y=−122+50<<60,1460−+,≥60.(2)当0<x<60时,y=-12y+50−400=−12(x-50)2+850,当x=50时,y取得最大值,最大值为850万元.当x≥60时,y=1460-≤1460−300,当且仅当x=6400,即x=80时,y 取得最大值,最大值为1300万元.综上,当产量为80万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1300万元.21.(2023届河南部分重点中学测试,21)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=log2(2x+1)-kx,g(x)=f(x)+2x.(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设h(x)=x2-2mx+5,若存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),求实数m的取值范围.解析(1)由f(x)是定义在R上的偶函数可知log2(2-x+1)+kx-log2(2x+1)+kx=0,即-2kx=log22−+12+1=-x,所以k=12,故f(x)=log2(2x+1)-12x.(2)由(1)知,g(x)=f(x)+2x=log2(2x+1)+32x,易知g(x)在R上单调递增,所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立等价于4x-a·2x+1>-15,即a<4+162恒成立.又4+162=2+162≥8,当且仅当x=2时,等号成立,所以a<8,即实数a的取值范围是(-∞,8).(3)因为存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值.因为g(x)=log2(2x+1)+32x在[0,2]上单调递增,所以当x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1.函数h(x)=x2-2mx+5图象的对称轴为直线x=m,x∈[1,4].当m≤1时,h(x)在[1,4]上单调递增,h(x)min=h(1)=6-2m≥1,解得m≤52,所以m≤1;当1<m<4时,h(x)在[1,m)上单调递减,在[m,4]上单调递增,h(x)min=h(m)=5-m2≥1,解得1<m≤2;当m≥4时,h(x)在[1,4]上单调递减,h(x)min=h(4)=21-8m≥1,解得m≤52.所以m∈⌀.综上,实数m的取值范围是(-∞,2].。
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∴-5 ∴m 的取值范 围为(-5,-1). (2)令 f(x)=0, 得|4x-x2|+a=0, 即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象. 由图象可知,当 0 小于-a 小于 4, 即-4 即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取 值范围为(-4,0). 高一数学必修一函数与方程专练就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
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m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当Δ0,即 m2 或 m 小于-2 时, t2+mt+1=0 有两正根或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知,m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 0. 14.(1)已知 f(x)=x2+2mx+3m+4,m 为何值时. ①函数有且仅有一个零点; ②函数有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:( 1)①f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点
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f(1)=1+4+1- = 0, ∴f(x)在区间(-1,1)内有零点. 又 f’(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2), 当-1 ∴f(x)在(-1,1)内单调递增, 因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点. 13.已知函数 f(x)=4x+m•2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零 点. 解:f(x)=4x+m•2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m•2x+1=0 仅有一个实根, 设 2x=t(t0),则 t2+mt+1=0 仅有一个正实根. 当Δ=0 时,m2-4=0,解得 m=2 或 m=-2, 而 m=-2 时,t=1;
数学物理方程与特殊函数 第三版 课后答案 王元明
⎧ ∂ 2v ∂ 2v ⎪ 2 + 2 = f1( x, y), 0 < x < a, 0 < y < b, ⎪ ∂x ∂y ⎪ ⎨ v ( 0, y ) ) 0, v ( a ( y ) ) 0, 0 ≤ y ≤ b , = , = ⎪ ⎪ = = ⎪ v ( x ,0 ) ) ψ 1 ( x ); v ( x , b ) ) ψ 2 ( x ), 0 ≤ x ≤ a . ⎩
∞
∑ n
=1
d na n sin nθ = Tθ (π − θ )
d na
n
∫
π
0
sin nθ d θ = ∫ T θ (π − θ )sin nθ d θ
0
2
π
4T d n = n 3 (1 − cos nπ ), πa n 4T ∞ ρ n u ( ρ ,θ ) = [1 − (− 1)n ]sin nθ . ) ∑ n 3 π n=1 a n
解为:
其中
∞ 1 u ( x , t ) = a0 + ∑ ane ) 2 n=1
⎛ naπ ⎞ t −⎜ l ⎟ ⎝ ⎠
2
nπ cos x l
2 nπ an = ∫ ϕ ( x ))cos xdx， n = 0,1,2,... l l
0
l
练习：在矩形 (0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b ) 中求解拉普拉斯 方程的定解问题 :
极坐标系下的拉普拉斯方程的表达式
⎧ x = ρ cosθ ⎨ ⎩ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ ⎧ ⎪1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sin θ ⎪ ⎨ ⎪ 0 = ∂ ρ ⋅ sin θ + ρ ∂ θ cos θ ⎪ ⎩ ∂x ∂x ∂ρ ∂θ − sinθ = cosθ , = u( ρ ,θ ) ∂x ∂x ρ
高一必修1函数与方程同步练习(含答案)
高一必修1函数与方程同步练习（含答案）函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。
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1.关于x的不等式ax2+bx+20的解集是(-，-)(，+)，则ab 等于()A.-24B.24C.14D.-14解析：方程ax2+bx+2=0的两根为-、，则ab=24.答案：B2.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对xR恒成立，则a的取值范围是()A.(-，2]B.(-2，2]C.(-2，2)D.(-，2)解析：当a=2时，则-40恒成立.a=2合适.当a2时，则解得-2综上可知-2答案：B3.已知a0，b0，则不等式-bA.(-，-)(一，+)B.(-，-)C.(，+)D.(-，-)(，+)解析：解法一：原不等式解法二：原不等式(-a)(+b)0(ax-1)(bx+1)或x-.答案：D4.已知奇函数f(x)、g(x)，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集为(，)(a2=，则f(x)g(x)0的解集是()A.(，)B.(-b，-a2)C.(a2，)(-，-a2)D.(，) (-b，-a2)解析：∵f(x)g(x)0由①知a2由②知∵综上可知：a(a2，)(-，-a2).答案：C5.若a0，则不等式x2-4ax-5a20的解集是()A.x5a或x-aB.x-a或x5aC.-a解析：原不等式可化为(x-5a)(x+a)0，∵a0，5a-a，不等式解为x5a或x-a.答案：B6.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(aA.C.a解析：本题采用数形结合法，画出函数图象加以解决即可. 答案：A7.方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，则实数a的范围是____________.解析：方法一：利用韦达定理，设方程x2-2ax+4=0的两根为x1、x2，则解之得2.方法二：利用二次函数图象的特征，设f(x)=x2-2ax+4，则解之得2.答案：28.已知不等式ax2-5x+b0的解集为{x|-30的解集为____________.解析：由题意，方程ax2-5x+b=0的两根为-3、-2，由韦达定理得则所求不等式为6x2-5x-10，解之得x-或x1.答案：x-或x19.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2}，则实数k的取值范围是____________.解析：不等式组可化为，∵x=-2，(如下图)(2x+5)(x+k)0必为-答案：-3210.已知含x的不等式(a+b)x+(2a-3b)0的解集为(-，)，则关于x的不等式(a-36)x+(b-20)0的解集为_____________. 解析：∵x，比较解集得，则a=，b0.代入所求不等式得x-.答案：{x|x-}高一必修1函数与方程同步练习就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
工程数学——数学物理方程与特殊函数 (1)
1
1
v
r ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
函 它为数三1r 除维点拉普M拉0 外斯处方处程满的足基拉本普解拉. 斯方程,通常称
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由于 v 1 在 Ω 内有奇
r
异点M0 ,于是如图所示,我们 作一个以 M0 为中心,以充分 小的正数 ε 为半径的球面,
上
1 r
1, a
(1) n r
(1) r r
1 a2
以及 Ka
1 u dS
r n
1
a Ka
u dS
n
0
即可证明该公式.
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4.拉普拉斯方程解的唯一性问题
狄利克莱问题在 C1( ) C 2( ) 内的解是唯一
确定的;牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定 的.
(u2v)dV
(uxvx uyv y uzvz )dV
uvndS
或 (u2v)dV uvndS grad u grad vdV
上式称为第一格林(Green)公式.
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交换u,v位置
(v2u)dV
vundS
grad v grad udV
以 u1 , u2表示定解问题的两个解,它们的差v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的解.
对于狄氏问题 2v 0, 在内
v | 0
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对于牛曼问题 2v 0, 在内
vn | 0 利用调和函数的极值原理,可以证明狄氏问题在
C1( ) C 2 ( )内的解是唯一的.
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《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分⨯10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u nuS=+∂∂)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222x u a t u ∂∂=∂∂的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dxd（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分=⎰-dx x P 2112)]([（ ） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<∂∂=∂∂====30,0,3,000,30,200322222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(1222=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -.7.2x .8.52.9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1lny y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3s i n )32s i n 32c o s (),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n e C t T π-=，于是,4si n (),(16122x n eC t x u tn n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。
因此212''''22222)(16)(416)]([4c x c x x w x w x w xv t v ++-=⇒=⇒++∂∂=∂∂，再由边界条件有8)2(,0)0(==w w ，于是0,821==c c ，x x x w 82)(2+-=.再求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂-===><<∂∂=∂∂====20,0),(,000,20,200322222,0x t v x w x t x x v t v t t x v v v 用分离变量法求以上定解问题的解为,2sin cos ])1)1[(32)1(16(),(331xn t n n n t x v n n n ππππ--+-=∑∞=故,2sin cos ])1)1[(32)1(16(28),(3312x n t n n n x x t x u n n n ππππ--+-+-=∑∞=三.解：令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程齐次化，因此x a x w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2''2''22222=⇒=+⇒++∂∂=∂∂，再求定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-=>∂∂=∂∂==,0),(cos 12sin 0,02022222t t t vx xw a x t x v a t v v 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为atx a at x at x aat x at a a at x t x v cos cos 1cos sin 0)]cos(1)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+=故.cos 1cos cos 1cos sin ),(22x aat x a at x t x u +-=四.解 ：对y 取拉普拉斯变换),()],([p x U y x u L =，对方程和边界条件同时对y 取拉普拉斯变换得到p pU pdx dU px 11,12+===，解这个微分方程得到p px p p x U 111),(22++=，再取拉普拉斯逆变换有1),(++=y yx y x u所以原问题的解为1),(++=y yx y x u .五.证明：由公式)())((1x J x x J x dxd n n n n+---=有)()()(1'x J x x nJ x xJ n n n +-=-，令1=n 有)()()(211'x xJ x J x xJ -=-，所以)(1)()(11'2x J xx J x J +-=，又)()(),()(1'0''10'x J x J x J x J -=-=，所以)(1)()(0'0''2x J xx J x J -=.六．解：由分离变量法，令)()(),(θθΦ=r R r u ，得到∑∞==0)(cos ),(n n nn P r C r u θθ，由边界条件有∑∞===+=01)(cos 12cos 3n n n r P C u θθ，令x =θc o s ，)()()(261)12(322110022x P c x P c x P c x x ++=-=+-∴，)13(212622102-++=-x c x c c x ， 4,0,0210===∴c c c ，故222222cos 6)1cos 3(214),(r r r r u -=-=θθθ。