第八章空间滤波

在这种情况下，像的周期是物的周期的一半，像的结构是余弦振幅光栅 。如图8.1.6所示。
（4）频谱面上放置不透光的小圆屏，挡住零级谱，而让其余频率成分通过，
这时透射频谱可表示为
T ( ) H ( ) T ( )
aL si nc( L ) d
像面上的光场分布正比于
g( x3 ) F
空间频谱之间的关系 .1935年策尼克(Zenike)提出的相衬显微镜是空间滤
波技术早期最成功的应用。
1946年杜费(Duffieux)把光学成像系统看作线性滤波器,成功地用傅里叶方 法分析成像过程,发表了《傅里叶变换及其在光学中的应用》的著名论著. 50年代, 艾里亚斯(Elias)及其同事的经典论文《光学和通信理论》和《光 学处理的傅里叶方法》为光学信息处理提供了有力的数学工具 .60年代由 于激光的出现和全息术的重大发展 ,光学信息处理进入了蓬勃发展的新时 期.
当a=d/2,即缝宽等于缝的间隙时,直流分量为1/2,像场的复振幅分布仍为光 栅结构,并且周期与物相同,但强度分布是均匀的,即实际上看不见条纹,如图 8.1.7所示.
当 a>d/2,, 直 流 分 量 大
于 1/2. 去掉零级谱以后 像场分布如图 8.1.8所示
,对应物体上亮的部分变
暗 , 暗的部分变亮 , 实现 了对比反转.上述讨论说
明了利用空间滤波技术,
可以改变成像系统中像 场的光分布。
例 8.1.1 在 4f 系 统 中 , 在 x1y1 平 面 上 放 置 一 正 弦 光 栅 , 其 振 幅 透 过 率 为
t(x)=t0+t1cos(20x1) (1) 在频谱面的中央设置一小圆屏挡住光栅的零级谱,求像的强度分布及可
见度;
(2) 移动小圆屏,挡住光栅的+1级谱,像面的强度分布和可见度又如何? 解:按一般程序应先求出t(xl)的频谱,然后求出滤波后的频谱,再作逆傅里叶 变换而求得像,但也可按如下方式考虑. (1)设用振幅为1的单色平面波垂直照明物平面,频谱面上的零级斑对应于物
平面上与t0项相联系的直流信息,所以挡住零级斑相当于完全通过系统的物
h( x3 , y3 ) F 1 1 cos( 2a )
( x3 , y3 ) 1 1 ( x3 a , y3 ) ( x3 a , y3 ) 2 2
像的复振幅为
1 1 ui ( x3 , y3 ) u( x3 , y3 ) ( x3 , y3 ) ( x3 a, y3 ) ( x3 a , y3 ) 2 2 1 u1 ( x 3 , y3 ) u2 ( x 3 , y3 ) u1 ( x 3 a , y3 ) u2 ( x 3 a , y3 ) 2 1 u1 ( x3 2a , y3 ) u2 ( x3 2a , y3 ) 2
1
x3 a t ( x 3 ) rect( ) d L
1 aL F si n c ( L ) T ( ) d
x3 1 x3 x3 a rect( x3 ) rect comb rect d L a d d L
P1
P2
P3
阿贝-波特实验是对阿贝成像原理最好的验证和演示 .这项实验的一般
做法如图所示 , 用平行相干光束照明一张细丝网格 , 在成像透镜的后焦
面上出现周期性网格的傅里叶频谱,由于这些傅里叶频谱分量的再组合 ,从而在像平面上再现网格的像 .若把各种遮挡物(如光圈、狭缝、小光 屏)放在频谱平面上,就能以不同方式改变像的频谱,从而在像平面上得 到由改变后的频谱分量重新组合得到的对应的像.
空间滤波的全部过程如图下图所示。
物体
物体的谱
滤波函数
滤波后的谱
输出像 一维光栅经滤波的像（透过零级）
（2）狭缝加宽能允许零级和正、负一级频谱通过，这时透射的频谱包括上 式中的前三项，即：
T ( ) H ( )
aL a 1 a 1 sin( L ) sin c ( ) sin cL sin c ( ) sin cL d d d d d
T ( , ) 1 cos(2a )
可看成是系统的传递函数。因此像的复振幅为
ui ( x3 , y3 ) F 1 U ( , ) H ( , )
u( x3 , y3 ) h( x3 , y3 )
式中
h( x3 , y3 ) 是 H ( , ) 的点扩散函数，即
物面
频谱面
像面
物面
频谱面
像面
设光栅常数为d,缝宽为a，光栅沿x方向的宽度为L,则它的透过率为.
x 1 x1 x1 t ( x1 ) rect 1 comb rect a d d L
在P2平面上的光场分布应正比于
T ( , ) 1 cos(2a )
试证明在像面中心可得到两个图像的相加。
解：设用平面波垂直照射物平面，则x1y1平面上两个像的复振幅分布为
u( x1 , y1 ) u1 ( x1 a, y1 ) u2 ( x1 a, y1 )
其频谱为 U ( , ) 滤波函数
可见度为
I max I min t1 / 2 2 1 I max I min t1 / 2
（2）如果挡住+1级谱，输出强度又如何变化呢？ 我们可以把输入图像的物信息展开
2
1 1 t ( x1 ) t 0 t1 exp( j 2 0 x1 ) t1 exp( j 2 0 x1 ) 2 2
信息为
u(x1,y1)=t1cos(20x1) ui(x3,y3)=t1cos(20x3)
所以输出的信息成为
物面
频谱面
像面
输出图像强度成为
I i ui ( x 3 , y 3 ) t1 cos 2 ( 2 0 x 3 )
2
2
1 2 t1 1 cos(4 0 x 3 ) 2
aL m am T ( ) si n c si n c L d m d d
aL m am T ( ) si n c si n c L d m d d
于是输出平面上的场分布为
g( x3 ) F 1 T ( ) H ( )
x a x x a rect 3 si nc rect 3 e xp j 2 3 d d d L L
x x a si nc rect 3 e xp j 2 3 d d L
谱平面上的+1级谱与上式中第二项对应应，挡住+1级谱后完全通过的物信息 为
1 u0 ( x1 ) t 0 t1 exp( j 2 0 x1 ) 2
此时输出信息为
1 ui ( x3 , y3 ) t 0 t1 e xp( j 2 0 x3 ) 2
输出图像的强度分布为
I i ( x 3 , y3 ) ui ( x 3 , y3 ) t 0
2
2
1 2 t1 t 0 t1 cos( 2 0 x 3 ) 4
除直流分量以外，其交流成分的空间频率仍旧是0，但条纹的可见度降为

I max I min t t 2 01 2 I max I min t1 / 4 t 0
例8.1.2在4f系统中，在x1y1平面上有两个图像，它们的中心在x1轴上，距离坐 标原点分别为a和-a,今在频谱面上放置一正弦光栅，其振幅透过率为
T ( ) H ( )
aL 2a 2 2 sinc( )sincL sincL d d d d
输出平面上的场分布
g( x3 ) F 1 T ( ) H ( )
2a 2a x 4x3 sinc( )rect 3 cos d d L d
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aL a 1 a 1 sin( L ) sin c ( ) sin cL sin c ( ) sin cL d d d d d
假定L >> d,可以避免各级频谱的重叠，下面讨论在频谱面上放置不同 的滤波器时，在输出面上像场的变化情况。
带有灰尘的网格
频谱
小孔阵列滤波器
输出像
圆孔只让云雾状光斑通过
输出灰尘的像
用不同直径 圆孔滤波所得的像 孔越小,传播到像面的高频成分越来越少,像的细节损失得越 来越越多.
拼合的月球表面照片
拼合的月球表面照片的频谱
在频谱中挡住水平亮线
经滤波后月球表面的像(不包含水平线)
8.1.2 空间滤波的傅里叶分析

a x 2x3 a rect 3 1 2 sinc cos d d L d
此时像与物的周期相同，但由于高频信息的丢失，像的结构变成余弦振幅 光栅，空间滤波过程如图8.1.5。
滤波函数
滤波后的谱
输出像
（3）滤波面放置双缝，只允许正、负二级谱通过，这时系统透射的频谱为
作业
• • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
第八章 空间滤波
从本章开始到第十章,我们将介绍空间滤波和光学信息处理. 空间滤波的目的：是通过有意识地改变像的频谱,使像产生所希望的变换 光学信息处理是一个更为宽广的领域,它主要是用光学方法实现对输入信 息的各种变换或处理. 空间滤波和光学信息处理的发展历史 1873 年阿贝 (Abbe) 提出二次成像理论 . 阿贝于 1893 年、波特 (Porter) 于 1906年为验证这一理论所做的实验,科学地说明了成像质量与系统传递的
图(a)是实验装置图,图 (b)是使用一条水平狭缝时透过的频谱,对应的像如
图(c)所示,它只包括网格的垂直结构 .如果将狭缝旋转90,则透过的频谱和
对应的像如图(d)、图(e)所示。若在焦面上放一个可变光圈,开始时光圈缩
小,使得只通过轴上的傅里叶分量,然后逐渐加大光圈,就可以 看到网格的
像怎样由傅里叶分量一步步综合出来 .如果去掉光圈换上一个小光屏挡住 零 级频谱,则可以看到网格像的对比度反转.这些实验以其简单的装置十分 明确地演示了阿贝成像原理,对空间滤波的作用给出了直观的说明,为光学 信息处理的概念奠定了基础。
现在我们以一维光栅为例,用傅里叶分析的手段讨论空间滤波过程,以
便更透彻地了解改变系统频谱对像结构的影响.为简明起见,采用最典型 的相干滤波系统,通常称为4f系统,如图8.l .3所示.图中:L1是准直透镜;L2 和L3为傅里叶变换透镜,焦距均为f;P1,P2和P3分别是物面、频谱面和像 面,并且P3平面采用反演坐标系.
（1）滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许零级谱通过，也就是说只让 上式 中第一项 通过，由狭缝后的透射光场为
T ( ) H ( )
aL s i nc( L ) d
式中H（）是狭缝的透过函数。在输出平面上的场分布为
g( x3 ) F
1
T ( ) H ( )

a x rect 3 d L
8.1 空间滤波的基本原理
8.1.1 阿贝成像理论
阿贝研究显微镜成像问题时,提出了一种不同于几何光学的新观点,他将物看 成是不同空间频率信息的集合 , 相干成像过程分两步完成 ,如下图所示 .第一步 是入射光场 经物平面P1发生夫琅禾费衍射,在透镜后焦面P2上形成一系列衍射 斑; 第二步是各衍射斑作为新的次波源发出球面次波 ,在像面上互相叠加 ,形成 物体的像.将显微镜成像过 程看成是上述两步成像的过程,是波动光学的观点, 后来人们称其为阿贝成像理论 .阿贝成像理论不仅用傅里叶变换阐述了显微镜 成像的机理,更重要的是首次引入频谱的概念启发人们用改造频谱的手段来改 造信息.