月球探测器直接软着陆最优轨道设计
月球软着陆轨道的时间逼近法快速优化设计
（ 北 工 业 大 学 航 天 学 院 ，西 安 ７０ ７ ） 西 １０２
摘
要 ：提 出一种时 间逼 近法 快速求解月球最 优软 着陆 问题。首先 ， 通过解 析估算 软着 陆时 间 ， 原 问题 转 将
化 为终 端 时 间 固定 型 最 优 控 制 问题 。 然 后 ， 化 该 问 题 ， 软 着 陆 条 件 尽 可 能 得 到 满 足 。 在 此 基 础 上 ， 据 优 化 出 优 使 根 的终 端 能量 特 性 对 着 陆 时 间进 行 修 正 ， 到 新 的终 端 时 间 固定 型 最 优 控 制 问 题 。重 复 前 述 优 化 和 修 正 ， 可 逐 渐 得 即
ＤＯ Ｉ １ ３ ７ ／ ．ｓｎ． ０ ０ １ ２ ２ ０８． ５． ３ ： ０． ８ ３ ｊ ｉｓ １ ０ — ３ ８． ０ ０ ０１
０ 弓 言 Ｉ
算 量小 ， 在 １秒 内生成 一条 最优 软着 陆轨道 ； 定 能 稳 性好 ， 无需 初 值估 计 。
１ 月球 最 优软 着 陆 问题 描述
维普资讯
第 ２ ９卷 第 ５期
２０ ０ ８年 ９月
宇 航 学 报
Ｊ ｕ Ｉ ｆ ｔ ｎ ｕｉｓ ｏ ｍａ ｒ ａ ｔ ｏ Ａｓ ｏ ｃ
Ｖｏ ． ９ １２
Ｎｏ． ５
Ｓ ｐｅ ｅ ２ ０ ｅ ｔｍｂ ｒ ０８
月球 软 着 陆 轨 道 的 时 间逼 近 法 快 速 优 化 设计
月器质 心 运 动方 程 组 ， 了便 于 比较 ， 里 采 用 为 这
月球 最优 软 着陆 问题 是一 类终 端 时 间 自由型最 优控制 问 题 ， 求 解 方 法 分 为 间接 法 和 直 接 法 ¨ 。 其 文献 ［ ］ 于 间接法 和一 种 初值猜 测 技术 ， 到 了理 ２基 得 论最 优解 ； 献 ［ ５ 基 于直 接法 ， 控制 量 和终 端 文 ３— ］ 将 时 间均作 为优 化变 量 ， 助 于遗 传算 法 寻优 ， 到 了 借 得 较好 结果 ； 献 ［ ］ 文 ６ 通过 引入 中间积分 变 量—— 能量
月球探测器软着陆精确建模及最优轨道设计
Fig. 1 C oordinate systems
→
→
→
→
→
→
→
→
(4)
对式 ( 4) 进行求导 ,可以得到探测器相对于惯性空间 的加速度为 dVI dt
→
按右手坐标系确定 。oxL yL zL 为月固坐标系 , 参考平 面是月球赤道面 , oxL 沿月球赤道面与起始子午面 的交线方向 , oyL 沿月球自转轴方向 , 该坐标系是右 手坐标系。 Ax 1 y1 z1 为原点在探测器的轨道坐标系 ,
0 引言 月球是距离地球最近的天体 , 对月球资源和环 境进行科学研究和考察 ,是人类走出地球 , 探索未知 世界所必需 经历的 重要步骤 。从 1959 年 至今 , 美 国、 前苏联和日本三个国家已成功地实现了对月球 的探测 。随着航天科技的不断发展 , 我国的月球探 测计划 “嫦娥工程” 也已经顺利展开 。 由于月球没有大气 ,探测器着陆时无法利用大气 制动 ,只能利用制动发动机来减速 , 在很大程度上限 制了探测器所能携带有效载荷的质量 。探测器在月 面着陆可以分为硬着陆和软着陆 。硬着陆对月速度 不受限制 ,探测器撞上月球后设备将损坏 , 只能在接 近月球的过程中传回月面信息 ;软着陆对月速度比较 小 ,探测器着陆后可继续在月面进行考察 , 因此相比 于硬着陆 ,软着陆更具有实用意义。目前已发表的文 献中探测器的动力学模型大多都是采用二维模型 , 即 假设月球探测器在一个固定的铅锤面内运动 , 没有考 虑侧向运动 ,而且所采用的模型都是在忽略月球自转 的基础上得到的 。但由于发动机安装偏差、 姿控 系统误差和月球自转等因素的存在 ,探测器难以保证 始终在固定的铅锤面内运动。文献 [9] 虽然考虑了探 测器在三维空间的运动 ,但所用模型经过了较高程度 的简化 , 将月球引力场假设为平行定常引力场 , 并且 没有考虑月球自转对系统的影响。 对于两点边值问题 ,除了某些特殊系统外 ,通常 难以求得最优控制规律的解析表达式 。因此 , 必须
一种月球软着陆优化方法
32
A
上 E RO SP
海 航 天 ACE S HAN
Hale Waihona Puke GH AI2008 年第 4 期
a x = a0 + a1 t ;
a y = b0 + b1 t ;
(1)
a z = c0 + c1 t. 式中 : a x , a y , a z 为软着陆加速度 ; a0 , a 1 , b0 , b1 , c0 , c1 为常系数; t 为时间 。软着陆轨道任一 时刻的位置
式中 : ( x0 , y0 , z0 ) , ( vx0 , vy0 , vz0 ) 分别为初始位置坐 标和速度。
式 (2) 中有方程 6 个和变量 7 个 ,控制其中的某
个参数 即可 实现 软着 陆的轨 道优 化 。若 ( x0 , y0 ,
Keywor ds: Luna r exploration ; Sof t2landing ; Trajectory ; Variable thruste r ; Optimization
0 引言
在月球建立基地或勘测月面时 ,需在月球表面 软着陆 。月球无大气 ,无法通过大气阻力减速 ,须用 探月器的发动机制动 ,因此燃耗最少就成为一个重 要的优化目标[ 1 ] 。软着陆燃耗最优的求解是一个两 点边值问题 ,计算较难 。文献[2 ]基于初值猜测技术 的打靶法求解两点边值问题 ,获得了燃耗最优的软 着陆轨迹。文献[ 3]对固定推力发动机 ,采用庞特里 亚金极大值原理分析了燃料最省变轨控制 ,并引入 遗传算法数值求解两点边值问题 ,获得了制动变轨 的初始 、终端位置和发动机推力方向角的最优控制 律 。文献 [4 、5]在常推力前提下分别采用多项式拟 合推力方向角和离散化软着陆轨道后 ,通过序列二 次规划 (SQ P) 法实现轨道优化 。但两点边值问题的
月球软着陆轨道快速优化_唐琼
F a s t O p t i mi z a t i o no f T r a j e c t o r yf o r L u n a r S o f t L a n d i n g
T A N GQ i o n g
( C o l l e g eo f A s t r o n a u t i c s , N o r t h w e s t e r nP o l y t e c h n i c a l U n i v e r s i t y , X i a nS h a n x i710072, C h i n a ) AB S T R AC T : D e t e r m i n i n gh o wt of i n dt h eb e s t c o n t r o l so f t h el u n a rl a n d i n gv e h i c l es ot h a t i ti sa b l et os a f e l y r e a c hs u r f a c eo f t h emo o ni n v o l v e s t h es o l u t i o no f at w o-p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m .T h i s p r o b l e m, w h i c hi s c o n s i d e r e dt ob ed i f f i c u l t , i st r a d i t i o n a l l ys o l v e do nt h eg r o u n dp r i o rt of l i g h t .T h eo p t i m a l c o n t r o l sa r ef o u n d r e g a r d l e s s o f c o m p u t i n gt i m eb yu s i n gmo s t o f a l g o r i t h ms .Ho w e v e r , i t s c r u c i a l t of i n dt h eo p t i m a l c o n t r o l si nr e a l -t i m ef o r s o m el a n d i n gt a s k s .T r a d i t i o n a l t r a j e c t o r y o p t i ma l a l g o r i t h mc a nn o t p e r f o r mt h i s f a s t o p t i m i z a t i o nt a s k . I nt h i s w o r k , an e wh y p o t h e s i s i s i n t r o d u c e da c c o r d i n gt ot h ed i s t i n g u i s h e df e a t u r e s o f l u n a ra n dt h ec h a r a c t e r o f s o f t l a n d i n gt r a j e c t o r y .T h es e t o f d y n a m i c s a n dk i n e m a t i c s e q u a t i o n s o f m o t i o ni s s i mp l i f i e d , w h i c hi mp r o v e s t h e e f f i c i e n c yo f o p t i mi z a t i o ng r e a t l y .T h e nt h eme t h o d so f mu l t i p l i e r sa r eu s e dt od e a l w i t ht h et e r mi n a l c o n s t r a i n t s . L a t e r t h eC o n j u g a t e-G r a d i e n t Me t h o di sa p p l i e dt oe v a l u a t et h es o f t l a n d i n gt r a j e c t o r y .S u c c e s s f u l r e s u l t s s h o w t h a t t h ea l g o r i t h mi sa b l et og e n e r a t eaf e a s i b l es o f tl a n d i n gt r a j e c t o r yo fa b o u t600 s e c o n d sf l i g h tt i mei n3 s e c o n d so nt h ed e s k t o pc o m p u t e r . KE YWORD S : L u n a rl a n d i n gt r a j e c t o r i e s ;S o f tl a n d i n g ;T r a j e c t o r i e so p t i m i z a t i o n ; Me t h o d so fmu l t i p l i e r s ; C o n j u g a t e-g r a d i e n t me t h o d 国内外众多学 者已经 在登 月飞行 器软 着陆 轨道设 计与
25-杨金仓(开题报告)作业
宁夏师范学院本科生毕业论文（设计）开题报告姓名杨金仓院、系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级2012级数学与应用数学2班学号201204110225 论文（设计）题目月球探测器软着陆轨道最优设计与控制策略题目来源2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛本课题研究的现状、意义、拟研究的主要问题、重点和难点、研究方法和步骤、预期效果：现状：在美、苏进行激烈的探月竞争的五、六十年代，我国由于国力所限，没有进行探月实践活动，但许多学者致力于探月轨道设计。
如今，我国的综合国力大大增强，以举世瞩目的成就被世界公认为航天大国。
但 94 年以前，我国在实际的月球探测方面仍是空白。
94 年 7 月我国计划在 97、98 年间的"921 工程”运载器试验时，搭载月球探测器，实现登月探测，代号为“50 工程”。
95 年又提出了的“嫦娥工程”。
中国首个月球探测计划“嫦娥工程”于 2004 年 3 月 1 日启动，分三个阶段实施该月球卫星将携带 CCD 立体相机、成像光谱仪、太阳宇宙射线监测器、低能粒子探测器等科学探测仪器。
其工作轨道为极月的圆轨道，轨道高度 200 千米，它的基本构型利用中国已有的成熟的东方红三号卫星为平台，各分系统充分继承了现有的技术和设备，进行适应性改造。
月球卫星将采用中国已有的成熟的运载火箭长征三号甲进行发射。
运载火箭把卫星送入地球静止转移轨道后与卫星分离，其后的轨道机动、中途修正、近月点制动等均由星上推进系统完成。
意义：本文所研究的制导控制方法正是为满足上述要求，应用现代控制理论，结合我国航天发展的实际情况而进行的。
本文以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件建立的最优轨道设计上进行仿真分析，实施月球探测将是继发射人造地球卫星和突破载人航天技术之后，中国航天活动的第三个里程碑。
月球是离地球最近的天体,自然成为空间探测的首选目标。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略(北京市一等奖)
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要月球软着陆是月球探测中的一项关键技术。
软着陆轨道设计与控制策略也成为技术的重要环节。
本文主要基于嫦娥三号在月球软着陆过程中着陆准备轨道、主减速段、快速调整段、粗避障段、精避障段以及缓速下降阶段6个阶段进行研究，从而确定着陆轨道和最优控制策略。
对于问题一，本文将题目简化为从离月球表面1500米到300米位置，嫦娥三号作匀减速运动。
通过其受到的月球引力以及在300米处对应的经纬度计算其动力方程和几何方程，得到近月点的位置：︒30N，高度离月球表面19W，︒5.51.15km，速度为1.7km/s，俯仰姿态角︒160E，︒5.30S，.6984。
远月点所在位置为：︒高度离月球表面100km，速度为1.62km/s，俯仰姿态角︒84。
对于问题二，将软着陆轨道离散化，利用离散点处状态连续作为约束条件，将常推力软着陆轨道转化为多参数问题，利用二次规划确定着陆轨道。
并通过仿真分析得到嫦娥三号在着陆轨道中月心距、法向速度、切向速度和随时间的变化曲线。
本文在确定嫦娥三号软着陆的6个阶段策略为：在主减速制导阶段将推进剂消耗优化作为主要设计目标，另外还要兼顾工程可实现性要求；在快速调整阶段提出利用推力大小和方向线性变化的制导率；在粗避障制导阶段提出一种多项式制导算法，满足了速度，姿态等多项约束；在精避障制导阶段，采用位置和速度的平面控制相结合的方式制导；在缓速下降阶段将着陆安全性以、陆月面的速度以及姿态控制精度作为主要控制因素。
对于问题三，在考虑设备测量误差和执行机构误差后，本文关于误差的分析均采用蒙特卡罗打靶方案。
根据变推力方案推算着陆位置误差、嫦娥三号关机高度和径向着陆速度、软着陆全过程纵向和横向着陆速度误差分布图。
关键词：匀减速运动离散化二次规划蒙特卡罗打靶一、问题的背景嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。
月球软着陆轨道优化方法比较研究
３５ ６
工
程
数
学
学
报
第２ 卷 ９
整姿态后 ，探测器垂直 降落到 月面 ．霍曼变轨的理论 已经很成 熟，现在主要研究从近月点到月 面的轨道制动方案 ．
２ 月球软着 陆 问题描 述
探测器从 环月轨道开始软着陆时 ，首先进行霍 曼变轨 ，由一个大约 １０ ｍ 高度 的近似 圆形 １ｋ
环 月停 泊轨道进入一条远 月点高度 约为 １ ０ ｍ，近 月点高度约 为 １ ｍ的椭 圆轨道 ；当到达近 １ ｋ ５ ｋ
月点时，制动发动机 点火，探测器 进入动力下降段 ；距月面大约 ２ ｍ 时，水平速度减为 ０ ｋ ，调
了 参考 ．
关键词：月球探测 ；软着陆；轨道优化 ；最优控制 ；参数化方法
分类号： ＡＭ Ｓ２０ ） ９ ９ （００ ４Ｎ ０
中图分类号： ４ ２ １ Ｖ １． ４
文献标识码 ： Ａ
１ 引言
我国载人月球探测工程分为 “ 绕、落、回 ”三个发展阶段［２，其 中第一个阶段 即绕月探测 １］ ， 工程 ，于 ２ ０ 年 ２ ０４ 月立项启动 ，２ ０ 年 １ 月 ２ ０ ７ ０ ４日成 功发射 ，２ ０ 年 ３ １日嫦娥一 号卫星在 ０９ 月 完成预期的任务 目标后成功受控落月 ，整个工程取得 圆满成功 ．第二个阶段为 “ ”，即研制 落 和发射月球软着陆器 ，并携带月球巡视勘察器 ｆ 称月球车） 俗 ，在着 陆器落区附近进行探测 ．无 论是第 二个阶段还是第三个阶段，都需要探测 器在 月面着 陆． 由于月球没有大气 ，探测器着 陆时无法利用大气 制动 ，只能利用制 动发动机来减速 ，在很 大程度 上限制 了探测器所能携带有效载荷 的质量 ．在 月面着 陆可分为硬着陆和软着陆［．硬着 ３ ］ 陆【６对 月速度不受 限制 ，探测器撞上 月球 后设备将损坏 ，只 能在接近 月球 的过程 中传回月面 ４＿ ＿ 信息 ；软着陆对月速 度 比较小 ，探测器着陆后可继续在月面进行考察 ，因此相 比于硬着陆 ，软 着陆更具有实用意义 ．月球 软着 陆大致可 以分为两种方式 ：一种是直接着陆方式 ，另一种是经 过环月轨道的着陆方式．直 接着 陆方式仅要求单冲量制动着陆所需的速度增量较小 ，可 以多运 送一些有效载荷；而经过环月轨道 的着陆方式需要双冲量制动着 陆 ｆ 环月轨道射入和软着陆） ． 同第 一种 直接 软着 陆相 比较 ， 自环 月轨道 开始的软着陆方案具有较长的软着 陆准备时间、可选 择 更大的着陆区域 、可减 少着陆舱 部分的燃料消耗等优 点 ，因此成为二十一世纪各航天大国进 行月球探测普遍采用 的软着陆方式 ．
基于直接配点法的月球软着陆轨道快速优化
基于直接配点法的月球软着陆轨道快速优化涂良辉;袁建平;罗建军;方群【期刊名称】《中国空间科学技术》【年(卷),期】2008(028)004【摘要】介绍了直接配点法在月球探测器软着陆轨道快速优化问题中的应用.首先给出了软着陆最优化控制问题模型,其中状态方程为量纲为1的三自由度模型,性能指标选为燃料消耗最小,控制变量则为推力攻角和推力.终端状态受到速度和高度的约束.然后,应用直接配点法将最优控制问题离散化为非线性规划问题,即将动态优化问题转化为静态参数最优化问题.选取各节点和配点上的状态量和控制量作为优化参数.最后应用基于Matlab语言的SNOPT软件包对参数最优化问题进行求解,该软件包对于求解大型非线性规划问题具有很好的收敛性.仿真结果表明直接配点法对于月球探测器软着陆轨道初始状态量和控制量的取值不敏感,且求解过程具有一定的实时性.因此,直接配点法对于再入轨迹优化问题的求解是可行的.【总页数】7页(P19-24,39)【作者】涂良辉;袁建平;罗建军;方群【作者单位】西北工业大学航天学院,西安,710072;西北工业大学航天学院,西安,710072;西北工业大学航天学院,西安,710072;西北工业大学航天学院,西安,710072【正文语种】中文【中图分类】V4【相关文献】1.基于伪光谱方法月球软着陆轨道快速优化设计 [J], 王明光;裴听国;袁建平2.月球软着陆轨道的时间逼近法快速优化设计 [J], 赵吉松;谷良贤;高原3.基于伪光谱方法的月球软着陆轨道快速优化 [J], 罗建军;王明光;袁建平4.基于直接配点法的滑翔轨迹快速优化设计 [J], 陈小庆;侯中喜;刘建霞5.基于广义乘子法的月球软着陆轨道快速优化设计 [J], 赵吉松;谷良贤因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
月球探测器推力控制轨道优化设计
月球探测器推力控制轨道优化设计一、概述随着人类对宇宙探索的不断深入，月球作为地球的近邻，已成为众多航天任务的重要目标。
月球探测器作为执行这些任务的关键工具，其推力控制轨道优化设计显得尤为重要。
推力控制是月球探测器轨道设计中的核心环节，直接关系到探测器的能源利用、任务执行效率和安全性。
对月球探测器推力控制轨道进行优化设计，不仅有助于提升探测器的性能，也是实现高效、安全、经济的月球探测任务的关键。
本文旨在探讨月球探测器推力控制轨道的优化设计方法。
我们将介绍月球探测器的轨道特性及其面临的挑战，包括重力场模型、大气扰动、太阳辐射压等因素对轨道的影响。
接着，我们将分析推力控制的基本原理及其在轨道设计中的应用，包括推力大小和方向的控制、轨道转移策略等。
在此基础上，我们将提出一种基于多目标优化的推力控制轨道设计方法，旨在实现探测器能源利用的最大化、任务执行时间的最短化以及轨道安全性的提升。
通过本文的研究，我们期望为月球探测器的轨道设计提供一种新的优化思路和方法，为未来的月球探测任务提供技术支持和参考。
同时，我们也期望通过这一研究，推动航天工程领域在轨道设计、推力控制等方面的理论创新和技术进步。
1. 探月任务的重要性与意义探月任务是人类探索宇宙、认识自然、拓展生存空间的重要里程碑。
自20世纪60年代人类首次登月以来，月球探测任务不仅在科学探索上取得了巨大成就，更在推动科技进步、提升国家综合实力、激发人类探索精神等方面发挥了重要作用。
月球探测任务的重要性与意义体现在以下几个方面：月球探测任务对于科学探索具有深远意义。
月球作为地球的唯一天然卫星，拥有独特的地理、地质和天文条件，是研究太阳系形成和演化、地球起源和演化的重要窗口。
通过对月球的深入探测和研究，我们可以更深入地了解月球的构造、地质特征、矿产资源、大气环境等，为认识宇宙的奥秘提供宝贵的数据和线索。
月球探测任务在推动科技进步方面发挥着重要作用。
月球探测需要先进的航天技术、通信技术、材料科学、能源技术等多领域的支持。
月球软着陆下降轨迹与制导律优化设计研究
宇 航 学 报
Journal of Astronautics
Vol. 28 No. 5 September 2007
月球软着陆下降轨迹与制导律优化设计研究
王鹏基1 , 张 2 , 曲广吉2
(1 . 北京控制工程研究所 空间智能控制技术国家级重点实验室 , 北京 100080 ; 2. 中国空间技术研究院总体部 , 北京 100086)
ox b yb zb : 原点 o 位于着陆器质心 , x b 轴在制动推力
上实现自主控制。文献 [4 ]利用当前状态进行推力角 控制量的单步优化 ,即在剩余时间间隔 [0 , t s ] 内进行 局部优化 。这样一来 ,控制量 � u = [θ ψ ] 即可 通过每一步的优化计算不断更新。本文亦采用这样 的方法 。 单步优化中引入平面月球和质量不变假设 后 , 式 ( 1) 表示的动力学模型可简化为
OXr Yr Zr :该坐标系原点 O 位于月心 , Zr 轴由月心
指向初始软着陆点 , Xr 轴位于环月轨道平面内且指 向前进方向 , Yr 轴与 Xr 和 Zr 构成直角坐标系。该 坐标系 仅用 于软着 陆下 降轨 迹和 制导 律设 计中 。
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宇航学报
第 28 卷
(2) 下降轨道参考坐标系 ox o y o zo : 原点 o 位于着陆 器质心 , y o 轴由月心指向着陆器质心为正 , x o 轴位 于当地水平面内且指向着陆器前进方向 , yo 轴与 x o 和 zo 轴 构成 直 角 坐 标系 。 ( 3 ) 着 陆 器 体 坐 标 系
0 引言 所谓月球软着陆 , 是指着陆器在制动系统作用 下以很小的速度准确降落到月面指定区域 , 以保证 试验设备和宇航员的安全 。自二十世纪六十年代开 始 , 人类成功实现了无人和载人月面软着陆 。无人 软着陆如苏联的 Luna 计划 (Luna - 9 ,Luna - 13) 和美 国的 Surveyor 计划等 , 载人 软着陆 如美国 的 Apollo 计划 [ 1] 。进入二十一世纪 , 世界航天领域又重新掀 起了月球探测的热潮 , 当前开展的月球软着陆如欧 洲的 EuroMoon2000 和日本的 SE LENE 等 。 总起来说 ,月球软着陆有两种形式 :一是自地月 转移轨道直接实现软着陆 , 二是自月球停泊轨道变 轨至近月点然后实现软着陆。同第一种直接软着陆 相比较 , 自环月轨道开始的软着陆方案具有较长的 软着陆准备时间 、 可选择更大的着陆区域 、 可减少着 陆舱部分的燃料消耗等优点 , 因此成为二十一世纪 各航天大国进行月球探测普遍采用的软着陆方式 。 着陆器从环月轨道离轨进入霍曼转移轨道后 , 自近月点开始下降。月球软着陆通常需要经历制动 段、 接近段和着陆段三个阶段 。自近月点开始 到距离月面几公里高度的一段制动下降过程称为制 动段 ,也叫动力下降段 , 其主要目的是通过制动发动 机抵消近月点处较大的初始速度。因此 , 制动段应 以燃料优化为首要目标。接近段介于制动段和着陆
登月软着陆轨道优化算法研究
ｃｅ ｚ ｇｔ ａ ｃ ｒ ａｄｆｔ ｇｔｅｔｒｓ ｃｎ ｏ ａｇ ｙｆｎ ｔｎａ ｐｏｃ ｅ ｏ ，ｔｅｔ ｉｃ ｒ ｐｉ ｉ ｔｎ ｒｔｉ ｅｔ ｊ ｔ ｙ ｎ ｔｎ ｈ ｕｔ ｏｔ ｌ ｎ ｌ ｂ ｃｏ ｐ ｒａｈ ｍ ｔ ｄ ｈ ｒ ｅｔ ｙｏｔ ｚ ｉ ｉｎ ｈ ｒ ｅ ｏ ｉｉ ｈ ｒ ｅ ｕ ｉ ｈ ａ ｏ ｍ ａｏ
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基于障碍函数方法的月球软着陆最优轨迹设计
图 ２ 对 数 障碍 函数 曲线
从 图 ２所示 的对 数 函数 曲线 可 以看 出 ，当探 测 器 的推力取值 在 约束 边界 ｕｉ “ 附 近 时 ，最 优 指标 取值发 生 突 变 ，而优 化 算 法最 终 目标是 获
所示 。
产＝ ｖ
： ｓｎ 一 ｉ
ｍ ｒ
＋ｒ ∞：
０＝
够在 一定 范 围内对 推力 大 小 进 行连 续 的调 节 ，能 够避 免发 动机 频 繁 开关 的不 足 。在 利 用 变推 力 发 动机 进行 软着 陆 时 ，制 导 律 的设 计 不仅 要 满 足 燃
砌 ： 。 ２ 三ｃｓ ’ 一 ，
摘
要 ：针对推力 约束条 件下 的月球软着陆问题 ，研 究了一种基于障碍函数求解最优终端制导律 的方法 。首先 对探测
器的动力学模 型做 简单 变换 ，将探测 器的运动分解 为径 向与切向运动 ；然后分别设 计合理 的对数 函数作 为障碍 函数 ，将 有 限推力 约束条件下 的轨道优化 问题转化为无约束优化 问题 ，避免 了软着陆过程 中推力 饱和 问题 的 出现 ；对最 优控制 问题 中 的两点边值 问题 ，将其转化为对共轭变量初值 的优化 问题 ，并应用非线性 规划方法进 行求解 ；最后 通过数字 仿真结果表 明
控 制发 动机 的开关 进 行 软 着 陆 。变 推 力 发 动机 能
力方 向 与本 体 轴 ０ 之 间 的夹 角 ， 为探 测 器 速 ２ ； 度方 向与 本 体 轴 ｏ 之 间 的 夹 角 ， 为 制 动 火 箭 推力 大 小 。 着 陆 器 质 心 动 力 学 方 程 如 式 （ ） １
月球精确软着陆最优标称轨迹在轨制导方法_梁栋
月球精确软着陆最优标称轨迹在轨制导方法
２ １ １， ２ 梁栋１， 刘良栋 何英姿
（ ）（ ） １ 北京控制工程研究所 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ ０ ２ 空间智能控制技术国家级重点实验室 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ ０
摘要
，且满足燃耗最优性要 为实现在月球表面期望 的 着 陆 点 进 行 精 确 软 着 陆 （ Ｐ Ｐ Ｌ）
更新修正hessian矩阵hk使hk1保持正定对称令kk1转步骤2遗传算法轨迹优化sqp算法需要首先给定参数迭代初值且初值好坏直接影响算法性能遗传算法虽然计算量大用时较长不适用于月球ppl在轨自主轨迹规划但它具有良好的全局寻优性能且不存在初值敏2011年12月感问题这一优点使其可以作为sqp方法的辅助算法主要有以下两个用途
′ ｘ ｚ： 原点位于着陆器的质心 ，Ｏ ′ ｚ 轴为月心指向着陆器质心的方向 ，Ｏ ′ ｘ 轴位于 轨道坐标系 Ｏ ｙ 当地水平面内指向着陆器运动方向 ，Ｏ ′ ｙ 轴按照右手定则确定 。 制动推力 Ｆ 的方向与着陆器本体轴
重合 ， 着陆器相对于轨道坐标系的姿态角分别 为 偏 航 角 ψ 和 俯 仰 角θ。 ′ ｚ 轴逆时针旋转为 ψ 绕 正Ｏ 正， ′ θ 绕正 Ｏ ｙ 轴顺时针旋转为正 。 忽略月球的非球形摄动和自转影响 ， 着陆器质心动力学方程为
Ｎ Ｎ
； ｘ（ Ｘ（ ｕ（ Ｕ（ ＝∑ ＝∑ τ）≈ Ｘ（ τ） τ） τ
ｉ＝０ ｉ＝０
分别逼近状态和控制变量 。 其中 ，Ｌ ａ ｒ ａ ｎ ｅ正交多项式 ｇ ｇ ２ （ ） ＬＮ （ τ －１ τ） τ） ＝ （ ｉ（ ） （ Ｎ Ｎ ＋１ ＬＮ （ τ τ－τ ｉ） ｉ）
。 收修改稿日期 ：２ 收稿日期 ：２ ０ １ １ ０ ３ １ ６ ０ １ １ ０ ４ ０ ８ － － － －
月球软着陆轨道优化方法比较研究
月球软着陆轨道优化方法比较研究张建辉;张峰【摘要】Trajectory optimization of the lunar soft landing problem can be treated as a nonlinear optimal control problem with free terminal time and control constraints. The difficulties of this optimization problem are how to deal with the free terminal time and how to convert the nonlinear control problem into a tractable optimization problem. This paper surveys different kinds of lunar soft landing models and the optimization approaches for determining the optimal trajectory of the lunar detector. Specifically, we make a general classification for the current optimization methods, and then compare the relative merits of different methods. At last, according to the essential characteristics of the trajectory optimization problem for the lunar soft landing, we summarize several effective processing methods, which provide a guidance for the China's lunar soft landing plan.%月球软着陆轨道优化问题是一非线性、终端时间自由且带有控制约束的最优控制问题.月球探测器软着陆轨道优化的难点在于怎么处理自由的终端时间,如何把非线性的控制问题转换为易于处理的优化问题.本文介绍了月球探测器的几种软着陆方式和月球探测器轨道的多种优化方法,对各种优化算法进行了一个大概的分类,并对各种优化算法的优缺点进行了分析比较.进而,总结了解决月球探测器软着陆轨道优化问题难点的几种有效方法,为未来我国的月球软着陆工程提供了参考.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(029)003【总页数】11页(P355-365)【关键词】月球探测;软着陆;轨道优化;最优控制;参数化方法【作者】张建辉;张峰【作者单位】西安交通大学数学与统计学院,西安710049;解放军63778部队,佳木斯154002;西安交通大学数学与统计学院,西安710049【正文语种】中文【中图分类】V412.411 引言我国载人月球探测工程分为“绕、落、回”三个发展阶段[1,2]，其中第一个阶段即绕月探测工程，于2004年2月立项启动，2007年10月24日成功发射，2009年3月1日嫦娥一号卫星在完成预期的任务目标后成功受控落月，整个工程取得圆满成功．第二个阶段为“落”，即研制和发射月球软着陆器，并携带月球巡视勘察器(俗称月球车)，在着陆器落区附近进行探测．无论是第二个阶段还是第三个阶段，都需要探测器在月面着陆．由于月球没有大气，探测器着陆时无法利用大气制动，只能利用制动发动机来减速，在很大程度上限制了探测器所能携带有效载荷的质量．在月面着陆可分为硬着陆和软着陆[3]．硬着陆[4-6]对月速度不受限制，探测器撞上月球后设备将损坏，只能在接近月球的过程中传回月面信息；软着陆对月速度比较小，探测器着陆后可继续在月面进行考察，因此相比于硬着陆，软着陆更具有实用意义．月球软着陆大致可以分为两种方式：一种是直接着陆方式，另一种是经过环月轨道的着陆方式．直接着陆方式仅要求单冲量制动着陆所需的速度增量较小，可以多运送一些有效载荷；而经过环月轨道的着陆方式需要双冲量制动着陆(环月轨道射入和软着陆)．同第一种直接软着陆相比较，自环月轨道开始的软着陆方案具有较长的软着陆准备时间、可选择更大的着陆区域、可减少着陆舱部分的燃料消耗等优点，因此成为二十一世纪各航天大国进行月球探测普遍采用的软着陆方式．2 月球软着陆问题描述探测器从环月轨道开始软着陆时，首先进行霍曼变轨，由一个大约110km高度的近似圆形环月停泊轨道进入一条远月点高度约为110km，近月点高度约为15km的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进入动力下降段；距月面大约2km时，水平速度减为0，调整姿态后，探测器垂直降落到月面．霍曼变轨的理论已经很成熟，现在主要研究从近月点到月面的轨道制动方案．目前研究月球软着陆的文献中探测器的动力学模型大多都是采用二维模型，即假设月球探测器在一个固定的铅垂面内运动，没有考虑侧向运动，而且得到的模型都是在忽略月球自转的基础上得到的．但由于各种误差和月球自转等因素的存在，探测器很难保证始终在固定的铅垂面内运动．文献[7]考虑了探测器在三维空间的运动，但所用模型将月球引力场假设为平行定常引力场，并且没有考虑月球自转对系统的影响．文献[8]建立了探测器在三维空间飞行的精确动力学模型．由于从15km左右的轨道高度软着陆到非常接近月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，所以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计．使用较为简单的二体模型可以很好的描述这一问题，我们可建立如图1所示软着陆坐标系．图1:纵向面软着陆坐标系示意图取月心o为坐标原点，指向着陆转移轨道的近月点；r∈R+为探测器到月心的距离；θ是⃗oy和⃗or的夹角；ψ(t)为推力方向与⃗or垂线的夹角；F为制动火箭的常值推力大小，F取Fmax或0．着陆器质心运动学方程为其中v∈R是探测器在矢径r方向上的速度；ω∈R是探测器方位角θ的角速度；m∈R+是探测器质量；µ是月球引力常数；C为制动火箭的排气速度，是一个常值．假定初始时刻t0=0，终端时刻tf为任意值．软着陆的初始条件由探测器在椭圆轨道近月点处的状态确定，即为了在到达月面时实现软着陆，显然应有如下终端条件其中r0是月心到近月点的距离，rf是月球半径，vf为探测器到达月面时的速度．最优软着陆轨道设计的目的是寻找最优控制u(t)=u∗(t)，其中u(t)=[F,ψ]T，使得着陆过程燃耗最小，即使性能指标函数取最小值．3 月球软着陆轨道优化方法研究在轨道动力学模型选定以后，另一个主要的工作就是进行轨道优化，轨道优化方法又根据其对动力学模型处理方式的不同分为间接法、直接法和混合法三种基本类型．所有研究的文献都是以燃料最优[9]为目标函数的，其实燃料最优也就是时间最优．3.1 间接法如果利用变分法或者Pontryagin极大值原理将轨道优化问题归结为终端时间自由的两点边值问题，然后再对此两点边值问题进行求解从而获得最优控制律，这种方法称之为间接法．早在1962年Kriegsman和Reiss[10]就利用变分法将月球软着陆轨道优化问题转化为两点边值问题进了求解．王大轶[11]应用Pontryagin极大值原理将月球软着陆最优轨迹变成了一个两点边值问题，并利用一种基于初值猜测技术的打靶法求解了这个两点边值问题．赵吉松[12]利用Pontryagin极大值原理把软着陆轨道优化问题转化为了两点边值问题，然后采用初值猜测技术和线性摄动法求解了此两点边值问题．用Pontryagin极大值原理求解月球软着陆问题的过程如下，根据上面的模型引入如下变量：共轭变量：λ =(λr,λv,λθ,λω,λm)T，状态变量：x=(r,v,θ,ω,m)T.记则式(1)可以写成=f．构造哈密顿函数其中H2是与控制变量无关的部分，根据Pontryagin极大值原理，最优控制使H 最大，也就是使H1最大，从H1的表达式易知最优控制律为最佳软着陆应满足如下条件：1) 初始条件：x(t0)=(r0,0,0,ω0,m0)T．2) 终端条件：3)共轭方程：，展开为4) 横截条件：5) 中间约束：选择共轭方程的初始值，根据终端条件求解共轭方程和动力学方程(1)，就可以求得最终的结果．间接法在理论上严格满足最优性条件，但是在转化为两点边值问题进行求解时，需要首先猜测未知状态变量的初值，而这些初值是没有物理意义的；当猜测值与真值相差较大时，计算过程往往陷入局部极值点，或者使计算过程发散．由于此共轭状态初值的敏感性很难获得收敛，因此间接法的应用受到了一定的限制．如果能够找到更好的共轭变量初值猜测方法，则用间接法求解该问题则变得很方便．3.2 直接法直接法是指不引入共轭状态和共轭方程，而直接对动力学方程和控制量进行离散化，并利用参数化方法对这些离散化参数进行优化，从而得到最优轨迹的方法．也就是把最优控制问题转化为非线性规划问题后再通过优化方法求解．下面以直接配点法中的三阶Simpson方法为例来说明直接法和间接法的区别．直接配点法在[t0,tf]内将连续时间分为N段，每一段的两个端点称为节点，每一个子区间为[ti,ti+1],i=0,1,···,N −1．记hi=ti+1−ti,t∈ [ti,ti+1],s=(t−ti)/hi，则s ∈ [0,1]，每一个状态变量都可以用三次Hermite多项式表示边界条件为则解上述线性方程组可得在子区间的中点处，将(9)代入(6)可得式中fi,fi+1分别表示f(x,u,t)在第i个子区间两端点处的函数值，即三阶Simpson方法将每个节点处的状态量和控制量以及配点处的控制量作为优化决策变量，配点取为子区间中点，即三阶Simpson方法要求由式(10)和状态方程(1)计算得到的配点处状态量导数相等，以此来确保式(6)能够很好的拟合最优状态量变化．通过计算配点处状态方程右端项f(xci,uci,tci)，可以利用Simpson积分公式在整个小区间上对状态方程积分，得到对式(11)移项，得到通过上面的方法就把最优控制问题转化为了具有等式和不等式约束的非线性规划问题．此非线性规划问题的目标函数为；不等式约束为等式约束为：初始条件的5个等式约束终端条件产生的3个等式约束还有式(12)产生的5N个(N×5)等式约束．这样就构成了一个大型的非线性规划问题．接着就可以利用一定的非线性规划算法进行求解．非线性规划的直接配点法是直接法中常用的一种，该方法就是利用多项式拟合积分和估算节点控制，涂良辉[13]]用此方法计算了最优月球软着陆轨道．Kriegsman和Reiss[14]使用序列二次规划方法求解了此问题．孙军伟[15]通过将常推力月球软着陆轨道直接离散化为非线性规划问题，利用序列二次规划法求解了此轨道优化问题．Rao[16]，Elnagar等[17]，Luo[18]，王明光[19]分别用伪光谱方法求解了此软着陆轨道优化问题．赵吉松，谷良贤[20,21]通过优化变量直接离散化和四阶Admas预测-校正数值积分方法，转化为有约束的非线性规划问题，采用广义乘子法处理约束条件，采用拟牛顿法求解处理后的无约束最优化问题．Gath[22]提出了一种通过直接序列化方法和并行打靶法结合的方法求解了轨迹优化问题．Stryk等[23]为提高直接法的精确性和间接法的收敛区间提出了一种混合逼近法和并行打靶法相结合的方法求解轨迹优化问题．直接法避免了没有物理意义的未知变量的初值猜测问题，而且具有全局收敛性，但是这些方法或者计算量大，或者优化精度偏低．非常适合精确动力学模型下的轨道优化问题，但要获得高精度的轨道需要的计算量会很大．3.3 混合法混合法是指引入共轭状态，利用共轭方程确定控制轨线，但不直接求解两点边值问题，而是通过参数优化方法来获得最优控制的方法．下面具体的讨论一种把一个两点边值问题转化为一个非线性规划问题的过程．根据已有结果只考虑常值推力的情况(控制变量u只有推力方向角ψ)．观察式(1)和式(3)可以看出λm的取值对[λr,λv,λω]T 以及状态变量[r,v,θ,ω,m]T 没有影响，因而只要先确定ψ∗，再选取迭代初值，结合已知的状态变量初值x(tf)=(r0,0,0,ω0,m0)T在[t0,tf]上对(1)和式(3)进行积分，就可以得到终端状态x(tf)，因此可以将终端状态看做是迭代初值与终端时刻tf的函数．基于这种考虑，同样可以把性能指标J 看做是[λr,λv,λω]Tt=0与tf的函数，则本文的两点边值问题即转化为：待优化目标函数：J=ϕ[x(tf)]，待优化参数：[λr,λv,λω]T,tf．约束为：这样就把两点边值问题转化为非线性规划问题了，求解此类算法已经有了许多可靠算法．Kluever采用混合的直接法/间接法求解了一系列的地月转移问题．文献[24,25]采用混合法求解了月球软着陆轨迹优化问题．混合法可以获得高精度轨道，且比间接法更容易获得收敛．3.4 其它的优化方法近年来，随着现代优化方法被应用于轨道优化中，出现了一些新的研究方法．文献[26,27]基于Chebyshev伪谱方法给出了一种直接轨道优化方法．遗传算法[28,29]和神经网络[30,31]也别应用于轨道优化中，文献[32–34]分别应用蛙跳算法、蚁群算法和自适应模拟退火遗传算法求解了月球软着陆轨道优化问题．这些算法的原理都可以算是用直接法求解，这里就不再详细的叙述．4 月球最优软着陆研究中的要点分析4.1 终端时间的处理方法月球软着陆轨道优化问题是一个终端时间自由型的问题，无论用哪种方法处理，都面临着这一问题，而这就给求解此问题带来了困难，所以需要首先解决此问题，一般有下面三种处理方法．1) 大部分的文献[8,15,24,25,32–34]等都是将终端时间作为优化变量直接优化．具体的方法就像上面混合法中提到的那样，把终端时间tf作为待优化的参数．2) 文献[7,12,21]通过解析估算软着陆时间，将原问题化为终端时间固定型最优控制问题，文献[21]更是根据解此最优控制问题得到的终端能量特性对软着陆时间进行修正，得到新的终端时间固定型最优控制问题，重复前述优化和修正，最终得到最优软着陆时间．估算过程如下，取月球表面为势能零点，则着陆器具有的初始能量为其中m0,v0,h0分别为着陆器的初始质量、速度和高度．由于软着陆时着陆器能量为零，可知推力作用主要用来抵消能量，将该能量等效为动能，等效速度为假设采用脉冲推力模式，根据齐奥尔科夫斯基公式可得将该速度抵消需要消耗的燃料量为∆m=，其中C为式(1)提到的制动火箭的排气速度，则与∆m对应的终端时间tf为该时间即为估算的软着陆时间tf．3) 通过其它变量替换原来的时间积分变量，转化为终端积分变量固定型的最优控制问题．文献[18,19,35]引入能量变量替换原来的时间积分变量．引入能量替换变量e，其中e=，根据式(1)和式(3)可得所以软着陆模型的运动学方程(1)可以转化为对变量e的求导因为初始和终端的速度和高度已知，即e0,ef已知，这样转化以后，就把原终端时间自由的最优控制问题变为了终端积分变量固定的最优控制问题，积分区间为[e0,ef]．但月球最优软着陆时，能量并非均匀变化，在着陆点附近能量变化率趋于零，以能量e为积分变量会带来较大的数值误差．文献[20]用状态变量替换时间积分变量．选择状态变量ω作为积分变量，为了使得积分变量单调递增，引入变量ω′=−ω，则根据式(1)和式(3)可得软着陆模型的运动学方程(1)可以转化为对变量ω′的求导因为初始和终端的状态变量ω已知，即ω0,ωf已知，这样转化以后，就把原终端时间自由的最优控制问题变为了终端积分变量固定的最优控制问题，积分区间为[ω0,ωf]．但这种处理方法只有当推力方向角ψ∈(−90◦,90◦)，ω才能保证，才能均匀变化．4.2 未知变量初值的选取无论是间接法中协态变量初值还是直接法中逼近多项式系数等未知变量的初值选取都直接影响到最终的优化结果，所以选择合适的初值能更好更快的收敛到正确的结果．对于间接法中协态变量初值猜测问题，如文献[11,12,36–38]都是通过对有物理意义的控制变量初值的猜测来间接的猜测共轭变量的初值．在初始时刻t0附近，λ可近似展开为式中λ =(λr,λv,λθ,λω,λm)T, λ0=，tm 为t0附近的某一时刻．因为终端时间tf自由，所以应满足方程对自治系统，状态方程(1)不显含时间t，所以最优轨迹的哈密顿函数满足式中为常数，可以借助于方程(14)求出．将共轭方程和式(13)代入式(15)可得通过猜测t0附近的控制变量，以初值x(t0)积分状态方程(1)至tm可得到fm的值，方程(16)是关于λ0的5维线性代数方程组，求解该方程组就可以得到λ0的猜测值．而对于直接法中大部分文献[13–21]都是尽量选取离散点处的状态和控制变量作为待优化的参数以避免没有物理意义的变量的初值猜测问题．如前文中介绍的三阶Simpson方法．5 总结国内外对于月球软着陆轨道优化方面做了大量的研究，而且美国早在七十年代就已经多次成功进行了登陆月球的行动．我国由于起步晚，“嫦娥一号”卫星的成功标志着月球探测的第一步，紧接着就是关于无人月球登陆行动，由于没有经验可以借鉴，也为了节约经费，只能先进行大量的理论研究，在完善的理论基础上再进行实践．由于实际中存在着许多干扰，严格理论证明下的优化轨道几乎不存在，但仍然可以通过大量的仿真实验找到一些有用的规律．如推力方向可变时比不可变时节省能量；若令推力大小可变，则制动期间发动机一直以最大推力工作最省能量；在近月点之前的一点进行制动能更节约能量等．这些都可以作为执行月球软着陆任务时的参考资料，尽管已经做了大量的关于此方面的理论研究工作，但仍存在许多不完善、不稳定的方面，仍然需要我们继续探讨研究．参考文献：[1]欧阳自远.月球探测进展与我国的探月行动(下)[J].自然杂志，2005,27(5):253-257 Ouyang Z Y.Review of lunar exploration and introduction of Chinese lunar exploration project[J].Nature Magazine,2005,27(5):253-257[2]欧阳自远，李春来，等.深空探测的进展与我国深空探测的发展战略[J].中国航天，2002,(12):28-32 Ouyang Z Y,Li C L,et al.The progress of deep space exploration and the development of deep space explorationstrategy[J].Aerospace 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月球探测器策略转弯软着陆的最优制导
着 陆 过 程 巾 不 萍在 奇 异 状 态 ， 且 至 多 进 行 一 次 开 关 切 换 ． 后 ， 出 ｒ 一种 易 于 实 现 的 次 忧 制 并 最 给
导律 ．
关键词
月 球 软 着 咕 ， 耗 最 优 控 制 ， 导 律 燃 制 ＴＰ２ ３ ｌ ７
中 图 分类 号
ＯＰＴＩ ＡＬ Ｍ ＧＵ Ｉ ＤＡＮＣＥ ＦＯＲ ＬＵ ＮＡＲ ＲＡＶＩ Ｇ ＴＹ— ＴＵＲＮ ＤＥＳ ＣＥＮ Ｔ
且 在 软 着 陆 过 程 中 至 多 进 行 一次 开关 切 换 ． 后 ． 虑 到 测 量 误 差 和 执 行 机 构 的 偏 差 对 着 陆 最 考
效 果 的 影 响 ， 出 了 一 种 易于 实 现 的 次 优 制 导 律 ． 满 足软 着 陆最 优 性 和 安 全 性 的 要 求 ． 给 来
（ — ｉ：Ｄａ ｉ ｎ ＠ ２ ８ ｅ ） Ｅ ｍａｌ ｙｗａ ｇ ６ ｎ ｔ
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｅ ｍ ａ ｍ ｕｍ ｒｎｃ ｐ ｅ Ｊ ｔｌｚ ｄ ｔ ｎ ｒ ｅ ａ ｔｍ ａ ｓｒ ｃ ｘｉ ｐ ｉ Ｊ ｌ ｓ ｕ ｉＪｅ ｏ Ｅｅ ｅ ａｔ ｎ ｏｐ ｉ ｌｇｕｉａｎ ｅ ｌ ｗ ｏ ｄ ｃ ａ ｆｒ
ｌ ｍ ｎ ｈｅ ｅ ｉ ｔ ｍ ｏ ｔ ｏ ｅ ｓ ｔ ｈ ｎｇ ｄｕｒｎ ａ ｄｉ ｇ． Ｆｉ ］ｙ， ａ ａ ｉｙ ｍ ｅ ｈａ ｉｅ ｅ ａ ｄ ｔ ｒ ｓ ａ ｓ ｎ ｗｉｃ ｉ ｉｇ ｌ ｎ ｎ ｎａ ｌ ｎ ｅ ｓｌ— ｃ ｎｚ ｄ ｎｅ ｔｍ ａ ｉ ａｎ ｅ ｌ ｗ ｓ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ． ａｒｏｐ ｉ ｌｇｕ ｄ ｃ ａ ｉ ｒ ｓ ｎ ｅ
段 ， 水 平 速 度 被 基 本 抵 消之 后 进 入 最 终 着 陆 段 ， 后 探 涮 器 以 垂 直 姿 态 软 着 陆 到 月 面 ． 在 最 制
月球探测器软着陆的最优控制
选取的敏感性而带来的计算困难 。
2 系统模型
软着陆转移轨道为 100 km ×15 km 的椭圆 轨道 ,从近月点到月面为软着陆全过程 。假设月 球引力场均匀 ,忽略月球自转 ,建立的着陆坐标系 如图 1 所示 。
r= v
v=
F m
si
n
ψ-
μ r2 +
rω2
θ=ω
,
(1)
ω= - 1rF源自mcosψ+
2
vω
m=
-
F C
其中 , v ∈R 是探测器在矢径 r 方向上的速度 ;ω∈
R 是探测器方位角θ的角速度 ; m ∈R + 是探测器
质量 ;μ是月球引力常数 ; C 为制动火箭的排气速
度 ,是一个常值 。
假定初始时刻 t0 = 0 , 终端时刻 tf 为任意值 。
月面软着陆要求探月器以很小的相对速度着 陆在月面上 。由于月球上没有空气 ,探月器必须 用机上的发动机来制动 。所设计的探月器从月球 停泊轨道出发 , 经霍曼变轨到达近月点时开始制 动段 , 在水平速度被基本抵消之后进入最终着陆 段 , 最后探测器以垂直姿态软着陆到月面[1] 。
软着陆问题的关键是找到最优飞行轨迹和 推力大小与方向的时间历程 。其理论基础是庞德 里亚金极大值原理 ,由极大值原理及相应边界条 件可将轨道优化问题抽象成两点边值问题 ,而求 解该问题的困难来自于共轭方程组对共轭变量初 值选取异常的敏感性 。传统的方法主要是打靶 法[224] ,该方法对共轭变量初值依赖性很高 ,而共 轭变量本身没有物理意义 ,选取准确的初始值很 困难 。另外一种方法是对推力方向角进行多项式 拟合[526] ,这种方法需要猜测多项式系数的初值 , 这依然是没有物理意义的变量 ,也很难给出较为 准确的初值 。
探月着陆器软着陆轨道设计与控制策略
DOI：10.16660/ki.1674-098X.2019.13.016探月着陆器软着陆轨道设计与控制策略①赵晓旭 高聪 于丰韬(华北理工大学理学院 河北唐山 063210)摘 要：嫦娥三号的软着陆，标志着我国实现了通过程序编码实现机器自主避障着陆地外星体的伟大成就，而着陆轨道与控制策略的制定与设计则是成功软着陆过程中极为重要因素。
本文以嫦娥三号探月着陆相关数据利用迭代计算，微分方程等方法，建立落月着陆轨道与控制策略的模型，并根据安全原则与燃耗最小原则对模型进行合理的轨道设计与着陆路径优化，为探月飞行器的软着陆与轨道设计提供方法。
关键词：软着陆 迭代法 微分方程 非线性规划 最优控制策略中图分类号：V463 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2019)05(a)-0016-02①作者简介：赵晓旭（1997，7—），男，汉族，河南遂平人，本科，研究方向：统计与数学建模。
月球是地球周围唯一的天然卫星，其表面蕴含着丰富的矿物资源，开采月球资源成为解决现今能源问题的一种方法。
由于月球上没有大气层的包裹，飞行器的着陆必须完全依赖发动机的制动。
1 软着陆轨道设计与控制模型建立与求解1.1 减速模型1.1.1 主减速阶段在确定了嫦娥三号卫星近、远月点速度大小与方向后，根据嫦娥三号着陆器参数建立动态微分方程：边界条件：x (t 0)=0，y (t 0)=15000+R ，v x (t 0)=v 0=1614.4，v y (t0)=0，由于主减速运时主推动器需全功率运行，即F 取最大推力7200N且推动器不会频繁改变角度，因此a (t )是一光滑函数。
可将求解控制函数a (t )问题转换为求解最优参数及最短时间问题。
我们采用迭代的方法计算可得最优参数P =(4.862*10-6，-1.079*10-4，，4.785*10-2），时间最短为445s，在主减速结束时刻的水平速度为26.2320m/s,竖直方向速度为53.5072m/s，消耗燃料质量为1132.7kg。
嫦娥三号软着陆轨道优化模型
嫦娥三号软着陆轨道优化模型摘要本文针对嫦娥三号软着陆轨道最优设计问题，确定了近、远月点的位置与速度，建立了嫦娥三号六个阶段的最优轨道控制模型，提出了相应的最优控制策略，最后做出了误差分析和敏感性分析。
针对问题一，本文建立空间直角坐标系，在着陆准备轨道平面内建立动力学二阶常微分方程模型，利用微元法的思想，求得近月点的经纬度为（19.51°W，31.29°N），远月点的经纬度为（160.49°E，31.29°S）。
利用开普勒第二定律，得出嫦娥三号在近月点和远月点的速度大小分别为1692.2m/s,1614.4m/s，速度方向与椭圆切线方向相同。
针对问题二，分别确定了嫦娥三号软着陆六个阶段轨道的最优控制策略。
对于着陆准备轨道，根据燃耗量最小的原则，借鉴霍曼转移模型，得出嫦娥三号在此阶段的轨道是月心为焦点，长半轴为1794.5km，短半轴为1794km的椭圆。
对于主减速阶段，根据动力学原理，建立轨迹优化模型，用改进的遗传算法求解，得到该阶段最低燃耗量为1060.71kg，轨道形状为类抛物线。
对于快速调整阶段，将水平偏移量作为优化目标，建立微分方程模型，得到最小的水平偏移量276.3米。
利用附件中的数字高程图，分析得到各点的海拔。
在粗避障阶段，提出崎岖度的概念，建立基于崎岖度最小的水平轨道优化模型和基于燃耗量最小的垂直轨道优化模型，得到嫦娥三号在此阶段的水平位移为234.31米，最小燃耗量为69.38千克。
对于精避障阶段，建立基于月面坡度最小、着陆器燃耗量最小的轨道优化模型，解出嫦娥三号水平总位移为5米，最小燃耗量为14.29千克。
在缓速下降和自由落体阶段，利用动力学公式求解出运动时间为13秒。
针对问题三，通过对着陆点和其它各关键点的位置进行误差分析，发现本文确定的着陆点与实际着陆点相差80千米，纬度相差2.14°，偏差可以接受。
最后依据主发动机作用力与运动反方向的夹角的变化对主减速阶段和快速转移阶段进行了敏感性分析。
(优)数学建模A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略ppt文档
横向速度减为零，其后主发动机进行径向主减速，并最 为提高探测器软着陆成功概率，对探测器的安全着陆概率进行敏感性分析。
题 从初始高度H0把着陆器相对月面的横向速度从约降至0到达终点高度H1，为其后的姿态变换提供条件。
终保证嫦娥3号到达H3点时满足对月速度要求。 故探测器在月固坐标系中的运动
汇 报 内 容
一 近月点与远月点的相对位置和速度大小及方向（问题1）
二
软着陆轨道确定和6个阶段的最优控制策略（问题2）
三 软着陆轨道和控制策略误差分析和敏感性分析（问题3）
四
模型的评价与改进
。
问 题 一
近月点与远月点的相对 位置和速度大小及方向
根据二体模型可以建立以月心为 原点的惯性坐标系
OXLYLZL 为月固坐系， 参考平面是月球赤道面， Ax1y1z1 为原点在探测器
H2 点各个状态参量
2 H1-HH21-径H2向径减向速减控速制过过程程示流意程图图
H2-H3 制导段飞行过程
。
问
在制导信息形成并完成对准目标点的调姿工作后，
横向辅助发动机启动飞向目标点，到达目标点上空时， 从初始高度H0把着陆器相对月面的横向速度从约降至0到达终点高度H1，为其后的姿态变换提供条件。
由动力学方程可得到重力场影响下径向位移关系式 位置和速度大小及方向
1 安全着陆概率随着陆区域边长的变化曲线
2
S v gt 在问题二对应的景象匹配模型中，结合工程实际，采用六个阶段的分段控制y的0 方法。
2 影响探测器能否落地后保持直立的姿态基本上依赖于着陆表面的粗糙程度
约F束条[l件n(1 m
二 由径向减速方程式可知 H3-H4 垂直降落月面过程
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２００６—１２—１２， １２：１９：１２．３７
２００６—１２—１６． ２００６一１２—１２．
１９：５７：２２．２７
１２：１９：１２．３４
２０７３９４．６２０
—６６９４．９０３
２０７３９１．７３０
·一６６９４．９６０
２０７３９１．０６０
０．９６８２８２
１．１６０７９
０．９６８２８２
１．１６１１３
０．９６８２８１
１０９２０．９６７
２５２４．７１８
（７，／－０．１５６７。，ＳＯ．０３３３０）
１０９２０．９６６
２５２４．７１７
（ｗｏ．０３５５。，ＳＯ．００８３０）
１０９２０．９６５
２５２４．７１７
（ｗｏ．００７６。。ＳＯ．００２２。）
表２月球软着陆制动段的有关参数
Ｔａｂｌｅ ２
Ｒｅｌａｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｂｒａｋｉｎｇ ｓｔａｇｅ ｏｆ ｌｕｎａｒ ｓｏｆｔ—ｌａｎｄｉｎｇ ｍｏｄｕｌｅ
目标约束条件中，落地点高度＾，取为０（不考虑 月球自转和落地点与目标点距离△ｒ），则相应的约 束方程为：
｛：三；
根据文献［３］中计算的击中轨道结果，利用其中 的推力最优控制公式计算最省能量的着陆轨道。假 定发动机推力大小恒定、方向分为恒定和可变两种
收稿１３期：２００６．０６．２１； 修回１７１期：２００６．１１－２０ 基金项目：西北工业大学科技创新基金资助项目（Ｍ４５０２１３）
问题，但若推力大小可变，则相当于采用了多级制 动，对安全定点着陆非常有利。因此在有条件的情 况下还是应尽量使用可变推力的发动机。
∞
咎 口
ｑ
咨
首
ｔ／ｓ
（ａ）Ｐ＝－２ｋＮ
０ ∞∞ｉ０ １∞＇∞ｔ８０卅０枷２７０枷抽３００ ｔ／ｓ
（ｂ）Ｐ：５１ｍ
ｔ／ｓ
（ｃ）Ｐ＝１０ｋＮ
图２最优推力方向角的变化曲线 Ｆｉｇ．２ Ｃｈａｎｇｉｎｇ ＣＩｌｌＴｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ｏｆ Ｏｐｔｉｍａｌ ｔｈｒｕｓｔ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ
中图分类号：０３１３
文献标识码：Ａ
文章编号：１０００．１３２８（２００７）０２．０４０９．０５
０ 引言
用于直接软着陆的奔月轨道也称为登月轨道或 击中月球轨道ｕ‘３ ｏ，其主要特点是月心轨道经过月 球表面的某一点（通常为根据探测工程需要选定的 点），我国从６０年代就有人开始这方面的研究［４’５］。 近年来，文献［６～８］讨论了满足约束条件的登月飞 行轨道的设计问题，而文献［９］则对击中月球的转移 轨道进行了全局性的研究，给出了一种有效的算法， 文献［１０］研究了从停泊轨道出发的登月轨道的自动 寻优设计。
图２给出了ｏ＝一６６９４．９７８ｋｍ，ｅ＝１．１６１２３时 采用不同推力（２ｋＮ、５ｋＮ和１０ｋＮ）时最优推力方向 角的变化曲线。
计算结果表明，推力方向可变时比不可变时节
万方数据
第２期
和兴锁等：月球探测器直接软着陆最优轨道设计
４１１
省能量，不过两者相差很少。而若令推力大小也可 变，则制动期间发动机一直以最大推力工作最省能 量，即相当于使用推力值等于最大推力的固定推力 发动机。由此可见，推力大小是否可变不涉及能量
关于各段轨道的衔接问题本文也进行了的研 究。在月球卫星轨道上选择合适的时机施加一个减 速冲量，使软着陆器脱离原来的运行轨道，转入过渡 轨道，在此阶段，软着陆器的运动服从开普勒定律。 过渡轨道是一条新的椭圆轨道，其近月点应选择在 选定的落点附近，高度应尽可能低一些，因为开始制
万方数据
４１２
宇航学报
万方数据
４１０
宇航学报
第２８卷
情况进行软着陆制动，采取一次制动方式，并假定发 动机比冲，＝２８４２ｍ／ｓ，软着陆制动时探测器的初始 质量ｍ。为１０００ｋｇ。
１．１推力大小方向都恒定情况 图１给出了ｎ＝一６６９４．９７８ｋｍ，ｅ＝１．１６１２３
时，推力Ｐ分别为１０ｋＮ和２０ｋＮ（包括不施加推力） 作用下，探测器高度和速度大小随时间的变化曲线。
力作用下垂直下降，再由推力较小但大小和方向更 精确可控的发动机进行精确制动。在此过程中，一 级制动结束时需要预留一定的高度，使二级发动机 能有足够的时间消除一级制动的误差和预留高度引 起的重力损失。
另外，由于实际着陆点与理论击中点之间有一 定的距离，而通过推力作用来消除这个距离的效果 有限（尤其是预定着陆点不在轨道平面内时，需要额 外消耗大量的燃料），因此需要预先设计合适的轨道 使实际着陆点与设计着陆点的误差较小。 １．２推力大小恒定方向可变情况
这两种方案的最大特点是简单实用，但不是能 量最优轨道。众所周知，软着陆过程中的制动减速 只能依靠反推火箭去完成，所带燃料的绝大部分将 用于此目的。因此研究最省燃料轨道设计具有重大 的意义。下面将先在平面状况下考虑有限推力最省 能量着陆轨道设计。
建立轨道平面坐标系，坐标原点在月心，省轴在 轨道平面内，指向初始轨道近月点；Ｙ轴沿航天器运 动方向与菇轴成９０。夹角。俯仰角∞定义为航天器纵 轴与ｚ轴的夹角，并假定推力Ｐ方向沿航天器纵轴。
重
《
ｔｆｓ
（ａ）
薯
∑
０ １０∞∞∞∞∞ｍ∞町１０Ｄ１１０１∞１３）＇１４０１∞１Ｑ０１∞ ｔ／ｓ
（ｂ）
ｇ
口
塞
喜
笱协∞∞再∞∞∞Ｏ
ｔｆｓ （ｃ）
０ ５ １０ １５卫篇∞∞柏苒∞艏∞嘣阳乃舶嬲 ｔ／ｓ
（ｄ）
图１ 高度和速度大小随时间的变化曲线
Ｆｉｇ．１ Ｃｈａｎｇｉｎｇ ｃｕｒｖｅ ｄｉａｇｒａｍｓ ｏｆ ａｌｔｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｗｉｔｔｙｔｈｅ ｌｉｍｅ
４０ —．４９．３０３ —８．５９６ ３８．６２５ ４１．９８３ ５９０，８９４
１５．４０９ ５６．４４７
动高度越低越省能量。当软着陆器沿过渡轨道下降 到近月点附近时，制动火箭启动开始工作，进入了动 力下降段，也称为主制动段，这时可采用大推力的发 动机。这个阶段的主要任务在于消除软着陆器的全 部速度（实际上会有一定的误差）。在设计这一阶段 的轨道时，主要根据消耗推进剂为最小的原则，同时 应考虑到主制动段终点的轨道参数（主要是高度）， 要与下一个阶段的要求相衔接。对于垂直下降段， 通常采用小推力的发动机进行精确控制。在离月面 只剩下几米高度时，可将发动机关闭，任由软着陆器 自由下落。本文中直接由发动机作用到月面，不预 留高度。
推力最省燃料的最优轨道设计问题；然后利用有限推力月面软着陆的最优推力控制方向的计算公式，研究了边值
条件和计算方法；最后通过直接软着陆最优轨道的算例及结果分析，发现开始制动高度越低越省能量；推力方向可
变时比不可变时节省能量；推力大小可变相当于采用了多级制动，对安全定点着陆非常有利。
关键词：月球探测器；直接软着陆；最优轨道设计
Ａ，＝Ａｌ一６０肘３ｔ，竹２ ９１ 综上所述，若已知预定着陆点（Ａ，舻），则可通 过下列步骤设计轨道： （１）以（Ａ，ｐ）为击中点，不考虑软着陆制动的 影响，设计奔月转移轨道，求出其月心轨道参数； （２）以求得的月心轨道参数作为初始值，研究轨 道平面内的软着陆制动，求出着陆点与击中点月心角
４厂和制动时间与不制动落地所需时间之差Ａｔ； （３）把△厂和△ｆ代入上面推导的公式，重新设
推力Ｐ／ｋＮ
俯仰角／ｄｅｇ 偏航角／ｄｅｇ 制动高度ｈ／ｋｍ 制动时间ｔ／ｓ 消耗推进剂ｍ／ｋｇ 速度损失△＂／（ｍ／ｓ２ １５５．７７０ １７０．３３９ ５９９．３６３ ７４．８５８ １３５．９９４
２０ —４８．８１５ —８．５３３ ７７．４６６ ８４．３５８ ５９３．６５２ ３４．６３３ ９１．８４２
２有限推力空间软着陆最优轨道设计
上述结果表明，实际着陆点与理论击中点之间 有一定的误差，因此下面将根据不同推力设计合适 的轨道来减少这个误差。
若已知击中月球时刻的击中轨道参数：倾角 ｉ。、升交点赤经Ｑ。和升交距／／，。，则可求出击中点 的月理坐标如下：
（戈ｏ，Ｙｏ，。ｏ）７＝Ｒｚ（一ｎｏ）ＲＪ（一ｉｏ） 兄ｚ（一ｕ。）（１，０，０）７
连接在一起，因此奔月轨道的初始状态决定了直接 着月轨道开始制动时的状态参数。对于直接软着陆 的制动段，主要应用两种控制方案：
（１）“月球垂线”法（“月球”９号在软着陆过程中 成功地使用），对通过建立“月球垂线”实现月球软着 陆的方法进行了理论推导和误差估计。
（２）“重力转弯”法，其基本思想是保持制动火箭 的推力方向与着陆器速度矢量的反方向一致进行制 动减速，“勘测者”１号用的制导方法就是重力转弯。
第２８卷
表１ ２００６年１２月１２日发射月球软着陆器的有关参数（考虑着陆制动）
Ｔａｂｌｅ １ Ｒｅｌａｔｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ Ｌｕｎａｒ ｓｏｆｔ·ｌａｎｄｉｎｇ ｍｏｄｕｌｅ ｌａｕｎｃｈｅｄ ｉｎ ２００６—１２一１２
预定着陆点 （００，００）
Ｐ＝ｌＯｋＮ
奔月轨道 入轨点值
月心轨道 落地点值
击中月球轨道与月球卫星发射轨道的原理是一 样的，只要将月球卫星发射轨道的近月点高度设计 在月球表面以下，探测器就必然击中月球。因此本 文将利用月球卫星发射轨道的设计方法研究击中月 球轨道的设计，先在不考虑软着陆制动时设计探测 器击中月球表面某一固定点的轨道。
１有限推力平面软着陆最优轨道设计
在月球上着陆，必须把探测器飞抵月球时的巨 大速度完全消除或几乎完全消除，但这只能用制动 发动机来完成，因而需要消耗大量的燃料。而能量 最省和精确着陆是月球软着陆的基本要求，所以最 优着陆轨道设计就显得特别重要。最优着陆轨道是 一个两点边值问题，一般需要进行大量的迭代运算 才能得出，求解这种问题的关键是精确选取共轭变 量的初值。对于直接着月的轨道，由于与奔月轨道
Ａｏ＝ａｔａｎ２（Ｙｏ，戈ｏ），９０＝ａｓｉｎ（彳ｏ） 由不同推力作用下的着陆点与击中点月心角 ３ｆ，则可求出不考虑月球自转条件下的着陆点月理 坐标如下：