专升本工程力学第4章空间力系与重心

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工程力学-第四章-空间力系

即：
g X F s i cn o F x c s y o F c sc oo s s
g Y F s i sn iF x n s y iF n cs ois n
g Z F co F s sin
⒋ 力沿坐标轴分解
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿
直角坐标轴的正交分量，则：
FFxFyFz
⒈ 力矩的大小； ⒉ 力矩的转向； ⒊ 力的作用线与矩心所组成的平面的方位。
[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜绕球铰链O点的转动效应不同
二、力对点的矩的矢量表示在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈ 力矩矢的表示方法
⒈ 若 R'0,MO0则力系可合成为一个合力，力系合力R 等于主矢 R ' ，合力 R 通过简化中心O点。（此时主矩与简化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)
⒉ 若 R'0,MO0 , R'MO 时，可进一步简化，将MO变成( R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R
(MORd) 由于做 M O R d, dM R OM R O ' , 合 R 力 F i
g 方向： com sx(F ), co s m y(F ), co m sz(F )
m O (F )
m O (F )
m O (F )
§4-4 空间一般力系向一点简化
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有空间一般力系 F1,F2,Fn
定理:
RxXi RyYi RzZi

空间力系和重心.ppt

有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方

工程力学-4

图 4-2 解：研究对象：起重杆 ABG 重物
受力分析：P， F1， F2， FA (AB 为二力杆) 球铰链如图 4-2b 特点：1) 可绕球心任意相对转动
2) 约束反力可用三个直交分力表示选坐标 Axyz 列平衡方程：
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0,
F1 sin 45° F2 sin 45° = 0 FA sin 30° F1 cos 45°cos 30° F2 cos 45°cos 30° = 0 F1 cos 45°sin 30° + F2 cos 45°sin 30° + FA cos30° P = 0
2．空间汇交力系的合力与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得
(1) 空间汇交力系的合成：
① 几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
FR = F1 + F2 +……+Fn = F 即：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
② 解析法：
将 F = Fxi + Fyj + Fzk 代入上式得 FR = Fxi + Fyj + Fzk 即： FRx = Fx, FRy = Fy, FRz = Fz 空间合力投影定理：
M0(F)在三个坐标轴上的投影，即
[M0(F)]x = yFz – zFy
[M0(F)]y = zFx – xFz
(a)
[M0(F)]z =xFy – yFz
2．力对轴的矩
以门的转动为例来说明：力 F 与转轴不相垂直的情况：此时可把力 F
分解为平行 z 轴的 Fz 和垂直于 z 轴的平面 xy 上的分力 Fxy，(即力 F 在 xy 平面上的投影)很显然 Fz 对门没有转动效应，只有 Fxy 对门有转动效应，因此，可用力 Fxy 对 O 点主矩来度量，即：

工程力学——空间力系和重心

图5.2
5.1.2 力在空间直角坐标轴的投影
根据已知条件的不同，空间力F在直角坐标轴上的投影，一般有两种计算方法。
1. 直接投影法
如果已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的三个轴的
正向夹角分别为，和，如图 5.2 所示，以 F 为对
角线，以 x，y 和 z 轴为棱作直角六面体，由图中看出，
第5章空间力系和重心
第5章空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影 5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用 5.3 力对轴之矩 5.4 空间任意力系的平衡方程及应用 5.5 空间任意力系的平衡问题转化为平
面问题的解法 5.6 物体重心和平面图形的形心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影
图 5.4 中为压力角，为斜齿轮的螺旋角。试计算圆
周力 F 、径向力 Fr 和轴向力 Fa 的大小。分析：求解 F 、Fr 和 Fa 的大小，实质上就是求力
F 在空间 3 个坐标轴上的投影。因为只知道和，故
使用二次投影法求解。
图5.4
解：(1) 建立如图 5.4(a)所示直角坐标系 Axyz。 (2) 将啮合力 FN 向平面 Axy 投影得 Fxy，如图 5.4(b), 其大小为
式中，Fix，Fiy，Fiz 分
别为 Fi 在 x，y，z 轴
的投影。
图5.5
合力
FR= Fi = Fixi + Fiy j + Fizk
(5-7)
式中，i，j，k 的系数应分别为合力 FR 在各坐标轴上的投影。
FRx= Fix FRy= Fiy FRz= Fiz
(5-8)
即合力在某一坐标轴上的投影等于力系中所有分力在同一坐标轴上的投影的代数和，这就是空间力系的合力投影定理。

2、空间力系平衡、重心

解：取铰D 脱离体，为脱离体，画受力图如所示，图b所示，各力形成空间汇交力系。间汇交力系。
由ΣFx ＝0, cos60 sin60 60ºsin60º+ cos60 sin60 60ºsin60º= －NADcos60 sin60 + NBDcos60 sin60 =0 NAD=NAD 得由ΣFy ＝0, Tcos60 +NCDcos60 －NADcos60 cos60 －NBDcos60 cos60 =0 cos60º+ cos60º－ cos60ºcos60 cos60º－ cos60ºcos60 cos60º=0 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 得由ΣFz ＝0, NADsin60 +NCDsin60 +NBDsin60 ―T sin60 ―FG=0 sin60 60º+ sin60 60º+ sin60 60º― sin60 60º― 866( 866+ 得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0 联立求解得 NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。。
球形铰链
2、向心轴承、
4、、向心推力轴承
6、空间固定端、
例 3 － 3 ：用三角架 ABCD 和绞车提升一重物如图所示。为一等边三角形，所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水平面成60 的角。 60º的角 30kN, kN,各杆均为二力平面成60 的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力滑轮大小不计。杆，滑轮大小不计。试求重物匀速吊起时各杆所受的力。受的力。
[例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求：例平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？

《工程力学》7 空间力系

r F2
r F3
•
r FR = 0 r r r M = ∑ M (F ) = 0 r r r r r r = ∑ M ( F ) i+M ( F ) j+M ( F )k
o i
x y z
r F1
r F2
r F3
•
Fxi = 0 ∑
∑F ∑F
yi
=0 =0
zi
∑M ∑M ∑M
xi yi zi
力偶对刚体的转动效应（力偶对刚体的转动效应（大小和转力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
r M
F
力偶矩矢定义：力偶矩矢定义：
r r
F’
r r r M = r ×F
力偶矩矢等于力偶中一个力对另一个力作用线上任意点之矩. 作用线上任意点之矩.
力偶矩矢的大小、作用面方位、转向 r r r Z M F1′ M r
2
r FR ≠ 0
r M =0
r FR
r FR
O•
O•
M O′ •
r r FR
r M• o
问题：若简化中心为点简化结果如何? 问题：若简化中心为O’点，简化结果如何
结论: 过此O点与主矢作用线平行的线很特殊. 结论过此点与主矢作用线平行的线很特殊
r 3 F ≠0 R
r r r M ≠ 0 FR ⊥ M
第4章空间力系
4-1 基本知识空间任意力系向一点简化-----主矢和主矩 4-2 空间任意力系向一点简化---主矢和主矩 4-3 空间任意力系的平衡方程 4-4 重心
4-1
基本知识
力在直角坐标系上直角坐标系上的投影一次投影法）一. 力在直角坐标系上的投影（一次投影法）已知力及其与三个轴的夹角) (已知力及其与三个轴的夹角)

《工程力学》第四章空间一般力系重心

• 对于平面平行力系，若令O-xyz系中Oz轴平
• 行于该力系的诸力，则该力系中诸力对Ox轴和Oy轴上的投影以及诸力对Oz轴之矩均为零，则无论力系平衡与否，都有∑X≡0，∑Y≡0以及∑mz(F)≡0。于是，由方程(4-17)，(4-18)可知，对于空间平行力系的有效平衡方程为
• 三、空间一般力系平衡方程的应用举例 • 例4-3 一起重机正在起吊一质量为2 t的重物(图 4-6(a))，
A处为球形铰链。求当重物在图示位置时A处约束反力及缆风绳BD，BE中的拉力。不计桅杆AB、吊杆AC以及钢丝绳的自重。尺寸如图所示，单位为m。
图4-6
• 解：选择起重机ABC机架为研究对象，解除约束，作受力分析，其受力图如图4-6(b)。球形铰链A的约束反力的方向不定，但可用NAx， NAy，NAz三个分力表示，其指向如图所示。当重物处于平衡时，钢丝绳所受之张力T的大小为
• 3.
• 若物体为匀质等截面细线条，则其被分割成的微体体积可写为ΔVi=ΔSiΔli，ΔSi为等截面面积，Δli为微体线度，代入(4-27)式，则得匀质等截面细线条之形心(重心)的位置坐标公式
• 四、求物体形心的几种方法 • 1.对称法 • 工程实际中，许多零部件常常是均质的，其形
状常呈现出一定的对称性。 • (1) • (2)若形体具有对称轴线，其形心必在此对称轴
• R′和MO在实际计算中，多采用解析式。设过简化中心O作一直角坐标系，它们在三个直角坐标轴上的投影分别为
• 将(4-14)式与力矩关系定理(4-6)，(4-7)，(4-8) 比较，则有关系式
•
• 由(4-11)和(4-12)式可知，空间一般力系向简化中心O点简化后，其主矢、主矩均为零，这
表明该空间一般力系处于平衡。故

第四章空间力系与重心

2r 2
6Fh 4
2Fr 4
2r
2
y
O
2r
45 Fx
2
° Fy
xz平面
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
x
xy平面
M z (F ) Fx
2r 2
Fy
2r 2
3Fr 4
3Fr 4
3Fr 2
本课节小结
一.力在空间直角坐标轴上的投影
1.一次投影法
Fx F cos Fy F cos
Fx F cos30sin 45
6F 4
h
6F
Fy F cos30cos 45
Fz
F sin 30
F 2
4
2.求F对x.y.z轴之矩
z F
45 °
Fz
Fx
Fy
30
°
O
y
x
M x (F ) Fy h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
Fz F cos
Fx F sin cos
2.二次投影法 Fy F sin sin
Fz F cos
二、力对轴之矩
M z (F) MO (Fxy ) Fxy d
结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与
平面交点之矩。
三、合力矩定理
力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
yi
四、求重心的方法
1.对称法对于均质物体，若在几何体上具有对称面、对称轴或对称点，则物体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。

工程力学之空间力系和重心

工程力学4.1力在空间坐标轴上的投影4.2力对轴的矩·合力矩定理4.3 空间任意力系的平衡方程4.4 平行力系的中心物体的重心工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。

(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；在(b)图中去了风力即为空间平行力系。

迎面风力侧面风力b4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：作用点：在物体的哪点就是哪点方向：①由α、β、g 三个方向角确定②由仰角θ与俯角ϕ来确定。

F F=4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：1、一次投影法（直接投影法）由图可知：cos ,cos ,cos x y z F X F F Y F F Z F αβg==⋅==⋅==⋅4.1.2力在空间坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将投影到xy 面上，然后再投影到x 、y 轴上，即Fsin cos cos cos cos x xy F X F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅sin sin sin cos sin y xy F Y F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅cos sin z F Z F F g θ==⋅=⋅ 4.2 力对轴的矩⋅合力矩定理一、力对轴的矩的概念与计算定义：()()2''z O xy xy m F m F F d OA B ==±⋅=∆的面积由于力和都不能使门转动，所以得出力与轴平行或相交时，力对轴之矩为零。

亦即力与轴共面时，力对轴之矩为零。

y F z F 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定，即大拇指方向与轴的正向一致的为正，反之为负。

4.2.2合力矩定理与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：12()()()()()z z z z n z i m R m F m F m F m F =+++=∑即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。

工程力学(高教版)教案：第四章空间力系

第四章空间力系作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。

按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。

前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。

第一节力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力F 与x 轴如图4－1(a)所示，过力F 的两端点A 、B 分别作垂直于x 轴的平面M 及N ，与x 轴交于a 、b ，则线段ab 冠以正号或负号称为力F 在x 轴上的投影，即F x ＝±ab符号规定：若从a 到b 的方向与x 轴的正向一致取正号，反之取负号。

已知力F 与平面Q ，如图4－1(b)所示。

过力的两端点A 、B 分别作平面Q 的垂直线AA ′、BB ′，则矢量B A ''称为力F 在平面Q 上的投影。

应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。

(a) (b)图4－ 1图4－2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。

如图4－2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。

设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαcos cos cos F F F F F F z y x (4－1) 用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。

一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图4－2（b ）所示。

设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγcos sin sin cos sin F F F F F F z y x (4－2) 用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。

《工程力学》教学课件第四章空间力系和重心

O
b F1 A x
y
a
F
F2
M z ( F ) = M z ( F1 ) = ± F1h
力矩方向的判定
右手螺旋法则：用右手的四指来表示力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴正向相同，力矩为正，反之为负。
二、合力矩定理对某一轴之矩，空间力系的合力FR对某一轴之矩，等于各分力 F1,F2,…,Fn对同一轴之矩的代数和。表达式为对同一轴之矩的代数和。
Fx = Fcosα Fy = Fcosβ Fz = F cosγ
Fx = F sinγ cosϕ Fy = F sinγ sinϕ Fz = F cosγ
本章小结
2.力F对轴之矩，等于力在垂直于轴的平面上的投力对轴之矩，等于力F在垂直于轴的平面S上的投对轴z之矩在垂直于轴z的平面影对z轴与平面的交点之矩。影对轴与平面S的交点之矩。轴与平面的交点之矩空间力系的合力FR对某一轴之矩，等于各分 1,F2, …，Fn 空间力系的合力对某一轴之矩，等于各分F ，对同一轴之矩的代数和。对同一轴之矩的代数和。表达式为
二、重心位置的确定 1.一般计算公式 1.一般计算公式对x轴用合力矩定理为
G ⋅ yC = ∆G1 ⋅ y1 + ∆G2 ⋅ y2 + .... + ∆Gn ⋅ yn = ∑ ∆Gi ⋅ yi
对y轴用合力矩定理为
G ⋅ xC = ∆G1 ⋅ x1 + ∆G2 ⋅ x2 + .... + ∆Gn ⋅ xn = ∑ ∆Gi ⋅ xi
Hale Waihona Puke 车床主轴手摇钻飞行的飞机
空间力系的分类
空间任意力系

@@@情景四空间力系及重心

情景四空间力系及重心情境描述空间力系在工程实际和生活中是经常遇到的力系。

本情境的学习，帮助同学们建立空间概念，学会处理和求解简单的空间力系的平衡问题，提升解决工程实际问题的能力。

特别是将空间力系平衡问题转换为平面力系平衡问题的解法更有实用意义，它将为后续课程打下基础。

重心问题在工程中也是常见的问题，作为一个工程技术人员，需要掌握重心（形心）的计算，这也是高技能人才必备的基础知识。

学习目标●会计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩。

●能运用空间任意力系的平衡方程解较简单的空间力系的平衡问题。

●能将空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题进行解决。

●学会计算平面组合图形的形心位置坐标。

学习任务●空间力系平衡方程的应用●平面组合图形重心的确定任务一空间力系平衡方程的应用【能力目标】✧会计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩。

✧会运用空间任意力系的平衡方程解较简单的空间力系的平衡问题。

✧能将空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题进行解决。

【知识目标】✧理解空间力系的概念，掌握直接投影法和二次投影法。

✧深入理解空间力对轴之矩的概念及计算方法。

【重点难点】重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩，空间力系平衡方程的应用。

难点：空间力的投影和空间力对轴之矩计算，空间结构的几何关系与立体图。

【学习资料导读】4.1 空间力系4.1．1 力沿空间直角坐标轴的分解与投影一、力沿空间直角坐标轴的分解为了分析力对物体的作用，有时需要将力先进行分解。

例如要了解作用在斜齿轮上的力n F 对齿轮及轴的作用时（图4-1-1），就需要将该力沿齿轮的圆周方向、径向和轴向分解为三个分力t r a 、、F F F 来分析。

力沿空间直角坐标轴分解的方法有两种：（1）以力矢P 为对角线作正平行六面体，以过O 点的三个棱边为坐标轴x y z 、、（图4-1-2），将力P 直接分解为沿坐标轴的三个正交分力x P 、y P 和Z P ,且力P 与x y z 、、三根轴的正向夹角为α、β、γ。

空间力系的平衡及重心

第四章空间力系的‎平衡及重心‎第五节物体的重心‎及其求法一､物体重心的‎概念地球上的物‎体都受到地‎球的吸引力‎，这个吸引力‎就是重力。

严格地讲，物体的重力‎是一个分布‎力，分布在物体‎的各个部分‎，我们通常所‎说的重力是‎指这个分布‎力的合力。

可以证明，无论物体如‎何放置，其重力(合力)均通过一个‎确定的点，这个点就是‎物体的重心‎。

重心是力学‎中的一个十‎分重要的概‎念，在工程实际‎中有着很重‎要的意义。

物体的平衡‎和稳定，物体旋转时‎振动的大小‎等均涉及到‎重心的位置‎。

二､物体重心坐‎标公式1､物体重心坐‎标的一般公‎式假象地将物‎体分割成若‎干个微小部‎分，每部分的重‎力分别为D‎G1､D G2……D G n，各力的作用‎点的坐标分‎别为(x1，y1，z1)､(x2，y2，z2)……(x n，y n，z n)，该物体的重‎力G=D G1+D G2+……+D G n。

由合力矩定‎理可得其重‎心坐标公式‎为：2､均质物体重‎心坐标公式‎设均质物体‎的密度为r‎，体积为V，则其重力G‎=rVg，每一微小部‎分的重力G‎i=rV i g，将此关系代‎入式(4-8)，可得均质物‎体的重心坐‎标公式：3､均质薄板的‎重心坐标公‎式设均质薄板‎的厚度为d‎，面积为A，则其体积V‎=dA，V i=dA i，将此关系代‎入式(4-9)，可得均质薄‎板的重心坐‎标公式：可见，对均质物体‎而言，其重心位置‎完全取决于‎其几何形状‎，而与其重量‎无关，物体的重心‎就是其形心‎。

三､物体重心(形心)的求法1､查表法对于简单几‎何形状的均‎质物体，其重心可从‎有关手册中‎查到，可直接查表‎。

见表4-2。

2､对称法对于具有对‎称面､对称轴或对‎称中心的均‎质物体，其重心就在‎对称面､对称轴或对‎称中心上。

若物体有两‎个对称面，则其重心就‎在这两个对‎称面的交线‎上；若物体有两‎个对称轴，则其重心就‎在这两个对‎称轴的交点‎上。

工程力学第2版第4章空间力系的平衡问题及其重心

yi
,zC
Ai
A
zi
3.物体重心的计算方法
➢ 对称法 ➢ 组合法
①分割法若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，则整个物体的重心位置就可用公式求出。 ②负面积法若在物体或薄板内切去一部分，需要求出余下部分物体的重心时，仍然可以用组合法，只是切去部分的面积应取为负值。
简单形状物体的重心可查表得出，对于形状复杂或质量分布
不均匀的物体很难用计算的方法求其重心，此时可用实验方法
测定重心位置。
➢ 实验法：
<1>悬挂法
<2>称重法
谢谢欣赏
解各平面平衡力系，即可求解原空间力系。
80 P2 z º
x
y
在解决新问题时，同学们应先思考已有的知识，在已有知识的基础上找出解决新问题的方法，希望同学们能够积极思考，提高解决问题的能力。
步骤： ①建空间坐标系，作出各轴承的约束反力（轴承的反力视主动力的类型而定，沿坐标轴方向）。 ②作侧视图，求未知的主动力（或力偶）。若主动力全部已知，则无需作此视图。 ③作主视图，求轴承铅垂方向的反力。 ④作俯视图，求轴承水平方向的反力。
4.2 形心和重心
1.物体的重心坐标公式
如果把物体的重力都看成为平行力系，则
求重心问重心坐标公式题就是求平行力系
的中心问题。
xC
Gi xi
G
yC
Gi yi
G
zC
Gi zi
G
2.均质物体的重心坐标公式
立体:
xC
Vi
V
xi
,
yC
Vi
V
yi
,zC
Vi
V

工程力学第四章：空间力系和重

第四章空间力系和重心基本概念：空间力系——作用于物体上各力的作用线不在同一平面内时，称为空间力系。

⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧空间一般力系空间汇交力系空间平作力系空间基本力系分类§4-1 力在空间坐标轴上的投影一．一次投影法已知力F 与x 、y 、z 三个从标的正向夹角分别为γβα,,。

⎪⎩⎪⎨⎧===γβαcos cos cos F Z F Y F X FZF Y F X ===γβαcos ,cos ,cos二．二次投影法先将F 投影到期xoy 平面内Fxy 。

（Fxy 与x 夹角ϕ）F 与Z 夹角γ。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===γϕγϕγcos sin sin cos sin F Z F Y F X F 可沿X ，Y ，Z 三轴分别为F x ，F y ，F z 。

§4-2 力对轴的矩一．力对轴的矩：即此力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。

表示力：()()d F F M F M S S O Z ⋅±===符号规定。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⇒为负负向为正正向轴的姆指力的转动方向四指右手螺旋法则M M :: 讨论：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==.,200:1面的交点的矩平面上的分力对轴和平的可以看成力在垂直于轴力时轴的矩平行相交当力与转轴共面时Z Z M M二．合力矩定理合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴之矩的代教和，()()Fi M R M Z Z ∑=三．力对点之矩的矢量表示1、矢量表达式()F r F M⨯=02、判断表达式：()ZY XF F F z y xk j iF r F M ⨯=0 ()()()k yFx xFy j xFi zFx i zFy yFi -+-+-=力矩在三个坐标轴上的投影()[]()()[]()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧=-==-==-=F m yF xF F M F m xF zF F M F m zF yF F M z x y z Oy z x Y O x y z X O 即：力对点之矩在通过该点的任一轴上的投影等于该力对此轴之矩。

空间力系与重心

轴上的力和力矩平衡条件。只有当这六个方程同时满足时，空间一般力
系才处于平衡状态。
04
重心位置确定方法
几何法确定重心位置
01
02
03
悬挂法
将物体悬挂于一点，通过测量悬线的长度和方向，利用几何关系确定重心位置。
支撑法
将物体支撑于两点，测量支撑点的位置和支撑力的大小，通过几何关系求解重心位置。
度的基础。
06
重心在工程中应用举例
建筑结构稳定性分析
重心位置与结构稳定性
案例分析
在建筑设计中，通过调整结构布局和构件尺寸，可以改变结构的重心位置，从而提高结构的稳定性。
以高层建筑为例，通过优化结构布局和构件设计，降低重心高度，提高结构的整体稳定性。
地震作用下的重心影响
地震时，建筑物受到水平地震力的作用，重心位置的高低直接影响结构的抗震性能。
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航空航天领域应用
重心与飞行器稳定性
在航空航天领域，飞行器的重心位置对其稳定性和操控性具有重要影响。合理设计重心位置可以提高飞行器的稳定性和操控性。
重心与燃料消耗
飞行器的重心位置不仅影响稳定性和操控性，还影响燃料消耗。通过优化重心位置可以降低飞行器的燃料消耗。
案例分析
以飞机设计为例，通过精确计算和调整机身、机翼等部件的质量和布局，实现重心的合理分布，提高飞机的稳定性和经济性。
力多边形封闭
如果将各力矢量按照一定顺序首尾相接，可以形成一个封闭的力多边形，这也是空间汇交力系平衡的一个必要条件。
空间平行力系平衡条件
各力在任意轴上的投影之和为零
对于空间平行力系，所有力在任意选定的轴上的投影之和必须为零，这是平衡的一个必要条件。

第四章空间力系和重心

第三节空间任意力系的简化 1.空间任意力系向任意一点简化空间任意力系向任意一点简化
1.1空间力的平移空间力的平移
z F' F F O O y x x F'' x F'' y O y F' F z z
M O (F )
附加力偶矩矢
M O (F ) = Fd
1.2 空间力系的简化
z M2 F'1 M1 O y F'2
3 Fx = F cos α = F 3 −a 3 cosβ = =− 3 3a 3 Fy = F cos β = − F 3 a 3 cosγ = = 3 3a 3 Fz = F cos γ = F 3
Fy
2a
Fx
a
a
[解-方法 2] 解方法 cosγ = a 3 3 = Fz = F cos γ = F 3 3a 3
点O：空间中任意选择的简化中心平移到点O, 将 F1 平移到点O,
M1 = M O (F1 )
将空间中的其它力平移到点O: 将空间中的其它力平移到点O:
M 2 = M O (F2 )
x
M n = M O (Fn )
M i = M O (Fi )
1.2 空间力系的简化
z MO M2 M1 O Mn F'R
空间任意力系
空间平行力系
空间汇交力系
空间力系实例
第一节力在直角坐标轴上的投影
2、力在直角坐标轴上的投影、
2.1力在空间的表示力在空间的表示力的三要素：力的三要素：大小、方向、大小、方向、作用点大小： = 大小： F= F
γ
O
β θ
方向：方向：由α、β、 ϕ 三个方向角确定或由仰角θ 向角确定或由仰角θ 与方位来确定。角ϕ 来确定。 Fxy 作用点：作用点：物体和力矢的起点或终点的接触之点。或终点的接触之点。

《工程力学》空间力系与重心

Fz F cos
F
Fxy
F sin
Fx Fy
Fxy cos F sin cos Fxy sin F sin sin
（3-2）
反之，如果已知力F在x、y、z三个坐标轴上的投影 Fx 、Fy 、Fz
F Fx2y Fz2 Fx2 Fy2 Fz2
，也可以求出F的大小和方向。其形式为（3-3）
FX 0, F1 sin 45 F2 sin 45 0 FY 0, FA sin 30 F1 cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FZ 0, F1 cos45 sin 30 F2 cos45 sin 30 FA cos30 P 0
求解上面的三个平衡方程，得
所以
zc
Gi zi G
由以上得到重心坐标的一般公式为：
xc
Gi xi G
yc
Gi yi G
zc
Gi zi G
（3-12）
xc
mi xi M
在式（3-12）中，如以
Gi
mi g、G Mg
代入，在分子和分母中消去g，即得到公式：
yc
mi
M
yi
zc
mi zi M
设有一个空间力F，作用点A的坐标为（x，y，z）,该力在三个坐标轴上的分力大小（即该力在x，y，z轴
上的投影）分别为Fx , Fy , Fz ，则该力对三个坐标轴的矩为（证明从略）
M M
x y
(F (F
) )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
（3-8）
例3-3 如图3-5所示，手柄ABCD在平面内，在D点作用一个力F，该力平行于xz平面，已知F=200N， 30，AB＝ 20cm，BC＝30cm，CD＝15cm，试求F对x，y，z轴之矩。

工程力学第4章空间力系-重心

Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
则
（3）用实验方法确定物体的重心悬挂法
称重法
P xC F1 l 则
间接（二次）投影法当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x 、y 轴上，这叫间接投影法。
Fxy F sin
Fz F cos
Fx F sin cos Fy F sin sin
2 空间力的分解
1、计算重心坐标的公式对y轴用合力矩定理
P xC P 1x 1P 2 x2 .... P n xn P i xi
有
xC
Px P
i i
对x轴用合力矩定理
P yC P 1 y1 P 2 y2 .... P n yn P i zi
O
x h a Fxy b
y
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交 (共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
四、重心
重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。

第4章空间力系与重心

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4.1.1 力在空间轴上的投影
2）二次投影法力在轴上的投影为代数量，其正负号规定：从力的起点到终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，力的投影为正；反之为负。而力沿坐标轴分解所得的分量则为矢量。虽然两者大小相同，但性质不同。
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4.1 空间力系的平衡
以z 轴表示转动，力F使物体绕 z轴转动的效应，用力 F对 z 轴之矩MO(F)来度量。当力F作用于Oxy坐标面内时，显然有
MO(F)=MO(F)=±Fd
正负号按右手螺旋法则确定，即以四指表示力矩转向，如大拇指所指方向与 z 轴正向一致则取正号，反之取负号。
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4.1.2 力对轴之矩
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4.1.2 力对轴之矩
1）力对轴之矩的概念力对轴之矩等于零的情形： ①当力与轴相交时（d=0）， ②当力与轴平行时（ Fxy=0 ）。即当力与轴共面时，力对轴之矩为零。
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4.1.2 力对轴之矩
2）合力矩定理
合力对平面上任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴
1）力对轴之矩的概念
力对轴之矩的单位是N· m，它是一个代数量。正负号可用右手螺旋法则来判定：用右手握住转轴，四指与力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为正；反之，为负。
也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正，顺时针 z z z 转向力矩为负。
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