度量空间的列紧性与紧性

1.4度量空间的列紧性与紧性

1.4.1度量空间的紧性Compactness

在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成

令{ 集)0x ∈(2)列紧集的子集是列紧集； (3)列紧集必是有界集，反之不真． 证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．

假设A X ⊂是列紧集，但A 无界．取1x A ∈固定，则存在2x A ∈，使得12(,)1d x x ≥．对于12,x x ，必存在3x A ∈，使得13(,)1d x x ≥、23(,)1d x x ≥．由于A 是无界集，可依此类推得到X 的点列{}n X 满足：只要i j ≠，就有(,)1i j d x x ≥．显然点列{}n X 无收敛子列，从而A 不是列紧集导致矛盾，故A 是有界集．

反过来，

A 是有界集，A 未必列紧．反例：空间2[,]X L ππ=-上的闭球

B O =有界，而不是列紧集(见例1.1)．□

注2：R 中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集．(由于R 中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧．)

注3：自然数{1,2,,,}n N =不是列紧集．(N 无界) 推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间．

证明(1)若X 为紧空间，那么X 本身为列紧集，而列紧集有界，故X 为有界空间． (2)若X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X A 具0()f x E =∈即{点列{}n x (()n n y f x =)存在收敛的子列{}k

n x ，0k

n x x A →∈．从而

00lim lim lim ()()k k n n n n k k y y y f x f x E

→∞

→∞

→∞

====∈，

即E 是闭集．□

定理1.4.3最值定理

设A 是度量空间X 中的紧集，f 是定义在X 上的实值连续函数(泛函)，即:f X →R ，那么f 在A 上取得最大值与最小值．

证明设()E f A =，由上述引理知E 是R 中的紧集．所以E 是R 中的有界集，于是上、下确界存在，设

sup{()|}M f x x A =∈，inf{()|}m f x x A =∈．

下证M 是f 在A 上取得的最大值，同理可证m 是f 在A 上取得的最小值．由确界性的定义知，n ∀，n x A ∃∈，使得

1()n f x M n >-

，即可得11

()n M f x M M n n

-<≤<+-． 再由A 为紧集知存在{}{}k

n n x x ⊂，使得*k

n x x A →∈(k →∞),于是 令k →∞，有*()f x M =，因此M 是f 在A 上取得的最大值．□

x'，使得d (,)x B

O x ε∈⊂

的一个ε网示意图网；平面上坐标为整数的点集是网．

是全体有理数Q 的0.6如果对于任给的ε，总存在X 中的1

(,)n

i i A O x ε=⊂

，其中,1

n

i i A =⊂

．

证明当A 是全有界集时，0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1

(,)2n

i i A O x ε

=⊂

．不妨设1i n ∀≤≤有(,)

2

i O x A ε

φ

≠，选取(,)2

i i y O x A ε

∈，显然12{,,,}n y y y Y ⊂以及(,)(,)2

i i O x O y ε

ε⊂，因此

1

1

(,)(,)2n

n i i i i A O x O y ε

ε==⊂

⊂

．□

注6：在n R 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．

定理1.4.4全有界集的特性

设X 是度量空间，A X ⊂，若A 是全有界集，则(1)A 是有界集；(2)A 是可分集． 证明(1)设A 是全有界集，取1ε=，由定义知，n ∃∈N 及12{,,,}n x x x X ⊂,使得

1

(,1)n

i i A O x =⊂

．

现令121max{(,)}i i n

M d x x ≤≤=+，则易知1(,)A O x M ⊂，可见A 是有界集． (2)设A 是全有界集，下证A 有可列的稠密子集． 由引理1.4.2知对于1

n ε=(1,2,

n =)，存在()()()1

2

{,,,}n

n n n n k B x x x A =⊂，使得()1(,)n

k n i A O x n ⊂

，

A ，0δ∀>，存在1

n B ，使

01

(,d x n δ<，从而，中稠密，显然1

n i B ∞

=是可列集，故

：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集． 例如全体实数对应的离散度量空间0(,)R d 中的子集{1,23}，，是有界集，却不是全有 0网，取

1x ∈A ∈，使1(d x }n x A ⊂，

而{A 存为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了盖了{}n x ，于是至少有一个开球(记为1S )中含有{}n x 的一个子列(1)1{}k x S ⊂．

同样以有限集2B 的各点为中心，以2ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了(1){}k x ，

于是至少有一个开球(记为2S )中含有1{}k x 的一个子列(2)

2{}k x S ⊂．依次可得一系列点列：

(1){}k x ：(1)(1)(1)

(1)

123,,,,,k x x x x ． (2){}k x ：(2)(2)(2)(2)123,,,

,,

k x x x x ． ,,,

．

(){}i k x ：()()()

()123,,,

,,

i i i i k x x x x ．

且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为{}n x 的子列，即