人教新课标版数学高二选修1-1练习2-3-1抛物线及其标准方程
数学选修1-1人教新课标A版2-3-1抛物线及其标准方程练习
答案：±4
解析：将x＝12代入x2＝4y，得y＝36<39.
∴点A(12,39)在抛物线内部，
抛物线的焦点为(0,1)，准线l为y＝－1.
过P作PB⊥l于点B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PB|，
由图可知，当P，A，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
∴|PA|＋|PB|的最小值为|AB|＝39＋1＝40.
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．抛物线的焦点是双曲线4x2－9y2＝36的左顶点，求抛物线的标准方程．
解析：双曲线方程4x2－9y2＝36可化为 － ＝1，左顶点坐标是(－3,0)，根据题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－ ＝－3，解得p＝6，所以抛物线标准方程为y2＝－12x.
8．已知点P到F(4,0)的距离和到直线x＝－5的距离相等，求点P的轨迹方程．
解析：由于点M(2,2)在第一象限，抛物线开口向右或向上，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2p0y(p0>0)，把M(2,2)代入抛物线方程，解得p＝1或p0＝1，则抛物线方程为y2＝2x或x2＝2y.
答案：y2＝2x或x2＝2y
6．设抛物线的顶点在原点，其焦点在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与焦点F的距离为4，则k等于________．
第二章2.3.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．抛物线y2＝－16x的焦点坐标是()
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.3.2抛物线及其标准方程(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.2 抛物线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的基本运算 因为抛物线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可以已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 对抛物线ay 4x 2=（0a ≠），下列说法中正确的是A. 若0a >，焦点为（0，a ），若0a <，焦点为（0，-a ）B. 若0a >，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,0；若0a <，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ,0C. 不论0a >，还是0a <，焦点都是（0，a ）D. 不论a 0>，还是0a <，焦点都是⎪⎭⎫⎝⎛2a ,02. 已知椭圆14y 5x 22=+的中心为A ，右准线为l ，那么A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为A. x 20y 2-=B. x 20y 2=C. x 10y 2-=D. x 10y 2=3. 已知P （8，a ）在抛物线px 4y 2=上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 164. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1），能使此抛物线方程为x 10y 2=的条件是___________。
（要求填写合适条件的序号）。
题型二：求抛物线的方程 求抛物线方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 如图2-3-1所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知点A （-2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线7. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，直线AB 交抛物线C 于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M （m ，0），A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，求抛物线C 的方程。
高中数学选修1-1：2.3.1抛物线及其标准方程 课件(共18张PPT)
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
当直线在l上表示：过N垂直于l的直线
问题讨论
平面内到定点A（2,3 ）和直线3x－4y＋6＝0 距离相等的点的轨迹是抛物线吗？为什么？
不是。 因为点A在直线l上,不满足抛物线的定义。
此时，点的轨迹是过A点且垂直于l的直线。
探究抛物线的标准方程
1.建系、设点
2.3.1抛物线及其标准方程
生活中的抛物线：
抛物线及其标准方程
画抛物线 当堂检测
抛物线的 -----定义典例分析来自课后小结课后作业
抛物线的-----方程
教学反馈
一、定义
l
平面内与一条定直线l和一个定点F（直
线外）的距离相等的点的轨迹叫做抛 N
物线。
定点F叫做抛物线的焦点.
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
变式： (1)抛物线y2=2px上一点M到焦点
的距离是a(a>p )，则点M到准线的距离是
a __________,点2M的横坐标是_a____p___. 2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
．y A
代入x2 =2py，得p= 9 4
P=｛M︱ ︳MF ︳=d｝
又因为
MF (x 2p)2 y2
d
x
p 2
所以
(x
p
2
)
y2
x
p
2
2
将上式两边平方并化简得
y2＝2px （p>0） ①
四种抛物线的标准方程对比
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px
数学人教B版选修1-1课后训练 2-3-1 抛物线及其标准方
课后训练1．抛物线y2＝12x的焦点坐标是()A．(12,0) B．(6,0)C．(3,0) D．(0,3)2．经过点(2，－3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A．24 3y x=B．29 2y x=C．24 3y x=-D．y2＝4x3．抛物线24 3y x=的准线方程是()A．13x=B．23x=C．23x=-D．13x=-4．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝15．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于()A．3 B．6 C．9 D．126．设定点1033M⎛⎫⎪⎝⎭，与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，点P的坐标为()A．(0,0) B．(1C．(2,2) D．11 82⎛⎫-⎪⎝⎭，7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．8．抛物线x＝2y2的焦点坐标是__________．9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程．10．如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F是抛物线的焦点，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝24p ； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝22sin p θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (3)11||||AF BF +为定值．参考答案1. 答案：C2. 答案：B3. 答案：D4. 答案：C5. 答案：B 设点P 到抛物线准线的距离为l .由抛物线y 2＝16x 知42p =.由抛物线定义知l ＝h ，又l ＝d ＋2p ，故d ＝l －2p ＝h －2p ＝10－4＝6. 6. 答案：C 连结PF ，则d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |≥|MF |，知d 1＋d 2的最小值是|MF |，当且仅当M ，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线MF 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与y 2＝2x 联立求得x ＝2，y ＝2；18x =，12y =- (舍去)，此时，点P 的坐标为(2,2)． 7. 答案：y 2＝8x8. 答案：108⎛⎫ ⎪⎝⎭， 9. 答案：分析：用“设而不求”和“点差法”即可解决．解：解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知直线AB 的方程为y ＝x －2p ，与y 2＝2px 联立得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p .由题意知y 1＋y 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得y 1＋y 2＝4，y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减，得121212212AB y y p p k x x y y -====-+， ∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.10. 答案：分析：设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解．解：(1)∵焦点02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 当k 存在时，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(k ≠0)， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，，消去x 得ky 2－2py －kp 2＝0.①由一元二次方程根与系数的关系得y 1y 2＝－p 2.当k 不存在时，直线AB 的方程为2p x =， 则y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2. ∴总有y 1y 2＝－p 2，222212121222244y y y y p x x p p p ()=⋅==. (2)当k 存在时，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p ， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .② 又2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴12p x y k =+， ∴x 1＋x 2＝1k (y 1＋y 2)＋p .由①知y 1＋y 2＝2p k， ∴x 1＋x 2＝22p k＋p ，代入②得 |AB |＝22p k ＋2p ＝2221122121tan sin p p p k θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当k 不存在，即π2θ=时，2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，|AB |＝2p ＝2p ＋2p ＋p ＝22πsin 2p . 综上，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝22sin p θ. (3)1221212121111||||2224x x p p p AF BF x x x x x x +++=+=+++(+)+， 将2124p x x =，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式得2211||2||||||424AB p p p AF BF p AB p +===+(-)+常数． 故11||||AF BF +为定值．。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-3-1《抛物线及其标准方程》
p 方法二：设直线 l 的方程为 x＝ky＋2， p x＝ky＋ 2 得 y2－2pky－p2＝0， 由 2 y ＝2px
2 2 2 y y y y p 1 2 1 2 则 y1· y2＝－p2，x1x2＝ ＝ 2p 2＝ . 2p 2p 4
由题意知，点 A(4，－5)在抛物线 x2＝－2py(p>0)上， 16 所以 16＝－2p×(－5),2p＝ 5 . 16 所以抛物线方程为 x ＝－ y. 5
2
水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B，B′时，船 开始不能通航． 16 5 设 B(2，y′)．由 2 ＝－ 5 ×y′，所以 y′＝－4.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的
点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的
值．
[解析] 点
p F2，0，
解法一： 设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， 则焦
m2＝6p 由题设可得 p2 2 m ＋3－2 ＝5
p>0)的焦点坐标是0，－2，准
p 线方程是 y＝2 .
3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截
得的线段，称为抛物线的 焦点弦 ． 4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于 A、 B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于 .
1 依题意有 P′(1，－1)在此抛物线上，代入得 p＝2. 故得抛物线方程为 x2＝－y. 又 B 在抛物线上，将 B(x，－2)代入抛物线方程得 x ＝ 2，即|AB|＝ 2，则|AB|＋1＝ 2＋1， 因此所求水池的直径为 2(1＋ 2)m，约为 5m， 即水池的直径至少应设计为 5m.
人教A版数学高二选修1-1检测 2-3-1 抛物线及其标准方程
04 课后课时精练时间：40分钟满分：75分 一、选择题(每小题5分，共30分)1．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8,8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)答案 C解析 设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，y P ＝±8，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p 2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34. 3．已知双曲线y 2a 2－x 23＝1(a >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 由y ＝18x 2，得x 2＝8y ，∴焦点坐标为(0,2)．由题意得a 2＋3＝4，又a >0，∴a ＝1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列，则有( )A ．x 1＋x 2＝x 3B ．y 1＋y 2＝y 3C ．x 1＋x 3＝2x 2D ．y 1＋y 3＝2y 2答案 C 解析 根据抛物线的定义知|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2.∵|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，∴2x 2＋p ＝x 1＋x 3＋p ，∴2x 2＝x 1＋x 3.5. 如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等，现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为 a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(2＋3)a 万元B ．(23＋1)a 万元C ．5a 万元D ．6a 万元答案 C 解析 依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km, ∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.6．如图动直线l ：y ＝b 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与椭圆x 22＋y 2＝1交于抛物线右侧的点B ，F 为抛物线的焦点，则AF ＋BF ＋AB 的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．2D ．2 2答案 D解析 设直线y ＝b 与x ＝－1的交点为D ，由抛物线定义，可知|AF |＝|AD |，设B (x ，b )，椭圆x 22＋y 2＝1的焦点坐标为(1,0)，可得x 22＋b 2＝1，AF ＋BF ＋AB ＝AD ＋BF ＋AB ＝BD ＋BF＝(x －1)2＋b 2＋x ＋1 ＝(x －1)2＋1－x 22＋x ＋1＝22(2－x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＋ 2. 由x ∈(0，2]知，AF ＋BF ＋AB 的最大值为⎝⎛⎭⎪⎫1－22×2＋1＋2＝2 2.二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．答案 2解析 ∵y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，由题意得：p 2＋3＝4，∴p ＝2.8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.答案 8解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴|PF |＝x 0＋2＝8.9．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案 1＋ 2解析 由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b a ＝1＋ 2.三、解答题(每小题10分，共30分)10．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .11．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系如图．则点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4. 设隧道所在的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴2p ＝a . 即抛物线方程为x 2＝－ay ，将(0.8，y 0)代入x 2＝－ay ，得0.82＝－ay 0，∴y 0＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4>3，即a 4－0.64a >3. ∵a >0，∴a >12.21.故a 的最小整数值应为13.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.从而抛物线方程为y 2＝8x .。
高中数学人教A版选修1-1优化练习2.32.3.1抛物线及其标准方程含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p 2|a 2＋b 2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .故选D.答案：D5．(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 解析：依题意得，直线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1， 代入抛物线方程得 1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案：3248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________． 解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立， 即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立． 化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2； 当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意． 答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1， 又|AP |＝r ＋1. 所以|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等． 所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点． 直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12，故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上， 将B (x ，－2)代入抛物线方程 得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组 能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________． 解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，所以m 2＝16， ∴m ＝4，即M (1,4)，又因为A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b . 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，解得b a ＝2＋1. 答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)． 则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)， 消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)， 又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0， ∴S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|＝121k 2＋4＝10， ∴k ＝±16.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？ (2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。
人教A版高中数学选修1-1：2.3.1抛物线及其标准方程 同步课时练习
2．3.1 抛物线及其标准方程填一填1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过点F )距离相等的点的集合叫作抛物线，点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py (p >0)叫作抛物线的标准方程．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程是x ＝－p2，开口方向向右． (3)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程是x ＝p2，开口方向向左． (4)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程是y ＝－p2，开口方向向上． (5)抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程是y ＝p2，开口方向向下.判一判1.解析：由抛物线标准方程的推导过程可知正确．2．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x －2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为抛物线．(×)解析：定点F 在定直线上，动点P 的轨迹是一条直线，故错误．3．抛物线x ＝2y 2的准线方程为y ＝－18.(×)解析：抛物线x ＝2y 2化为标准方程为y 2＝12x ，准线方程为x ＝－18，故错误．4．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫14a ，0.(×) 解析：抛物线的焦点在y 轴上应为⎝⎛⎭⎫0，14a ，故错误． 5．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是y 2＝－4x .(×)解析：设抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故错误．6．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是y 2＝4x .(×)解析：设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y 2想一想1.在抛物线的定义中，若去掉“l 不过点F ”，点的轨迹还是抛物线么？提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离． 3．求抛物线的标准方程的方法有哪些？ 提示：(1)定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一、分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y 2＝2px (p >0)和y 2＝－2px (p >0)两种情况求解．法二、设成y 2＝mx (m ≠0)，若m >0，开口向右；若m <0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x 2＝my (m ≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程．4．四种位置的抛物线的标准方程有什么异同？ 提示：(1)共同点：①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的14；(2)不同点：①焦点在x 轴上时，x 为一次y 为二次；焦点在y 轴上时，y 为一次x 为二次；即一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同．②一次项系数的正负不同，x 为一次项且系数为正(负)开口向x 轴的正(反)方向；y 为一次项且系数为正(负)开口向y 轴的正(反)方向，即一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．思考感悟：练一练1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2解析：因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.答案：B2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .答案：D3．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________．解析：抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 答案：y ＝34．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．解析：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5， 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.知识点一抛物线的定义1.已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．故选C.答案：C2．给出下列命题：①到定点F (－1,0)的距离和定直线x ＝1的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线；②到定点F (2,1)的距离和到定直线3x －2y －4＝0的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y 轴上． 其中假命题是________(填序号)．解析：由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F (2,1)在定直线3x －2y －4＝0上，可知动点P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x 轴上，所以命题③为假命题．答案：②③3．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 解析：方法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |，所以y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. 于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．方法二：由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，所以当x <0时，射线y ＝0上的点满足题意；当x ≥0时，已知条件等价于点P 到点F (1,0)的距离与到其直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .2知识点二 抛物线的标准方程 4.准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B5．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( )A ．(504,0) B.⎝⎛⎭⎫18 064，0C.⎝⎛⎭⎫0，18 064D.⎝⎛⎭⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为⎝⎛⎭⎫0，18 064. 答案：C6．抛物线y ＝x 2的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫14，0 C.⎝⎛⎭⎫0，－14 D.⎝⎛⎭⎫0，14 解析：∵抛物线方程为y ＝x 2，∴2p ＝1，∴p ＝12，又∵焦点在y 轴的正半轴，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14，故选D. 答案：D7．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解析：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .基础达标一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，0B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫18，0D.⎝⎛⎭⎫0，18 解析：转化为标准方程，x 2＝12y ，所以焦点为⎝⎛⎭⎫0，18.故选D. 答案：D2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是( )A ．y ＝－a 2B ．y ＝－a4C ．y ＝－12aD ．y ＝－14a解析：首先将方程化为标准方程x 2＝1a y ＝2·12a y .当a >0时，y ＝－14a ；当a <0时，y ＝－14a .所以抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－14a.故选D.答案：D3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：D4．已知两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－bax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫－15，0 C.⎝⎛⎭⎫15，0 D.⎝⎛⎭⎫－25，0 解析：依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9，ab ＝20，a >b 解得a ＝5，b ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－45x ，p ＝25，∴其焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0，故选B. 答案：B5．点M ⎝⎛⎭⎫x 0，32是抛物线x 2＝2py (p ＞0)上一点，若点M 到该抛物线的焦点的距离为2，则点M 到坐标原点的距离为( ) A.312B.31C.21D.212解析：抛物线x 2＝2py (p >0)的准线方程是y ＝－p2，因为点M 到该抛物线的焦点的距离为2，所以32＋p2＝2，解得：p ＝1，所以该抛物线的方程是x 2＝2y ，因为点M ⎝⎛⎭⎫x 0，32是抛物线x 2＝2y上的一点，所以x 20＝2×32＝3，所以点M 到坐标原点的距离是x 20＋⎝⎛⎭⎫322＝3＋94＝212，故选D.答案：D6．抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M (4，m )到焦点的距离为5，则m 的值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．4或－4解析：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义有⎪⎪⎪⎪4＋p 2＝5，p ＝2(负值舍去)，此时y 2＝4x ，将点M (4，m )代入抛物线方程中，求出m ＝±4.答案：D7．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|P A |＋d 的最小值为( )A ．4 B.74C.17－1D.34－1解析：抛物线y 2＝4x的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1.如图所示，过点P 作PN ⊥l 交y 轴于点M ，垂足为N ，则|PF |＝|PN |.∴d ＝|PF |－1，∴|P A |＋d ≥|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1，故选D. 答案：D 二、填空题8．抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.答案：29．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．解析：抛物线的准线为x ＝－p 2，与圆相切，则3＋p2＝4，p ＝2.答案：210．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．答案：2 611．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：如图，可得A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3代入双曲线y 2－x 23＝1可得p 23－p 23×4＝1，解得p ＝2.答案：212．已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C (x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________.解析：抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线l ：y ＝－14a ，∴圆心(3,0)到其距离为d ＝1－34＝12，∴14a ＝12，∴a ＝12. 答案：12三、解答题13．求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)经过点(－2，－4)，且以坐标轴为对称轴； (2)焦点为直线2x －3y －6＝0与坐标轴的交点； (3)顶点在坐标原点，准线方程为y ＝－5.解析：(1)因为点(－2，－4)在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝－2py (p >0)若点(－2，－4)在x 2＝－2py (p >0)上，则(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12若点(－2，－4)在y 2＝－2px (p >0)上，则(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)直线2x －3y －6＝0与x 轴的交点坐标为(3,0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，当焦点坐标为(3,0)时，p2＝3即p ＝6，抛物线的方程是y 2＝12x ；当焦点坐标为(0，－2)时，p2＝2即p ＝4，抛物线的方程是x 2＝－8y .抛物线的标准方程为y 2＝12x 或x 2＝－8y .(3)因为准线方程为y ＝－5，所以可设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，且p2＝5，p ＝10，故所求抛物线的标准方程为x 2＝20y .14．如图所示，一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a 4. 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点B 在抛物线上，所以⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4， 解得p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3.解得a >12.21.因为a能力提升15.已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两点，若|MF |＋|NF |＝32，求线段MN的中点P 到x 轴的距离．解析：如图，抛物线x 2＝12y 的焦点为⎝⎛⎭⎫0，18，准线为y ＝－18，过M ，N 分别作准线的垂线，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝32，所以中位线|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝34，所以中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－18＝34－18＝58.16．设抛物线y 2＝mx的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－⎝⎛⎭⎫－m4＝3，所以m ＝8. 此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x . 所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1能力拓展 2-3-1 抛物线及其标准方程
能力拓展提升一、选择题11．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＋4＝0 B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x[答案] D[解析]依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x，故答案是D.12．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()A．2 3 B．2C. 3 D．1[答案] D[解析]本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0|12＋(3)2＝1.13．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x[答案] C[解析] 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y 2＝8x .故选C.14．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.32 D.34[答案] B[解析] ∵椭圆x 214＋y 2＝1的焦点坐标为(0，±32)，由条件知，p 2＝32，∴p ＝ 3. 二、填空题15．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．[答案] x 2＝12y[解析] 抛物线x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4， 由题意得3－(－a4)＝6，∴a ＝12，∴x 2＝12y .16．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.[答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p2，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，由题意知3－p 2＝1或p2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8. 三、解答题17．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5.求抛物线方程和m 的值．[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p2，0)， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p m 2＋(3－p 2)2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4m ＝－26.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 解法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p 2. 由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5， 即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x . 又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.18．一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[解析]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a 2，－a4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ， 即y ＝－0.82a .欲使卡车通过隧道，应有y－(－a4)>3，即a4－0.82a>3，由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.3.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
2.3.1 抛物线及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )B.(-2,0) C.(4,0)D.(-4,0)2.抛物线y=x 2的准线方程是( )A.2x+1=0B.4x+1=0=0 D.4y+1=0y=x 2的标准形式为x 2=y ,p y 轴正半轴上,故准线方程为y==12,且焦点在‒14,4y+1=0.3.已知抛物线的准线方程是x=-3,则抛物线的标准方程为( )212y B.y 2=12x C.y 2=-12x D.x 2=12yx=-3,所以焦点在x 轴正半轴上,2p=12.故选B.且p 2=3,故4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )B.6 C.8 D.12P 到抛物线准线的距离为4-(-2)=6.由抛物线的定义知,点P 到抛物线焦点的距离也是6.5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在双曲线x 24‒y 22=1上,则抛物线的方程为( )A.y 2=8x B.y 2=4x C.y 2=2x D.y 2=±8x,即为(-2,0)或(2,0),线x 24‒y 22=1的顶点所以抛物线的方程为y 2=8x 或y 2=-8x.6.若抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 x 2y==14y ,准线为‒116.因为点M 到焦点的距离为1,所以点M 到准线的距离也为1,所以点M 的纵坐标等于1‒116=1516.7.若点M 到点F (0,-2)的距离比它到直线l :y-3=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是 .,点M 到点F (0,-2)的距离与它到直线l':y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M 的轨迹是以点F (0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x 2=-8y.2=-8y 8.已知抛物线y 2=2px (p>0)上一点M (1,m )到其焦点的距离为5,双曲线x 2‒y 2a =1的左A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直,则实数a =_________________.1p=8.+p 2=5,解得由点M 在抛物线上,可得m=±4.不妨取M (1,4),则AM 的斜率为2,由已知a 得‒a ×2=‒1,故=14.9.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M (-6,6);(2)焦点F 在直线l :3x-2y-6=0上.∵点M (-6,6)在第二象限,∴过点M 的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x 轴上,设其方程为y 2=-2px (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y 2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y 轴上.设其方程为x 2=2py (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=2p×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x 2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y 2=-6x 或x 2=6y.(2)①由题意可知直线l 与x 轴的交点为(2,0).当抛物线的焦点是F (2,0),则p 2=2,∴p =4,∴抛物线的标准方程是y 2=8x.②由题意可知直线l 与y 轴的交点为(0,-3),当抛物线的焦点是F (0,-3),则p2=3,∴p =6,∴抛物线的标准方程是x 2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y 2=8x 或x 2=-12y.10.设抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A ∈C ,已知以点F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点.若∠BFD=90°,△ABD 的面积为42,求p 的值及圆F 的方程.F 为圆心,FA 为半径的圆交l 于B ,D 两点,所以△BFD 为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p ,又因为点A 到准线l 的距离d=|FA|=|FB|S △ABD ==2p ,所以42=12|BD |p=2.×d =12×2p ×2p ,所以所以圆F 的圆心为(0,1),半径r=|FA|=22,圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.二、能力提升1.过点F (0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A.y 2=12xB.y 2=-12x2y D.x 2=-12y2.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A .34B.1C.54D.743.已知双曲线C 1:x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )A.x 2=833y B.x 2=1633y 2yD.x 2=16ye 2=1y=+b 2a 2=4,得b a =3,则双曲线的渐近线方程为±3x ,即3x ±y =0.抛物线C 2的焦点坐标2,可为(0,p 2),由抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为得p22=2,p=8.解得故抛物线C 2的方程为x 2=16y.4.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y 2=±4xB.y 2=±8x 2x D.y 2=8xy 2=ax (a ≠0)的焦点F 的坐标l 的方程为y=y 轴的为(a 4,0),则直线2(x -a4),它与交点△OAF 的面积a=±8.为A (0,-a 2),所以为12|a 4|·|a 2|=4,解得所以抛物线的方程为y 2=±8x ,故选B.5.设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段FA 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .抛物线的焦点坐标为F (p2,0),线段FA 的中,点B (p 4,1)在抛物线上∴12=2p ×p 4,∴p =2,∴x=B (24,1),抛物线的准线方程为‒22,∴点B 到该抛物线准线的距离为|24-(-22)|=324.★6.已知M 是抛物线y 2=2px (p>0)上的点,若点M 到此抛物线的准线和x 轴的距离分别为5和4,则点M 的横坐标为 .M (x 0,y 0),则x 0+p2=5,|y 0|=4.又y 20=2px 0,∴x 0=8p ,∴8p +p 2=5.∴p=2或p=8,则x 0=4或x 0=1.或47. 如图,已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A 在抛物线上,且是横坐标为4,位于x 轴上方的点,点A 到抛物线准线的距离等于5,过点A 作AB 垂直于y 轴,垂足为点B ,OB 的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)过点M 作MN ⊥FA ,垂足为N ,求点N的坐标.抛物线y 2=2px 的准线方程为x=4‒p 2,于是+p 2=5,p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x.(2)由题意得A (4,4),B (0,4),M (0,2).又F (1,0),所以k AF FA 的方程为y =43,则=43(x ‒1).因为MN ⊥FA ,所以k MN =‒34,则MN 的方程为y=‒34x +2.解方程组{y =-34x +2,y =43(x -1),得{x =85,y =45.所以N (85,45).★8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100+y 225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M (0,647)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D (8,0).观测点A (4,0),B (6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x 轴上方时,观测点A ,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?设曲线方程为y=ax 2+647,由题意可知,0=a ·64+647.∴a =‒17.∴曲线方程为y=‒17x 2+647.(2)设变轨点为C (x ,y ),根据题意可知 {x 2100+y 225=1,y =-17x 2+647,①②解得y=4或y=,舍去).‒94(不合题意∴y=4.当y=4时,x=6或x=-6(不合题意,舍去).∴点C 的坐标为(6,4),|AC|=25,|BC |=4.答:当观测点A ,B 测得离航天器的距离分别,应向航天器发出变轨指令.为25,4时。
人教新课标A版高二数学《选修1-1》2.3.1 抛物线及其标准方程
2.四种抛物线标准方程
标准方程 图形 焦点坐标 准线方程
y2=2px (p>0)
p ,0 2
x
p 2
y2=-2px (p>0) _____________
p ,0 _______ 2
p 2 _______ x
标准方程
图形
焦点坐标
准Байду номын сангаас方程
x2=2py
况分类讨论.
抛物线的实际应用
【技法点拨】
抛物线实际应用题的五个步骤 （1）建：建立适当的坐标系； （2）设：设出合适的抛物线标准方程； （3）算：通过计算求出抛物线标准方程； （4）求：求出所要求出的量； （5）还：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
【典例训练】 1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一 部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡 位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，
第二章 圆锥曲线与方程
§2.3
抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点
F）的距离相等 _____的点的轨迹叫做抛物线.
焦点 ，直线l叫做抛物线的 (2)点F叫做抛物线的_____
准线 _____. (3)图形展示：
即：MF
MN
_____ 1 .
（3）方程特点：抛物线的标准方程是关于x,y的 二元二次方程，其中一个变量只有一次项，另一 个变量只有二次项. （4）参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p， 它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p＞0， p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭.
2.抛物线解析式与其焦点位置及开口方向的关系
【成才之路】高二数学 1、2-3-1抛物线及其标准方程同步练习 新人教A版选修1-1
2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线． 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线为y ＝2，∴a <0,2＝1－4a ，∴a ＝－18.4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12[答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能[答案] B[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y[答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 因为焦点坐标为(1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18， ∴|PF |＝x 0＋p2＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3B. 3C.123 D.143 [答案] B[解析] p 2＝c ＝32，∴p ＝ 3.10．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a bx .因为a >b >0，因此1b >1a>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A. 二、填空题11．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. [答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p2，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，由题意知3－p 2＝1或p2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8.12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________． [答案] y 2＝8－8x[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，化简得y 2＝8－8x .13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．[答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x .14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0. ∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.|3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，138、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，78.三、解答题15．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)． ∵点M 到准线的距离为10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px x ＋p 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p ＝18，故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点． 求证：OC ⊥OD (O 为原点)[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8 化简得x 2＝2y(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2) 整理得x 2－2x －4＝0 可知Δ＝20>0设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4 ∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OC ⊥OD17．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的任意一条直线m ，交抛物线于P 1，P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切．[证明] 如下图，设P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|，所以|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|.因为P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|，所以|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |即可．由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。
人教版高中数学选修1-1课件：2.3.1抛物线及其标准方程 (共36张PPT)
方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线，其
焦点位于x轴的正半轴上，其准线交于x轴的负
p p 半轴即右焦点F（ ，0），左准线l：x =2 2
如图2.4-3所示. y 但是，对于一条抛物线，它在
坐标平面内的位置可以不同，所以
建立的坐标系也不同，所得抛物线 的方程也不同，所以抛物线的标准 方程还有其它形式.
继续解答
解： (Ⅰ)依题意，由a2+b2=4，
x2 y2 得双曲线方程为 a 2 - 4 - a 2 = 1 （0＜a2＜4） 9 7
将点（3， 7）代入上式，得 a 2 - 4 - a 2 = 1 解得a2=18（舍去）或a2＝2，
x2 y2 故所求双曲线方程为 - = 1. 2 2
(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代 入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6=0.
为（0，-2），准线方程y=2.
例2：
已知抛物线的焦点是F（-2，0），求 它的标准方程.
解：因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上， 且 为y2=-8x .
p =2，p=4，所以，所求抛物线的标准方程 2
课堂小结
1.抛物线：
把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线
（parabola）.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做
抛物线的准线.
2.四种形式的抛物线：
y
图 像
﹒ ﹒﹒ ﹒
y
y
o
x
o
o
y
x
o
x
x
y2=-2px x2=2py 方 y2=2px 程 （p>0） （p>0） （p>0）
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.3.1 抛物线及其标准方程 Word版含解
2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升1.对抛物线x2=4y,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为x2=4y开口向上,焦点为(0,1),因此选A.2.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1),且与直线x+2y=3垂直的直线.3.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8xy2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,即p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.4.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2y2=2px的焦点为F,M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,∴M;又|OM|=,∴+p2=5,解得p=2,=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.5.已知双曲线=1(m>0)的一条渐近线方程为y=x,它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上,则实数a的值等于()A.±24B.±12C.±D.±,可得=3,解得m=9,∴双曲线的方程为=1,焦点坐标为(±6,0),∴=±6,∴a=±24.6.若抛物线C:y=ax2经过点(4,2),则抛物线焦点坐标为.2=a·42,所以a=.因此抛物线方程为x2=8y,其焦点坐标为(0,2).7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴负半轴.2=8x或y=0(x<0)8.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.,不妨设B,F,|FD|=p,可解得B.在Rt△DFB中,tan 30°=,所以,解得p=6.9.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-=-2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是x2=-8y.(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以抛物线的标准方程是y2=-10x.10.已知点A(12,6),点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.(1)求点M的轨迹方程G;(2)在抛物线G上是否存在一点P,使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值?点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1,即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离”,所以点M的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,此时,p=2.故所求抛物线方程G为x2=4y.(2)如图,易判断点A在抛物线外侧,设P(x,y),则点P到x轴的距离即为y值,设点P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d.于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由图可知,当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值13.此时直线AF的方程为y=x+1,由联立得点P坐标为.∴在抛物线G上存在点P,使得所求距离之和最小为13.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
最新精编高中人教A版选修1-1高中数学强化训练2.3.1抛物线及其标准方程和答案
§2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )A.|a |4B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－26．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A ．45 B ．23 C ．47 D ．12题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．能力提升12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )A．12B．1 C．2 D．413．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2.3抛物线2．3.1 抛物线及其标准方程答案知识梳理1．相等 焦点 准线2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p2 向右(3)(－p 2，0) x ＝p2 向左(4)(0，p 2) y ＝－p 2 向上 (5)(0，－p2) y ＝p2 向下 作业设计1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.]2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .]3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p 2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.]4．C [容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，或者l 在M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]6．A [如图所示，设过点M (3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，代入y 2＝2x 并整理，得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k 2.因为|BF |＝2，所以|BB ′|＝2. 不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32，所以x 1＝2.S △BCF S △ACF ＝12|BC |·d 12|AC |·d＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝22＋12＝45.]7．y ＝3解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意知，设P (x 1，x 21－1)，Q (x 2，x 22－1)，又A (－1,0)，PA ⊥PQ ，－*6]＝(－x ，－2－y )，PB→·PQ →＝0， 即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0， 也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0.∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1，由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3. 10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.11．解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． ① 直线方程变形为y ＝2x ＋1， ② 设抛物线截直线所得弦为AB .②代入①，整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则|AB |＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15. 解得a ＝12或a ＝－4.∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16， ∴3＋p2＝4，∴p ＝2.方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.]13．解 设定圆圆心M (3,0)，半径r ＝3，动圆圆心P (x ，y )，半径为R ，则由已知得下列等式⎩⎪⎨⎪⎧|PM |＝R ＋3|x |＝R ， ∴|PM |＝|x |＋3.当x >0时，上式几何意义为点P 到定点M 的距离与它到直线x ＝－3的距离相等，∴点P 轨迹为抛物线，焦点M (3,0)，准线x ＝－3， ∴p ＝6，抛物线方程为y 2＝12x .当x <0时，|PM |＝3－x ，动点P 到定点M 的距离等于动点P 到直线x ＝3的距离，点P 轨迹为x 轴负半轴，当x＝0时，不符合题意，舍去．∴所求轨迹方程为y2＝12x (x>0)或y＝0 (x<0)．。
2016学年高二人教版数学选修1-1练习：2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．抛物线的定义及标准方程．(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程(请同学们自己填写下面表格中的内容)：2.关于抛物线的定义．要注意点F 不在直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 3．关于抛物线的标准方程．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共性与区别在于：(1)p 的几何意义相同，焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数；(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向；(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.,►自测自评1．已知抛物线的焦点是(0，－14)，则抛物线的标准方程是(A)A ．x 2＝－yB ．x 2＝yC ．y 2＝xD ．y 2＝－x2．抛物线x 2＝－16y 的焦点坐标是(0，－4)．3．若动点P 到定点F (－4，0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线． 解析：由抛物线的定义：到定点F 的距离与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线．1．(2013·惠州一模)设抛物线的顶点为原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是(B) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 2．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其到准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为(D)A ．5 6 B.2534C ．20D ．10解析：依题意设P ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， 则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，∵y 0＝±4，S ΔMPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.3．若动点M (x ，y )到点F (4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则M 点的轨迹方程是________．解析：依题意，得点M (x ，y )到点F (4，0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．∵根据抛物线的定义，知p2＝4，∴p ＝8，故所求的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x4．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．解析：由抛物线定义，设焦点为F (－p2，0)．则准线为x ＝p2，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝10.即p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9，6)，或M (－9，－6)．5．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解析：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)．则由抛物线的定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2， 又(－3)2＝2pm . 所以，p ＝±1或p ＝±9.故所求抛物线的方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为(B)A ．(1，0) B.⎝⎛⎭⎫0，116 C ．(0，1) C.⎝⎛⎭⎫18，02．顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(3，－2)，则它的方程是(A)A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为(D)A ．－2B ．2C ．－4D ．44．到定点(3，5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是(D) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段 D ．直线解析：点(3，5)在直线2x ＋3y －21＝0上，所以到点(3，5)与定直线距离相等的点是过(3，5)且与直线垂直的直线．5．已知抛物线关于x 轴对称，它的定点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝(B)A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：利用抛物线的定义求解．由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则M 到焦点的距离为2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.6．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(B)A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xD ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x ，故选B.7．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________________． 解析：设抛物线上的点M (m 2，m )，∵抛物线的准线方程为x ＝－14，根据题意，得（m 2）2＋m 2＝⎪⎪⎪⎪m 2＋14. 解得m ＝±24.答案：⎝⎛⎭⎫18，±248．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________． 解析：将圆的方程化为标准方程 (x －3)2＋y 2＝16， ∴圆心为(3，0)，半径r ＝4.又抛物线的准线为x ＝－p2.所以，根据题意，得⎪⎪⎪⎪3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4. ∵p ＞0，∴解得p ＝2.9．已知动点P 到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则点P 的轨迹方程为______．解析：由题意可知点P 到(3，0)的距离与到x ＝－3的距离相等，故P 的轨迹是抛物线，p ＝6，∴方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x10．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42， 得x 0＝32，代入抛物线方程 得y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △PDF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.11．求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线上一点P (－5，25)到焦点F (x ，0)的距离为6；(2)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6. 解析：(1)由题意（－5－x ）2＋（25）2＝6，解得x ＝－1或当x ＝－9时，抛物线焦点为F (－9，0)，其标准方程y 2＝36x ，则(－5，25)不在抛物线上，故舍去．当x ＝－1时，抛物线焦点为F (－1，0)， 其标准方程为y 2＝－4x ；故所求抛物线的标准方程为y 2＝－4x .(2)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6，2m ＝±6，故抛物线方程为y 2＝±6x .12．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，由点B 在抛物线上，得(a 2)2＝－2p (－a4)， p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay . 将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .由点E 到拱底AB 的距离为 a 4－|y |＝a 4－0.64a >3. 解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)．∵a 取正数，∴a 的最小整数值为13 m. ►体验高考1．(2014·安徽卷)抛物线y ＝14x 2的准线方程是(A )A ．y ＝ －1B ．y ＝ －2C ．x ＝ －1D ．x ＝ －2解析：选A.由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，焦点在y 轴的正半轴上．且2p ＝4，所以p ＝2.因此准线方程为y ＝ －p2＝ －1.2．(2014·辽宁卷)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为(C )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：∵点A (－2，3)在抛物线C 的准线上，∴p2＝2，∴p ＝4.∵抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，根据斜率公式得k AF＝0－32＋2＝ －34.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝(C ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8解析：如图，F ⎝⎛⎭⎫14，0，过A 作AA ′⊥准线??∴|AF |＝|AA ′|，∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14，∴x 0＝1.4．(2014·辽宁卷)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为(D )A.12B.23C.34D.43解析：抛物线y 2＝px 的准线为直线x ＝ －p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以 －p2＝ －2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.5．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是(D ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1解析：由抛物线方程知2p ＝8⇒p ＝4，故焦点F (2，0)，由点到直线的距离公式知，F 到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|1＋3＝1.故选D.。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1备选高考题库 2-3-1 抛物线及其标准方程
1．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线[答案] A[解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支． 2．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1 B.32 C ．2 D.52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2，∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.3．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2， ∴x 0＝74，∴y 0＝±72.4．(2013·新课标Ⅰ文，8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积，设P (x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF＝12|y 0|·|OF |＝23，选A ，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y23＝1[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y22＝1.6．某抛物线形拱桥跨度是20m ，拱桥高度是4m ，在建桥时，每4m 需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．[解析] 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意知，点P (10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25，即抛物线方程为x 2＝－25y .∵每4m 需用一根支柱支撑，∴4根支柱的横坐标从左到右依次为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，设点B的坐标为(2，y B)，代入x2＝－25y，得y B＝－425.∴|AB|＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84m.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.1
一、选择题
1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．圆
D ．双曲线
[答案] A
[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线．
2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为(
) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，±62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
74，±72
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
94，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
5
2，±102
[答案] B
[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，
∴x 0＝74，∴y 0＝±7
2.
3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )
A.1
8 B ．－1
8
C ．8
D ．－8
[答案] B
[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1
a y ，其准线为y ＝2，
∴a <0,2＝1－4a
，∴a ＝－18. 4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 [答案] B
[解析] 本题考查抛物线的定义．
由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是
( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上答案都有可能 [答案] B
[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．
6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为
( )
A ．y 2＝12x
B ．y 2＝－12x
C ．x 2＝12y
D ．x 2＝－12y
[答案] C
[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．
7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
[答案] B
[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．
因为焦点坐标为(1,0)，
设直线方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，
∴k 2＝43，即k ＝±233.
因而这样的直线有且仅有两条．
8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )
A ．20
B ．8
C ．22
D ．24
[答案] A
[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，
∴|PF |＝x 0＋p 2＝20.
9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦
点，则此抛物线的焦点到准线的距离为()
A．2 3 B. 3
C.
1
2 3 D.
1
4 3
[答案] B
[解析]
p
2
＝c＝3
2
，∴p＝ 3.
10．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()
[答案] D
[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准
方程x2
1
a2
＋y2
1
b2
＝1，y2＝－a
b x.因为a>b>0，因此
1
b>
1
a>0.
所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．
解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，
即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.
二、填空题
12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
[答案] y 2＝8－8x
[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，
化简得y 2＝8－8x .
13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．
[答案] y 2＝－20x
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，
又p ＝10，∴y 2＝－20x .
14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线
和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．
[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0.
∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，
x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±
4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.
|3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78，
∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，138、⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，78. 三、解答题
16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB
→＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程．
(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．
求证：OC ⊥OD (O 为原点)
[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8
化简得x 2＝2y
(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)
整理得x 2－2x －4＝0
可知Δ＝20>0
设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)
x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4
∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2
∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4
∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝0 ∴OC ⊥OD
18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依
次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.
[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .
(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所
以只需求出|AD |即可．
由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物
线方程y 2＝8x 联立得⎩⎨⎧ y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设
A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|A
B |＋|CD |＝|AD |－|B
C |＝6.
[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。