人教新课标版数学高二选修1-1练习2-3-1抛物线及其标准方程

2.3.1

一、选择题

1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )

A ．直线

B ．抛物线

C ．圆

D ．双曲线

[答案] A

[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线．

2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为(

) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，±62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

74，±72

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫

94，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫

5

2，±102

[答案] B

[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，

∴x 0＝74，∴y 0＝±7

2.

3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )

A.1

8 B ．－1

8

C ．8

D ．－8

[答案] B

[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1

a y ，其准线为y ＝2，

∴a <0,2＝1－4a

，∴a ＝－18. 4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12 [答案] B

[解析] 本题考查抛物线的定义．

由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.

5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是

( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．以上答案都有可能 [答案] B

[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．

6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为

( )

A ．y 2＝12x

B ．y 2＝－12x

C ．x 2＝12y

D ．x 2＝－12y

[答案] C

[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．

7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )

A ．有且仅有一条

B ．有且仅有两条

C ．有无穷多条

D ．不存在

[答案] B

[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．

因为焦点坐标为(1,0)，

设直线方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，

∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，

∴k 2＝43，即k ＝±233.

因而这样的直线有且仅有两条．

8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )

A ．20

B ．8

C ．22

D ．24

[答案] A

[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，

∴|PF |＝x 0＋p 2＝20.

9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦

点，则此抛物线的焦点到准线的距离为()

A．2 3 B. 3

C.

1

2 3 D.

1

4 3

[答案] B

[解析]

p

2

＝c＝3

2

，∴p＝ 3.

10．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()

[答案] D

[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准

方程x2

1

a2

＋y2

1

b2

＝1，y2＝－a

b x.因为a>b>0，因此

1

b>

1

a>0.

所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．

解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，

即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.

二、填空题

12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．

[答案] y 2＝8－8x

[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，

化简得y 2＝8－8x .

13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．

[答案] y 2＝－20x

[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，

又p ＝10，∴y 2＝－20x .

14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线

和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．

[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0.

∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，

x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±

4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.