工程力学-应力状态分析 PPT
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工程力学---应力状态分析
τα =
ห้องสมุดไป่ตู้
2
sin2α +τ xcos2α
上述关系建立在静力学基础上， 上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况， 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
单辉祖：工程力学 12
应力圆
应力圆原理
σα = σ x +σ y σ x −σ y
17
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： ：
σ m = −115 MPa
τ m = 35 MPa
18
单辉祖：工程力学
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 ： A点对应截面 x, B点对应截面 y 点对应截面 点对应截面 τ 2. 由应力圆求 σm 与 m 顺时针转60 由A点（截面 x ）顺时针转 。至D点（截面 y ） 点 点
解： σ x = −100 MPa τ x = −60 MPa σ y = 50 MPa α = −30o ：
σm =
σ x + σ y σ x −σ y
2 +
τm =
单辉祖：工程力学
σ x −σ y
2
2
cos2α −τ xsin2α = −114.5MPa
sin2α +τ xcos2α = 35.0MPa
(τ ydAsinα)sinα + (σ ydAsinα)cosα = 0
σα = σ xcos2α +σ ysin2α − (τ x +τ y )sinα cosα
τα = (σ x −σ y )sinα cosα +τ xcos2α −τ ysin2α
《工程力学》实验应力分析
r 1 2 3 4 2(1 )M
上下表面
M
r 2(1 )
E M
E r 2(1 )
R3 R4
R2 t2
R1
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
21
13.3 测量电桥的接法及其应用
例2 通过应变测量(1)求偏心载荷F;(2) 求e.试确定
布片、接桥方案。截面bh
y
e
y
解：(1)测F
z x
F Fe F 分析：
Me
Me
25
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
解: 应力分析
1 3
沿与轴线成450方向为主方向,
故沿主应力方向布片.
采用全桥接法.
r 1 2 3 4 41
1
r
4
26
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
工程力学
第13章 实 验 应 力 分 析
1
第13章 实验应力分析
§13.1 概述 §13.2 电测应力分析的基本原理 §13.3 测量电桥的接法及应用 §13.4 二向应力状态下主应力已知时
的应力测定 §13.5 二向应力状态下主应力未知时
的应力测定
2
13.1 概 述
一. 为什么要进行实验应力分析
例1 已知E， , 测定max, 试确定布片、接桥方案。
M
R1
M
解：第一方案，
R2
工程力学-材料力学之应力应变状态分析
σ1
μσ2
σ3
0
2
1 E
σ2
σ1
σ3
0
z
y
y
z
x
x
12
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
σ1
σ2
(1 1 2
)
σ
3
铜块的主应力为
0.34(1 0.34) 1 - 0.342
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
对于平面应力状态（In plane stress-state）
(假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
y
1 εx E (σx μσ y )
εy
1 E
(σ y
μσx )
εz
μ E
(σ
y
σx)
z
xy
xy
G
y
yx xy
x
x
y yx xy x
6
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
工程力学 第10章 应力状态分析
（a） （b）
对于法线为 y′ 的方向面，也可以写出类似的关于σ y′和τy′x′ 的方程。于是，从这些方程 中消去 dA 后，得到关于相互垂直的、任意方向面上正应力和切应力的公式： σ x′＝σ x cos2 θ＋σ ysin 2 θ－τxycos θsin θ －τyx sin θcos θ σ y′＝σ x sin 2 θ＋σ ycos2 θ＋τxycos θsin θ ＋τyx sin θcos θ τx′y′＝σ xcos θsin θ－σ ysin θcos θ＋τxycos2 θ－τyx sin 2 θ τy′x′＝－σ xcos θsin θ＋σ ysin θcos θ＋τxysin 2 θ－τyx cos 2 θ （10－1） （10－2） （10－3） （10－4）
图 10－3 正负号规则
n θ角－从 x 正方向反时针转至 x′正方向者为正；反之为负。 n 正应力—拉为正；压为负。 n 切应力—使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。
图 10－3 中所示的θ角及正应力和切应力τxy 均为正；τyx 为负。
10－2－2 微元的局部平衡
为确定平面应力状态中任意方向面(法线为 x′ ，方向角为 θ)上的应力，将微元从任意方 向面处截为两部分。考察其中任意部分，其受力如图 10－3b 所示，假定任意方向面上的正 应力σ x′和切应力τx′y′ 均为正方向。 于是，根据力的平衡方程 ∑ Fx′＝0 和 ∑ F y′＝0 , 可以写出：
图 10－4 不同坐标系中应力状态的表达形式
或者说从一种坐标系 Oxy 变换到另一坐标系 Ox′ y′ 。例如图 10－4a、b 中所示的两种微元， 若二者的应力满足式（10－1）－（10－4） ，则二者表示了同一点的应力状态。由于坐标系 Ox′ y′ 是任意的，因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式 中有没有一种简单的、 但又能反映一点应力状态本质内涵的表达形式？为了回答这一问题需 要引入主应力的的概念。
工程力学-应力状态p
x
O A2
21 D1(sx ,txy)
20
C
s
A1
D2(sy , -txy)
四、最大（小）剪应力及其所在截面
t min
t max t min
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
s max s min
2
t
max所在截面方位角1为：1
0
4
( 0 为s max所在主平面方位角)
[例3]单元体应力状态如图。试求主应力并确定主平面位置。
§7.１应力状态概述
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验破坏现象是怎样的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
Me
P
低碳钢
铸铁
P
2、组合变形杆将怎样破坏？
P 铸铁
Me
二、一点的应力状态 通过受力构件内一点有无数个截面，这些过一点处不同方位
截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。
三、单元体 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小
代入公式，得斜截面上正应力：
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
50 30 50 30 cos 60o 20sin 60o 32.7 MPa
2
2
斜截面上剪应力：
t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
50 30 sin 60o 20 cos 60o 2
18.7 MPa
规定：s以拉为正；
sx
t 以其对作用对象内任一点的
txy
y
工程力学-应力状态
σ 30 100 50 2 100 50 2
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
工程力学杆件的应力课件
工程力学杆件的应力
19
应力集中系数
平均应力
2 应力集中对构件强度的影响
对脆性材料而言，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达 强度极限，故在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。
对塑性材料而言，应力集中对其在静载作用下的强度几乎没有影
响，故在研究塑性材料构件的静强度时，一般不考虑应力集中的
影响。
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
g
工程力学杆件的应力
32
g
g
d
g dx rd
g r d
dx
工程力学杆件的应力
33
在外表面上
横截面上距形心为的任一点处应变 g
gdxd
g
d
dx
工程力学杆件的应力
34
2. 物理关系
• 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
Gg
G
d
dx
• 剪应力方向垂直于半径
此原理已为大量试验与计算所证实。
用与外力系静力等效的合力代替原力系， 除在原力系作用区域内有明显差别外，在 离外力作用区域稍远处，上述代替影响非 常微小，可以略而不计。
工程力学杆件的应力
18
三 应力集中
1.应力集中的概念
由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化， 例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均 匀分布而急剧增大 应力集中：杆件外形突变，引起局部应力急剧增大的现象
g
工程力学杆件的应力
9
• 薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪 应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力 与剪应变成正比 即：当p时
引入比例系数G，则 Gg
工程力学第2节 二向应力状态分析
例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。
x
y
2
sin 2
x
cos2
121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d
x
2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变12122x y xyx y()tg εεεεγϕεε⎡=+±⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
工程力学材料力学之应力应变状态分析
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
工程力学第13章应力状态分析和强度理论
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
z
x
y y
x
z x
2
I 3 1
(1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ1 无关.
1
3
II 2
(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、 τα ,其上之应力与σ2 无关.
2
III 1 3
2
(3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ3 无关.
例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢 块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
Fy
解：1) 研究对象ຫໍສະໝຸດ 正方形钢块y F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
工程力学 应力状态
x y sin 2 x cos2 2
d 令 0 d
x y tg 2 2 x
可解出两个相差 的极值平面，一 2 个面上为极大值，另一个面上为极小值。
23
1 1 x y 将 tg 2 2 x
代入(7-2)式，可得：
60.8MPa
26
x y 60 sin 120 x cos120 2
70 sin 120 50 cos 120 2
55.3MPa
② 求主应力
2 x 2 50 tg 2 0 1.429 x y 70
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
7
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。 ② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
8
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法求斜截面的应力
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应
力，求任意方向面上的应力。
9
最常见的情况：有一对方向面上的应力为 零，单元体上所有的应力 在同一平面内，称为二向
(1) (2)
(1)2 (2)2 得：
x y 2 x y 2 ( ) ( cos 2 x sin 2 ) 2 2 2 x y ( sin 2 x cos2 ) 2 2
30
整理可得： x y 2 x y 2 2 2 ( ) ( ) x
(7-1)记忆
同理，利用
F
t
0 ，可得：
x y sin 2 x cos 2 2
(7-2)记忆
13
d 令 0 d
x y tg 2 2 x
可解出两个相差 的极值平面，一 2 个面上为极大值，另一个面上为极小值。
23
1 1 x y 将 tg 2 2 x
代入(7-2)式，可得：
60.8MPa
26
x y 60 sin 120 x cos120 2
70 sin 120 50 cos 120 2
55.3MPa
② 求主应力
2 x 2 50 tg 2 0 1.429 x y 70
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
7
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。 ② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
8
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法求斜截面的应力
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应
力，求任意方向面上的应力。
9
最常见的情况：有一对方向面上的应力为 零，单元体上所有的应力 在同一平面内，称为二向
(1) (2)
(1)2 (2)2 得：
x y 2 x y 2 ( ) ( cos 2 x sin 2 ) 2 2 2 x y ( sin 2 x cos2 ) 2 2
30
整理可得： x y 2 x y 2 2 2 ( ) ( ) x
(7-1)记忆
同理，利用
F
t
0 ，可得：
x y sin 2 x cos 2 2
(7-2)记忆
13
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
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同理可证： t H ta
15
点、面对应关系
转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端
：工程力学
16
例题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
解：s x 100 MPa t x 60 MPa s y 50 MPa a 30
sm
sx
s y
2
sx
s y cos2a
由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
ta
sx
s y
2
sin2a
t xcos2a
上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适
用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
：工程力学
12
应力圆
0
s
x
tx s
min
s
tx max s
y
smax与smin所在截面正交
s 极值与t 极值所在截
面, 成 45夹角
：工程力学
22
主平面与主应力
s2
s1 s3
主平面－切应力为零的截面
相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体
主应力－主平面上的正应力
主应力符号与规定－ s1 s 2 s 3（按代数值）
2. 由应力圆求 s m 与t m
由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）
：工程力学
s m 115 MPa t m 35 MPa
19
§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
：工程力学
20
平面应力状态的极值应力
极值应力数值
s max s min
OC
CA
s
x
2
s
y
s
x
2
s
y
2
t
2 x
t max t min
CK
s
x
2
s
y
2
t
2 x
：工程力学
21
极值应力方位
最大正应力方位：
tan2a
0
s
2t x x s
y
tana
14
图解法求斜截面应力
s H OC CD cos(2a0 2a )
s H OC CD cos2a0cos2a CD sin2a0sin2a
sH
s
x
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
sa
sa
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
：工程力学
应力圆原理
sa
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
ta
sx
s
2
y
sin2a
t xcos2a
sa
பைடு நூலகம்
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2a
t xsin2a
ta
0
s
x
s
2
y
sin2a
t xcos2a
应力圆
圆心位于s 轴
s a
s
x
2
s
y
2
ta
02
(t ydAsina )sina (s ydAsina )cosa 0
sa s xcos2a s ysin2a (t x t y )sina cosa
ta (s x s y )sina cosa t xcos2a t ysin2a
：工程力学
11
sa s xcos2a s ysin2a (t x t y )sina cosa ta (s x s y )sina cosa t xcos2a t ysin2a
：工程力学
10
斜截面应力公式
Fn 0， sadA (t xdAcosa )sina (s xdAcosa )cosa
(t ydAsina )cosa (s ydAsina )sina 0 Ft 0， tadA (t xdAcosa )cosa (s xdAcosa )sina
2
t xsin2a
114.5 MPa
：工程力学
t
m
s
x
2
s
y
sin2a
t
xcos2a
35.0 MPa
17
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
：工程力学
s m 115 MPa t m 35 MPa
18
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 A点对应截面 x, B点对应截面 y
s
x
s
2
y
2
t
2 x
：工程力学
sC
sx
s
2
y
R
s
x
s
2
y
2
t
2 x
13
应力圆的绘制
问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆
根据：
sC
sx
s y
2
R
s
x
s
2
y
2
t
2 x
满足上述二条件 确为所求应力圆
：工程力学
第 13 章 应力状态分析
本章主要研究：
应力状态应力分析基本理论 应力、应变间的一般关系 复合材料应力应变关系简介
：工程力学
1
§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力 §4 复杂应力状态的最大应力 §5 广义胡克定律 §6 复合材料应力应变关系简介
：工程力学
2
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
：工程力学
3
实例
：工程力学
微体A
4
：工程力学
微体abcd
5
：工程力学
微体A
6
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态
研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态
：工程力学
23
应力状态分类
单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
：工程力学
8
§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
：工程力学
9
应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
符号规定：
切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正
问题：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty 间的关系
研究目的 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广 泛的理论基础
：工程力学
7
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
平面应力状态 的一般形式
微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态
空间应力状态一般形式