用_几何画板_绘制曲面和空间曲线的探究
空间曲面和曲线.ppt
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得:
f x2 y2 , z 0,
北京理工大学数学系
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程.
1
球 面
（3）抛物线
y2
2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
北京理工大学数学系
四.椭圆锥面
设C是椭圆，P为C外的定点，
过P和C上的每一点作直线， 所有这些直线形成的曲面
称为椭圆锥面。
所有直线称为母线， C称为准线， P称为顶点。
?与圆锥面的区别?
C P
3
3 9
北京理工大学数学系
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)， 求线段 AB的垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
北京理工大学数学系
五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
北京理工大学数学系
如图:投影曲线的研究过程.
北京理工大学数学系
从用几何画板教双曲线谈起
从用《几何画板》教双曲线谈起南京师大附中（210003） 陶维林1、把制作的过程告诉学生本学期开学初，我用全国中小学计算机教育研究中心推荐的《几何画板》软件上了一堂平面解析几何课．一上课，我首先把课件制作的过程告诉学生：（1）在平面上，作线段21F F ，“测算”（“测算”是该软件中的“菜单项”，以下同）其长度．定义为2c ．（2）在同一平面上作一条直线L ，在上面取两点A 、M ．（3）“构造”线段AM ，“测算”其长度，定义为r 1．（4）以线段AM 为半径，以点F 1为圆心，“构造”圆C 1．（5）在直线L 上再取一点B ，使其在M 的右侧，且使AB ＞21F F ．（6）“构造”线段BM ，“测算”其长度，定义为r 2；“构造”线段AB ，“测算”其长度，定义为2a ．（7）以线段BM 为半径，2F 为圆心“构造”圆2C ．（8）C 1与2C 交于P 、P '；“构造”线段PF 1、PF 2（提示：｜1PF ｜= ｜AM ｜，｜PF 2｜= BM ），并选择“跟踪” P 、P '．（9）拖动点M 在L 上运动，出现点P 的轨迹是椭圆．学生：“？”，这不是椭圆吗？今天老师不是讲双曲线吗？继续拖动点M ，使M 在B 的右侧，出现两圆1C 与2C 不相交（如图1）．老师：两圆C 1与C 2为什么不相交？两圆相交的条件是什么？……师，生：两圆相交的条件是两圆的连心线F F 12的长小于两半径的和而大于两半径的差｜AB ｜．现在连心线F F 12的长小于两半径的和｜AM ｜+｜BM ｜，但不大于两半径的差｜MA ｜－｜MB ｜．老师：两半径的差是多少？学生：两半径的差是｜AB ｜．老师：怎样使两圆相交呢？学生：改变A ，B 间的距离，使｜AB ｜＜｜F F 12｜（教师拖动点B ，使B 到A 的距离｜AB ｜（2a ）小于｜F F 12｜(2c )，此刻两圆开始相交，又出现点P 、P ’．老师：（不要立即拖动点M ，否则会出现“双曲线”的一部分）点P 满足的几何条件是什么？学生：（很容易）｜MA ｜－｜MB ｜＝｜AB ｜是定值．教师缓缓拖动点M ，出现双曲线的右支（学生：这不是“单曲线”吗？），再拖动点M ，使其在点Ａ的左侧，出现双曲线的左支．这就是我们要研究的“双曲线”．提问：什么叫双曲线？学生：平面上一个动点到两个定点的距离的差的绝对值是一个定值，且这个定值小于两定点间的距离的点的轨迹．这堂课是“双曲线”这一节的第一课时，目的是让学生完成“双曲线”概念的构建、“双曲线”标准方程的推导．2、建构主义理论指导下的媒体运用“建构主义”理论是近代国际教育改革探索中的新理论，吸取了近几十年来哲学、心理学、思维科学、教育领域的新成果，结合教学的基本性质和特点，对各科教学作出全面的阐述，成为教育理论和实际教学的指导性理论．建构主义理论的核心即认为“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”．建构主义认为，虽然学生学习的数学都是前人已经建造好了的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成，即用学生自己的活动对人类已有的数学知识构建起自己的正确理解，这应该是学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思维活动的组织过程．随着计算机的日益普及，以多媒体计算机为核心的辅助教学也日益兴起，各种类型的教学软件也不断出现．但是任何一种新的教育技术、教学手段的运用，无不受着教育思想、教育理论的支配．如果把过去的老师一支笔、一张嘴、一块黑板的“满堂灌”变成计算机的“满堂灌”，计算机成了放像机，教师成了“放映员”，这是对计算机辅助教学的误解．开始也许因新鲜，出现过提高学习兴趣的假像，时间一长，学生会讨厌这种教学，因为你又通过另一种手段加重了学生的负担．这不是教育的改革．笔者在“双曲线”这堂课的教学中，事先并没有制作好课件，而是把制作的过程展现在学生面前，力图正确利用《几何画板》这一优秀软件，通过这一“过程”来让学生完成“双曲线”的“意义建构”．整个过程有停顿、有沉默，决不把教师的认识强加给学生，始终让学生处于认知的“主体”地位．学生的思维得到了发展，观察能力、归纳能力得到提高；概念的理解更加准确、完整；知识间的联系建立；印象也更加深刻．笔者从事数学教学二十六年，教过十几次“双曲线”．总是用一根拉链演示以下，形成“双曲线”的一支，告诉学生调换固定拉链的图钉又有另一支，就开始给“双曲线”下定义，推导标准方程，……．学生感觉不出为什么要｜P 1F ｜－｜P F 2｜＜｜21F F ｜，尤其对定义中的“绝对值”印象不深；学生也感觉不出椭圆与双曲线的联系；AB ＜｜21F F ｜，AB ＞｜21F F ｜，AB =｜21F F ｜会引起什么变化，缺乏感性认识．到了高三，甚至高考时也不能立即辨认｜z ＋i ｜＋｜z －i ｜=2所表示的是一条线段（高考题）；a c 的大小变化对双曲线开口的影响虽然课本上有过证明，但印象不深．有了《几何画板》的动态操作，这一切都变得方便快捷，形象、生动．这一节课除弄清了以上几个问题外，也完成了标准方程的推导．由于加强了双曲线与椭圆的联系，有一部分同学课后提出平面上，到两个定点距离的积（或商）是一个常数时，这个动点的轨迹是什么．用《几何画板》立即进行了“实验”，同学们得到了满意的回答，思维得到发展，素质得到提高．3、学习建构主义理论，理解《几何画板》，用好《几何画板》“没有实践的理论是空洞的理论，没有理论指导的实践是盲目的实践”．建构主义理论随着计算机和网络技术的飞速发展越来越显示出强大的生命力．建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”、“意义建构”作为学习的四大要素或四大属性．“情景”即要求学习环境中的情景必须有利于学生对所学内容的“意义建构”．《几何画板》提供了一个“数学实验”、“做数学”的环境，是建构主义理想的学习媒体．数学中有许多需要反复比较、仔细观察、认真体会才能发现的数量关系；有各种各样的情况需要考虑；各种各样的概念的形成过程需要暴露．用《几何画板》可以把概念的形成过程暴露出来；随时看到各种情形下的数量关系的变化或不变；它可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态的显现在屏幕上．而且这个过程可以根据需要进行控制．是进行探索、验证的好帮手，是创设“情景”的极好工具．学生通过用《几何画板》制作的过程，比较的过程，产生他的经验体系，完成他的认知．笔者曾与学生、同事讨论过一个简单而有趣的问题：△ABC 的边BC 固定，点A 在定圆上运动，判断它的外心轨迹的形状．有的认为还是圆，有的认为应该是线段．用《几何画板》一实验，发现是“线段”（如图2）．在意料之中呀——不会脱离BC 的垂直平分线！认为是线段的这部分同学很高兴．当把点B 拖入圆内时，外心O 的轨迹却是直线！同学们不敢再说话．忽然一个同学说：“噢，我知道了，把点B 、C 都拖入圆内时，外心的轨迹会是射线．”我问他为什么？他说，线段、直线都有了，还差（缺）射线呀？看来他对化学中的门捷列夫周期表很熟悉，还有一个空格应该由射线这个“元素”来填呀．这样的结论看来已经很“完美”了，但是，即使点B 、C 都拖到圆外，外心的轨迹也可能是射线（BC 与圆相交）！这样的“情景”，怎样的效果！直线的倾斜角、直线的斜率，以及当直线在平面上绕一点转动时其斜率如何变化，也是一个学生容易出错的问题．利用《几何画板》就可以把它们的变动情况以及数量关系都显示在屏幕上，不用老师开口，同学们就会发现：当直线绕定点逆时针旋转（不绕过垂直于x 轴）时，斜率总是在增大．同一个屏幕上，还显示了函数k =tg α，α∈[0，π)的图象，又从“形”的角度认识斜率与倾斜角间的数量关系．相信一定会减少解不等式－1< tg α<1[α∈[0，π)]所出现的错误． 图2“协作”对学习资料的收集与分析、假设的提出与验证、学习成果的评价，乃至意义的最终建构都有着重要的作用，应该发生在学习过程的始终．《几何画板》作为计算机辅助教学的软件，可以对学习的成果进行存储，以便再认识、再探索、再实验．与学习者有很好的“协作”功能．课堂上一次不能完成的认识，课后可以到“电子阅览室”，教室的讲台旁（我校高中教室都配有“奔腾”多媒体计算机、大屏幕投影仪，学校有网络电子阅览室）再进行研究、交流、探讨．三角函数y =Ａsin(ωx +φ)的图象的教学一直是一个难点．传统的教学，往往就一、两个ω的值（如ω＝2，ω=21）作出它们的图象就开始归纳．列表描点，没有动态的演示，没有更多的比较、更多的探索．而《几何画板》与您可以很好的“协作”，容许你对一切想探试的值进行探试，来加深对这一问题的认识．由于计算机强大的计算功能，容许你有一些“怪异”的想法．在极坐标方程ρ＝2a cos(n θ)（a 、n 为非零常数）中，当n 为奇数时，是n 叶玫瑰线，当n 为偶数时，是2n 叶玫瑰线．“调皮”的学生给一个让你为难的值n =3.5，啊，重瓣的玫瑰，“数学美”立马展现在你的面前．再给n =20怎么样，“孔雀开屏”；再给n =1.1，1.01，1.001…，这不是圆吗？再给n =0.1，0.01，0.001，…，为什么还是圆，圆心到了极点．极限得到运用，知识间的联系建立．计算机任你“摆布”，多好的“伙伴”．B“会话”是“协作”过程中的一个不可缺少的环节，“协作”的过程当然也是“会话”的过程．学生可以用《几何画板》进行讨论，在网络电子阅览室中，可以互相调阅同学制作的课件，从中受到启发，相互学习．《几何画板》本身就是一个智力开发的好工具．笔者在《几何画板》学习小组中征集椭圆的作法，到目前为止，就发现七、八种．引起学生极大的兴趣．报名参加学习的学生逐渐增多．“意义建构”是学习的最终目标．所要建构的意义是指事物的性质、规律，事物之间的内在联系．由以上分析，《几何画板》显然十分有利于学生进行他的“意义建构”，为学习者实现“意义建构”创造了良好的条件．运用《几何画板》进行数学教学，可以使学习者始终处于主动的地位，用《几何画板》制作的过程、《几何画板》的动态显示是最好的话语，可控制的过程更加有利于揭示事物的性质、规律，事物之间的内在联系．老师只要合理地控制这一过程，起着“画龙点睛”的作用．4、结束语笔者虽然使用《几何画板》的时间不长，但体会到《几何画板》是数学教师的“好伙伴”，每一个有条件的数学教师，尤其是青年教师，应该熟练地掌握《几何画板》，理解《几何画板》，努力运用于自己的数学教学实践，提高教学效果．多媒体计算机技术的运用，已经无疑会给教育带来深刻的变革．“也许被改变得面目全非”（比尔·盖茨语-见（3）），这给我们教师，尤其是青年教师提出了新的要求，新的挑战．首先要认真学习先进的教育理论，改变教育观念，同时还要努力掌握现代教育技术，适应新的教学要求，跟上时代的步伐，做一个新时代的合格教育者．参考文献1．多媒体教育应用的重大意义及其发展趋势何克抗网址：．2．《中学教学全书》（数学卷）上海教育出版社1996.12 第一版．3．《学习的革命》上海三联书店1997.8 第一版．1998/3/23* 发表在全国初等/中等教育类核心期刊《数学通报》1998年第12期上．。
论文：用《几何画板》探究“圆锥曲线”
用《几何画板》探究“圆锥曲线”摘要：数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点和疑点，就是因为太抽象。
如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点，使新知化难为易，变抽象为具体。
利用几何画板能动态地揭示圆锥曲线的相关性，达到较好的教学效果。
关键词：几何画板；椭圆；双曲线；抛物线随着信息技术在教育领域的广泛应用，教育理念、教学内容、教学环境、教学方式等诸多方面正在发生深刻的变革。
我国2003年公布的《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提出：“教师应当恰当地使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容、探索、研究一些有意义、有价值的数学问题”。
数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点，就是因为太抽象。
如果仅凭教师的描述与讲解，往往是教师花了很大的力气，教学效果却事倍功半；如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点、突破难点，使新知化难为易，变抽象为具体。
高中数学中的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面解析几何的重点，也是学习高等数学的基础，如何用计算机动态地揭示圆锥曲线的相关性，是很多老师长期探索的一个问题，利用几何画板，能较好地解决这一问题，改变了单调乏味的运算、作图，取而代之的是赏心悦目的多媒体效果，提高了探究活动的效率。
美国著名数学家和数学教育家G·波利亚指出，“学习任何东西最好的途径是自己去发现”。
“实验—发现—证明”的学习环境，不仅能充分发挥学生在学习过程中的主动性，而且更利于教师关注学习的体验，情感和实践过程，体现“以学生发展为本”的教学理念。
下面就用几何画板来探究圆锥曲线。
一、 对抛物线进行探索与发现抛物线定义：到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。
问题1：取一张长方形纸片ABCD ，将纸片折叠多次，使每次折叠时A 点都落在CD 边上，猜一猜，折出来的折痕的图形是什么？探究：动手操作后很容易猜想到答案是“抛物线”，但该抛物线是哪个点的轨迹？抛物线的焦点是什么？抛物线的准线是什么？图1 图2利用几何画板验证猜想结论的可行性。
几何画板轨迹功能在三维曲面绘制中的应用
1 几何画板的绘图功能
几何画 板具有 绘制 函数图 像的功 能 , 利用 【 图表 】 菜单中的 【 绘制函数 】 菜单项 , 可直接绘制 二维曲线的图像 , 凡是可显式地表为 y =f ( x ) 的 曲线 , 都可用这种方法绘制其图像 。 由于不具备 三维作图功能 , 因此 , 几何画板中要实现曲面的绘 制 , 必须寻求其他途径 。 有两个方法可考虑 , 一是 利用 【 作图 】 菜单中的 【 轨迹 】 菜 单项 , 二是利用 【 显示 】 菜单中的 【 追踪 】 菜单项 。 几 何 画 板 中 , 一 个 轨 迹 被 定 义 为 某 个 对 象— — — 被驱动对象 — — — 的位置的集合 , 该对象可 以是点 、直线型对象 、圆 、弧或内部 , 其位置或形状 取决于一个驱动对象的运动 , 驱动对象必须是一 [ 收稿日期 ] 200810-10
( 6 ) 作水平线段 D E , 将点 D 标记为旋转中心 。 ( 7) 选定点 E , 将其绕 D旋转 90° 得旋转像点
′ ′ ; 将 E 的标签改为 F ; 作线段 D F 。 E
( 8) 将点 D标记为缩放中心 ; 选定点 F , 点击
P P +1 -1 (-1) t r u n c ( n · t ) (1) · + · ( n 2 2 n
P (-1) -1 , 2
′ ′ 及线段 D E , 过点 F 作线段 D E ( 9) 选定点 F ′ 的平行线 j ; 同样的方法过点 E 作线段 D F 的平行
线 k ; 用鼠标双击 j 、k 的交点处 , 作两线的交点 P 。 隐藏 D E 、D F 二线段及 j 、k 二直线 。 ( 10) 选定 C 、 P两点 , 点击 【 作图 】 菜单中的 【 轨迹 】 , 即得由两组相互正交的平行线组成的网 格。 以上方法绘制出的网格 ( 见图 1) 在平行线间 距和对齐方面还存 在缺陷 : 平行于 D F的一组平 行线中 , 最后一线段的长度与其余线段不等 ; 两组 平行线均未能对齐 。 为了解决这两个问题 , 要增 加下面的微调量 。 ( 11) 作线段 H I , 同时作 H I 的中点 J ,在 H I 上 取点 K ; 计算比值 H K , 并将其标签改为 k 。 H J L R , 并将其标签改为 m 。 L N
利用《几何画板》研究问题的思路和方法
李景明
(重庆市云阳县双江中学)
随着时代发展和信息技术的日新月异，现代信息技术和 中学数学教学的整合已经是一个必然趋势。《几何画板》在数 学教学中的作用是显而易见的。《几何画板》为学生架设了数 形结合的桥梁，为解析几何、立体几何、函数等有关概念的 学习、探究提供了绝好的试验工具，使数学实验成为可能。 利用《几何画板》的可操作性，我们能在变化的过程中揭示 恒定不变的规律。在今后的数学教学中，传统的教学模式将被 打破，知识的记忆不再是最重要的教学目的，创新精神和实践 能力的培养将成为教育的核心。本文通过几个具体实例来阐明 利用《几何画板》研究问题的思路，并归纳了几点利用《几何 画板》研究问题的方法，充分体现了《几何画板》的功能。学 生可以在《几何画板》中任意拖动、观察图形，做出猜测并验 证。在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认 识，形成丰富的几何经验背景。
一、利用《几何画板》，变静态为动态来研究问题 几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的一门学 科。几何图形中的位置关系多是在相对运动的情况下产生的。 许多情况是：概念在运动中形成和定义，规律在运动中发现和 完善，结论在运动中统一和深化。所以，在平面几何教学中， 让点、线、面、图形动起来，这种动态的显示，有利于对知识 发生过程的认识，有利于学生解题思路的开拓，有利于学生思 维品质的培养。要让点、线、面、图形动起来，《几何画板》 就能起到重要的作用。 例如，讲解“三角形高线、中线、角平分线”这一节时， 让学生观察BC边上任一点D在BC上运动的过程，看看哪些角或者 线段会发生变化，在变化过程中有没有特殊的位置。学生通过 操作、演示，发现点D从点B运动到点C的过程中(不包括点B、点 C)，有以下事实： (1)∠BDA逐渐减小，而∠ADC逐渐增大，当∠BDA=∠ADC=90°， 这时，AD⊥BC，线段AD称为△ABC的BC边上的高线； (2)∠BAD逐渐增大，而∠DAC逐渐减小，当∠BAD=∠DAC， 这时，线段AD称为△ABC的角平分线； (3)线段BD逐渐增大，线段DC逐渐减小，当BD=DC，这时， 线段AD称为△ABC的BC边上的中线。 这样，学生对三角形的高线、中线、角平分线反映在数量 上的关系就有了更为清晰的认识，增强了学习的直观性、形象 性和生动性。这个实验中，除了教师演示之外，学生也可自己 动手，亲身经历，在操作中体验做数学的过程，并在活动中获 得成功的感受，从而大大激发了学习数学的兴趣和求知欲望。 《几何画板》一个突出的特点在于能动态地保持给定的几何关 系。学生从连续运动变化的图形中能发现恒定不变的几何规 律，从而抓住对象的本质特征，提出问题并论证假设。在教学 中，我们如能充分利用《几何画板》的优势，注意摸索用《几 何画板》展现几何动态效果的教学，那么，既可加深学生对知 识的理解，还可激活学生的想象力、创造力，培养学生的思维 品质。 二、利用《几何画板》，化难为易来研究问题 数学学习中，我们经常会遇到许多不太容易解决的数学 问题，如运动变化的题型。传统的教学只能通过“静态”的描 述加猜想来处理这些问题，无法对解题的结果或过程进行直观 地检验。猜想是在没有现存结论的情况下，根据问题的条件来 推断可能存在的结果的一种直觉思维形式。猜想得出的结论，
几何画板演示空间几何体的三视图
的距离，可以构造出长方体、棱柱等平移体。
通过组合构造
03
将多个简单的几何体进行组合、拼接，可以构造出更复杂的空
间几何体。
调整视图与渲染效果技巧
调整视图
通过“视图”菜单中的“三维视图”功能，可以调整观察空间几何体的角度和 方位，以便更好地展示其结构。
渲染效果
使用“渲染”功能，可以对空间几何体进行着色、贴图等操作，增强其视觉效 果和真实感。同时，还可以通过调整光源、阴影等参数来进一步优化渲染效果。
问题具有重要意义。
应用领域
空间几何体广泛应用于各个领域， 如建筑、机械、航空、地理等， 对于设计和制造各种物体具有重
要作用。
03
几何画板绘制空间几何体技巧
绘制点、线、面等基本元素
绘制点
使用“点工具”在画板上 单击即可创建一个点，也 可以通过输入坐标来精确 定位点。
绘制线
选择“直线工具”或“线 段工具”，在画板上依次 单击两个点即可创建一条 直线或线段。
学员能够利用几何画板绘制各种空间几何体，并生成对应的三视图，具有一定的实 践操作能力。
学员通过案例分析，能够运用所学知识解决实际问题，提高了空间想象力和几何直 观能力。
未来发展趋势及挑战
几何画板等数学教学软件将更加智能 化和个性化，为学员提供更加优质的 学习体验。
随着虚拟现实、增强现实等技术的发 展，空间几何体和三视图的教学将实 现更加直观、生动和交互式的展示方 式。
04
三视图原理及绘制方法
正视图、侧视图、俯视图定义
正视图
从几何体的正面看去的投影图，反映了物体的长度和高度。
侧视图
从几何体的侧面看去的投影图，反映了物体的高度和宽度。
俯视图
几何画板在高中数学教学中的应用
几何画板在高中数学教学中的应用一、引言随着科技的不断发展，信息技术已经逐渐渗透到教育领域，为我们的教学方式带来了许多变化。
其中，几何画板是一款优秀的数学教学软件，它能够通过动态的图形和直观的视觉效果，帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
本文将探讨几何画板在高中数学教学中的应用。
二、几何画板的功能与特点几何画板是一款基于图形运算功能的软件，它能够快速生成各种形状的图形，并且能够实现图形的动态变化。
其特点包括：1、操作简单：几何画板的界面简洁明了，操作方式直观易懂，学生可以轻松上手。
2、动态绘图：几何画板可以生成动态的图形，让学生更直观地理解数学概念和问题。
3、交互式操作：学生可以通过拖拽、缩放、旋转等方式与图形进行交互，增强了学生的参与感和实际操作能力。
4、数据处理：几何画板可以快速地进行数据运算和处理，帮助学生更好地理解数据的变化规律。
三、几何画板在高中数学教学中的应用1、平面解析几何：在平面解析几何教学中，几何画板可以帮助学生更好地理解圆锥曲线、直线、圆等图形的性质和方程。
例如，通过绘制图形，学生可以直观地理解椭圆、双曲线、抛物线的形状和性质，以及它们与直线和圆的关系。
2、立体几何：立体几何是高中数学中的一个难点，但通过几何画板的动态绘图功能，可以帮助学生更好地理解立体图形的结构和性质。
例如，在讲解正方体、长方体等立体图形的性质时，通过几何画板的绘制，可以让学生更直观地理解它们的对角线、边长等属性的关系。
3、函数图像：函数图像是高中数学中非常重要的内容，但传统的教学方式很难让学生直观地理解函数的变化规律。
而通过几何画板，学生可以轻松地绘制出函数的图像，并且可以通过动态的图像变化来理解函数的变化规律。
4、统计与概率：在统计与概率教学中，几何画板可以帮助学生更好地理解数据的分布和概率的计算。
例如，在讲解正态分布时，通过几何画板的绘制，可以让学生更直观地理解正态分布的特点和规律。
四、结论几何画板在高中数学教学中具有广泛的应用前景。
画法几何之曲线曲面
2″ 1″
在圆柱 体表面 的线和 点，可 利用圆 柱面的 积聚性 求解。
二、圆锥
（1） 圆锥体的组成
两条相交直线，以一条为母线另 一条为轴线回转，即得圆锥面。
由圆锥面和底面组成的回转体就 是圆锥体。
（2） 圆锥的三面投影图
水平投影是一个圆（即圆锥 底圆的水平投影），圆心即轴和锥 顶的水平投影，半径等于底圆的半 径；正面和侧面投影是相同的等腰 三角形，此等腰三角形的高等于圆 锥的高，底等于圆锥底圆的直径。
3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后，与短 轴相等，椭圆的投影成为圆；
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
2、圆锥体的截交线
依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线 的形状有以下五种：
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
曲面立体的投影
学习内容：
➢ 曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单
学 习
叶回转双曲面）
内 容
➢ 曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单
及
叶回转双曲面）
学
习 重
学习重点：
点
➢ 曲面立体的投影
➢ 曲面立体表面取点方法（素线法、纬圆法）
曲面立体的投影
由曲面包围或者由曲面和平面包围 而成的立体，叫做曲面立体。
截交线为椭圆，截交 线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要 作出椭圆的水平投影和 侧面投影。
2、投影作图
运用锥面取点方法 作出椭圆长短轴端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
空间曲面与空间曲线【高等数学PPT课件】
研究空间曲面有两个基本问题：
S
（1）已知一曲面的几何轨迹， 建立曲面方程．
oy x F(x, y, z) 0
（2）已知一三元方程 F(x, y, z ) = 0 研究曲面形状．
以下给出几例常见的曲面：
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为
R 的球面方程.
z
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
y
0
.
o x
z
(3) y x 表示母线平行z轴的平面.
z
o
y
x
y x
平面
例2
y2 b2
z c
2 2
1
椭圆柱面
//x 轴
准线为：
y2 b2
z2 c2
x 0
1
x2 a2
y2 b2
1 双曲柱面
// z轴
准线为：
x2 a2
y2 b2
1
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴 准线为： x2 2 pz
交准线于点 M0 ( x0 , y0 ,1)( x02 y02 1),
OM OM0
即有 x0 y0 1 , x yz
即
x0
x z
,
y0
y, z
代入 x02 y02 1 得 x2 y2 z2 圆锥面 x
z
M
0
M
o y
常见锥面及方程:
x y2 z2 y x2 z2
o
y
x
该圆还可表示为下列形式:
x2 y2 z2 1
用几何画板进行数学研究性学习的三种方法
用几何画板进行数学研究性学习的三种方法目前，信息技术在数学教学中的应用开展得如火如荼，但是主要还停留在教师制作课件、学生接受学习的层面上，在运用信息技术开展高中数学研究性学习方面做得相对不足，其原因是一般的软件如PowerPoint，Authorware、Flash、3Dsmax等在数学教学应用中的针对性不是很强，教师应用都很不方便，更不用说学生了。
几何画板是一种适合数学教学的简单工具，教师只要在开始的时候利用几节课或兴趣小组活动中教会学生使用几何画板的基本功能和数学内涵，上数学课(特别是有图像、图形的几何课)的时候学生自己动手分析会产生意想不到的效果，学生使用几何画板的过程和物理、化学中的学生实验类似。
物理、化学实验有演示实验、学生实验，用几何画板可以教师演示(传统的课件)，也可以学生自己探索(信息技术和数学课程整合)。
用几何画板进行研究性学习要遵循“问题──研究──交流──反思”的认知规律，主要有教师引导式、学生自主研究式、小组合作研究式等具体方式。
1．教师引导式教师引导式就是教师根据所要研究学习的内容精心设计问题的发现和提出方式，努力使学生的研究情境进入“最近发展区”。
在教学内容上选择难度较大、有挑战性、探索性的知识，通过教师的适当引导，从中发现问题、提出问题、解决问题。
教师引导式研究性学习方式以教师制作课件、学生观察为主，把培养学生探求数学问题的意识、提高学生的探求数学问题的能力作为研究性学习的起点和归宿。
举例：《二元一次方程表示的平面区域》(《线性规划》第一节课)教学目标：(1)学生能在教师的指导下观察课件、分析和学习教材的内容。
(2)掌握必要的数学知识和技能。
(3)会利用几何画板软件自主研究、设计《二元一次方程表示的平面区域》课件。
(4)让学生掌握把几何画板应用于数学学习的一般方法。
教学过程：(1)教师利用课件讲解、分析要学习的数学内容，并提出要探求的问题、介绍探索问题的方法，要求学生能自主地设计和制作课件并强调速度，以调动学生的主动性和积极性。
运用《几何画板》在初中数学教学中的几点体会
运用《几何画板》在初中数学教学中的几点体会运用《几何画板》在初中数学教学中的几点体会我校自2007年建校以来一直特别重视校硬件建设和电化教学，特别是我校在2010年初成为青山湖区名校后，全校所有的班级都装了班班通，每位教师配备了笔记本电脑，计算机与多媒体辅助教学已为教师普遍使用。
本人一直努力在做计算机辅助数学教学的实践。
尤其在数学教学中，使用了全国中小学计算机教育研究中心推荐的“几何画板”软件，辅助数学教学。
这一软件的最大特点是使用十分方便，而功能特别强大，因而效果比较明显。
那么《几何画板》在初中数学教学中有哪些应用呢？在此不能逐一而论，作为一名数学教师，我就自己这几年的教学经验，在某些方面谈谈我的几点体会：一、《几何画板》的特点1.《几何画板》最大的特点是“动态性”：即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。
2.《几何画板》操作简单，易于掌握运用。
只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件。
它无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，因此它只适用于能够用数学模型来描述的内容--例如部分物理、天文问题等。
因此，它非常适合于数学老师使用，如果有设计思路的话，用《几何画板》进行开发课件速度非常快。
一般来说，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5--10分钟。
正因为如此，教师才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，进一步提高教育教学质量。
3.《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境。
学习数学需要数学逻辑经验的支撑，而数学经验是从操作活动中获得。
离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。
运用几何画板 优化高中数学教学——以双曲线及其标准方程为例
10.3969/j.issn.1671-489X.2018.13.025运用几何画板 优化高中数学教学 ——以双曲线及其标准方程为例◆于海青摘 要 几何画板是辅助数学教学的工具，在高中数学教学中利用几何画板，有利于展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，有利于培养学生的发散思维、创新思维，突破教学重难点，优化高中数学教学方式。
以双曲线及其标准方程为例，阐述几何画板在高中数学课堂教学中的应用价值，提出几何画板优化高中数学教学的策略，并以日常生活和生产运输应用较多的双曲线性质为例进行探究。
关键词 几何画板；高中数学；双曲线；标准方程；多媒体文献标识码：B 弥补了传统教学中直观感、Key Curriculum Press 公司要的教学价值。
有利于培养学生的发散思维 借助几何画板，学生可以对同一图像从不同角度观看其形状，观察到图像变量和定量之间的关系，共同探讨得出结论，完善自己的知识结构，有效理解教学中的重难点知识。
如在函数图像做法讲解时，利用几何画板，可以让学生在同一坐标系中观察到y =sin x 、 y =sin x 2、y =2sin x 、y =sin2x 等正弦函数所有可能的情况，并组织学生探讨从中得出三角函数变化的规律。
有利于展示数量、图形的变化过程 抽象化、公式化是高中数学知识的基本特点，在高中数学教学中引入几何作者：于海青，青岛市城阳第一高级中学，研究方向为高中数学教学（266108）。
画板后，可以使抽象概念变得简单，图像更加生动，数量之间的关系也更易于学生观察。
如在“中心对称图形”教学中，利用变换、旋转等几何画板功能，可以让抽象的中心对称图形特征变得更加形象，让学生清晰地观看、对比旋转前后的效果。
又如在观察探究圆心角与圆周角两者之间的关系时，通过拖动圆周上的某一点，可以让学生明显地猜想到两者之间的关系，并应用几何画板中角度测量工具，准确地证明出两者之间的关系。
有利于动态呈现信息，培养学生的创新思维 创新是社会进步不竭的动力。
利用几何画板开展探索性数学实验
利用几何画板开展探索性数学实验一、几何画板做探索性数学实验的优势几何画板是由Scott Steketee和Nick Jackiw共同开发的计算机应用软件，它是一个小巧但功能强大、使用简单的数学实验工具，有简明朴素、短小精悍的特点．用几何画板做数学实验花时少、收效好，在对各种图形或数量进行变换的操作中，可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系，并能展示其中某些恒定不变的规律．它是动态探究数学问题的实验室，是培养学生创新意识的实践园地．按照不同的教学目的和要求，利用几何画板做数学实验分三种类型：观察性实验、验证性实验、探索性实验．所谓“探索性实验”就是创设适当的问题情景，利用几何画板的动态演示功能，发现问题、解决问题，将学习数学作为再创造过程，积极开展研究性学习，探索新知识．探索性数学实验的核心是“问题的提出”．用几何画板进行探索性数学实验容易激发学生提出自己的问题，通过研究、探索不断产生新的问题，使得已解决的问题又成为新问题的起点，从而引发出更深层次的研究、发现、解决问题，最终达到数学问题的彻底解决．用几何画板进行探索性数学实验能使学生成为真正的主人．学生能够通过对数学知识的学习理解、几何画板的运用，从中不断进行猜想、论证并得出结论，从而不断形成研究数学的积极态度．教师的角色也由课堂的主宰者转变为数学活动的组织者、指导者、参与者和研究者．用几何画板进行探索性数学实验能使问题的开放性增强．这样有效的拓展了学生学习的空间，培养了学生研究的兴趣、解决问题的欲望及发现问题、解决问题的能力．用几何画板进行探索性数学实验的实施有两个显著的特征：其一是“活”，表现为学生的学习积极性、主动性和学习活动的生动性有明显的增强，学生往往会迸发出智慧的火花；其二是“动”，表现为让学生真正的动手操作、观察、研究、思考．因此，几何画板可以提供一个十分理想的“做”实验的环境，完全可以利用它来做数学实验．二、使用几何画板做数学实验的一般步骤中学数学新教材中安排了大量的探究活动．如何在课堂中让学生参与探究活动，是成功实施新课程改革的关键．但对于复杂而抽象的图像和图形的探索，如果还只靠传统的笔和纸是很难开展的．而使用几何画板设计数学实验能够帮助学生从动态中观察、探索、发现数学规律和结论，使学生在实验中进行探索、在探索中进行实验，丰富了探究的内容和内涵．使用几何画板做实验必须要先设计好实验方案与步骤，它是实验成功与否的关键，同时实验方案是实验课件设计的依据．一般使用几何画板做数学实验有以下几个步骤：1、确定实验目的：数学实验的目的是解决某数学问题，验证某个数学猜想或探索某个数学结论．目的要明确，结论要清楚．2、设计方案：根据实验的目的和研究内容确定实验方案和具体的操作步骤．3、设计实验课件：根据实验方案和操作步骤设计且要让学生操作方便．4、“做实验”，做好观察和记录：操作时只要按设计好的方案和步骤进行即可，但一定要认真观察思考和记录相关数据．5、小组讨论、交流：这环节不能缺，它是培养合作精神、进行数学交流的重要环节，同时只有把实验与交流完美结合才能突出数学知识形成的完整过程．6、归纳与猜想（得出结论）．7、证明结论，撰写实验报告．其中第二步是最重要的，只有结合几何画板的功能，设计出具体可行的实验方案，和容易操作的实验步骤，实验才能成功．三、例谈用几何画板做探究性数学实验根据以上的步骤，在此，就具体举例说明一下如何利用几何画板进行探索性实验．案例探究勾股定理的应用．探究导入让学生打开各自电脑桌面上的“勾股定理的应用. gsp”文件，以直角三角形ABC的三边向外作正方形ABFG、AHKC、CBED，并说出它们的关系是什么？1．实验目的勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就．它为我们提供了直角三角形三边之间的数量关系；它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据；同时它也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面．学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解．在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想．而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到相关的几何图形，由几何图形联想到相关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性．本课时是华师大版八年级(上)数学第14章第二节内容，是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一．第 3 页 共 5 页本实验的目的就是要将几何画板与勾股定理的教学结合起来，体现几何画板在这类教学中的优势，让学生在提高观察能力和动手能力的同时，体会到勾股定理的重要性并能灵活运用这一定理．2．设计方案（1）利用几何画板分别以直角三角形ABC 的三边向外作正方形ABFG 、AHKC 、CBED (见图1)，通过计算机让学生利用几何画板的“测量”功能对三个正方形面积进行度量，并说出它们的关系．通过测量，学生发现CBED ABFG AHKC S S S +=，接下来让学生连接EF 、GH 、KD ，分别以EF 、GH 、KD 为边作正方形ELMF 、GNOH 、KPQD ， 再连接MN 、OP 、QL (见图2)．图1 图2（2）让学生猜想：① ABC Δ、DCK Δ、EBF Δ、AGH Δ这四个三角形面积有什么关系？② 四边形DELQ 、FGNM 、HOPK 是什么四边形，它们分别与上述四个三角形有什么关系？③ 正方形QDKP 、ELMF 、GMOH 的面积有什么关系？（3）引导学生利用“测量”功能对上述三角形、四边形、正方形分别进行测量，通过讨论、交流得出以下结论:AGH DCK ABC S S S ΔΔΔ==；四边形HOKP FGNM DELQ S S S ==；任意一个梯形的面积是上述任一个三角形面积的5倍；正方形QDKP 、ELMF 、GNOH 的面积不存在两个小正方形面积的和等于大正方形的面积, 即DK 、EF 、GH 不满足勾股定理． （4）任意拖动C 点在平面上运动, 将直角三角形改为任意三角形ABC ，上述结论均成立．在上述探究过程中，通过测量，学生认识和掌握数学科学研究方法，深入理解数学真理是非常有益的．3．设计实验课件制作“勾股定理应用．gsp ”文件放在电脑桌面上，文件内容如图3．4．“做实验”，做好观察和记录：E DHB让学生根据设计方案（1）,作出图1后测量出表1中的数据，并填写．通过观察数据得到三者之间的关系：DCBE S ＋BAGF S =KHAC S ． 例如：在几何画板界面中，任意拖动点C ，得到随机的一组数KHAC S =296.5cm ，DCBE S =299.3cm ，2表1让学生根据设计方案（2），作出图2后测量出表2、表3、表4中的数据，并填写．通过观察数据分别得到：表2表3表4综合观察表2、表3、表4可以得出：任意一个梯形的面积是上述任一个三角形面积的5倍；正方形QDKP 、ELMF 、GNOH 的面积不存在两个小正方形面积的和等于大正方形的面积, 即DK 、EF 、GH 不满足勾股定理．5．小组讨论、交流通过小组讨论交流找出漏掉或不容易发现的实验结论，培养学生团结合作的精神．6．归纳与猜想（得出结论）7．证明结论，撰写实验报告在撰写的过程中要注意数学公式的书写格式，数学图形要画标准标准，利用几何画板测量出的数据要真实．四、结束语运用几何画板做数学实验是一种新的方法和技术．让学生通过几何画板做数学实验去主动发现、探索，真正实现了直觉思维与逻辑思维的结合，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力都得到了很好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维能力，使学生的创造性思维得到了较好的发展．然而，数学实验毕竟是一个方法，计算机技术的本质也是数学技术，它只能执行人们给它的指令，它不能解决我们面临的所有问题，它只能作为一个辅助、一个有益的补充．所以，作为教师，应遵循教学规律，积极探索“几何画板”等先进教学媒体的功能和优势，使之真正成为数学教学的好帮手．[参考文献][1]张骏.运用几何画板软件做数学实验的研究与实践.中等职业教育,2005,2.36-38[2]侯旭奋.几何画板在数学教学中的运用.成才之路,2007,3.44-45[3]文玉蝉.几何画板—21世纪的动态几何.玉林师范学院学报(自然科学),2003,24(3).4-7[4]李葆萍,王迎,鞠慧敏.信息技术教育应用.北京:人民邮电出版社,2004.9[5]《新课标解读》委员会.新课标解读.镇江,2004[6]王道俊,王汉澜.教育学.北京:人民教育出版社,1999第5 页共5 页。
§7.4.1-3空间曲面和空间曲线
§7.4空间曲面和空间曲线本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。
7.4.1球面与柱面 (一)球面空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。
求球心在点),,( z y x M ，半径为R 的球面方程。
设),,(z y x M 为球面上的任一点，则有R M M = ，即R z z y y x x =-+-+-222)()()( ，化简得：2222)()()(R z z y y x x =-+-+- 。
①满足方程①，因此，方程①是球面的方程。
当0=== z y x 时，即球心在原点的球面方程为2222R z y x =++。
②例1.指出方程05642222=+--+++z y x z y x 表示何种曲面。
解：9415964412222+++-=+-++-+++z z y y x x ，22223)3()2()1(=-+-++z y x ，方程表示以)3 ,2 ,1(-为球心，3为半径的球面。
（二）柱面动直线L 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。
动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。
y现在来建立以xoy 面上的曲线C ：⎩⎨⎧== . 0,0),(z y x F为准线，平行于L z 轴的直线设) ,,( z y x M 为柱面上任一点，过 M 作平行于轴的直线 z ，交xoy 面于点) 0 ,,( y x M ，由柱面定义可知点上必在准线C M 。
故有0),(= y x F 。
由于M M 与点点有相同的横坐标和纵坐标，故的坐标点 M 也必满足方程0),(=y x F 。
反之，如果空间一点) ,,( z y x M 满足方程0),(=y x F ，即0),(= y x F ，故),,( z y x M 且与轴平行的直线 z 必通过上的点准线C ) 0 , ,( y x M ，即) 0 , ,( y x M 在过) 0 , ,( y x M 的母线上，于是) ,,( z y x M 必在柱面上，因此方程0),(=y x F 表示平行于轴的柱面 z 。
07空间曲线与曲面的绘制
命 令
mesh(Z) mesh(X,Y,Z) meshc(X,Y,Z) surf(Z) surf(X,Y,Z) surfc(X,Y,Z)
功
能
以 Z 矩阵的列、行下标为自变量 x,y 的值，画网格图 以矩阵 X,Y,Z 为坐标的网格图 同上，在网格下方绘制等高线 同 mesh(Z)，绘制三维表面图 绘制以矩阵 X,Y,Z 为坐标的表面图 绘制表面图及等高线
[例7.3] 绘制函数 观察4个子图的不同特征。 Matlab命令窗口输入： >> [X,Y]=meshgrid(-4:0.2:4); >> Z=X.*sin(sqrt(X.^2+Y.^2)); >> subplot(2,2,1) >> mesh(Z) >> subplot(2,2,2) >> mesh(X,Y,Z)
x , y , z , a , b
ezmesh x, y, z , a, b, c, d 在 a s b,c t d 上画同上网格图
ezmeshx, y, z, a, b, c, d , ' circ ' 在圆域上画同上网格图
ezmeshc f , a, b
实验内容 一、 空间曲线的绘制 1、数值作图
命 令 功 能
绘 制 以 X,Y,Z 的 对 应分量为坐标的三 维曲线
备 注
X,Y,Z 是 同 维 向 量 或同维矩阵（矩阵 的列数条曲线）， s是线型、颜色。
plot3(X,Y,Z,’s’)
plot3(X1,Y1,Z1 ,’s1’,’X2,Y2,Z2, ’s2’,…)
,
同上，且产生动画绘制效果
[例7.2] 绘制空间曲线 x t sin t, y cost, z Matlab命令窗口输入 >> syms t >> x=t*sin(t); >> y=cos(t); >> z=sqrt(t); >> figure(1) >> ezplot3(x,y,z)
几何画板做三维曲面
b a X
Y
y'
I'
O 1
x
1'y
第一步：建立的三维坐标系O-XYZ。
先做一竖直向的直线为Z轴，再将Z旋转120度得Y轴，然后将Y轴旋转120度得X轴。
标记远点为O点。
第二步：单击“编辑/参数”选项，将角度选为弧度制。
第三步：构造参数a、b，并建立相应的动画按钮。
第四步：在X轴上选一点1，x，依次选中O，1，x，单击“度量/比”，该标
签为x。
第五步：在Y轴上选一点1’，y，依次选中O，1’，，单击“度量/比”，该标签为x。
第六步：在Z轴上取点I，度量其长度，该标签为I。
第七步：单击“数据/新建参数”，新建参数z1，右键单击z1，选“编辑计算”，使z1=a*e^(-b*(x^2+y^2))。
单击“数据/新建参数”，新建参数z，右键单击z，选“编辑计算”，使z=(z1-I)/1厘米。
第八步：标记 z，使 I 以中心O按标记笔缩放得I'。
第九步：让点 y 按标记向量Ox平移得y',让点 y'' 按标记向量 OI' 平移得y''，选中点 y 和 y'' ，构造线段，选中y和y''，构造轨迹，选中轨迹，追踪。
再将 x 做动画按钮，方向为向前，速度为快速，播放选一次。
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数学大世界2011/1
shu xue da shi jie
数学大世界
用《几何画板》绘制曲面和空间曲线的探究
宁夏西吉县第二中学
蒙启飞
作为一种简单实用的绘图工具，《几何画板》在中学数学教学中可以发挥它的这一显著优点。
那么能不能用
《几何画板》来绘制一些曲面和空间曲线呢？这是一个值得深入思考的问题，同时又是一个看似比较复杂的问题。
经过笔者长期思考和不断完善，最终得到一种比较简单同时又能普遍解决这类问题的方法。
一、绘制基本空间图形
例1：建立空间坐标系，并利用坐标控制点的位置步骤：
1.建立空间坐标系。
利用“自定义工具”，建立空间坐标系，记
为坐标系O-xyz ，其中点i ，
j ，k 分别为x ，y ，z 轴上单位点，调整长度和角度至适当位置。
（如图1）2.新建三个参数x ，y ，z ，用以表示点的三维坐标，如x=2.00，y=3.00，z=2.00。
3.选中点O ，变换/标记中心（“变换”菜单下“标记中心”命令，下同）；
选中参数x ，变换/标记比值；选中点i ，
变换/缩放，弹出缩放对话框，点击“缩放”按钮，得点A 。
类似地，对点j ，k 以O 为缩放中心，
分别以y ，z 为缩放比例进行缩放，得点B ，C 。
4.以线段OA 、OB 、OC 为棱，构造长方体，确定点的位置（如图
2）
依次选中点O 和点B ，变换/标记向量；
选中点A ，C ，变换/平移，得点D ，F ；
类似地，对点A ，
D 沿向量OC 进行“平移”得点
E ，P ；
将上述8个点连成长方体OADB-CEPF ，由立体几何知识可知，点P 在空间坐标系O-xyz 中的坐标为P(x ，
y ，z ）。
（图2）
编辑参数x ，y ，z 的值，发现点P 的位置随之变动。
这样便实现了由坐标来控制点的运动的目标。
下边我们绘制曲面和空间曲线。
二、绘制曲面和空间曲线
既然前边实现了由坐标来控制点的位置的目的，而曲面和空
间曲线的参数方程都是用参数表示其上点的坐标的，那么，如果把例1的参数x ，
y ，z 编辑为曲面或曲线的参数方程，则点P 就是该曲面或曲线上的点，然后利用轨迹功能便可绘制曲面或空间曲线。
例2：绘制地球仪（球面）
实际上只需将参数x ，
y ，z 的值分别编辑为球面参数方程即可。
步骤：
1.构造球面参数方程的参数。
作一个圆（S ，T 为作圆的原始点）。
在圆周上任取两点，记为a ，b ，
选中点a ，T 及圆周
作图/绘制圆弧，
绘制弧Ta ；度量/圆弧角，将结果标签为
a 。
同理，度量圆弧角Tb 的大小，将结果标签为b 。
结果如下：
a=144.208°
b=38.390°
2.编辑参数。
根据球面的参数方程将例1的
参数x ，
y ，z 分别按照上式进行编辑，不妨设r=4。
（编辑/编辑参数命令，或右键/编辑参数，依次对参数x ，y ，z 进行编辑计算。
）
3.构造轨迹。
选中点a ，P ，作图/轨迹，得点P 的轨迹是椭圆（两条相对的子午线的直观图）。
选中点b ，P ，作图/轨迹，得点P 的轨迹也是椭圆（纬线圈的直观图）。
（如图3）
4.追踪轨迹。
选中上述两个轨迹，显示/追踪轨迹，再选中点a ，b ，显示/生成点的动画，让点a ，b 运动，调节a ，b 的速度到适当的值，可得图4，即可视为地球仪的模型。
综上所述，只要知道任意曲面或空间曲线的参数方程，都可利用此坐
标系绘制它们的图形，当然也可绘制任意二元函数的图像。
大家可以自己举例验证。
→
48
☆研究与探索☆。