用_几何画板_绘制曲面和空间曲线的探究
数学大世界2011/1
shu xue da shi jie
数学大世界
用《几何画板》绘制曲面和空间曲线的探究
宁夏西吉县第二中学
蒙启飞
作为一种简单实用的绘图工具，《几何画板》在中学数学教学中可以发挥它的这一显著优点。那么能不能用
《几何画板》来绘制一些曲面和空间曲线呢？这是一个值得深入思考的问题，同时又是一个看似比较复杂的问题。经过笔者长期思考和不断完善，最终得到一种比较简单同时又能普遍解决这类问题的方法。
一、绘制基本空间图形
例1：建立空间坐标系，并利用坐标控制点的位置步骤：
1.建立空间坐标系。利用“自定义工具”，建立空间坐标系，记
为坐标系O-xyz ，其中点i ，
j ，k 分别为x ，y ，z 轴上单位点，调整长度和角度至适当位置。
（如图1）2.新建三个参数x ，y ，z ，用以表示点的三维坐标，如x=2.00，y=3.00，z=2.00。
3.选中点O ，变换/标记中心（“变换”菜单下“标记中心”命令，下同）；
选中参数x ，变换/标记比值；选中点i ，
变换/缩放，弹出缩放对话框，点击“缩放”按钮，得点A 。
类似地，对点j ，k 以O 为缩放中心，
分别以y ，z 为缩放比例进行缩放，得点B ，C 。
4.以线段OA 、OB 、OC 为棱，构造长方体，确定点的位置（如图
2）
依次选中点O 和点B ，变换/标记向量；
选中点A ，C ，变换/平移，得点D ，F ；
类似地，对点A ，
D 沿向量OC 进行“平移”得点
E ，P ；
将上述8个点连成长方体OADB-CEPF ，由立体几何知识可知，点P 在空间坐标系O-xyz 中的坐标为P(x ，
y ，z ）。（图2）
编辑参数x ，y ，z 的值，发现点P 的位置随之变动。这样便实现了由坐标来控制点的运动的目标。下边我们绘制曲面和空间曲线。
二、绘制曲面和空间曲线
既然前边实现了由坐标来控制点的位置的目的，而曲面和空
间曲线的参数方程都是用参数表示其上点的坐标的，那么，如果把例1的参数x ，
y ，z 编辑为曲面或曲线的参数方程，则点P 就是该曲面或曲线上的点，然后利用轨迹功能便可绘制曲面或空间曲线。
例2：绘制地球仪（球面）
实际上只需将参数x ，
y ，z 的值分别编辑为球面参数方程即可。
步骤：
1.构造球面参数方程的参数。作一个圆（S ，T 为作圆的原始点）。在圆周上任取两点，记为a ，b ，
选中点a ，T 及圆周
作图/绘制圆弧，
绘制弧Ta ；度量/圆弧角，将结果标签为
a 。
同理，度量圆弧角Tb 的大小，将结果标签为b 。结果如下：
a=144.208°
b=38.390°
2.编辑参数。根据球面的参数方程将例1的
参数x ，
y ，z 分别按照上式进行编辑，不妨设r=4。（编辑/编辑参数命令，或右键/编辑参数，依次对参数x ，y ，z 进行编辑计算。）
3.构造轨迹。选中点a ，P ，作图/轨迹，得点P 的轨迹是椭圆（两条相对的子午线的直观图）。
选中点b ，P ，作图/轨迹，得点P 的轨迹也是椭圆（纬线圈的直观图）。（如图3）
4.追踪轨迹。选中上述两个轨迹，显示/追踪轨迹，再选中点a ，b ，显示/生成点的动画，让点a ，b 运动，调节a ，b 的速度到适当的值，可得图4，即可视为地球仪的模型。
综上所述，只要知道任意曲面或空间曲线的参数方程，都可利用此坐
标系绘制它们的图形，当然也可绘制任意二元函数的图像。大家可以自己举例验证。→
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☆研究与探索☆
空间曲线与曲面
实验七空间曲线与曲面 实验目的 1．掌握空间直线、平面的画法。 2．了解常见的空间曲线与曲面的画法。 与本实验相关的理论 最基本的空间作图函数是Plot3 ，用于作所有二元函数的三维立方体图形，其格式是： Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}，可选项] 由于很多曲面和绝大多数曲线都不能用显函数的形式表示。Mathematica 还提供了Parametric Plot3D参数作图函数，其格式是：Parametric Plot3D[{x[u，v]，y[u，v] ，z[u，v]} ，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}，可选项] Mathematica作三维图形的机理是先在XOY坐标面给定区域内计算出一系列格点的值，再用矩形“小瓦片”拟合张在上面的曲面上。因而如果曲面的表面变化复杂，可通过设置更细的“瓦片”分割来改善。这时候可增加选项PlotPoint―>n 来说明分割数n。 实验步骤 一、画空间曲线 注意空间曲线的参数方程只有一个参变量，如果要画出螺旋线 x=10cost , y=10sint , z=2t 的图形，只要输入： Parametric Plot3D[{10cos[t]，10sin[t]，2t} ，{t，0，20}] 空间直线也类似地处理。 例1：求过A（3，5，-2），B（3，5，-2）的直线方程，并画图。 分析：空间直线方程可由点向式写出，再改成参数式
) 2(4)2(535313----=--=--z y x 化为参数式是：t x 23-=，t y 25-=，t z 62+-= 输入：Parametric Plot3D[{3-2t ，5-2t ，-2+6t} ，{t ，0，1}] 二、画空间曲面 例2：求过A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），的平面方程，并画图。 分析：平面方程可由截距式写出，y x z 2 333--=。 输入：Parametric Plot3D[{3-3x-3y/2} ，{x ，-1，1}，{y ，-1，1}] 例3：画出二元函数22),(y x y x f +=的图形。 输入：Parametric Plot3D[{x^2+y^2} ，{x ，-4，4}，{y ，-4，4}] 例4：画出椭球心在原点，3=a ，4=b ，5=c 的椭球面。 输入：Parametric Plot3D[{3*Cos[u] Cos[v], 4*Sin[u] Cos[v],5*Sin[v]} ，{u ，0，2Pi}，{v ，-Pi/2，Pi/2}] 例5：画出以x y cos =为准线，母线平行于Z 轴的柱面。 输入：Parametric Plot3D[{x,Cos[x],z} ，{x ，-4，4}，{z ，-4，4}] 例6：画出由平面曲线z x cos 1+=绕Z 轴放转而成的旋转面。 输入：Parametric Plot3D[{（1+Cos[u]）Cos[v] ，（1+Cos[u]）Sin[v] ，u} ，{u ，-Pi ，Pi}，{v ，0，2Pi}] 例7：画单叶双曲面。 输入：Parametric Plot3D[{Sec[u]Cos[v] ，Sec[u]Sin[v] ，Tan[u]} ，{u ，-Pi/2+0.5，Pi/2-0.5}，{v ，0，2Pi}]
《几何画板》课件制作——圆锥曲线的形成和画法
《几何画板》课件制作 ——圆锥曲线的形成和画法 作者：马现岭 摘要 《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。 在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和圆锥曲线的画法。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类利用《几何画板》实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件。第二类课件系统介绍了圆锥曲线的画法,为在教学中提高学生学习兴趣,开展对圆锥曲线的研究,提供了良好的方法和方便的途径。 全文由三部分组成： 第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。 第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。 第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。 关键词：几何画板、标记向量、椭圆、圆锥曲线、圆锥截面、轨迹。
Abstract The Geometer' s Sketchpad is an excellent platform for teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry). It also applies to teaching of partial physics and astronomy. This platform not only can help teachers use the modern education technology in the course of teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation, solving question, and progressing their ideation. It represents the developing direction of the educative tool software. After I learn the Geometer’s Sketchpad, I have made kinds of comprehensive mathematics course wares, mainly including: Demonstrate the development of cone curve. These kinds of course wares have very important application on teaching. In "The newest ordinary middle school mathematics course standard ", it is emphasized that " teacher should demonstrate to student the plane section ellipse that cone gets, make student deepen the understanding for cone curve, under certain condition schools should play the role of modern educational technology fully, using computer to demonstration incoming of cone curve from cone by the plane. It shows that the teaching of cone curve has great difficulty in former teaching course, just because that educating technology fall behind before, and it can not be active and visual to explain. Now, here are these course wares, we can reach active and visual teaching effect. The second kind of side spread out problem is concerned with in former lesson, but the method to produce is fussy. The biggest advantage of my lesson lies in the method that I have used a unification to carry out, so that the time to produce is shortened greatly, and has reached very good demonstration effect. The paper text is composed of three parts: In the first part: I write some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewares in the Geometer’s Sketchpad. In the second part: The mathematics coursewares and its produce course that I select to make are introduced in detail. In the last part: I relate the experience study by using the Geometer’s Sketchpad. Keywords:The Geometer’s Sketchpad、mark vector、ellipse、cone curve、cone section、trace.
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验二空间曲线曲面图形的绘制 一、实验目的 熟练掌握使用Mathematica软件绘制空间曲线曲面图形的方法. 二、实验容与Mathematica命令 1．基本三维图形 函数(,) 的图形为三维空间的一个曲面，Mathematica中，绘制三维曲面图形的 z f x y 基本命令格式为 Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},Options] 其中，f为一个二元显函数. 该命令有众多可供使用的选项，可执行命令“Options[Plot3D]”查询. 1）绘制曲面的基本方法 运行t1=Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,4},{y,0,4}] 图1 2）用PlotRange 设定曲面的表面的变化围 运行Show[t1,PlotRange{-0.2,0.5}]
图2 3）坐标轴上加标记，并且在每个外围平面上画上网格 运行Show[t1,AxesLabel{"Time","Depth","Value"},FaceGrids All] 图 3 4）观察点的改变 将观察点改变在（2，-2，0），运行 Show[t1,ViewPoint{2,-2,0}]
图 4 也可用鼠标拖动改变视点。 5）无网格和立体盒子的曲面 运行 Show[t1,Mesh False,Boxed False] 图 5 6）没有阴影的曲面 利用Shading取消曲面的阴影运行 Show[t1,Shading False]
图 6 7）给曲面着色 Show[t1,Lighting False 图 7 Show[t1,Lighting None]
几何画板制作 圆锥曲线的画法
《几何画板》课件制作 第二类课件圆锥曲线的画法 一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线 原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹： 当0
（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。 二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线 原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹； 抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。 制作过程： 1.椭圆（或双曲线）的制作： <图 4> <图 5> ()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。 再轴上任取一点记为（在圆内时并且不与重合时如图(4)，轨迹为椭圆，在圆外时如图（5），轨迹为双曲线），在圆上任取一点。 过、作直线，交圆于另一点。联结、，并且作它们的中垂线，与 直线相交于、。即为过焦点的椭圆或双曲线的弦，、就是椭圆或双曲线的焦半径。 2.抛物线的制作：
《几何画板》圆锥曲线的形成和画法
《几何画板》课件制作 圆锥曲线的形成 选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，故它们统称为圆锥曲线。在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中数学圆锥曲线的学习作引入。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。 原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。 制作过程：圆锥曲线的构造 1．构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图 1作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为OA，短半轴为OB； （1）过O作OA的垂线，在垂线的上方任取一点H，作线段HO并隐藏垂线。用线段连接AH，分别在线段 HO和AH上任取点C和点D，连接CD； （2）作截面：以点C为圆心，以小线段r为半径作圆。在上半圆上任取一点E，隐藏小圆。依次选定点E和点C并标记为向量，把点C 按标记向量平移得到点E′，再依次选定点C和点D并标记为向量，把点E和E′按标记向量平移得到点F和F′。同时选定点E、F、F′和E′，用线段相连得截面EFF′E′，并涂上浅黄色，如图 1所示： B r b() a() 圆锥截面的形成 ' <图 1> <图 2> 注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化： 1）拖动点A或点B，可以改变椭圆的大小； 2）拖动点C或点D，可以使截面EFF′E′上下移动或上下倾斜；
3）拖动点E，可以使截面左右倾斜或翻转。 2．构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程 （1）做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴O′A′=2|OA|，短半轴O′B′=2|OB|，椭圆中心为Ｏ′； （2）作圆截面：依次选定点O和点H并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点H′,使O′H′=2 |OH|。在椭圆上任取一点Ｐ，用线段连接O′Ｐ依次选定点Ｐ和点Ｈ′并标记为向量，把点Ｈ′按标记向量平移得点Ｐ′，用线段连接ＰＰ′和Ａ′Ｈ′； 作P′轨迹，同时选定点P和点P′，执行〈作图/轨迹〉选项，求得一个与圆椭圆关于H′对称的椭圆； 作PP′轨迹，再同时选定线段PP′和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。 （3）作截面：依次选定点O和C并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点C′，使O′C′=2|OC|。过点C′作平行于CD的直线a交H′A′于点D′。在直线a上任取一点M，选定点M和C′并标记为向量，把点C′按标记向量平移得点M′。过点M 作EE′平行线d，在d上任取一点N，选定点N和M并标记为向量，使点M按标记向量平移得点N′。依次选定点M和M′并标记为向量，使点N，N′按标记向量平移得点Q和Q′。隐藏直线d，用线段连接N、N′、Q′、Q得截面 NN′Q′Q，并涂上浅黄色。 （4）作圆锥曲线：先求作截面NN′Q′Q与棱H′P的交点G。过点D′作O′A′平行线交O′H′于O″点。分别过点O″和D′作线段O′P和FF′的平行线b和c，并交于点R。作直线RC′，求得RC′与PP′的交点G，即为截面与棱PP′的交点。隐藏除直线a外的所有直线。 （5）求点G的轨迹，同时选定点G和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点G的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线”。 用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过G点作A′O′的垂线与PO′交于点G′，求点G′的轨迹即是。 （6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”、“圆”如图2所示： 圆锥曲线的画法 选题：圆锥曲线的画法虽然很多种，但归纳起来有以下五种：
几何画板生成椭圆曲线八种方法
图1 几何画板生成椭圆曲线八法 国家教育部推荐的教育软件《几何画板》提供曲线的动态变化，便于观察与验证。如很好的开发它的功能，制作出富于表现力的动态效果的课件，培养学生对抽象曲线的理解和想象能力有极大的帮助。下面就用绘制椭圆曲线的八种方法的同行们商榷。 一、定义法（到两定点的距离和等于定长） 选取“线段”工具，在绘图板中作一线段AB （线段AB 的长度为椭圆的长轴长2a ）。用“点”工具在线段上任取一点C ，按住shift 键先后选中A ，C 点，选择“变换”→“标记向量 "A→C"”。 再用“点”工具再用点工具任取一点D ，选中点D ，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点D'。 按住shift 键，先后选中点D 和D'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，按Ctrl+H 键将其隐藏。 按住shift 键，先后选中B ，C 点，选择“变换”→“标记向量 "B→C"”。用点工具另作一点E ，使其与D 点的距离小于线段AB 的长（线段DE 的长为2c ），选中点E ，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点E'。 按住shift 键，先后选中点E 和E'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点E'，按Ctrl+H 键将其隐藏。 按住shift 键，选中两个圆的圆周，选择“作 图”→“交点”（或按Ctrl+I 键），作出交点F 和G 。 以下可以分两个方向进行： 1.按住shift 键，先后选中点F 和点C ，选 择“作图”→“轨迹”，作出椭圆的上半部分； 同理先后选中点G 和点C ，作出椭圆的下半部分（如图1）。 2.按住shift 键，先后选中点F ，选择“显示”→“追踪点”，同样选中点G 和点C ，选择“显示”→“追踪点”。 按住shift 键，先后选中点C 和线段AB ，选择“编辑”→“操作类按
空间曲线的切线与空间曲面的切平面doc资料
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为
如何用几何画板画椭圆
如何用几何画板画椭圆 一、定义法（到两定点的距离和等于定长） 选取“线段”工具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。用“点”工具在线段上任取一点C，按住shift键先后选中A，C点，选择“变换”→“标记向量"A→C"”。 再用“点”工具再用点工具任取一点D，选中点D，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点D'。按住shift键，先后选中点D和D'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，按Ctrl+H键将其隐藏。 按住shift键，先后选中B，C点，选择“变换”→“标记向量"B→C"”。用点工具另作一点E，使其与D点的距离小于线段AB的长（线段DE的长为2c），选中点E，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点E'。按住shift键，先后选中点E和E'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点E'，按Ctrl+H键将其隐藏。 按住shift键，选中两个圆的圆周，选择“作图”→“交点”（或按Ctrl+I键），作出交点F和G。 以下可以分两个方向进行： 1.按住shift键，先后选中点F和点C，选择“作图”→“轨迹”，作出椭圆的上半部分；同理先后选中点G和点C，作出椭圆的下半部分（如图1）。 2.按住shift键，先后选中点F，选择“显示”→“追踪点”，同样选中点G和点C，选择“显示”→“追踪点”。 按住shift键，先后选中点C和线段AB，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“双向”、“沿着线段j”、“慢慢地”，按“动画”按钮完成设置。这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。完成，存盘退出。 二、准线法（到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e） 打开一个新的绘图板，选择“图表”→“建立坐标轴”。 用“线段”工具作线段CD，在线段CD上任取一点E。同时选中点C和点E，选择“度量”→“距离”，量出CE的长。同样量出CD的长。 按住shift键，选中量出的CE和CD的距离，按鼠标右键弹出对话框，选择“度量”→“计算”。在打开的计算器中选择“数值”→“距离（C到E）”。选择“/”→“距离（C到D）”→“确定”。在绘图板上就会出现CE和CD的比值。用“文本工具”双击该值，弹出“度量值格式”对话框，选择“T文本格式”。将“距离（C到E）/距离（C到D）”改成“e”，确定，完成改变。选中点B，按Ctrl+H键隐藏，在X轴上取点F（F为椭圆的一个焦点）。作线段GH，在其上取点I。用上面的方法量出GI的距离，并将其距离名称改为c。选中c和e的值，打开计算器，将c除以e的值求出，并将其名改为a。 选中a的计算值，选择“图表”→“绘制度量值”，弹出“绘制度量值”对话框。选择“H 在横(x)轴”，确定，作出垂直于x轴的一条直线。选中c的度量值，选择“变换”→“标记距离”，选中F点，选择“变换”→“平移”，弹出“平移”对话框，选择“按标记的距离”，确定，作出点F平移后的点F'。 先后选中点F和点F'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”。选中该圆周和上面作出的垂直于x轴的直线，按Ctrl+I绘出交点J和K。选中点J和点K，选择“显示”→“追踪点”。选中点I和线段GH，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“双向”、“沿着线段n”、“慢慢地”，按“动画”按钮完
数学实验教程实验6(空间曲线与曲面
实验6 空间曲线与曲面 实验目的 1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面 2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。 实验准备 1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程 实验内容 1．绘制空间曲线 2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成 4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域 软件命令 表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令 实验示例 【例6.1】绘制空间曲线 绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。
【程序】： t=0:pi/30:9*pi; a=10; c=3; x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t; plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。 图6-1 空间曲线的绘制 【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面 绘制二元函数 22 2 2 sin x y z x y += +在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。 【程序】：参见Exm06Demo02.m 。 【输出】：见图6-2。 图 6-2 绘制空间曲面 【例6.3】绘制Mobius 带 Mobius 带的参数方程为 122122 cos sin cos ,[0,2],[,] sin u u x r u y r u r c v u v a b z v π=??==+∈∈??=?，， 其中,,a b c 为常数，绘制其图形。
运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法
运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法 贵州省平塘民族中学刘光宜（558300） 摘要本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程，运用尺规作图原理结合几何画板动态生成轨迹的功能，详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。每一类画法及构造的步骤，极富操作性和实践性。直接运用于教学，能够达到激活数学课堂，启迪学生思维，拓展学生数学视野，提升数学教学效率的目的。 关键词圆锥曲线尺规作图原理几何画板动态生成轨迹 一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线 （一）椭圆 1、椭圆第一定义 一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>︱F 1F 2 ︱）的点M的轨迹叫做椭圆。 其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点F 1、F 2 间的距离︱F 1 F 2 ︱叫做椭圆的焦距，常数2a叫做椭圆的 长轴的长。 特别地，当2a=︱F 1F 2 ︱时，点M的轨迹是线段F 1 F 2 ；当2a<︱F 1 F 2 ︱时，点M的轨迹不存在。 2、画法步骤 （1）按住shift 键，在画图区上部画一条直线l（隐藏控制点）。再在直线l上构造线段AB，度量线段AB的长度并改为用2a表示。 （2）在线段AB上取一点C，并构造线段AC 和线段BC。 （3）按住shift键在画图区中部画一条线段 F 1F 2 ，隐藏线段，保留端点，然后度量两端点的距 离︱F 1F 2 ︱,并调整大小使之小于2a。 （4）以F 1 为圆心，线段AC为半径画圆， 以F 2 为圆心，线段BC为半径画圆。构造两圆的交点M和M＇,并设置成“追踪交点”。 （5）构造线段MF 1、MF 2 并度量长度，然后计算MF 1 +MF 2 。 （6）设置点C双向在线段AB上滑动，并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹”。或用选择工具拖动点C 在线段AB上滑动生成椭圆（如图1-1）。 （7）用选择工具拖动点B或点A调整线段AB与F 1F 2 的大小关系：当2a=︱F 1 F 2 ︱时，动点M与两个定 点F 1、F 2 共线，其轨迹是线段F 1 F 2 ；当2a<︱F 1 F 2 ︱时，动点M消失，表示其轨迹不存在。 （二）双曲线 1、双曲线第一定义 一般地，平面内到两个定点F 1、F 2 的距离之差的绝对值等于一个常数2a（2a<︱F 1 F 2 ︱）的点M的轨迹 叫做双曲线。其中，定点F 1、F 2 叫做双曲线的焦点，两定点F 1 、F 2 间的距离︱F 1 F 2 ︱叫做双曲线的焦距，常 数2a叫做双曲线的实轴的长。 l F1F2 = 4.87 MF1 + MF2 = 6.56厘米 MF2 = 2.48厘米 MF1 = 4.08厘米 2a = 6.56 动态生成轨迹 M' M F1F2 图1-1
几何画板在圆锥曲线中的应用举例
几何画板在《圆锥曲线》中的应用举例 高二数学组刘中维 在《圆锥曲线方程》这一章中，一些曲线的图像、性质都比较抽象，学生难以理解和接受，如双曲线的渐进线、圆锥曲线的离心率与开都的关系、一些数形结合的题目等，只凭学生的想象力是很难理解掌握有关图像的性质和图像之间的相互关系的，若我们只借助尺规作图的方法画图，一般难以达到满意的效果，还容易把图像画错。但若我们能利用《几何画板》精确的画图功能、动画功能加以演示，将能引起学生的学习兴趣，帮助学生的理解，提高学生对平面图形的想象思维能力，起到事半功倍的作用。下面举几个用几何画板解决圆锥曲线问题的例子。 一、在“几何画板”中作直线与圆锥曲线的交点 在“几何画板”中可以直接作出直线与直线的交点，直线与圆的交点以及圆与圆的交点．但不能直接作出直线与圆锥曲线的交点．本文介绍直线与圆锥曲线的交点制作、制作原理，该制作过程适合三种圆锥曲线．首先是三个工具的制作：工具一已知直线AP，A在圆锥曲线上，求作直线AP与圆锥曲线的另一个交点B．(以椭圆为例) 、、、，作DE与PA交于点L，作AF 作图过程在椭圆上任取4个点C D E F 与CD交于点M，作LM与EF的交点N，作NC与直线PA的交点B，则点就是直线PA与椭圆的交点（如图1）． 图1 图2 制作成工具（命名为工具一）就可以直接使用，先决条件是圆锥曲线、点A、点P，不需要其它的，适合椭圆、双曲线、抛物线．
制作原理 任意圆锥曲线的内接六边形的三组对边的交点P 、Q 、R 共线（以 椭圆为例，如图2）．（帕斯卡定理） 工具二 过圆锥曲线外一点作两条切线． 作图过程 2.1 若P 为椭圆外任意一点，以 1F 为圆心，2a 为半径作辅助圆，以P 为圆心，2PF 为半径作圆与辅助圆交于点Q R 、，分别取2QF 、2RF 的中点 A B 、，则PA PB 、为所求的切线，1QF 与PA 的交点、1RF 与PB 的交点为对应切点（如图4）． 作图过程2.2 若P 为双曲线外任意一点，以 1F 为圆心，2a 为半径作辅助圆，以P 为圆心，2PF 为半径作圆与辅助圆交于点Q R 、，分别取2QF 、2RF 的中点 A B 、，PA PB 、为所求的切线． 1QF 与PA 的交点、1RF 与PB 的交点为对应切点（如图5）． 作图过程2.3 若P 为抛物线外任意一点，以P 为圆心，PF 为半径作圆与准线交于点Q R 、，分别取QF RF 、的中点A B 、，PA PB 、为所求的切线．过点Q 作准线的垂线与PA 的交点、过点R 作准线的垂线与PB 的交点为对应切点（如图6）． 把过圆锥曲线外一点作两条切线的过程制作成工具，需要说明的是要分成两个工具：（1）对于椭圆双曲线，工具先决条件是两个焦点 1F 、2F 、长度2a 的线段、点P ；（2）对于抛物线，工具的先决条件是焦点 1F ，准线，点P ；为了叙述 方便，统一称之为工具二． 图4 图5 图6
曲面与空间曲面的归纳
曲面与空间曲线的总结
曲面与空间曲线一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0， 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0 ②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c 222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 631044=-++z y x
③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论： 若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z 取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。 几种常见柱面：x+y=a 平面； 2 22a y x =+圆柱面
曲面与空间曲线的方程
第 2 章曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及 表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：(1)空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面 曲线方程的区别； ( 2)空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： § 1 曲面的方程 普通方程： 1 定义：设工为一曲面，F(x, y, z) =0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若工上任一点P(x,y,z)的坐标都满足F(x，y, z)=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲 面工上，则称F (x, y, z) =0为工的普通方程，记作 2：F (x, y, z) =0. 不难看出，一点在曲面2上〈一〉该点的坐标满足工的方程，即曲面上的点与其 方程的解之间是一一对应的???》的方程的代数性质必能反映出2的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形：空间中任一曲面的方程都是一三元方程,反之,是否任一三 元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的,但也有如下特殊情况 1 ° 若F( x, y, z) =0 的左端可分解成两个(或多个)因式F1( x, y, z) 与F2 (x, y, z)的乘积，即 F (x, y, z)= F i (x, y, z) F2 (x, y, z),贝U F (x , y , z) =0〈一〉F i (x , y , z) =0 或F2 (x , y , z) =0 ,此时 F( x y z) =0 表示两叶曲面1与 2 它们分别以F1( x y z) =0 F2( x y z) =0 为其方程此时称F(x y z)=0 表示的图形为变态曲面。如 F(x,y,z) xyz 0 即为三坐标面。 2 0方程F(x,y,z) (x2 y2 z2) x i2 y 2 2 (z 3)2 0 仅表示坐标原点和点( i 2 3) 3 °方程F(x, y,z) 0可能表示若干条曲线如 F(x, y,z) (x2 y2)(y2 z2) 0 即表示z 轴和x 轴 °方程F(x, y,z) 0不表示任何实图形如 4
空间曲线与曲面的绘制
空间曲线与曲面的绘制 本实验的目的是：利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特 点，以加强几何的直观性。 1. 空间曲线的绘制 绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”如画出参数方程「x =x(t) * y = y(t) , h Et “2所确定的空间曲线的命令格式为： Z =z(t) ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmi n, tmax}, 选项] 例1 画出旋转抛物面z = x2y2与上半球面z = 1亠：1 - x2- y2交线的图形。 X = cost 解：它们的交线为平面z=1上的圆x2+y2=1，化为参数方程为*y = sint,t"O,勿]，下面的 z = 1 mathematica命令就是作出它们的交线并把它存在变量p中： p ParametricPlot3D Cos t , Sin t , 1 , t, 0, 2 Pi 运行即得曲线如图1所示。 在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数 乍(x, y, z) =0 方程。如果曲线为一般式，其在xOy面上的投影柱面的 面及其方程 一曲面方程的概念 空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。 为此，我们给出如下定义： 若曲面 S与三元方程 F x y z (,,) 0 (1) 有下述关系： 1、曲面 S上任一点的坐标均满足方程(1)； 2、不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程(1)。 那么，方程(1)称作曲面 S的方程，而曲面S称作方程(1)的图形。 下面，我们来建立几个常见的曲面方程。 【例1】球心在点 ) , , ( z y x M ，半径为R的球面方程。 解：设M x y z (,,)是球面上的任一点，那么M M R 0=， 即： ()()()x x y y z z R -+-+-=020202 ()()()x x y y z z R -+-+-=0202022 (2) (2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。 反过来，不在球面上的点 ''''M x y z (,,)，'M 到M 0的距离M M R 0'≠， 从而点 'M 的坐标不适合于方程(2)。 故方程(2)就是以 M x y z 0000(,,)为球心，R 为半径的球面方程。 若球心在原点，即 M x y z O 0000000(,,)(,,)=，其球面方程为 x y z R 2222++= 【例2】设有点A (,,)123和B (,,)214-，求线段AB 垂直平分面π 的方程。 解：所求平面π是与A 和B 等距离的点的几何轨迹，设M x y z (,,)是所求平面上任意 的一点，则 AM BM = 即： ()()()()()()x y z x y z -+-+-=-+++-123214222222 如何用几何画板统一作出圆锥曲线 包汉忠 (贵州都匀三中) 我们见到的关于圆锥曲线的课件，通常都是作椭圆、双曲线、抛物线中单纯的一个曲线，没有使用一个课件同时展示三种圆锥曲线的。那么用一个课件是否能同时展示这三种圆锥曲线呢？ 经过对几种常用的课件制作软件工具的试验与比较，借助于几何画板，笔者完成了一个制作统一圆锥曲线的几何画板课件。以下谈一下这个课件的设计目的、思想与方法。 这个课件的制作目的很简单，就是想让学生直观地观察椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的变化规律，以及它们之间的离心率变化引起的图象变化。 这个课件的理论基础是圆锥曲线的第二定义(即统一定义)：一个动点到一个定点的距离与这个动点到一条定直线的距离的比值等于定值(即常数)，我们知道，这个常数就是离心率e，并且，当01 e e>时， <<时，这个动点的轨迹就是椭圆；当1 这个动点的轨迹就是双曲线；当1 e=时，这个动点的轨迹就是 抛物线。 那么，如何在作图过程中确定这个常数e ，如何才能使两条线段的比值等于事先想要的或者预先设定的离心率呢？这个问题成为了这个课件的制作的关键。其实要得到两条线段的比值等于事先想要的或者预先设定的离心率e 并不难，因为这可以从初中数学中的相似三角形中 得到。 如右图所示，若//BC DE ，则可以得到AB AD BC DE =，因此，可以把AB BC 作离心率e 的参考值，在作图的过程中 可使BC AB ⊥，这会使作图变得更方便。 由此，可以得到确定e 的方 法。 制作的步骤如下： ①作两互相垂直的直线m 、 l ，设定点F 在直线l 上，定直线 为m ， ②在定直线m 上取一定点 B 和一个可调动点A ，过点B 作l 的平行线B C ，在BC 上取一空间曲面与空间曲线学习总结
如何用几何画板统一作出圆锥曲线