第五章 考虑摩擦的平衡方程

NB
FSA 0
FSB f s FNB
2.两根相同的运至杆 AB 和 BC， 在端点 B 用光滑铰链连接， A， C 端放在不光滑的水平面上， 如图所示。当 ABC 成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。求杆端与水平面 间的摩擦因数。
【知识要点】 平面一般力系的平衡方程，摩擦定律。 【解题分析】由对称性可知两点同时达到临界状态。 【解答】以整体为研究对象，受力如图 a 所示，设每根杆长为 L，重为 P，由平衡方程
4.当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力 Fs 的大小（ ） A.与物体的质量成正比； B.与物体的重力在支承面的法线方向的大小成正比； C.与相互接触的物体之间的正压力大小成正比； D、有力系的平衡方程来确定。 5.物块重为 P，受水平力 F 作用，已知 P=F，摩察角φ=20°，则（ ）。 A.物体向上滑动 B.静止 C.临界平衡状态 D.物块向下滑动
三、计算题
1.梯子 AＢ靠在墙上，其重为Ｐ＝200Ｎ，如图所示。梯长为 L，并与水平面交角θ＝６０°。 已知接触面间的静摩擦因数均为 0.25.今有一重 650Ｎ的人沿梯上爬， 问人所能达到的最高点 Ｃ到Ａ的距离ｓ应为多少？
[知识要点] 平面一般力系的平衡方程，摩擦定律。 [解题分析] Ａ，Ｂ两点同时达到临界状态。 [解答]以梯子ＡＢ为研究对象，受力如图，设Ｃ点为极限位置，由平衡方程
【只是要点】 考察摩擦的平衡问题 【解题分析】 分别研究 AGB 和砖，根据摩擦定律求解 b。 【解答】一整体为研究对象，见图（a）。 可知 F=P 以砖为研究对象，受力如图（b）所示。 由∑MO(F)=0：FSA·OA－FSD·OD=0 可得 FSA= FSD 由∑Fy=0：P－FSA－FSD=0 ∑Fx=0：FNA－FND=0 解得 FSA=FSD=P/2，FNA=FND 再以曲杆 AGB 为研究对象，受力如图（c）所示。 由 MG(F)=0：95F+30F/SA－bF/NA=0 解得 b=220FSA/ FNA 砖块不下落，需满足 FSA≤fs FNA 由上两式可知 b≤110mm
FSA = fS FNA, FSB = fS FNB 解得 l = b/2 f = 100mm
4.砖夹的宽度为 0.25m，曲杆 AGB 与 GCED 在 C 点铰接，尺寸如图所示。砖重 P=120N， 提起砖的力 F 作用在砖夹的中心线上，砖夹与砖间的摩擦因数 fs=0.5。求距离 b 为多大才能 把砖夹起。
由摩擦定律，可知： 解得 s=0.456L
FSB P P 1 0 PL M A ( F ) 0 : FNB L sin - FSB L cos 2 cos P1S cos 0 FSA f s FNA
NA
Fy 0 : F
Fx 0 : F
解析：地面对物体 A 的支持力 N＝80kN，极限摩擦力 FL＝0.2×80＝16kN，物体受到的水 平拉力为 15kN，所以物体处于静止状态，由水平方向力的投影的平衡可得答案。 3.已知杆 OA 所受重力为 P，物块 M 所受重力为 P。杆与物块间有摩擦，而物块与地面间的 摩擦略去不计。当水平力 F 增大而物块保持平衡时，杆对物块 M 的正压力（ ）。 A.由小变大；B.由大变小；C.不变；
(３)当接触面上存在滚动摩擦阻力偶时，该处必存在滑动摩擦力。 （✖） 解析：滚动摩擦力，是物体滚动时，接触面一直在变化着，物体所受的摩擦力。它实质上是 静摩擦力。接触面愈软，形状变化愈大，则滚动摩擦力就愈大。一般情况下，物体之间的滚 动摩擦力远小于滑动摩擦力。 在交通运输以及机械制造工业上广泛应用滚动轴承， 就是为了 减少摩擦力。例如，火车的主动轮所受的静摩擦力是推动火车前进的动力。而被动轮所受的 静摩擦则是阻碍火车前进的滚动摩擦力。 (4)摩擦力作为未知的约束力，他的方向和其他类型的约束反力一样可以任意假定，所假定 的方向是否正确，可由它的数值的正负判定。 () 解析：摩擦力的方向取决于它的运动趋势。 (５)当一物体有几处周围物体接触时，这几个接触面的摩擦力同时达到临界平衡状态。 （ × ） 解析：临界平衡时，摩擦力恰好达到滑动摩擦力。 (６)在任何情况下，摩擦力的大小总是等于摩擦因数与正压力的乘积。 （× ） 解析：静摩擦力不是。 (７)滚动摩阻因数是一个无量纲的系数。 （ × ） 解析：当两个相互接触的物体中的一个相对于另一个做无滑动的滚动，并有相对角速度时， 产生的阻碍相对滚动的力偶，叫做滚动摩擦力偶。在没有外力矩作用的情况下，滚动摩擦力 偶矩将使相对滚动的角速度逐渐减小而趋于零。 它的方向与相对角速度的方向相反。 滚动摩 擦力偶矩的大小 M 与两物体之间的正压力 N 的大小成正比，即 M=δN，其中δ称为滚动摩擦 系数， 它具有长度的量纲， 近似地依赖于两物体的材料并与接触面的粗糙程度和滚动速率有 关。 (８)物体放在粗糙的水平面上，因为摩擦因数为零，故由摩擦定律 F≤FNfs 知，fs=0。（×） (９)物体重为 P，靠在粗糙的铅直墙壁上，摩擦角ψf=20º。在物体上作用一力 F，且 F=P， θ=30º，如图所示。则物体一定处于平衡状态。（√）
第五章
一、判断题
考虑摩擦的平衡方程
(１)若接触面的正压力等于零，则必有该处的摩擦力为零。 （√） (２)接触面的全反力与接触面的法线方向的夹角称为摩擦角。 （） 解析：摩擦角：当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力 FS 达到最大值 Fmax,此时 FR 与 FN 的夹角也最大，此时的φm 称为摩擦角。法向反力 N 与摩擦力 F 的合力 R 称为支持面对 物体的全约束力，也叫全反力。
l pl ( F ) 0 : p（l cos 60) cos 60 FNAl 0 2 2 解得：
M
C
FNA P
再以 AB 为研究对象，受力如图 b 临界状态下，由平衡方程
l ( F ) 0 : p cos 60 FSA L sin 60 FNA L cos 60 0 2 且FSA f s FNA
解析：先四本书看作一个整体，受到两个向上的静摩擦力 f1，一个向下的重力 4P，因此 f1 ＝2P，手对书施加压力至少为 2P/0.25＝8P。再研究最左边那本书，受到向上的静摩擦力 f1， 向下的重力 P，与右侧书之间的静摩擦力 f2，因此 f2 方向竖直向下，大小为 P。再研究左边 第二本书，受到向上的静摩擦 f2，重力 P，此时已经处于平衡状态，因此中间两本书间无摩 擦力。 而左边一、 二本书间最大静摩擦要大于 P， 因此压力应大于 P/0.1＝10P， 故答案为 10P。
(10).重为 P 的物体置于水平面上，如图所示，其间的摩擦因素为 fs=0.2，在水平力 F=10N 的作用下物体静止，则摩擦力的大小为 Fs=fs×P=20N。（✖）
P=100N
F=10
N
二、选择题
1.重力为 P 的物体自由地放在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的摩擦角为ψm，若ψm<θ， 则物体（ ）
6.均质杆 AB 重 P=6KN，A 端置于粗糙地面上，静滑动摩擦因数 fs=0.3，B 端靠在光滑墙上， 杆在图示位置保持平衡，则杆在 A 端所受的摩擦力 Fs 为 ( ） A、Fs=2kN B.Fs=1.8kN C.Fs= 3 kN D.Fs=1.5kN
7.四本相同的书，每本重 P，设书与书间的摩擦因数是 0.1，书与手间摩擦因数为 0.25，欲 将四本书一起提起，则两侧应加的力 F 至少大于（ ） A.1P B.4P C.8P D.10P
M
B
解得： fs 1 2 3 1 2 3
故 f SA f SC f S
3.攀登电线杆的脚套如图。设电线杆直径 d=300mm，A、B 间的铅直距离 b=100mm。若套 钩与电线杆之间摩擦因素 fs=0.5。求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最小距离应为多 大。
【知识要点】考察摩擦的平衡问题。 【解题分析】 取临界状态研究。 【解答】 以套钩为研究对象，受力如图，在临界平衡时， 可得 ∑FX = 0: FN B – FN A = 0 ∑FY = 0: FSB + FSA – P = 0 ∑MA(F）= 0: FSB d + FNB b- P(l+d/2 ) = 0
8.重为 P，半径为 R 的匀质圆轮受力 F 作用，静止于水平面上，若静止滑动摩擦因数为 fs， 动滑动摩擦因数为 f，滚动摩阻系数为 g，则圆轮受到的摩擦力和滚动摩阻力偶矩为 （ ）。 A、Fs=fsP，Mf=gP； B.Fs=F，Mf=gP C、Fs=fP，Mf=FR； D.Fs=F，Mf=FR
A 静止； B 滑动； C 当 P 很小时能静止；D 处于临界状态。 2.物体 A 所受重力的大小为 100KN， 物体 B 所受重力的大小为 25KN， A 与地面的摩擦因数 为 0.2，滑轮处摩擦不计。则物体 A 与地面间的摩擦力为（ ）。 A、20KN B、16KN C、15KN D、12KN