几何计算题选讲

江苏地区中考数学复习几何计算题选讲

几何计算题历年来是中考的热点问题。

几何计算是以推理为基础的几何量的计算，

主要

有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面 积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计 算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例

例1. 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆 0恰与对边CD 相切于T ,与对角线AC 交于P,

PEL AB 于E, AB=10,求PE 的长.

1

解法一：（几何法）连结 0T, 则OT L CD 且OT —AB = 5

2

说明：几何法即根据几何推理, 隐含条件•

解法二：（代数法） PE AE • PE CB 1 CB AB AE AB 2

设：PE=x ，贝U AE=2 x , EB=10- 2 x . 连结 PB. •/ AB 是直径，•/ APB=90.

在 Rt △ APB 中，PE L AB,「.A PBE^A APE .

EB PE 1 •—— —— -.• EP=2EB 即 x=2 (10- 2x )

EP AE 2

解得 x =4. • PE=4.

说明：代数法即为设未知数列方程求解， 关键在于找出可供列方程的相等关系，例如： 相似

三角形中的线段比例式； 勾股定理中的等式； 相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以 及其他

的相等关系. 解法三：(三角法)

连结 PB,贝U BP L AC.设/ PAB=c 在 Rt △ APB 中，AP=10CO a,

在 Rt △ APE 中，PE=APsin a , • PE=10sin a COS a .

一

5 < 在 Rt △ ABC 中,BC=5,AC= 5, 5 . • sin a =—

5/5

5

10 215 V5 2J5

co a = 10

S. ••• PE=10X 」g=4.

5 5

5

5

5

BC=0T=5 ,AC= 100

25 =5、、5

•/ BC 是O O 切线，••• B C =CP • CA.

••• PC= .5 , • AP=CA-CP=4. 5 . •/ PE// BC •

PE BC

AP AC

PE=4 5 X 5=4.

5 5

由几何关系式进行求解的方法， 推理时特别要注意图形中的 •/ PE// BC,

说明：在几何计算中，必须注意以下几点:

(1) 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等 关系.

(2)

注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化 .

(3)

注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用

二.其他题型举例

例2.如图，ABCD 是边长为2 a 的正方形，AB 为半圆0的直径，CE 切O 0于E ,与BA 的延长

D,交O Q 于点E ,过点C 作CF 丄CE 交EA 的延长线于点 F ,若DE=2, AE=2. 5 (1) 求证：EF 是O 0的切线； (2) 求线段CF 的长； (3)

求 tan / DAE 的值.

分析：(1)连结0A, 0E 是O Q 的直径，0A 丄EF ,从而知 EF 是O 0的切线.

(2)由已知条件 DE=2, AE=2j5，且EA 、EDC 分别是O 0的切线 和割

线，运用切割线定理 EA 2=ED- EC,可求得EC=10.由CF 丄CE 可得CF 是

O 0的切线，从而 FC=FA 在Rt △ EFC 中，设CF=x ，则

FE=X + 2...5.又 CE=1Q 由勾股定理可得：(x +2、一 5 ) 2= x 2+102, 解得 x =4.5 .即 CF=4、. 5.

(3)要求tan / DAE 的值，通常有两种方法：①构造含/ DAE 的直角三角形；②把求 tan /

DAE 的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切(等角转化) .在求正切值时，又有两种方

法可供选择：①分别求出两线段(对边和邻边)的值；②整体求出两线段(对边和邻边)的 比值.

解：(1)连结0A ,

•/ 0E 是O Q 的直径，• 0A 丄EF • EF 是O 0的切线..

(2)T DE=2, AE=2\5，且EA EDC 分别是O 0的切线和割线

2

• EA=ED- EC • EC=10

由CF 丄CE 可得CF 是O 0的切线，从而 FC=FA 在Rt △ EFC 中,设CF=x ，贝U FE= x + 2. 5 .

线交于F ,求EF 的长.

分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、 以及正方形有关性质.本题可用代数法求解. 解：连结 .0E …BC 设 EF=x , •/ FE 切O 0于 E

4 解得x = a ,

3

例3•已知：如图， 0E T CE 切O 0于 E , • 0EL CF

EF3A BFC

FE 11 1 -- 又••• 0E A AB=—BC, • EF=—FB

FB ' 2

2

2

则 FB=2x , FA=2x - 2a • FE "=FA- FB,「. x 2= (2x - 2a ) • 2x EF=4 a.

3

O 0与O Q 相交于点

A B ,且点0在O O 上, 连心线00交O 0于点C

A

B

°2