2021年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(含解析)

垂直于弦的直径

一、新课导入

1、圆是轴对称图形，经过直径的直线是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴；

2、把一个圆沿一条直径对折，直径两侧的半圆有什么关系？

二、学习目标

1、掌握垂径定理和垂径定理的推论；

2、能利用垂径定理及垂径定理的推论解决实际问题。

三、研读课本

认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本

要求：掌握垂径定理，会用几何语言表示垂径定理。一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、

1、圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条过圆心的直线，一个圆有无数条对称轴。

2、圆心到弧的垂线段的长度叫做弦心距。

3、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，则有AM=BM ，=，=，

4、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

5、垂径定理的两个条件：①直径；②垂直于弦。结论：③平分弦；

④平分弦所对的两条弧。

完成尝试应用

6、下列四个图形中第几个可以用垂径定理：

【解析】第一个图形中的AB虽然垂直于弦CD，但是AB不是⊙O 的直径，所以不能用垂径定理；

第二个图形中的AB虽然是直径，但是AB不垂直于弦CD，所以不能用垂径定理；

第三个图形中的OE虽然垂直于弦CD，但是OE不是⊙O的直径，所以不能用垂径定理；

第四个图形中的AB是⊙O的直径，并且AB垂直于弦CD，所以能用垂径定理；

研读二、认真阅读课本，利用圆的轴对称性探索垂径定理的推论；

问题探究：

7、如下图所示，CD 是⊙O 的直径，AM=BM ，求证：CD ⊥AB ，弧AC=弧BC ，弧AD=弧

BD.

证明：连接OA 、OB ，

在△OAM 和△OBM 中，

OA OB OM OM AM BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩

， ∴△OAM ≌△OBM ，

∴∠OMA=∠OMB=90°，

∴CD ⊥AB ，

∴CD 是对称轴，

∴把⊙O 沿CD 折叠时，点A 与点B 重合，

∴弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.

结论：根据圆是轴对称图形可得：

1、平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；

2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.

检测练习二、

8、如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB ，垂足为M ，求证：AM=BM ，弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.

证明：连接OA 、OB ，

∵CD ⊥AB ，

∴∠OMA=∠OMB=90°，

在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，

OA OB OM OM

=⎧⎨=⎩， ∴△OAM ≌△OBM ，

∴AM=BM ，

∴CD 是对称轴，

∴把⊙O 沿CD 折叠时，点A 与点B 重合，

∴弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD.

小窍门：通过连接弦的两个端点与圆心构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明垂径定理.

研读三、利用垂径定理探索夹在两条平行弦之间的两条弧的关系。

9、已知，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，弧AE和弧BF有什么关系？

【解析】∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，

∴弧DE=弧DF，

同理可证：弧AD=弧BD，

∴弧AE=弧BF.

结论：夹在两条平行弦之间的弧相等.

研读四：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点.

求证：AC＝BD.

【解析】过O作OE⊥AB，垂足为E，

则AE＝BE，CE＝DE.

∴AE－CE＝BE－DE.

∴AC＝BD

检测练习三、

10、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).

【解析】过点O作OD⊥AB于D，并延长OD交于点C，

则AD=BD=1

AB=18.7m，OA=OC=OB=R，

2

∵CD=7.2m，

∴OD=R-7.2m，

∵222

+=，

AD OD OA

∴()2

22

+-=，

R R

18.77.2

解得：R≈27.9，

答：桥拱的半径是27.9m.

四、完成随堂练习(PPT)

五、归纳小结

（一）这节课我们学到了什么？

（二）你认为应该注意什么问题？

六、作业布置：完成课后练习.