湖北省部分重点中学高三数学起点考试试题 理

第5题图湖北省部分重点中学2017-2018学年度上学期新高三起点考试数 学 试 卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1. 已知集合}034|{2≥++=x x x A ，}12|{＜xx B =，则=B A I A ．)0,1[]3,(---∞Y B ．]1,3[-- C ．]0,1(]3,(---∞Y D ．)0,(-∞2. 已知复数z 满足i z ii4311+=⋅-+，则z = A.5 B. 7 C. 25 D. 623. 已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(6)P P ξξ<=>0.15=，则(24)P ξ≤<等于A. 0.3B. 0.35C. 0.5D. 0.7 4．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为A. 110B. 55C. 50D. 不能确定5.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积等于( ) 3cm A ．243π+ B ．342π+ C ．263π+D ．362π+ 6. 在ABC ∆中，“A B C <<”“cos2cos2B cos2C A >>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。

美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。

程序框图如图所示，若输入ξ,,n a 的值分别为8,2,0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ）A. 2.81B. 2.82C. 2.83D. 2.848．偶函数f(x)在(0，+∞)上递增，),23(,31(log 2f b f a ==） )2(log 3f c =则下列关系式中正确的是A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a9.若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+206202x y x y x ，则目标函数22y x z +=的最小值是A ．2B ．2C ．4D ．96810．若点(,,)P x y 的坐标满足1ln1x y=-，则点P 的轨迹图像大致是11．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为3π的直线与抛物线相交于两点,A B 两点，若8AB =，则抛物线的方程为A ．23y x =B ．24y x= C ．26y x = D ． 28y x =12.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点)3,0(-B ，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当)32,34(,21ππ--∈x x ，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x += A. 3- B.1- C. 1 D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(3,4)a =r ，(,1)b x =r ，若()a b a -⊥r r r，则实数x 等于 ．14．设2521001210(32)x x a a x a x a x -+=++++L ，则1a 等于 ．15．已知等腰梯形ABCD 中AB //CD ，24,60AB CD BAD ==∠=︒，双曲线以,A B 为焦点，且与线段CD (包括端点C 、D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．若函数22()(4)|2|2f x x x a x a =---+有四个零点,则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，70分）17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足113,1a b ==，2252310,2.b S a b a +=-=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =g,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T .18.(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，ABF ∠为直角，1//,1,2BF AB A BF E ==平面ABCD ⊥平面ABFE . （1）求证：EC DB ⊥；（2）若,AB AE =求二面角B EF C --的余弦值.19.（本小题12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，左焦点为)0,1(-F ，过点)2,0(D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）在y 轴上，是否存在定点E ，使BE AE ⋅恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）设函数()ln(1)f x a x =+，()e 1x g x =-，其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）当0x ≥时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：1010952000e 10001791<< (参考数据：ln1.10.095≈)．22．（本小题满分10分）已知()|23||21|f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()|32|f x a >-成立，求实数a 的取值范围．xyz湖北省部分重点中学2017-2018学年度上学期新高三起点考试数学试卷(理科）参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AABBDCDDBB CA13．7 14．240- 15．[31,)++∞ 16．256(8,0)(0,){}27-+∞-U U 17.解析：(1)设数列{}n a 的公差为d ,数列{}n b 的公比为q ,则 由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． …………………6分(2)由(1)可知1(21)2,n n c n -=+⋅01221325272(21)2(21)2n n n T n n --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅L ………………①12312325272(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅L ………………②①-②得:1213222222(21)2n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅L21222(21)2n n n =++++-+⋅L 121(21)2(12)21n n n n n +=--+⋅=-⋅-(21)2 1.n n T n ∴=-⋅+ ………………12分18. 解：（1）οΘ90,//=∠EAB BF AE ABFE 为直角梯形，底面AB BF AB AE ⊥⊥∴,AB ABFE ABCD ABFE ABCD =⊥平面平面平面平面I Θ,ABCD BF ABCD AE 平面平面⊥⊥∴. BC BF ⊥∴设轴建立如图坐标系所在的直线分别为以z y x BC BF BA t AE ,,,,,=，())0,,1(),1,0,1(),1,0,0(,0,0,0t E D C B 则)1,,1(),1,0,1(t --=--=EC DB ⊥∴=•0Θ…………………6分(2)的一个法向量是平面）知由（BEF )1,0,0(1=的法向量是平面设CEF z y x n ),,(=)0,2,0(),0,1,1(,1F E AB AE ∴==Θ)1,2,0(),1,1,1(-=-=∴CF CE00=-+⇒=•z y x n CE 由,020=-⇒=•z y n CF 由的一个法向量是平面故得令CEF n y x z )2,1,1(,1,1,2====36,cos =••=∴BCn BC n BC n ,即二面角36的余弦值为B EF C --……………12分 19．解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A ）=1﹣P=1﹣=．……………6分（2）X 的取值为0，1，2，3．P （X=k ）=，P （X=0）=，P （X=1）=，P （X=2）=，P （X=3）=．E （X ）=0×+1×+2×+3×=． ……………12分20.（1）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==122c a c ，解得1,222==b a所求的椭圆方程为1222=+y x ……………4分（2）设过点D （0,2）且斜率为k 的直线l 的方程为y=kx+2,由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21222kx y y x 消去y 整理得：068)21（22=+++kx x k 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=﹣又y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=﹣，y 1+y 2=（kx 1+2）+（kx 2+2）=k （x 1+x 2）+4=设存在点E （0，m ），则，所以== ……………8分要使得 （t 为常数），只要 =t ，从而（2m 2﹣2﹣2t ）k 2+m 2﹣4m+10﹣t=0即由（1）得 t=m 2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点 ，使 恒为定值 ．……………12分21．(Ⅰ)令()()()()1ln(1)0x H x g x f x e a x x =-=--+≥，则()()01xaH x e x x '=-≥+ ①若1a ≤，则11x ae x ≤≤+，()0H x '≥，()H x 在[)0,+∞递增，()(0)0H x H ≥=， 即()()f xg x ≤在 [)0,+∞恒成立，满足，所以1a ≤；②若1a >，()1xaH x e x '=-+在[)0,+∞递增，()(0)1H x H a ''≥=-且10a -< 且x →+∞时，()H x '→+∞，则0(0)x ∃∈+∞，使0()0H x '=， 则()H x 在[)00x ，递减，在0()x +∞，递增， 所以当()00x x ∈，时()(0)0H x H <=，即当()00x x ∈，时，()()f x g x > ， 不满足题意，舍去；综合①，②知a 的取值范围为(],1-∞. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当1a =时，1ln(1)x e x >++对0x >恒成立，令110x =，则11010951ln1.1 1.0951000e >+≈> 即1010951000e ； …………………7分由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，递减，在0()x +∞，递增，则0()(0)0H x H <=，即001ln(1)0x e a x --+<，又0()0H x '=，即001x aex =+， 令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791e <≈-，故有1095200010001791<. ………………12分 22．（Ⅰ）不等式()2f x <等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩ ，解得32x <-或302x -≤<， 所以不等式()2f x <的解集是(,0)-∞；………………5分 （Ⅱ）()|(23)(21)|4f x x x ≤+--=Q ，max ()4f x ∴=，|32|4a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2(,2)3-．………………..10分。