代数式运算

代数式运算
1.代数式
像a 、a －7、a+7等这样的式子都是代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式。

注意：数字与字母、字母与字母相乘，“×”可以用“•”表示或省略不写，并且把数字写在字母前面；
除法运算通常写成分数的形式。

2.（1）像代数式1.5a 、2a 2、1.5%m ×15、a 等都是数与字母的积，像这样的代数式叫做单项式。

单独的一个数或者一个字母也是单项式。

（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，
单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

（3）像代数式0.9a+0.8b 、πR 2－πr 2等，几个单项式的和（或差）叫做多项式，其中的每个单项式叫做多项式的项，多项式里含有几项就把这个多项式叫做极限式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。

（4）单项式和多项式统称为整式。

3.代数式的值
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值。

一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。

4.（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

（2）合并同类项：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。

（3）合并同类项法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

（4）求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项，再进行计算。

5.去括号法则：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

6.整式的加减运算：
进行整式的加减运算时，有括号的要先去括号，再合并同类项。

【例1】一个代数式减去22x y -等于222x y +，则这个代数式是（ ）。

A ．23y -
B ．222x y +
C ．2232y x -
D ．23y
【例2】若代数式2231y y +=，那么代数式2469y y +-的值是（ ）。

A ．2
B ．17
C ．7-
D ．7
【例3】如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角
形的图案，每条边（包括两个顶点）有n 盆花，每个图案花盆总数是S ，按此推断S 与n 的关系式为（ ）。

A ．S=3n
B ．S=3(n －1)
C ．S=3n －1
D ．S=3n ＋1
【例4】化简并求值。

()()()1223321x y x y --++，其中2,0.5;x y ==-
()()()22234222a ab a a ab ⎡⎤--+-+⎣⎦，其中 2.a =-
【巩固】合并同类项：
（1）6x 2y+2xy －3x 2y 2－7x －5yx －4y 2x 2－6x 2y （2）m －(m 2n +3m －4n )+(2nm 2－3n )
（3）)7127()5129(2222b ab a b ab a ++-+-（4）22)1(2)(22222----+ab b a ab b a
【例5】下列各式去括号正确的是（ ） A.213)213(+
-=--y x y x B.b a n m b a n m -+-=-+-+)( C.332)364(21++-=+--
y x y x D.723121)7231()21(-++=+--+c b a c b a
【巩固】已知2x －1＝0，则代数式x 2＋2x 等于
（ ）
A 、2
B 、114
C 、212
D 、112
【例6】解答：
如果关于x 的多项式：－2x 2+mx +nx 2－5x －1的值与x 的取值无关，求m 、n 的值.
【巩固】已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：
化简)()(a c c a c b b a ----+---
【基础练习】
一、填空：
1、单项式8
532ab π-的系数是 ，次数是 ；多项式－3x 3＋2xy 7－1是 次 项式。

2、一个两位数，个位数字是a ，十位数字比个位数字大2，则这个两位数是_____.
3、单项式25x y 、223x y 、24xy -的和为
4、当2x =-时，代数式
651x x +-的值是 5、计算：22224(2)(2)a b ab a b ab --+=
6、下面是一组数值转换机，写出(1)的输出结果(写在横线上)，找出(2)的转换步骤(填写在框内).
2⨯ －3
输入x 输出 输入x
输出
23
+x
0 a b
7、已知某市出租车收费标准如下：乘车里程不超过3km 的一律收费7元，乘车里程超过3km 的，除了收费7元外，超过部分按每千米12元计费。

如果某人乘出租车行驶了x km （x>3），那么他应付车费 元。

8、如果m －n=50，则n －m=_____，5－m+n=______，70+2m －2n=________.
9、当5－│x+1│取得最大值时，x=_____，这时的最大值是_______.
10、试至少写两个只含有字母x 、y 的多项式，且满足下列条件：(1)六次三项式；(2)每一项的系数均为1或－1；(3)不含常数项；(4)每一项必须同时含字母x 、y ，但不能含有其他字母： 、
.
二、选择：
1、下面的正确结论的是（ ）
A. 0不是单项式
B. 52abc 是五次单项式
C. －4和4是同类项
D. 3m 2n 3－3m 3n 2=0
2、下面运算正确的是 ( )
A. ab b a 963=+
B. 03333=-ba b a
C. a a a 26834=-
D. 6
1312122=-y y 3、下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面.
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+-22213y xy x 222212342
1y x y xy x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--，阴影部分即为被墨迹弄污的部分.那么被墨汁遮住的一项应是 ( )
A. xy 7-
B. xy 7+
C. xy -
D. xy +
4、下列各组代数式中互为相反数的有（ ）
（1）a －b 与－a +b ；（2）a ＋b 与－a －b ；（3）a ＋1与1－a ；（4）－a ＋b 与a －b .
A.（1）（2）（4）
B.（2）与（4）
C.（1）（3）（4）
D.（3）与（4）
5、把(x －3)2－2(x －3)－5(x －3)2+(x －3)中的(x －3)看成一个因式合并同类项，结果应是
( )
A. －4(x －3)2+(x －3)
B. 4(x －3)2－x (x －3)
C. 4(x －3)2－(x －3)
D. －4(x －3)2－(x －3)
6、下列说法错误的是 （ ）
A 、不是整式的代数式不是单项式也不是多项式
B 、整式是代数式，但代数式不一定是整式
C 、4次多项式的任何一项的次数均不小于4
D 、不是单项式的整式一定是多项式
7、当x ＝3时，代数式px 3＋qx ＋1的值为2002，则当x ＝－3时，代数式px 3＋qx ＋1的值为 （ ）
A.2000
B.－2002
C.－2000
D.2001
8、已知x 是两数，y 是一位数，那么把y 放在x 的左边所得的三位数是( )
A.yx
B.x+y
C.10y+x
D.100y+x
9、如果m 是三次多项式，n 是三次多项式，则m+n 一定是( )
A.六次多项式
B.次数不高于三的整式
C.三次多项式
D.次数不低于三的多项式
10、若2ax 2－3
b x+2=－4x 2－x+2对任何x 都成立，则a+b 的值为( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1
三、解答：
1、我国进口关税近年来有两次大幅度下调，第一次降低了40%，第二次又在第一次的基础上降低了30%.
(1)若未降税前某种商品的税款为a 万元，用整式表示现在的实际税款.
(2)若600 a 万元，试求现在的实际税款.
2、有这样一道题“当2,2-==b a 时，求多项式⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+-2233233414213b b a b a b b a b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++b a b a 23341 322+-b 的值”，马小虎做题时把2=a 错抄成2-=a ，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗?说明理由.
3、先化简，后求值（每题6分共12分）
（1）()()ab b a
b a 245352323+++-，其中2
1,1=-=b a
（2）1]242[6422+y x xy xy y x ）－－（
－－，其中1,2
1==y x －.
（3）3x 2y 2－［5xy 2－（4xy 2－3）+2x 2y 2］，其中x=－3，y=2.
（4）3x 2y －［2x 2y －（2xyz －x 2y ）－4x 2z ］－xyz ，其中x=－2，y ＝－3，z=1
【基础提高】
一、填空：
1、若1235
1+k y x 与8337y x -是同类项，则k = . 2、a 、b 两数的平方和减去a b 与乘积的2倍的差用代数式表示是 ；
3、规定一种新运算：1+--⋅=∆b a b a b a ，如1434343+--⨯=∆，请比较大小：()()34 43-∆∆-(填“>”、“=”或“>”).
4、根据生活经验，对代数式a b +作出解释： ·
5、某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分每立方米按1.2元收费.已知某户用煤气x 立方米（x >60），则该户应交煤气费
元.
6、观察下列单项式：0，3x 2，8x 3，15x 4，24x 5，……，按此规律写出第13个单项式是 ·
7、观察下列算式：;1010122=+=-3121222=+=-；5232322=+=-；7343422=+=-
；9454522=+=-； ……若字母n 表示自然数，请把你观察到的规律用含n 的式子表示出来： ·
8、若已知,...47531,3531,231222=+++=++=+则)12()32(...7531-+-+++++n n 等于
·
9、已知15m x n 和－
92m 2n 是同类项，则∣2－4x ∣+∣4x －1∣的值为 · 10、将多项式3x 2y －xy 2+x 3y 3－x 4y 4
－1按字母x 的降幂排列，所得结果是 ·
二、化简：
（1）()()
222243258ab b a ab b a ---； （2）2237(43)2x x x x ⎡⎤----⎣⎦；
（3）ab ab a ab a 21]421[2122－）－（－+ ； （4）22225(3)2(7)a b ab a b ab ---.
三、解答：
1、某商店有两个进价不同的计算器都卖了a 元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店是赚了，还是赔了?赚了或赔了多少?
2、一个代数式减去12334-+-x x x 得27352
4+-+-x x x ，求这个代数式.
3、已知323323223,122x y x y B y y x x A +-+=-++=，若0=++C B A ，求C .
4、某工厂第一车间有错误!未找到引用源。

人，第二车间比第一车间人数的5
4少错误!未找到引用源。

0人，如果从第二车间调出错误!未找到引用源。

0人到第一车间，那么：（1）两个车间共有多少人？（2）调动后，第一车间的人数比第二车间多多少人？
5、某电影院共有20排座位．已知第一排有18座，后面每排都比前一排多2个座位．
（1）写出计算第n 排的座位数n a ；（2）当n=20时，求n a
6、有这样一道题：“当a =2010，b =-2011时，求多项式201292842853233233++++a b a b a a b a b a a －－－
的值．”小颖说：本题中a =2009，b =—2010是多余的条件；小彤马上反对说：这不可能，多项式中含有a 和b ，不给出b a ,的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．
7、从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表：加数的个数（n ）和s 1 212⨯=
2 32642⨯==+
3 4312642⨯==++
4 54208642⨯==+++
5 6530108642⨯==++++
… …………………………………
（1）当n 个连续偶数相加时，它们的和s 与n 之间有什么样的关系？请用公式表示出来.
（2）计算2+4+6+ … +202的值.
（3）计算1000+1002+10044+1006+ … +2012的值.
8、如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，若圆形的半径为r 米，广场长为a 米，宽为b 米.
（1）请列式表示广场空地的面积；
（2）若休闲广场的长为500米，宽为200米，圆形花坛的半径为20米，求
广场空地的面积（计算结果保留π）.。