最新向量的物理背景与概念及向量的几何表示
2.1.1-2.1.2向量的物理背景、概念及与几何表示
a与向量b平行，则
>且AB
）若向量AB、CD AB CD
=则a，b长度相等且方向相同或相反。
（
a b
）由于零向量方向不确定，故
点出发向西行驶了100
AD,并说明理由
高一数学《分章节案》 专心听讲，勤于思考。
《分章节案》 及时复习，认真完成。
下列说法中① 若a =0=；②若a =b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 //b 且0b ≠则0a ≠；一条线段 ； B.一段圆弧； C.两个孤立点；上有且只有两点使OA ,OB a b =⇒a b >⇒a 对于下面的说法：①向量就是有向线段，有向线段就是向量；②向量AB 的模与向量BA 的模相 （只填序号）.
平行的向量有多少个？（AB 2a b =所以a b >下列各命题中，真命题是（ ）
a b =，则a b =长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量；a b >，则a b >。
向量
平面向量1、向量的物理背景与概念了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.3、向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6、向量加法运算及其几何意义 三角形法则和平行四边形法则. b a +≤b a +.7、向量数乘运算及其几何意义规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.8、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.9、平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.10、平面向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=. 11、平面向量的坐标运算设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，12、平面向量共线的坐标表示 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y yy x x x ++++. 13、平面向量数量积的物理背景及其含义 θcos b a b a =⋅.a 在b 方向上的投影为：θcos a . 22a a =. 2a a =. 0=⋅⇔⊥b a b a .设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=14、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()()212212y y x x AB -+-=.提炼： 1 θcos b a b a =⋅ b a ba ⋅=θcos2设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += 212122y x a a +== 22)(b a b a +=+ ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 练习。
向量
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
向量的概念:
（1）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（2）若 a和b都是单位向量，则 a = b;
（3）若|a|>|b| ，则a > b （4）若a = b，b = c，则a = c。
(5) 若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一
× × × √ ×
点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量定义： 相等向量定义：
共线向量与平行向量关系：
2.1.1
向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
嘻嘻!大笨 猫!
A B
唉, 哪儿 去了?
猫以5m/s的速率追赶一只以2m/s逃跑的小老鼠……
箱子的质量m
(1)
手对球的压力F
(2)
地面对球的支持力F１
观察上述三个量有什么区别？ 在我们生活中，有哪些量是 数量，哪些是向量？ 向量：既有大小，又有方向的量。 数量：只有大小，没有方向的量。
如： a, b, c……
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|=0
思 考 与 判 断
1相等向量一定是平行向量吗? 2平行向量一定是相等向量吗? 3.若AB//CD ，那么非零向量AB//CD吗？ 4.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
(原创)2.1 向量的实际背景及基本概念
例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与
OA、OB、OC 相等的向量。
解：OA CB DO OB DC EO OC AHale Waihona Puke ED FOBA
C
F
O
D
E
练习：P77 第2、4题
作业布置：
P77-78 A组 第3、4、5题 第6题做在书上
小结
1. 掌握向量的定义，向量和数量的区别。 2. 通过力和力的分析实例，了解向量的实际背景。 3. 掌握向量表示，零向量和单位向量。 4. 平行向量、共线向量、相等向量的定义。
练习:1.温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
2.向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同
关于平行向量(共线向量) :
(1)方向相同或相反的非零向量, 称之为平行向量;
记为：a // b
(2)规定 : 零向量与任一向量平行,即对于 任意向量a,都有0 // a.
②也可以表示：a, b, c, 大小记作: a 、b、c
③长度为0的向量叫做零向量,记做0; “”不能省略！
④长度等于一个单位的向量,叫做单位向量.
说明： 我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时， 起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量.
如图：他们都表示
a
a
同一个向量。
注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.
a
b
l
C
O BA
c
任一组平行向量都可以平移到同一直线上
相等向量:
长度相等且方向相同的向量, 称之为相等向量.
a
向量的物理背景与概念 课件
[解析] ①错误．两个向量相等，它们的起点和终点都不一定 相同． ②正确． ③错误．若A→B＝D→C，则 A，B，C，D 四个点有可能在同一条 直线上．所以 ABCD 不一定是平行四边形． ④正确．平行四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC 且有向线 段 A→B与D→C方向相同，所以A→B＝D→C.
⑤错误．若 a∥b，b∥c，b＝0，则 a 与 c 不一定平行．
[错因与防范] (1)本题发生的错误是对向量的有关概念理解 不正确或将向量与有向线段混淆，会对①④判断错误；混淆向 量平行和直线平行，会导致对③④判断错误；忽视零向量与任 意向量平行，会导致对⑤判断失误． (2)解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小 和方向两个角度分析问题．共线向量和平行向量是同一概念， 都是指方向相同或相反的向量．理解时要注意与平面几何中的 “共线”“平行”的区别．要特别注意零向量与任意向量平 行，忽视这一点就会出现错误．
向量
数量
方向
有
无
可以用有向线段表 因为实数与数轴上的
区
表示方法 示，也可以用字母 符号表示
点一一对应，所以数 量常常用数轴上的一
别
个点表示
位移、力、速 实例 度、加速度
年龄、身高、长度、 面积、体积、质量、 功
联系
(1)向量与数量都是有大小的量 (2)向量的模是数量
2．向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和 方向相同，这两个向量就是相等的向量． (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个 要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线 段． 3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量 不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行 向量． 4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任 何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位 向量的终点在平面内形成一个单位圆．
2.1向量的概念及相等向量详解
讲授新课
5. 零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0.
0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.
说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小.
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
2.1向量的物理背景与 概念及几何表示
情境设置
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？
C
AB
D
情境设置
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？
C
结论：
猫的速度再快 也没用，因为方向 错了.
AB
D
讲授新课
请同学指出哪些量既有大小又有方向？ 哪些量只有大小没有方向？
作业： P77～78习题2.1A组：3，4.
B组：1，2.
2.两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区 别，你认为如何规定两个向量相等？
A
BC
D
C
D
A
B
B
A D
C
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
A
B
D
C
二、平行向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方 向有什么关系？ 方向相同或相反
规定：零向量与任一向量平行.
讲授新课
4. 有向线段： 具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度.
讲授新课
4. 有向线段： 具有方向的线段就叫做有向线段，
三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：
2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量的几何表示 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
a
b
记作 a ∥ b ∥c
c
规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a
b
记作: a = b
共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上 a 平行向量也叫做共线向量。
b c
l
C
o B A
比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量（ ）
）
2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是(
)
Hale Waihona Puke 2.1.2向量的几何表示 由于实数与数轴上的点一一对应,所以 数量常常用数轴上的一个点表示。 如：3,2,-1,…而且不同的点表示不同 的数量.
B
（知道了有向线段的起点、方向和长度， 它的终点就可以唯一确定.）
A
向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小,也就是向量AB的长度（或 称模）,记作|AB|.
长度为0的向量叫做零向量（方向任意）。 记作0. |0|=0.
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 向量的字母表示：（1）a、b、c.... （2）用表示向量的有向线段的起点和终 点字母表示，例如，AB，CD
思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？ 有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示
例1 如图,试根据图中的比例尺以及三地 的位置,在图中分别用有向线段表示A地 至B、C两地的位移(精确到1km).
解:
AB表示A地至B地的位移,且
向量物理背景与概念、向量的几何表示3-9-29-2
2.由于有向线段具有长度和方向双 2.由于有向线段具有长度和方向双 重特征， 重特征，所以向量可以用有向线段表 但向量不是有向线段， 示，但向量不是有向线段，二者只是一 种对应关系. 种对应关系. 3.零向量是一个特殊向量，其模为 3.零向量是一个特殊向量， 零向量是一个特殊向量 方向是不确定的. 0，方向是不确定的.引入零向量将为以 后的研究带来许多方便. 后的研究带来许多方便.
问题6： 问题 ：相等向量 因为向量完全由它的方向和模确定. 因为向量完全由它的方向和模确定.对于 两个非零向量a、 ，就其模等与不等， 两个非零向量 、b，就其模等与不等，方向 同与不同而言 有哪几种可能情形？ 而言， 同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等, 相等 模相等, 相等, 方向相同 方向相同; 相同 方向不相同 方向不相同; 不相同;
等表示. ②用字母ａ、ｂ、 c…等表示.（印刷 用字母ａ、ｂ、 c…等表示 r 用黑体， 用黑体，书写用 a ） ③用表示向量的有向线段的起点与终点 uuu uuu r r 字母表示， 字母表示，例如 CD . AB，
问题3：向量与有向线段的区别？ 问题 ：向量与有向线段的区别？
问题4：由于向量是有大小的， 问题 ：由于向量是有大小的，那么它的大 也 小如何表示呢？ 小如何表示呢？ 就
补充知识 定义： 定义：
向量的相反向量
uuur uuu r ★如果向量 AB 和 CD 的模相等 uuur 方向相反， 且方向相反，那么把向量 AB uuu 叫做向 r uuu r 量 CD 的相反向量 或把向量 CD 叫做 相反向量(或把向量 uuur uuur uuu r 的负向量)， 向量 AB 的负向量 ，记作 AB = −CD uuu r uuur (或 CD = − AB ) . 或
2.1.1平面向量的物理背景及基本概念
3：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
练习3：判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D
四点必在一直线上；
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
四.平行向量(共线向量)
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如： a b c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
B
l
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
2.1平面向量的 物理背景及基本概念
我们物理中的重力，浮力、弹力 有什么特点？
一.向量的概念： 既有大小又有方向的量叫向量
二.向量的表示
B（终点）
有向线段：在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起点，
B为终点，我们就说线段AB具有方
A（起点）
向。具有方向的线段叫做有向线段。
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
（6）：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
其中正确的个数是(
)
A．0 B. 1
C. 2
D. 3
练习5：在平面上把所有单位向量的起点 平移到同一点P，那么它们的终点的集合 组成什么图形？
P
反的向量)不相等；
(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
向量的物理背景与概念 -PPT课件
例1：假设下图每个格子是边长为1 cm，比例尺为
1∶100，请求出下列各向量的模
uuuur
AB =
uuuur
uuuur
CD = EF =
uuuur
GH =
uur
a=
例2 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变 方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向, 向东走了200m到达D点.
B AC
D
uuur uuur
有向线段AB和CD是不同的；
uuur uuur
而向量AB和CD是同一个向量.
例题分析
例3 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与
OuuAur ,OuuBur 相等的向量.
B
A
uuur uuur uuur OA = CB = DO
uuur uuur uuur OB = DC = EO
位移是既有大小又有方向，路程是只有大小 没有方向
观察归纳——形成概念
探究一：向量的概念
我们把这种既有 大小 ，又有 方向 的 量叫做向量. 问题4：①向量的要素是什么?
②向量与数量的区别是什么?
③向量之间能否比较大小?
向量与数量的区别： 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆
5、 判断下列结论是否正确.
（1）单位向量都相等．
×
（2）不相等的向量一定不平行．
×
uuur uuur
（3）若非零向量AB // CD ,则 AB // CD ． ×
向量的概念
北 A 东
450 以A点作为参照点，用B点与A点 之间的方位和距离确定B点的位置， B 如：B点在A点南偏东450，30千米 南 处。这样，在A点与B点之间，我们 可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置， 有向线段AB就是A点与B点之间的位移，位移简 明地表示位置之间的相对关系，像位移这种既有 大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章将 要研究的向量。
思考：
向量可以比较大小吗？
向量的几何表示： 例1：如图，试根 据图中的比例尺以 及三地的位置，在 图中分别用向量表 示A至B,C两地的 位移，并求：
| AB | | AC |
平行向量与共线向量
含 义 ： 方 向 相 同 或 相的 两 个 非 零 向 量 反 记 法 ： b, a // 都 有a // 0
我们常用有向线段(带箭头的线段)来表示向量
线段按一定的比例画出，其长短表示向量的大 小，箭头的指向表示向量的方向。
如：
B(终点)
说明： .以A为 起 点 ， 为 终 点 的 有 向 线 段 记 AB, 1 B 作
A(起点)
起点写在终点前 . 2.有 向 线 段 包 含 三 个 要 ： 起 点 ， 方 向 ， 长 度 素
规 定 ： 零 向 量 与 任 一 量 平 行 ， 即 对 任 一 向 a， 向 量
a
c b
l
a
b
c
重要结论：平移不改变向量
相等向量与相反向量
方 向 相 同 、 大 小 相 同两 个 向 量 叫 相 等 向 量 的 记 作 ： b a
方 向 相 反 、 大 小 相 同两 个 向 量 叫 相 反 向 量 的 记 法 ： 的 相 反 向 量 为 , a的 相 反 向 量 为 a AB BA
高一数学-向量的物理背景概念几何表示 精品
2.1.1与2.1.2平面向量的背景、概念与几何表示教学目标： 掌握向量的意义、表示方法以及有关概念重点与难点： 向量的数学概念及表示方法教学方法：研究与探索 教学过程：一、课题引入：1、本章引言：（可让一名学生大声朗读）2、请学生阅读课本P 842.1.1向量的物理背景与概念3、教师点评：在本小结中我们遇到了两种不同性质的量：（1） 只有大小的量——（物理学中称为标量；数学中称为什么？）（2） 即有大小又有方向的量——（物理学中称为矢量；数学中：？）4、两种不同性质量的意义：有同学可能会提出一个量只要有大小就足够了，为什么还要规定方向呢？我们举例来回答：例如：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.再例如:行军时常会遇到方位的问题:A 相对于B 的准确位置等等显而易见:日常生活中即有大小又有方向的量很多,在数学中,我们把这种即有大小又有方向的量叫做向量例：力、速度、加速度、冲量等二、 平面向量的表示方法:1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。
注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法：1︒几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度2︒字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）3． 模的概念：向量−→−AB 记作：|| 模是可以比较大小的4． 两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作0。
0的方向是任意的。
注意与0的区别 A B A(起点)B （终点） a2 单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
向量概念及物理意义
此重点 也，平行向量
a
b
记作 a ∥ b
c
规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量 a ,都有 a ∥0
相等向量: 长度相等且方向相同的向量. 表示为：
ab
b
a
共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线上 a
学科班长点评
向量概念及物理意义
【学习目标】
1.了解向量的实际背景，理解向量 的概念. 2.理解相等向量和共线向量的概念。
向量：既有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，没有方向的量.
定义：具有方向的线段叫做有向线段。
画法：在有向线段的终点处画上箭头表示 它的方向。 记法： 以A为起点，B为终点的有向线段 记作AB，起点写在终点前面。 长度：已知AB，线段AB的长度叫做有向 线段AB的大小，记作|AB|
b c l
O B
C
A
共线向量：就是平行向量
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
复习回顾：
平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反
映的？什么叫零向量和单位向量？ 向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量： 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
1、向量的几何表示：用有向线段表示。
向量AB的大小，也就是向量AB的长 度（或称模），记作|AB|。 2、长度为0的向量叫做零向量，零向 量的方向是任意的 记作0。 3、长度等于1个单位的向量，叫做单 位向量。
向量的字母表示：
向量的物理背景与概念及向量的几何表示教案
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示 教学目标：• 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.• 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.• 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法： A B C D A(起点) B （终点）a①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
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向量的物理背景与概念及向量的几何表示仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？A B C D二、新课学习：（一）向量的概念：。
（二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：2.向量的表示方法：向量与有向线段的区别：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢134、零向量、单位向量概念：5、平行向量定义：（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢133、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
2.1.2 相等向量与共线向量教学目标：1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：(一)、复习：1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？(二)、新课学习 1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢132、共线向量与平行向量关系：四、理解和巩固：例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»相等的向量.变式一：与向量«Skip Record If...»长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？例2判断：（1）不相等的向量是否一定不平行？（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（4）共线向量一定在同一直线上吗？（）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13例3下列命题正确的是（） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 2．书本77页练习4题三、小结：1.描述向量的两个指标：模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢132.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：«Skip Record If...»（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：«Skip Record If...»（4）船速为«Skip Record If...»，水速为«Skip Record If...»，则两速度和：«Skip Record If...»二、探索研究：１、向量的加法： ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点«Skip Record If...»，作«Skip Record If...»＝a ，«Skip Record If...»＝ｂ，则向量«Skip叫做a 与ｂ的Record If...»和，记作a＋ｂ，即 a ＋ｂRecord If...»， «Skip规定： a+ 0-= 0 + a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；什么时候时， |«Skip Record If...»+«Skip Record If...»|<|«Skip Record If...»|+|«SkipRecord If...»|；什么时候|«Skip Record If...»+«Skip Record If...»|=|«Skip RecordA B CA B C A BCA B C a +b a +b a a b b a ｂｂ ａaIf...»|+|«Skip Record If...»|，什么时候|«Skip Record If...»+«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|－|«Skip Record If...»|，（3）“向量平移”（自由向量）：３．例一、已知向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，求作向量«Skip Record If...»+«Skip Record If...»４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中«Skip Record If...»+«Skip Record If...»的结果与«Skip Record If...»+«Skip Record If...»是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»５．你能证明：向量加法的结合律：(«Skip Record If...»+«Skip Record If...») +«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+ («Skip Record If...»+«Skip Record If...») 吗？6．由以上证明你能得到什么结论？三、应用举例：例二（P83—84）略仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13变式1、一艘船从A点出发以«Skip Record If...»的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为«Skip Record If...»，求水流的速度.变式2、一艘船从A点出发以«Skip Record If...»的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为«Skip Record If...»，船的实际航行的速度的大小为«Skip Record If...»，方向与水流间的夹角是«Skip Record If...»，求«SkipRecord If...»和«Skip Record If...».练习：P84面1、2、3、4题四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|«Skip Record If...»+«Skip Record If...»| ≤ |«Skip Record If...»| + |«Skip Record If...»|，当且仅当方向相同时取等号.五、思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？2.2.2向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，«Skip Record If...» .二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b，b =-a，a + b = 0（3）向量减法的定义：.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-baO a∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作«Skip Record If...»= a ， «Skip Record If...»= b 则«Skip Record If...»= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒«Skip Record If...»表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )4．探究：１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是 ２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？三、 例题：OABaB’b -bBa + (-b ) a ba -bA ABBB’ Oa -ba ab bO AOB a -ba -b BA O-b例一、（P86 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .例二、平行四边形«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»a ，«Skip Record If...»b ， 用a 、b 表示向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...».变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）练习：1。