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《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
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动态规划讲解+例子ppt课件
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要 根据航天飞机飞行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速 度（状态），使之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
4
5
63
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
112
2
B1
10
14
A
5
B2 610
1
4
13
B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5 E
2
D2
8
112
2
B1
10
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A
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B2 610
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B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5
2
D2
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
4
5
63
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
112
2
B1
10
14
A
5
B2 610
1
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B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
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C3 10
D1 5 E
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B1
10
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A
5
B2 610
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B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5
2
D2
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
动态规划(完整)ppt课件
3
• Ⅲ --Ⅳ :
B1—C1—T
4
• Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T
7
• Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：
•
Q—A2—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B2—C2—T
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最新版整理ppt
3
最短路径
11
4
7
A1
4
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6
11
47
3 2
Q
A2
4
B1
1
4 76
3
C1
3
B2 3
最新版整理ppt
16
(4)策略和允许策略集合
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过程 策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具 有n 个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个 阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示
为 p1,n{x1,x2, ,xn}。从 k 阶段到第 n 阶段，
依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k
新分支的创立。
最新版整理ppt
6
• 动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为 一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题 达到求解整个问题目的;
• 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶 段的决策目标, 还要兼顾整个决策过程的 整体目标, 从而实现整体最优决策.
最新版整理ppt
第七章 动态规划
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理 §7.3 动态规划应用举例
最新版整理ppt
1
例 求解最短路问题
2
Q
4
TSP问题之动态规划法PPT课件
序号 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
集合表示 000 001 002 003 012 013 023 123
.
11
动态规划法（一）
动态规划法： 定义：将每个子问题只求解一次，并将其解保存在一个表格中，当需要再次
求解此子问题时，只是简单地通过查表获得该子问题的解，从而避免了大量 的重复计算。 特点：最优子结构、自底向递归、子问题相互重叠。
d(0, {1, 2, 3})=min{
C01+ d(1, { 2, 3}),
3 6 7
C02+ d(2, {1, 3}), C03+ d(3, {1, 2}) }
C
(
ci j
)
这是最后一个阶段的决策，它必须依据d(1, { 2, 3})、
5 6 3
4 7
2 5
3
2
d(2, {1, 3})和d(3, {1, 2})的计算结果，而：
d(1, {2, 3})=min{C12+d(2, {3}), C13+ d(3, {2})} d(2, {1, 3})=min{C21+d(1, {3}), C23+ d(3, {1})} d(3, {1, 2})=min{C31+d(1, {2}), C32+ d(2, {1})}
继续写下去： d(1, {2})= C12+d(2, {}) d(1, {3})= C13+d(3, {})
动态规划法使用的条件：问题符合最优性原理
.
12
动态规划法（二）
最优性原理：
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解过程往往可以划分 为若干个阶段，每一阶段的决策仅依赖于前一阶段的状态，由决策所 采取的动作使状态发生转移，成为下一阶段决策的依据。
《动态规划》课件
《动态规划》PPT课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
《动态规划》课件
特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划ppt
min{5 7, 8 5} 12.
这说明由 C1 到F 的最短距离为12，相应的决策为 u3* (C1) D1.
u3* (C1) D1.
2
f4 (D3 ) 5 4
A
5
f4 (D1) 7
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
(
D3
)
E1.
6
D2 2
1
E2
D3
3
u2* (B1) C2.
u5* (E2 ) F.
4
F
3
u4* (D1) E1.
u4* (D2 ) E2.
u
* 2
(
B2
)
C3.
（1）k=1 时，只有一个状态点A, 则
f1( A) min{ d1( A, B1) f2 (B1), d1( A, B2 ) f2 (B2 )}
min{1 4, 3 3} 5.
即 D3 到F 的最短距离为5，其路径为 D2 E2 F.
相应的决策为： u4* (D3 ) E1.
f4 (D1) 7
4
A
5
f4 (D2 ) 5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
（3）k=3 时，状态
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
这说明由 C1 到F 的最短距离为12，相应的决策为 u3* (C1) D1.
u3* (C1) D1.
2
f4 (D3 ) 5 4
A
5
f4 (D1) 7
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
(
D3
)
E1.
6
D2 2
1
E2
D3
3
u2* (B1) C2.
u5* (E2 ) F.
4
F
3
u4* (D1) E1.
u4* (D2 ) E2.
u
* 2
(
B2
)
C3.
（1）k=1 时，只有一个状态点A, 则
f1( A) min{ d1( A, B1) f2 (B1), d1( A, B2 ) f2 (B2 )}
min{1 4, 3 3} 5.
即 D3 到F 的最短距离为5，其路径为 D2 E2 F.
相应的决策为： u4* (D3 ) E1.
f4 (D1) 7
4
A
5
f4 (D2 ) 5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
（3）k=3 时，状态
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
u
* 4
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
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动态规划
（二）动态规划的典型应用
一、资源分配问题
军事案例（装备分配问题）：
✓ 某部有4具先进装备分配给下属A、B、C三个作战单位，各作战单位得到此种
✓
装备后，所增加的战斗力见下表。 问怎样分配，才能使增加的战斗力最大。
一、资源分配问题
多阶段决策模型：
✓ 把这个分配问题看成三个阶段的过程，每分配一个单位作为一个阶段。
二、背包问题
背✓✓包背背问包包题问能：装题载是动物态品规的划重的量又限一度类为典W型公问斤题，。设有n类物品可供装入背包中，已知第i
种物品单重为wi公斤，价值为装载数量xi的函数ci(xi)。问应如何装载物品（各 几件），使总价值最大。
ห้องสมุดไป่ตู้
二、背包问题
建立数学模型：设第i种物品取xi件（i=1,2,…n，xi为非负整数)，背包中物品的价 值为f，则 ：
n
max f ci (xi )
i 1
n
wixi W
i1
xi≥0 且为整数，i=1,2 ,…n
二、背包问题
多阶段决策模型：
✓ 把背包装载问题按可装入物品的几种类型划分为n个阶段。
状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时背包还可以装载的重量，s1=W 第k阶段装载第k种物品的件数 {xk|0 xksk/wk, xk为整数} sk+1= sk-wkxk rk(sk,xk)= ck(xk)
fn+1(sn+1)=0
二、背包问题
军 ✓事某案架例飞（机飞可机装装运载三问种题物）品：，各种物品一件重量分别为3、5、4吨,装运收益每件
✓
分别为4、5、6万元。 如果飞机总装运量不能超过12吨，问每种物品应各装几件使收益最大。
二、背包问题
状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
max z=8x1+7x2+5x3 2x1+x2+8x3 ≤ 20 xi≥0, i=1,2,3
Bye Bye
第k阶段初始时飞机还可以装载的重量，s1=12 第k阶段装载第k种物品的件数 {xk|0 xksk/wk, xk为整数}, w1 =3， w2 =5， w3 =4 sk+1= sk-wkxk rk(sk,xk)= ck(xk)， r1=4x1 ，r2 =5x2，r3 =6x3
f4(s4)=0
二、背包问题
二、背包问题
二、背包问题
最优方案:
x1=0
s1=12
x2=0 s2=12
x3=3
s3=12
s4=0
三、系统可靠性问题
有三个科研小组进行项目开发，失败的概率分别为0.4, 0.6, 0.8。为了降低三组都失 败的概率，决定给三个小组增派两名高级科学家，加入各小组后，项目失败概率 如下表所示。求一种分配方案，使得三组全部失败的概率最小。
f4(s4)=?
三、系统可靠性问题
三、系统可靠性问题
三、系统可靠性问题
最优方案:
x1=1
x2=0
x3=1
s1=2
s2=1
s3=1
s4=0
总结
✓ 动态规划的最优化原理和思想。 ✓ 哪些问题可以用动态规划方法解决。 ✓ 动态规划解决问题的一般流程。
思考和习题
习✓题1某：公司有资金400万元，向A，B，C三个项目追加投资，三个项目可以有不同
的投资额度，效益值如下表所示（投资额单位百万，效益值单位万），问如 何分配资金，才使总效益值最大？
思考和习题
习题2：
✓ 某工厂生产三种产品，各种产品的重量与利润关系如下表所示，现将三种产
品运往市场出售，运输能力总量不超过10t，问如何安排运输使得总利润为最 大？
思考和习题
习题3：用动态规划方法解题
三、系统可靠性问题
按项目小组划分阶段，k=1,2,3
状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时未分配的高级科学家人数，s1=2 第k阶段为第k个项目组分配高级科学家人数 {xk|0 xksk, xk为整数} sk+1= sk-xk rk(sk,xk)可从表中读
状态变量sk ： 决策变量xk ： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时未分配的装备数量 第k阶段分配给第k个单位的装备数量 sk+1=sk-xk rk(sk,xk)可从表中读出
f4(s4)=0
一、资源分配问题
一、资源分配问题
一、资源分配问题
最优分配方案: x1=1, x2=0, x3=3
（二）动态规划的典型应用
一、资源分配问题
军事案例（装备分配问题）：
✓ 某部有4具先进装备分配给下属A、B、C三个作战单位，各作战单位得到此种
✓
装备后，所增加的战斗力见下表。 问怎样分配，才能使增加的战斗力最大。
一、资源分配问题
多阶段决策模型：
✓ 把这个分配问题看成三个阶段的过程，每分配一个单位作为一个阶段。
二、背包问题
背✓✓包背背问包包题问能：装题载是动物态品规的划重的量又限一度类为典W型公问斤题，。设有n类物品可供装入背包中，已知第i
种物品单重为wi公斤，价值为装载数量xi的函数ci(xi)。问应如何装载物品（各 几件），使总价值最大。
ห้องสมุดไป่ตู้
二、背包问题
建立数学模型：设第i种物品取xi件（i=1,2,…n，xi为非负整数)，背包中物品的价 值为f，则 ：
n
max f ci (xi )
i 1
n
wixi W
i1
xi≥0 且为整数，i=1,2 ,…n
二、背包问题
多阶段决策模型：
✓ 把背包装载问题按可装入物品的几种类型划分为n个阶段。
状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时背包还可以装载的重量，s1=W 第k阶段装载第k种物品的件数 {xk|0 xksk/wk, xk为整数} sk+1= sk-wkxk rk(sk,xk)= ck(xk)
fn+1(sn+1)=0
二、背包问题
军 ✓事某案架例飞（机飞可机装装运载三问种题物）品：，各种物品一件重量分别为3、5、4吨,装运收益每件
✓
分别为4、5、6万元。 如果飞机总装运量不能超过12吨，问每种物品应各装几件使收益最大。
二、背包问题
状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
max z=8x1+7x2+5x3 2x1+x2+8x3 ≤ 20 xi≥0, i=1,2,3
Bye Bye
第k阶段初始时飞机还可以装载的重量，s1=12 第k阶段装载第k种物品的件数 {xk|0 xksk/wk, xk为整数}, w1 =3， w2 =5， w3 =4 sk+1= sk-wkxk rk(sk,xk)= ck(xk)， r1=4x1 ，r2 =5x2，r3 =6x3
f4(s4)=0
二、背包问题
二、背包问题
二、背包问题
最优方案:
x1=0
s1=12
x2=0 s2=12
x3=3
s3=12
s4=0
三、系统可靠性问题
有三个科研小组进行项目开发，失败的概率分别为0.4, 0.6, 0.8。为了降低三组都失 败的概率，决定给三个小组增派两名高级科学家，加入各小组后，项目失败概率 如下表所示。求一种分配方案，使得三组全部失败的概率最小。
f4(s4)=?
三、系统可靠性问题
三、系统可靠性问题
三、系统可靠性问题
最优方案:
x1=1
x2=0
x3=1
s1=2
s2=1
s3=1
s4=0
总结
✓ 动态规划的最优化原理和思想。 ✓ 哪些问题可以用动态规划方法解决。 ✓ 动态规划解决问题的一般流程。
思考和习题
习✓题1某：公司有资金400万元，向A，B，C三个项目追加投资，三个项目可以有不同
的投资额度，效益值如下表所示（投资额单位百万，效益值单位万），问如 何分配资金，才使总效益值最大？
思考和习题
习题2：
✓ 某工厂生产三种产品，各种产品的重量与利润关系如下表所示，现将三种产
品运往市场出售，运输能力总量不超过10t，问如何安排运输使得总利润为最 大？
思考和习题
习题3：用动态规划方法解题
三、系统可靠性问题
按项目小组划分阶段，k=1,2,3
状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时未分配的高级科学家人数，s1=2 第k阶段为第k个项目组分配高级科学家人数 {xk|0 xksk, xk为整数} sk+1= sk-xk rk(sk,xk)可从表中读
状态变量sk ： 决策变量xk ： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时未分配的装备数量 第k阶段分配给第k个单位的装备数量 sk+1=sk-xk rk(sk,xk)可从表中读出
f4(s4)=0
一、资源分配问题
一、资源分配问题
一、资源分配问题
最优分配方案: x1=1, x2=0, x3=3