复数项级数汇总.

n p

3.有关一致收敛的三个性质。 (1)若在D上一致收敛的复变项级数的每一项都是D上的连续函数，则级数的 和也是D上的连续函数。 在一致收敛时，极限运im wk(z) lim w(z)=w(z0 )= wk(z0 ) lim wk(z)
k 1 z z0 k 1 k 1 z z0



（2）若在曲线l上一致收敛的复变项级数的每一项都是曲线l上的连续函数， 则级数的和也是曲线l上的连续函数，且级数可沿l逐项积分。 说明在一致收敛条件下，定积分运算与无限求和运算可交换次序：
w( z)dz w ( z)dz,


p1q1 ( p1q2 p2 q1 ) ( p1q3 p2 q2 p3q1 ) ...也是收敛的。且它的和 就等于原两级数的和之积。
3.复变项级数
w (z) w(z) w (z) ...w (z) ...组成级数的每一项都是z的函数。
k 1 k 1 2 k
有用公式：
(n 1) 2 i dz l包含a。 l ( z a) n 0 (n 1的整数)
复变函数论
第三章 幂级数展开
复习：级数的敛散性
复习：级数的敛散性
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
• • • • • • • • • • • • •
3.1 复数项级数
• 教学重点：级数收敛的概念与收敛判据 • 教学过程：请同学们回忆实数项级数的相关内容，泰勒级数公式
1.复常数项级数
设有复数项的无穷级数
w
k 1

k
w1 w2 ...wk ...组成级数的每一项为复常数 wk uk ivk
2.柯西收敛判据：
w (z)在D(或l )上收敛的充分必要条件是：在D(或l )上各点z,对 0,
k 1 k

必某N (z), 当n N ( z )时,有 | 在D(或l )上一致收敛。
k n 1
w ( z) | 成立， 若N与z无关，则称 w (z)
k k 1 k
k 1 k

: C上介于z0 z部分
即

w (z)dz w ( z )dz
k n 1
w
n p
k
| 成立 （p 任意正整数）

绝对收敛。若 wk 绝对收敛，则它必收敛。收敛而非绝对收敛的级数
k 1

称为条件收敛。绝对收敛级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。
（3）绝对收敛的两复数项级数 pk 与 qk 逐项相乘后，
k 1 k 1
n
n
的敛散性。且实数项级数的许多性质和规律可移用于复数项级数。
复数项级数收敛的定义：
若 wk的部分和sn w1 w2 ...wn 在n 时有有限极限s，
k 1
则称级数 wk 收敛，并称s为它的和，记为s= wk
k 1 k 1


记rn s sn wn 1 wn 2 ...级数的余和 设s＝ ＋i , 则 wk 收敛于s的充分必要条件是 uk、 vk 分别收敛
| w( z ) Sn (z)|< 成立，Sn (z)＝ wk ( z )
k 1 n
表示：rn(z)=w( z ) Sn (z)余和， lim rn(z)＝0
n
若N与z无关，则称 wk ( z )在D上一致收敛于w( z )。
k 1

复变项级数收敛的判断： 1.若在区域D或曲线l上每一点上述级数都收敛，则称级数收敛于区域D或曲线l.
k 1 k 1 k 1
于 与。
2.复数项级数收敛的判断
（1）柯西收敛判据
w 收敛的充分必要条件：对于 0, 必N ,当n N时有
k 1 k

|
（2） wk 各项模组成的级数 | wk | u v 收敛，则称 wk
k 1 k 1 k 1 2 k 2 k k 1
n n n
则前n项的和： wk uk i vk
k 1 k 1 k 1
lim wk lim uk i lim vk
n k 1 n k 1 n k 1
n
n
n
则复数项级数的敛散性问题可归结为研究两个实数项级数 uk 和 vk
k 1 k 1
知识点回顾
单通、复通区域柯西定理：
柯西公式：
f ( z) 1 f ( ) d l 2 i z
f ( ) l z d 2 if ( z) 2 if ( ) | z
柯西导数公式： f ( n ) (z)
n! f ( ) d n 1 l 2 i ( z ) f ( ) 2 i ( n ) d ＝ f (z) l ( z)n1 n ！
法、罗朗级数展开法。难点在于罗朗级数展开，孤立奇点类型判断。 第一节 复数项级数 1．复常数项级数 2．复常数项级数收敛的判断（柯西收敛判据）。 3．复变函数项级数及收敛的判断 第二节 幂级数 1．幂级数定义 2．幂级数敛散性判别法 3．收敛圆与收敛半径定义及求解 第三节 泰勒级数 1．泰勒级数展开定理 2．泰勒级数展开举例 第四节 解析延拓* 第五节 罗朗级数展开 1．罗朗级数展开定理 2．罗朗级数展开举例 第六节 孤立奇点的分类 1．可去奇点 2．极点 3．本性奇点 4．无限远点

收敛的定义：若 wk ( z )各项均在D有定义，对D上的每一点z，
k 1

级数 wk ( z )均收敛，那么它的和就是定义在D上的一个函数w( z )，
k 1

称为级数 wk ( z )的和函数。记作：w( z )＝ wk ( z )
k 1 k 1


－N语言描述：对于给定的z D， 0, N N ( , z ), 当n N时，