元二次方程的解法及韦达定理

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一元二次方程韦达定理

一元二次方程韦达定理
一元二次方程韦达定理
一元二次方程，即用一个变量，表示二次的方程。

它的通解可以表示为ax2 + bx + c = 0（a≠0）。

韦达定理是一个重要的数学定理，他的公式为：
x = [-b +- √(b2 - 4ac)]/2a
该定理可以求解一元二次方程的两个实数根，其中a、b、c为系数，它们都是实数，x为实根。

该定理的本质是根据一元二次方程求解时，以b为中心，构成一个正方形，用其求得方程的实数根。

该定理可以用来解决方程的实数根，具体的，可以分为以下几种情况：
（1）b2 - 4ac > 0，这样有两个不相等的解
（2）b2 - 4ac = 0，这样有一个实数解
（3）b2 - 4ac < 0，这样没有实数解
韦达定理的应用非常广泛，它可以表示一元二次方程的两个实数根，还可以应用到物理中，例如轨道运动、动力学及研究分析等，从而解决实际的科学问题。

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一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。

方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。

注意点：①二次项的系数为1，且a≥0②如果a为根式，注意化简。

例1：解方程：5x2=1例2：解方程：x2=4例3：解方程：4x 2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。

步骤：①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ，可以得到：X 2+ b a x+ c a=0 ②配方：（x+ 2ba ）2+c- 2()2b a =0③移项：（x+ 2ba ）2=2()2b a -c ④用直接法求出方程的解。

X=-2b a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x1x2注意点：①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

②解题步骤要规范。

例:解方程：x2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例1：解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0例2：=15、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。

例：=46、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。

一元二次方程韦达定理的应用条件

一元二次方程韦达定理的应用条件一元二次方程是高中数学中非常重要的一个知识点，而韦达定理则是解一元二次方程的一种常用方法。

了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于提高数学解题的效率和准确性非常有帮助。

在本文中，我将详细介绍一元二次方程韦达定理的应用条件，并结合具体的数学例子进行讲解，以便你更全面地理解这一知识点。

一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)为已知常数，\(x\)为未知数。

而韦达定理是指，对于一元二次方程：\[ax^2 + bx + c = 0\]其根可以表示为：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]下面我们来具体看一下一元二次方程韦达定理的应用条件。

对于一元二次方程来说，应当满足以下条件：1. 方程的二次项系数\(a\)不为0，即\(a \neq 0\)；2. 方程的根是实数根或者虚数根（复数形式），即\(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\)或\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)；3. 方程的根是有理数根或者实根，即\(\frac{b^2 - 4ac}{a}\)是一个平方数或者一个完全平方数，或者判别式\(\Delta\)为完全平方数。

举个例子，对于一元二次方程 \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)，我们可以应用韦达定理进行求解。

首先根据公式 \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 和\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)，代入系数，可以求得该方程的两个根。

这样，我们就可以利用韦达定理来快速求解一元二次方程的根。

了解一元二次方程韦达定理的应用条件对于解题非常重要。

只有在满足特定条件的情况下，我们才能够有效地使用韦达定理来求解一元二次方程的根。

希望通过本文的讲解，你能更加深入地理解一元二次方程韦达定理的应用条件，并在实际解题中灵活运用。

利用韦达定理求一元二次方程的根

利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式）按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0 对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x －32)(x ＋2)＝0，解得， x 1＝32， x 2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a ＝1，b ＝－22，c ＝－6，∴ b 2－4ac ＝8＋24＝32，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝22±422＝2±22，于是有 x 1＝32， x 2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，则a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（满足条件x1＋x2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40，则a 2＝41，因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ，（满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52，则a 2＝12116，因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5.（法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。

两种方法证明韦达定理

两种方法证明韦达定理韦达定理是代数学中的一个重要定理，主要描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。

本文将详细介绍两种证明韦达定理的方法，帮助读者深入理解这一数学原理。

方法一：利用一元二次方程的求根公式证明首先，我们有一元二次方程：[ ax^2 + bx + c = 0 ]其求根公式为：[ x_{1,2} = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]根据求根公式，我们可以得到方程的两个根：[ x_1 = frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ][ x_2 = frac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]将两个根相加，得到：[ x_1 + x_2 = frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + frac{-b - sqrt{b^2 -4ac}}{2a} ][ x_1 + x_2 = frac{-2b}{2a} = -frac{b}{a} ]将两个根相乘，得到：[ x_1 cdot x_2 = left(frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}ight) cdot left(frac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}ight) ][ x_1 cdot x_2 = frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = frac{b^2 - b^2 +4ac}{4a^2} = frac{4ac}{4a^2} = frac{c}{a} ]因此，我们证明了韦达定理：对于一元二次方程( ax^2 + bx + c = 0 )，其两个根( x_1 ) 和( x_2 ) 满足( x_1 + x_2 = -frac{b}{a} ) 和( x_1 cdot x_2 = frac{c}{a} )。

方法二：利用因式分解证明对于一元二次方程( ax^2 + bx + c = 0 )，我们可以将其因式分解为：[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) ]其中( x_1 ) 和( x_2 ) 分别为方程的两个根。

虚系数一元二次方程满足韦达定理

虚系数一元二次方程满足韦达定理然而，在一些问题中，我们需要求解一些特殊的方程，这些方程的系数中存在虚数。

这样的方程被称为虚系数一元二次方程。

虚系数方程在数学领域中有着广泛的应用和研究，特别是在复数及其应用、代数学和数论中。

虚系数方程满足韦达定理，即对于任意二次方程ax² + bx + c = 0，其根可由以下公式计算：x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2ax₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a当方程的系数a、b和c都是实数时，方程的解可以求得。

而当方程存在虚数时，方程的解为复数。

为了更好地理解虚系数一元二次方程满足韦达定理的原理和推导过程，我们需要从复数的性质开始，然后逐步引入虚系数方程的概念。

复数是由实数和虚数构成的数，表示为 a + bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i² = -1、复数的加法、减法、乘法和除法等运算都可以通过实数部分和虚数部分的运算得到。

在解一元二次方程时，我们可以引入复数的概念，使得方程的根在实数范围之外也有解。

这就是虚数的应用。

虚系数方程的根是复数，可以表示为x₁ = p + qi和x₂ = p - qi，其中p和q都是实数部分。

通过韦达定理求解虚系数方程的根，可以得到复数的实部和虚部。

假设有一个虚系数方程a(x-α)(x-β)=0，其中α和β为复数。

根据展开公式，可以得到方程的展开式为：ax² - a(α + β)x + aαβ = 0根据韦达定理，方程的根应满足以下条件：α+β=(-b/a)αβ=(c/a)将以上两个条件代入方程的展开式中，可以得到：ax² - 2a(α + β)x + a²(αβ) = 0由此可知，虚系数方程满足韦达定理，其系数与根之间存在一定的关系。

通过求解方程的根，可以得到复数的实部和虚部。

虚系数方程在实际问题中的应用很广泛。

一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例

一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。

判别式的表达式为：D=b²-4ac。

其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。

2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。

举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。

3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。

抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。

二次方程的求解

二次方程的求解一、二次方程的定义二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二、求解方法1.因式分解法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，可以通过因式分解将其转化为 (x + m)(x + n) = 0 的形式，其中 m 和 n 是满足 m + n = -b/a 和 mn = c/a 的两个数。

解得x1 = -m，x2 = -n。

2.公式法（韦达定理）二次方程的解可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 来求得。

其中，x1 和x2 分别为方程的两个解，且满足 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。

配方法是将二次方程 ax^2 + bx + c = 0 转化为 (x + p)^2 = q 的形式，其中 p 和 q 是满足 q = b^2 - 4ac/4a 的两个数。

解得 x1 = -p + √q，x2 = -p - √q。

三、特殊类型1.完全平方公式当二次方程的系数 a = 1，且 b^2 - 4ac = 0 时，方程有一个重根，即 x1 = x2 = -b/2a。

二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程的根的性质：（1）Δ > 0：方程有两个不相等的实数根；（2）Δ = 0：方程有一个重根，即两个相等的实数根；（3）Δ < 0：方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。

1.几何应用二次方程在几何中广泛应用于求解抛物线、椭圆、双曲线等曲线的交点问题。

2.物理应用在物理学中，二次方程常用于描述抛体运动、振动等现象。

3.实际问题二次方程在实际生活中有广泛的应用，如计算利润、面积、体积等。

五、注意事项1.在求解二次方程时，要注意判断判别式的正负，以确定方程的根的性质。

2.在应用公式法求解时，要确保分母不为零。

3.在因式分解法中，要尽量将方程分解为一次因式的乘积形式。

一元二次方程、韦达定理及应用

专题一元二次方程及韦达定理【基本知识】1．一元二次方程符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程。

任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）2．了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；（3）利用直接开平方法解之。

4．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：242b b ac x a -±-= （240b ac -≥） 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根。

我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的根的判别式。

6．设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系： 12b x x a +=-，12c x x a⋅=； 7、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（一审、二找、三设、四列（列代数式、列方程）、五解、六验、七答）8．用一元二次方程解决问题的关键是什么？（寻找题中的等量关系）巩固练习1．关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q < 2．若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅。

二次函数根的判别式与韦达定理

X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
①当Δ＞0，即a＜1时，方程有两个不等实根
x1 1 1 a
x2 1 1 a
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
分类讨论是初中数学中重要的思想方法.
根与系数的关系（韦达定理）的发现过程
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0
例1 、判定方程根的情况（其中a为常数）如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－ax－1＝0 （2）x2－2x＋a＝0．
解（1）Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，
所以方程一定有两个不等的实数根
x1 a
a2 4 2
x2 a
a2 4 2
（2）Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
4a 2
= 4a2
=
c a
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
b a
,
X1x2=
c a
注：能用公式的前提条件为b2-4ac≥0
特殊情况：当二次项系数a=1 时
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，
那么
X1+X2=
例4、若x1和x2分别是方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
7 2
（2）求

初中数学竞赛代数专题之二次方程韦达定理

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）设1x 和2x 是一元次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则有根与系数的关系（或称为韦达定理）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121（其中a b c 、、均为实数）一、专题知识利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0c a <时，方程的两根必然一正一负；(2)0b a -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0b a -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0c a >时，方程的两根同正或同负.二、例题分析例题1如是,a b 关于x 的方程的()()1x c x d ++= 两个根，求()()a c b c ++ 的值。

[解]由已知2()10x c d x cd +++-=，有()1a b c d ab cd +=-+⎧⎨=-⎩，则()()a c b c ++ 22()1()1ab a b x c cd c d c c =+++=--++=-例题2方程22320x x --=的实数根为αβ、，求αβαβ+的值。

[解]原方程22320x x ⇔--=(21)(2)0x x ⇔+-=，由于210x +＞只有=2x ，x=2±，所以-4==-1+4αβαβ例题3如果正整数,a b 是关于x的方程229x 1056013a x b --+++的两个根，求,a b 的值。

[解]由已知，有2913a ab -+=，·1056a b b =++从而有213(13b +90a a --=），由于,a b是正整数，故13205522a +=213a =-又由·1056a b b =++10(+b-9ab a =），a-10b-=∙（）（10）91而911917131(91)7(13)=⨯=⨯=-⨯-=-⨯-1011091a b -=⎧⎨-=⎩或1091101a b -=⎧⎨-=⎩或1071013a b -=⎧⎨-=⎩或1013107a b -=⎧⎨-=⎩，即11101a b =⎧⎨=⎩或10111a b =⎧⎨=⎩或1723a b =⎧⎨=⎩或2317a b =⎧⎨=⎩，经检验2317a b =⎧⎨=⎩满足方程，此时原方程为2403910x x -+=例题4已知实数,a b 满足条件：423240a a +-=，4230b b +-=，求代数式444a b -+的值。

一元二次方程的解法一元二次方程解题步骤韦达定理公式变形6个

一元二次方程的解法•一元二次方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解一元二次方程方程：求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。

•韦达定理：一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）一般式：ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系：x1+x2= b/ax1·x2=c/a•一元二次方程的解法：1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。

用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b24ac≥0。

即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0。

4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

•韦达定理公式变形：x1²+x2²=(x1+x2)²2x1x2，1/x1²+1/x2²=(x1²+x2²)/x1x2，x1³+x2³=(x1+x2)(x1²x1x2+x2²)等。

••与韦达定理有关的恒等变形••韦达定理公式•韦达定理：两根之和等于b/a,两根之差等于c/a. •x1*x2=c/a•x1+x2=b/a•韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

一元二次方程 2个相同的根韦达定理怎么算

一元二次方程 2个相同的根韦达定理怎么算标题：深度剖析一元二次方程中的韦达定理及其应用一、一元二次方程的基本概念1. 一元二次方程的定义与形式2. 一元二次方程的求解方法：因式分解、配方法、求根公式二、韦达定理的定义与原理1. 韦达定理的概念及作用2. 韦达定理的公式与具体计算方法三、韦达定理在一元二次方程中的应用1. 韦达定理在求二次方程根的重要性解释2. 通过韦达定理计算一元二次方程中2个相同的根四、我对韦达定理及其应用的个人理解1. 对韦达定理的认识与感悟2. 我对韦达定理在解决一元二次方程中的应用的看法总结文章开始：在初中数学中，一元二次方程是学习的重要内容之一。

而解一元二次方程的根一直是学生们比较头疼的问题。

韦达定理正是解决一元二次方程根的问题中的重要工具之一。

本文将从一元二次方程的基本概念出发，深入探讨韦达定理的原理及其在解题过程中的应用，同时共享一些个人理解和看法。

一、一元二次方程的基本概念1. 一元二次方程的定义与形式一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)的方程，其中a、b、c分别是已知实数，x是未知数。

一元二次方程中的二次项ax^2、一次项bx和常数项c 分别对应方程的三个系数。

2. 一元二次方程的求解方法解一元二次方程的方法有很多种，比如因式分解法、配方法、求根公式等。

这些方法在不同的情况下有着不同的优劣势，需要我们在实际应用中加以灵活运用。

二、韦达定理的定义与原理1. 韦达定理的概念及作用韦达定理是一个与一元二次方程根的特性相关的定理。

它指出：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，它的两个根x1和x2满足x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。

这个定理为我们解决一元二次方程提供了重要的线索和方法。

2. 韦达定理的公式与具体计算方法根据韦达定理的原理，我们可以通过一元二次方程的系数a、b、c 的数值来计算方程的根。

这使得我们在不使用求根公式的情况下，也能够较为方便地求得方程的根，尤其是在一些情况下，韦达定理具有明显的优势。

利用韦达定理求一元二次方程的根

利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式）按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48，则a 2＝1，因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ，（满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40，则a 2＝41，因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ，（满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52，则a 2＝12116，因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。

_八年级秋季班-第5讲：一般一元二次方程的解法及韦达定理

利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n+=的形式；④当0n≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．一般一元二次方程的解法及韦达定理知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲内容分析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式x =，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】填空：（1）221_______(____)2x x x -+=-；（2）221_______(_____)25x x -+=-；（3）22_______(____)bx x x a-+=-；（4）22224_______(2_____)b x x a-+=-．【例2】如果24x ax ++是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．4B ．2-C ．2或2-D ．都不对【例3】若0m <且2x =时，等式2270x mx m -+-=成立，则m 值为________．【例4】如果一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________．【例5】解下列方程(配方法)：（1）2340x x +-=；（2）20.040.410x x ++=；（3）22240x mx m ++=；（4）20(0)ax bx c a ++=≠．例题解析【例6】解下列方程（求根公式法）：（1）22(1)x x =-；（2）20.20.11x x -=；（3）21)0x x +++=；（4）22220x mx m n -+-=．【例7】解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）20(0)mx nx p m --=≠；（2）(5)(3)(6)145x x x x --++=．【例8】用指定的方法解下列方程：（1）2123x x -=（配方法）；（2）()232175x -=（开平方）；（3）2(1(1x x -=+（因式分解）；（4）231270x x ++=（公式法）．【例9】已知：202(21)22x x x x ++=--，求x 的值．【例10】 x 为何值时，代数式22102191x x x -++的值等于零．【例11】的例题：解方程2||20x x --=解：当0x ≥时，原方程化为220x x --=，解得：1221x x ==-，（舍）当0x <时，原方程化为220x x +-=，解得：1221x x =-=，（舍） ∴原方程的根是1222x x ==-，请参照例题解方程2|1|10x x ---=．【例12】解下列关于x 的方程方程：（1）22(2)(3)0kx k x k +-+-=；（2）(5)(3)(2)(4)49x x x x -++-+=；（3）2222(3)230x a b x a ab b +--+-=．【例13】已知：2212231447y x x y x x =-+=++，，求x 为何值时，12y y =．【例14】解关于x的一元二次方程24(3)x x mx-=-，其中m是满足不等式310 320mm+>⎧⎨->⎩的整数．【例15】求关于x的方程：225582220x y xy y x+++-+=的实数解．【例16】已知152a b c+-=--，求a b c++的值．【例17】已知a b c，，是有理数，试证明关于x的方程：x2-2ax+a2-b2-c2+2bc = 0 的根也是有理数．【例18】已知关于x的方程：224(1)3240x m x m m k--+-+=，当m取任意有理数时，方程的根都是有理数，求k的值或者是k的取值范围．韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a -+=≠的两个根,由解方程中的公式法得, 12x x ==．那么可推得1212b cx x x x a a+=-⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．【例19】若方程2(1)0x m x m -++=有解，利用适当的方法解这两个根，分别是___________________________；若这两个根互为相反数则m 的值是_______________；若两个根互为倒数，则m 的值是_______________．【例20】如果1x ，2x 是方程22360x x +-=的两个根，那么12x x +=_____________；12x x ⋅=_______________．【例21】若方程：2980kx x -+=的一个根为1，则k =________；另一个根为________．【例22】．【例23】已知1122-+-、是关于x 的方程210(0)ax bx a ++=≠的两根，求b 的值．例题解析知识精讲模块二：韦达定理【例24】已知12x x ，是方程2133022x x --=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x -；（3）2212x x +；（4）12||x x -．【例25】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x -+=两个根，求这个直角三角形的周长．【例26】已知方程：240x x a -+=的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围．【例27】已知2212510520.1m m n n mn n m--=+-=≠+，，求的值．【例28】已知αβ，是方程：2240x x --=的两根，求代数式3+8+6αβ的值．【习题1】完成下列填空：（1）22_____(__) x x-+=-；（2）2(2_____)______________1y-=+；（3）223_______93(____)x x++=+．【习题2】完成下列填空：（1）对于方程232x x=，用____________法解比较好，其根为______________；（2）对方程2(21)4x-=，用____________法解比较好，其根为______________；（3）对方程22360x x--=，用___________法解比较好，其根为_______________．【习题3】已知2+20x ax a+-=的两根互为倒数，则a的值为________．【习题4】用指定的方法解下列方程：（1）20(0)ax bx a-=≠（因式分解）；（2）2249610()x a a a-+-=为已知数（直接开平方）；（3）25690x x+-=（配方法）；（4）2340x--=（求根公式）．随堂检测【习题5】用适当的方法解下列方程：（1）21x x -=；（2）22(23)3(23)0x x ---=；（3）2320x -+=；（4）2(35)5(35)40x x +-++=．【习题6】解关于x 方程：（1）2221x ax a -+=；（2）20x px q -+=．【习题7】如果2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，求n 的值．【习题8】用配方法说明：不论x 为何值，代数式257x x -+的值总大于0，再求出当x 为何值时，代数式257x x -+有最小值，最小值是多少？【习题9】已知关于x 的方程2(1)(21)30()m x m x m m -+-+-=为实数有两根12x x ，，其中1200x x ><，且12||||x x >，求m 的取值范围．【习题10】解方程||3||20x x x -+=．【习题11】已知关于x 的方程2(1)0k x px k --+=有两个正整数根，求整数k 和p 的值．【习题12】已知实数a b ≠，且满足2(1)33(1)a a +=-+，23(1)3(1)b b +=-+，求【作业1】已知代数式239x x m -+是一个完全平方式，则m =_____________．【作业2】以下说法正确的有几个：（1）方程20x =，有两个根；（2）方程24x x =两边同除以x ，解得方程的解为4x =；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程21()2x x -=-无解；（4）对于方程22(1)(3)x x -=+，因为无论x 取何值，1x -和3x +都不可能相等，所以方程无解．【作业3】如果12x x ，是方程25750x x -+=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x +．【作业4】用适当的方法解下列方程：（1）249x =；（2）23210x x -=；（3）22350x x --=；（4）2(4)5(4)x x -=-；（5）23420x x --=；（6）2(1)5(1)40y y -+-+=．课后作业【作业5】用适当的方法解下列方程：（1）224(2)(31)0x x ---=；（2）2(31)3(31)20x x ---+=；（320-=；（4）212205250x x --=．【作业6】用适当的方法解下列关于x 方程：（1）22+21()x ax a a +=为已知常数；（2）2220()x ax a a +-=为已知常数；（3）22320()x xb b b --+=为已知常数．【作业7】若2+317=0x x αβ-，是方程的两个根，求2+2ααβ-的值．【作业8】已知关于x 的方程2(1)31(1)x m mx x mx -+=+-（）（）有一个根是0，求另一个根及m 的值．【作业9】已知22620(0)mm mn n n n --=≠，求的值．【作业10】解关于x 的方程25||30x x --=．【作业11】已知方程22120x x --=的两根是αβ，，设1=+C αβ，222=+C αβ，．．．，=+n n n C αβ（n 是正整数）．（1）求3C 的值；（2）求证：11=2C 12n n n C C +-+ ．。

用韦达定理解二元二次方程组的解法

用韦达定理解二元二次方程组的解法
韦达定理是一种解二元二次方程组的方法，它可以帮助我们求出方程组的解。

假设有如下二元二次方程组：
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0
gx + hxy + iy + jx + ky + l = 0
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l都是已知系数。

将第一个方程两边乘以i，第二个方程两边乘以b，然后将它们相减，得到新的方程：
(ai - bh)x + (bi - ac)xy + (ci - bg)y + (di - fj)x + (ei - kl)y + (fi - hl) = 0
这个方程和原方程组等价，但是它的系数更加简单。

现在，我们只需要求出新方程中的系数，就可以解出方程组的解： D = (ai - bh)(ci - bg) - (bi - ac)
x = [(bh - ai)k - (bi - ac)l]/D
y = [(bi - ac)j - (bh - ai)i]/D
其中，D被称为韦达行列式，它不等于0时，方程组有唯一解。

如果D等于0，则方程组有无穷多组解，或者没有解。

通过韦达定理，我们可以快速、简便地解二元二次方程组，特别适用于需要快速求解的情况。

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一元二次方程的解和根的区别

一元二次方程的解和根的区别一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，a ≠ 0。

解和根是解决方程的结果，但在数学中，解和根有着不同的含义和用法。

解的概念出现在方程的求解过程中，表示方程的解集，也就是满足方程的所有实数或复数的集合。

对于一元二次方程，根据韦达定理（Vieta's formulas），方程的解可以通过以下公式求得：x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在一元二次方程中，可能存在三种情况：1.当(b^2 - 4ac) > 0时，方程有两个实数解，解集为{x1, x2}；2.当(b^2 - 4ac) = 0时，方程有两个相等的实数解，解集为{x1 = x2}；3.当(b^2 - 4ac) < 0时，方程没有实数解，但存在两个互为共轭的复数解，解集为{x1 = (-b + √(4ac - b^2)i) / (2a), x2 = (-b- √(4ac - b^2)i) / (2a)}根的概念源于方程与函数的关系。

在代数学中，根是指函数在给定值时的零点或者函数与坐标轴（通常是x轴）的交点。

对一元二次方程，也就是求解方程时使方程等式左边取0的值。

换句话说，根是方程的解在数轴上的对应点。

根的个数与方程的解的个数是一致的，但是根的分类更加简单明确。

对一元二次方程，根据韦达定理，我们可以得到以下结论：1.当(b^2 - 4ac) > 0时，方程有两个实数根，在数轴上分别对应两个不同的点；2.当(b^2 - 4ac) = 0时，方程有一个实数根，在数轴上对应一个重复的点；3.当(b^2 - 4ac) < 0时，方程没有实数根，但在复数域内有两个互为共轭的根，在复平面上对应两个不同的点。

总结起来，解是方程的所有满足条件的实数或复数的集合，而根是方程在数轴上的零点或者复平面上的交点。

解给出了方程的所有值，而根只是方程的交点和零点的位置。

二次方程与韦达定理

2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2bx a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -=，22b x a -=，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是（）（A ）有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是． 3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.11．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空: （1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．。

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