第三章静力平衡问题b
结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
4-第三章 静力学平衡问题
a
a
再回到原系统，可建立3个平衡 方程解得：
5 2M FOX 0 , FAY 2 F qa , 2 a M FOY F qa a
FOX
O A
F
B
a
a
M
q
FCY qa
C D
FOY FAY FBY
FBX
B
x
D M
a a FCY
[例3-3]图示一结构由AB、BC 与CE 三个构件构成。E 处有一滑轮，细绳 通过该轮悬挂一重为 12 kN 的重物。A为固定铰支座，B 为滑动铰支座， C、D 与E 为圆柱铰。AD = BD = l1= 2m，CD = DE = l2= 1.5m。不计杆件 与滑轮的重量，求支座处的反力。
• 上述第一种情况称为静滑动摩擦力（静摩擦力）
• 第二种情况称为极限摩擦力 • 第三种情况称为动滑动摩擦力（动摩擦力） • 可见极限摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为： 1、（静）滑动摩擦力的计算、干摩擦与粘性摩擦
Fmax
Fmax F f 0
由大量实验，库仑给出一近似公式：
Fmax f s FN
如果是平面问题（设为xy平面），则平 衡方程简化为 3 个：
X 0 , Y 0 , mO F 0
上式称为平衡方程一矩式，而二矩式和三矩式分别为：
X 0 或 Y 0 mA F 0 mB F 0 m A F 0 mB F 0 m F 0 C
如图 a 所示建立参考基 分析： 系统主动力只有重力 G 约束反力有4个显然无法直接求解
FT
y
C
q FAy A D B
静力平衡
第三章 静力平衡 20071022教授3-1 力的测量1.力对物体的作用与影响：（1）使物体产生形变：例如施力使弹簧伸长或压缩。
（2）改变物体的运动状态：例如施一力推物体使速度改变。
2.力的三要素：量值(大小)、方向、施力点。
是个向量！3.力的测量：(1)利用物体受力后产生的形状变化：虎克定律F ＝k x 。
（见本章！） (2)利用物体受力后产生的运动变化：牛顿第二运动定律F ＝m a (第四章见！)。
4.力的单位：常见者如 gw （公克重）、kgw （公斤重）、N （牛顿） 等等。
（1 kgw = 9.8 N ）＊5.虎克定律：弹簧在弹性限度内，拉力F （弹力F ）与弹簧形变量x 成正比，即F ＝ - k x 。
注意 弹力 与 形变量 之方向，必 ！◎水平不受外力时，弹簧保持原长！◎受一水平拉力时，弹簧有形变量！6.弹性限度：如上图中的A 点，当超过A 点时，虎克定律不再适用。
7.弹力常数 k ：(1)虎克定律中，拉力 F 与弹簧形变量 x 的比例常数。
(2)拉力 F 与弹簧形变量 x 的图形中，其直线斜率即为 k 。
(3) k 愈大，表示弹簧愈不容易拉长，感觉较硬；k(4)(5)单位： kgw/m 、 N/m8.弹簧秤与磅秤就是应用虎克定律制成的工具。
＊9.弹簧应用概念：（1）弹簧的分割Q1 将弹力常数 k 的弹簧等分为 n 段，则每一段的弹力常数为 nk 。
Q2 弹力常数k 的弹簧截成长度比 m ：n 的两段，则弹力常数各为 m n m +k 及 nn m +k 。
（2）弹簧的串联k 1＝11k ＋21k ＋31k +………… 特性：串联时各个弹簧弹力必相等( F =F 1 =F 2 =F 3 = …)，形变相加( x =x 1 +x 2 +x 3 +… )虚线代表不受拉力时，两弹簧之原长。
但受一外力F 后，两弹簧皆有伸长，总伸长为 x 1 +x 2 。
此图代表我们可以尝试找一个新的弹簧，（他的弹力常数为 k ）来代表刚刚那两个串联的弹簧，且伸长量为 x ，其中 x = x 1 +x 2 。
静力平衡
如图所示，自重不计的横梁的一端用绞链固定在墙壁洼的A 点，另一端B 用绳悬挂在墙壁上的C 点，当重为G 的物体由融在梁上的B 点处逐渐移至A 点的过程中，横梁始终保持静止。
问此过程中，A 点处绞链对横梁作用力F 的大小和CB 绳对横梁的拉力T 的大小是如何变化的?如图，小圆环A 吊着一个重为1G 的砝码套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线其一端拴在小圆环A 上，另一端跨过固定在大圆环最高点B 的一个小滑轮后吊着一个重为2G 的砝码。
如果小环、滑轮、绳子的大小和质量以及摩擦都可以忽略不计，绳子又不可以伸长，求平衡时弦AB 所对的圆心角ϕ。
、有一半径为R 的均匀圆柱，今在其内平行于轴凿一个半径为2R 的孔，孔的中心1O 与圆柱的中心。
相距为2R ，然后将此圆柱放在一小块木板上，慢慢抬高板的一端，要使圆柱在板上还能保持平衡状态，求板的最大倾角0θ是多少?已知圆柱与板间的静摩擦因数足够大，能保证圆柱在木板上的平衡不至由于发生滑动而被破坏。
在一倾角为α的粗糙斜面上，装有两个固定在斜面上的光滑滑轮，一轻绳绕过此两滑轮，绳两端分别系有一个物块A 和一个物块B ，置于斜面上，如图所示。
设两物块与斜面间的静摩擦因数均为()tan μεεα=<，绳子不与斜面接触，且不可伸长，求此系统能在斜面上稳定的条件。
已知A 的质量为M ，B 的质量为m 。
有一水平放置的半径为R 的圆柱形光滑槽面，其上放有两个半径均为r 的光滑圆柱体A 和B ，图为其截面图。
图中O 为圆柱面的圆心，A 、B 分别为两圆柱体的圆心，OQ 为竖直线。
已知A 、B 两圆柱分别重1G 和2G ，且3R r =。
求此系统平衡时，OA 线与OQ 线之间的夹角α?6．如图所示，一锁链由2n 个相同的链环组成，各链环间光滑连接，链环两端挂在水平铁丝上，链环与铁丝间的静摩擦因数为μ。
试求链环处于临界平衡状态时，末端链环与竖直方向间的夹角θ=?7．在钉入墙内的钉子上系一根绕在线团上的细线，线团靠墙悬挂如图所示。
工程力学力系平衡
D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
第三章 静定结构的受力分析
第三章静定结构的受力计算1. 教学内容从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。
根据多余约束n ，几何不变体系又分为：有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。
从求解内力和反力的方法也可以认为：静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。
超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能只有静力平衡条件来确定的结构。
2. 教学目的进一步巩固杆件受力分析和内力分析的特点；理解多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架的概念；熟练掌握多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架内力的计算方法，能够画出内力图；理解截面法、结点法、联合法，熟练求出静定桁架的内力。
3. 主要章节第一节、单跨静定梁第二节、多跨静定梁第三节静定平面刚第四节、三铰拱架第五节、静定平面桁架第六节、组合结构4. 学习指导本章所学内容的基础是以前所学的“隔离体和平衡方程”，但是不能认为已经学过了，就有所放松。
其实，在静定结构的静力分析中，虽然基本原理不多，平衡方程只有几种形式，但是其变化是无穷的，因此重要的是知识的应用能力。
为了能够熟中生巧，在学习时应多做练习。
5. 参考资料《建筑力学教程》P21～P57第一节、单跨静定梁一. 教学目的复习材料力学中的内力概念和计算方法，梁的内力图的画法；熟练掌握各种荷载作用下的梁的内力图画法；掌握叠加法画弯矩图。
二. 主要内容1. 内力的概念和表示2. 内力的计算方法3. 内力图与荷载的关系4. 分段叠加法三. 参考资料《建筑力学》P21～P26各种《材料力学》教材3.1.1 内力的概念和表示在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力F N、剪力F Q 和弯矩M(图3-1)。
轴力----截面上应力沿轴线方向的合力,轴力以拉力为正。
剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以截开部分顺时针转向为正。
工程力学第三章静力平衡问题
平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系
qa2。试求支座的约束力。图示构...
第三章平衡问题：矢量方法从前一章的力系简化可知，力系最终可以简化为平衡、力、力偶和力螺旋四种情况之一。
本章进一步讨论力系的平衡问题，包括平衡条件和平衡方程及其应用。
在平衡力系作用下，物体保持平衡状态，即对于惯性参照系静止或作匀速直线运动。
本章在分析平衡问题时，还考虑了工程中常见的一类摩擦?干摩擦，研究具有滑动摩擦和滚动摩擦时的平衡问题。
平衡问题的是静力学的核心内容。
静力学在工程中有重要意义，是设计结构、构件和机械零件时静力计算的基础。
因此，静力学在工程中有广泛应用。
研究平衡问题可以采用矢量方法和能量方法。
本章叙述基于受力分析的矢量方法，能量方法将在第九章中叙述。
本章首先根据平衡条件导出平衡方程并讨论在几类特殊力系中的特殊形式，区分静定和静不定两类平衡问题，说明应用平衡方程的步骤。
然后分析带摩擦力的平衡问题，包括滑动摩擦力，摩擦角和滚动摩擦。
最后，简要介绍平面静定桁架计算的节点法和截面法§3.1 力系的平衡方程和应用1 平衡方程由第二章知，力系向一点简化可以得到一力和一力偶，分别等于力系主矢和对该点的主矩。
主矢和主矩同时为零是力系平衡的充分和必要条件，即F ' ∑F 0 ，M ∑m F 03.1.1R o o将矢量式 3.1.1 向互不平行且不在同一平面上的三个坐标轴x , y , z 投影，可以得到等价的标量方程组∑Fx 0, ∑Fy 0, ∑Fz 03.1.2∑mx 0, ∑my 0, ∑mz 0通常取坐标轴x , y , z 互相垂直而成直角坐标系。
方程 3.1.2 称为力系的平衡方程，是平衡方程的一般形式。
习惯上，称式 3.1.2 中前三个方程为投影式，后三个方程为力矩式。
作为上述平衡方程的应用，讨论几类特殊力系平衡方程的形式。
1 平面力系若力系中各力的作用线在同一平面内，该力系称为平面力系。
不失一般性，设xy 平面为力系所在平面，此时力系中各力在z 轴上的投影恒零，且对x 和y 轴的力矩也为零。
工程力学中的静力平衡和动力平衡
工程力学中的静力平衡和动力平衡工程力学是应用力学原理解决工程实际问题的学科，其中静力平衡和动力平衡是基本概念。
静力平衡是指物体在静止状态下所处的力的平衡，而动力平衡则是指物体在运动状态下所处的力的平衡。
本文将就工程力学中的静力平衡和动力平衡进行探讨。
一、静力平衡静力平衡是工程力学中的一个重要概念，它是指物体处于静止状态下所受力的平衡。
在静力平衡的条件下，物体不会发生运动或旋转。
静力平衡的核心原理是力的平衡，即合力为零。
根据牛顿第一定律，当物体处于静止状态时，合外力为零。
这意味着物体所受的外力与其受到的内力相平衡。
为了满足静力平衡，必须满足以下两个条件：1. 合力为零：物体受到的所有外力的合力必须为零。
这意味着物体所受的各个力在空间中的向量和必须为零。
2. 转矩为零：物体受到的所有力对于物体某一点的合力矩必须为零。
这意味着物体所受的各个力在空间中的转矩和必须为零。
满足这两个条件，物体才能实现静力平衡。
在实际工程中，静力平衡的原理被广泛应用于桥梁、建筑物、机械设备等的设计和施工中。
二、动力平衡与静力平衡不同，动力平衡是指物体在运动状态下所受力的平衡。
在动力平衡的条件下，物体可能发生运动或旋转，但其没有加速度。
动力平衡的核心原理是力矩的平衡，即合外力矩为零。
根据牛顿第二定律，当物体处于动态平衡时，合外力矩为零。
这意味着物体所受的合外力矩与其惯性力矩相平衡。
为了满足动力平衡，必须满足以下两个条件：1. 合外力矩为零：物体受到的所有外力矩的合力必须为零。
这意味着物体所受的各个力矩在空间中的矢量和必须为零。
2. 合外力为零：物体受到的所有外力的合力必须为零。
这意味着物体所受的各个力在空间中的矢量和必须为零。
满足这两个条件，物体才能实现动力平衡。
在工程实践中，动力平衡的原理被广泛应用于机械设备、交通工具、飞行器等的设计和运行中。
三、静力平衡与动力平衡的区别1. 状态不同：静力平衡是指物体处于静止状态下的力平衡，而动力平衡是指物体处于运动状态下且没有加速度的力平衡。
力学练习题静力平衡与杠杆原理
力学练习题静力平衡与杠杆原理力学练习题：静力平衡与杠杆原理力学是物理学中的一个重要分支，主要研究物体的运动和力的作用。
静力平衡与杠杆原理是力学中的基本概念和原理，对于我们理解物体受力平衡的条件以及杠杆的工作原理具有重要意义。
本文将通过一系列力学练习题，深入探讨静力平衡与杠杆原理。
练习一：静力平衡条件题目一：一根长度为4m的木棍，在距离一端1m处支点处有一个重物，重力为100N。
求木棍的另一端与支点之间的距离。
解析：根据静力平衡的条件，物体受力的合矢量为零。
在本题中，木棍在支点的受力由两个部分组成：重力向下的力和支点对木棍的支持力向上的力。
根据杠杆原理，支持力与重力的乘积等于木棍两端距离支点的乘积。
设木棍另一端与支点之间的距离为x，根据题目中给出的条件，可以写出方程：100N × x = 100N × 1m解得x=1m因此，木棍的另一端与支点之间的距离为1m。
练习二：杠杆原理题目二：一根长度为2m的杠杆，在距离支点1m处有一个重物A，重力为80N；在距离支点0.5m处有一个重物B，重力为40N。
求重物B与支点之间的距离。
解析：根据杠杆原理，物体受力矩的和为零。
在本题中，重物A和重物B对支点的受力矩可以表示为：80N × 1m 和 40N × 0.5m。
根据受力矩的平衡条件，可以得到方程：80N × 1m = 40N × x解得x=2m因此，重物B与支点之间的距离为2m。
练习三：复杂杠杆系统题目三：如图所示，一个由3根杆件和1个支点构成的复杂杠杆系统，杆件A的长度为4m，距离支点2m处有一个重物C，重力为200N；杆件B的长度为2m，距离支点1.5m处有一个重物D，重力为150N；杆件C的长度为3m，距离支点1m处有一个重物E，重力为100N。
求支点与杆件A的连接点之间的距离。
解析：首先，我们需要分析复杂杠杆系统的受力情况。
根据受力平衡的条件，系统中支点对每个杆件的支持力和重力的乘积矢量和为零。
第三章--刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
可能位移：发生符合约束条件的无限小刚体体系位移（满足所有约束方 程[稳定和非稳定的]）的位移称为体系的可能位移； 实 位 移：位移不仅约束方程，而且满足运动方程和初始条件，则称为 实位移；
虚 位 移：在瞬间（某一时刻T保持不变），质点系在约束所许可的情
况下可能产生的任一组微小位移，称为体系的虚位移。 对于稳定体系，可能位移和虚位移等同。
上式在形式上是虚功方程，实质上是约束力X与荷载P之间的平衡方程。
上述解法又称单位支座位移法，其特点是采用几何方法来解静力平衡问 题。
§3-8 刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
§3-8 刚体体系的虚功原理
虚功原理中的平衡力系与可能位移无关，因此不仅可以把位移看作
是虚设的，也可以把力系看作虚设的。根据虚设对象的不同选择，虚功 原理主要有两种应用形式．用来解决下列两类问题：
◆虚设位移，求未知力。 ◆虚设力系，求位移
§3-8 刚体体系的虚功原理
例如：对于第一种应用形式，对于下图： 杠杆是一个几何可变体系，可绕C 点自由转动，取刚体位移为虚位移 ，可得出虚功方程如下：
X 1, P b a
这时虚功方程为： 归纳几点：
X 1 P P 0 X P P b a P
⑴ 虚功方程形式上是功的方程，实际上就是平衡方程。 ⑵ 虚位移是人为虚设的，为了方便，可以随意虚设 X 位移与实际力系是彼此独立无关的。 ·
1 ，显然，虚
⑶ 求解时，确定位移之间的几何关系是得到力系之间的静力平衡关系 的关键。可见，用虚功原理求解问题的特点是采用几何方法来解静 力平衡问题。这种用虚功原理求解问题的方法叫虚功法。
§3-8 刚体体系的虚功原理
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
多种静力平衡问题分析
多种静力平衡问题分析静力平衡问题是物理学中的一个重要概念，涉及到力的平衡和物体的稳定性。
在日常生活和工程领域中，我们经常会遇到各种各样的静力平衡问题。
本文将从多个角度分析不同类型的静力平衡问题，探讨其原理和解决方法。
一、平衡杆和支撑物的关系平衡杆是最常见的静力平衡问题之一。
当一个平衡杆上有两个或多个物体，我们需要确定它们在杆上的位置，以保持整个系统的平衡。
这个问题可以通过使用杠杆原理来解决。
杠杆原理指出，当一个杆在一个支点上平衡时，杆两端所受的力矩相等。
根据这个原理，我们可以通过计算物体的质量和距离来确定它们在杆上的位置。
如果一个物体离支点较远，它的力矩就会增加，需要在另一侧放置一个质量较大或距离较近的物体来平衡。
二、浮力和物体的平衡浮力是指物体在液体或气体中受到的向上的力。
当一个物体浸入液体中时，它会受到一个与其体积成正比的浮力。
根据阿基米德原理，浮力的大小等于物体排开的液体的重量。
在一个浮力平衡问题中，我们需要确定物体在液体中的位置，以保持平衡。
如果物体的密度大于液体的密度，它将下沉；如果物体的密度小于液体的密度，它将浮起。
通过调整物体的形状、密度或液体的密度，我们可以实现物体在液体中的平衡。
三、斜面和物体的平衡斜面是一个倾斜的平面，可以用来提供一个斜向上的力，以支持物体的平衡。
在一个斜面平衡问题中，我们需要计算物体在斜面上的重力分量和斜面提供的支持力，以确定物体是否平衡。
根据平衡条件，当物体在斜面上平衡时，其重力分量沿斜面的方向等于斜面提供的支持力。
通过计算物体的质量、斜面的角度和重力加速度，我们可以确定物体在斜面上的平衡位置。
四、悬挂物体的平衡悬挂物体的平衡问题是指一个物体通过绳子或链条悬挂在支撑物上的情况。
在这种情况下，我们需要确定物体的重力和绳子或链条的张力，以保持平衡。
根据平衡条件，当物体悬挂在支撑物上时，它的重力等于绳子或链条的张力。
通过计算物体的质量和重力加速度，我们可以确定绳子或链条的张力，从而保持物体的平衡。
静力学平衡和力的平衡条件
静力学平衡和力的平衡条件静力学平衡是物体处于静止状态或匀速直线运动状态时，力的合力和力矩的平衡状态。
在力的平衡条件下，物体不受任何净外力作用或任何净外力矩作用下保持静止或运动。
本文将从静力学平衡和力的平衡条件两个方面进行探讨。
静力学平衡在静力学平衡中，力的合力及力矩总和为零，即物体所受的合外力为零，力矩和力臂的乘积之和也为零。
这是因为物体在静止状态或匀速直线运动状态下，力的合力和合外力矩必须为零，保持力的平衡。
力的平衡条件力的平衡需要满足两个条件：合力为零，合力矩为零。
1. 合力为零合力为零意味着物体受到的合外力为零。
当物体受到的合外力为零时，物体将保持静止或匀速直线运动状态。
如果一个物体所受的力不平衡，物体将产生加速度并改变其状态。
以一个简单的示例来说明合力为零的情况。
考虑一个放置在桌子上的杯子，桌子对杯子的支持力与地球对杯子的引力相等且反向，这就是合力为零的力的平衡条件。
2. 合力矩为零合力矩为零可以理解为物体所受的力矩总和为零。
力矩是力相对于某个固定点的转动效果，它与力的大小、作用点与转动中心之间的距离有关。
对于合力矩为零的情况，可以考虑一个平衡杆的例子。
当一个杆平衡在一个固定点上时，杆两侧的合力矩必须相等。
例如，考虑一个人站在一端固定的杆上，如果人向左移动，人产生的力矩将超过固定点产生的力矩，从而使杆失去平衡。
总结静力学平衡和力的平衡条件是物体处于静止状态或匀速直线运动状态时的基本原理。
合力为零和合力矩为零是力的平衡条件，它们同时满足时物体处于力的平衡状态。
理解和应用静力学平衡和力的平衡条件对于解决物体静态平衡问题非常重要。
通过正确地分析和计算力的合力和合力矩，我们可以确定物体是否处于平衡状态，并找到具体的解决方案。
（以上内容仅供参考，具体根据文章要求进行调整。
）。
工程力学习题 及最终答案
.1第一章 第二章第三章 绪论 思 考 题1) 现代力学有哪些重要的特征？2) 力是物体间的相互作用。
按其是否直接接触如何分类？试举例说明。
3) 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4) 试述工程力学研究问题的一般方法。
第二章 刚体静力学基本概念与理论习 题2-1 求图中作用在托架上的合力F R 。
2-2 已知F 1=7kN ，F 2=5kN, 求图中作用在耳环上的合力F R 。
习题12030200N.22-3 求图中汇交力系的合力F R 。
2-4 求图中力F 2的大小和其方向角。
使 a )合力F R =1.5kN, 方向沿x 轴。
b)合力为零。
2-5 二力作用如图，F 1=500N 。
为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N ，且F 2力尽量小，试求力F 2的大小和角。
F4560F1习题b)xy453F 1=30N F 2F 3=40N A xy456F 1=600NF 2=700N F 3=5A习题a )x 70F2F 1=1.25kNA习题3F 1=500NAF 2习题.32-6 画出图中各物体的受力图。
C(b)(a)C(c)C(d)FBEqDA CCD EBCAB DD.42-7 画出图中各物体的受力图。
2-8 试计算图中各种情况下F 力对o 点之矩。
习题b)Bc)d)习题B(a )a )ABCBABC.52-9 求图中力系的合力F R 及其作用位置。
习题P(d) c)Fb)(5kNM =6kN mxx.62-10 求图中作用在梁上的分布载荷的合力F R 及其作用位置。
(Bq 1=600N/m Bq=4kN(q A =3k q C =1C (习题2-(6kNx1=x.72-11 图示悬臂梁AB 上作用着分布载荷，q 1=400N/m ，q 2=900N/m, 若欲使作用在梁上的合力为零，求尺寸a 、b 的大小。
第三章 静力平衡问题 习 题3-1 图示液压夹紧装置中，油缸活塞直径D=120mm ，压力p =6N/mm 2，若3-2 图中为利用绳索拔桩的简易方法。
第三章 静力平衡问题(7学时)
W
A
P
C
B
本题作用于小车的是 平行于Y轴的平行力系， 系统 三个物体8个平衡方程； 约束 固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触 处各1共8个反力， 是静定问题。
2）静不定问题或超静定问题
完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程 数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。
约束反力数 m 系统中物体数 n <3n 未完全约束 m =3n 静定问题 >3n 静不定问题 静不定的次数为： k=m-3n
解物系问题的一般方法：
由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少）
[例3.1] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？ 解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0
由①得
T2cos T10 ①
②
Y 0T2 sin Q N D 0
1 cos T P 1 T2 2P 2
3n=3; m=4 一次静不定 3n=3; m=6 三次静不定 3n=3; m=4 一次静不定
讨论：试判断下列问题的静定性。
A
A
B
Ｃ
M
F2 F1 60
C D
A
B
B
C D
F
约束力数 m=8 物体数 n=3 m<3n 未完全约束
m=6 n=2 m=3n 静定结构
n=3 m=1+2+2+4=9 m=3n 静定结构
F0
直径 D
O
A B
工件
e
d D D
3. 破碎机轧辊D=500mm，匀速转动 破碎球形物料。f=0.3, 求能破碎的最大 物料直径d。（物重不计）
512
力系的平衡条件与平衡方程资料
X 0
可否求出T、YA、XA；
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
思考题2
C
（2）由下图所示的受力图，试按
mA(F) 0 mB (F) 0 mc (F ) 0
可否求出T、YA、XA。
T
XA A YA
D 300
B
E
PQ
由下图所示的受力图，可否列出下列四 思考题3 个独立的平衡方程？
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
P 1m
q
C
XA
2m
2m
A
YA
Fy = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
XB B YB
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
P 1m
XC
C
YC
XB B
YB
MC ( F ) = 0
Fy 0
FN P cos j 0 FN P cos j
考虑极限平衡状态有： F Fmax fs FN
从而得到： FT P ( fs cos j sin j). 当 FT P ( fs cos j sin j) 时, 物块才能下滑。
(3) 画受力图如右 列平衡方程
P
(c) j
解： 取起重机，画受力图.
Fx 0 FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
M A 0 FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便：
材料力学智慧树知到答案章节测试2023年山东理工大学
第一章测试1.料力学主要研究弹性范围内的小变形A:对B:错答案:B2.强度是构件抵抗破坏的能力。
因此，构件越结实越好A:对B:错答案:B3.刚度是构件抵抗变形的能力。
因此，构件的变形越小越好A:对B:错答案:B4.用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任意部分进行平衡计算A:对B:错答案:A5.应力是点的应力，一点有两种应力，分别是正应力和切应力。
A:错B:对答案:B6.应变是点的应变，一点存在两种应变A:错B:对答案:B7.线应变表示了点沿某方向长度变化的程度。
A:错B:对答案:B8.材料力学的研究对象是变形固体A:错B:对答案:B9.把重物很快地放到桌子上，重物对桌子的作用力是静荷A:对B:错答案:B10.在材料力学中，对变形固体作了均匀，连续，各向同性三个基本假设，并且是在线弹性，小变形范围内研究的。
A:错B:对答案:B第二章测试1.构件内力的大小不但与外力大小有关，还与材料的截面形状有关。
A:错B:对答案:A2.杆件的某横截面上，若各点的正应力均为零，则该截面上的轴力为零。
A:对B:错答案:A3.受集中力轴向拉伸的等直杆，在变形中任意两个横截面一定保持平行。
所以纵向纤维的伸长量都相等，从而在横截面上的内力是均匀分布的。
A:错B:对答案:A4.甲乙两杆，几何尺寸相同，轴向拉力相同，材料不同，它们的应力和变形有四种可能，下列（）是正确的。
A:应力不同，变形相同B:应力和变形相同C:应力不同，变形不同D:应力相同，变形不同答案:D5.低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四种指标中（）将得到提高A:延伸率B:比例极限C:断面收缩率D:强度极限答案:A6.下列说法（）是正确的A:杆件某截面上的应力是该截面上内力的平均值B:应力是内力的分布集度C:内力必大于应力D:杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和答案:B7.关于确定截面内力的截面法的适用范围，下列说法正确的（）A:只适用于等截面直杆B:适用于等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形的普遍情况C:适用于不论基本变形还是组合变形，但限于直杆的横截面D:只适用于承受基本变形的直杆答案:B8.作为脆性材料的极限应力是（）。
工程力学习题 及最终答案
页脚内容第一章第二章第三章 绪论思 考 题1) 现代力学有哪些重要的特征？2) 力是物体间的相互作用。
按其是否直接接触如何分类？试举例说明。
3) 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4) 试述工程力学研究问题的一般方法。
第二章 刚体静力学基本概念与理论习 题2-1 求图中作用在托架上的合力F R 。
习题2-1图12030200NN页脚内容2-2 已知F 1=7kN ，F 2=5kN, 求图中作用在耳环上的合力F R 。
2-3 求图中汇交力系的合力F R 。
2-4 求图中力F 2的大小和其方向角。
使 a )合力F R =1.5kN, 方向沿x 轴。
b)合力为零。
2-5 二力作用如图，F 1=500N 。
为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N ，且F 2力尽量小，试求力F 2的大小和角。
24560F 1习题2-2图)xy4530F 1=30N F 2=20NF 3=40N Axy4560F 1=600NF 2=700NF 3=500N A 习题2-3图()x70F 2F 1=1.25kNA习题2-4图30F 1=500NAF 2页脚内容2-6 画出图中各物体的受力图。
(b )(a )A (c)(d )DACDB页脚内容2-7 画出图中各物体的受力图。
2-8 试计算图中各种情况下F 力对o 点之矩。
习题2-6图)(d )习题2-7图(a )DDAB CBABC页脚内容2-9 求图中力系的合力F R 及其作用位置。
习题2-8图P (d )PF)( a )NF 3NNM =6kN m F 3NF 2N页脚内容2-10 求图中作用在梁上的分布载荷的合力F R 及其作用位置。
( a )q 1=600N/mq=4kN/m( b )q A =3kN/ 习题2-9图( c )NF Nm F 3N页脚内容2-11 图示悬臂梁AB 上作用着分布载荷，q 1=400N/m ，q 2=900N/m, 若欲使作用在梁上的合力为零，求尺寸a 、b 的大小。
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的约束力。
b
c
Ｃ
M
a
A
B
q
F
C
A
B
45
2a a a
2
问题1. 不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时
F1、 F2之关系。
ME(F)=F2AE-F1sin60BE=0
E
注意： BE=AB；AE= 2 AB 可解得：
F2=......F1
A 45
B
60
F2 F1
C
D
0 静止FTC 滑动 FT FT>FTc , 运动状态； 一般有 FT<Fmax
只要滑动未发生，物体仍静止，则F由平衡方程确定。
摩擦力F也是被动力，它阻碍物体的运动，但不 能完全约束物体的运动。
F作用在沿接触面切向且指向与运动趋势相反。
临界状态下接触面间的最大静（滑动）摩擦力与P V法
向反力的大小成正比，即
4）考虑可能发生滑动的临界情况 ( 此时F=Fmax)， 并由此判断摩擦力指向。
5）有平衡方程和摩擦补充方程Fmax=f FN。 17
例3.5 刹车装置如图。块C与轮 间摩擦系数为 f，求F1min。
L a
F1min
解：讨论F1最小而制动，摩擦 力最大的临界状态。
Ae C MO
1）取轮O研究，画受力图。 有平衡方程 MO(F)=M-Fmaxr=0 得到 Fmax=M/r
FC
FD
3
问题2: 三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，
求A、B处的约束力。
解: BC为二力杆;
外力只有力偶M, 整体受力
如图所示。
A
b
c
Ｃ
M a
B
FA = FB
又由 MA (F)=0
有 - M + FB ×d = 0 可解得 FB
b FC cFC Ｃ
MM Ｃ
d
a
A A FAy=0
B
B
FAxFA
如例1
C
系统二根杆六个平衡方程；
约束三处铰链六个反力，静定。
若将BC视为二力杆，
A
则平衡方程减少二个，
30 B
F
但B、C处约束力未知量也减少了二个。
11
未被完全约束住的物体及系统 约束力未知量
数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。
如例3 系统三个物体9个方程， 反力只有8个。 小车可能发生水平运动。
Fmax
FN
FR
FR
即摩擦角r的正切等于静摩擦系数f。
可知，全反力FR的作用线只能在摩擦角(锥)之内。
设主动力之合力FA的作用线与法向夹角为，
若<r，则无论FA多大，总有全反力FR与之平衡，
物体保持静止； 这种现象称为自锁。
若>r, 则无论FA多小，物体都不能保持平衡。 22
利用自锁条件，研究下述问题：
FB
FB
4
问题2再论: 不计拱重，分析三铰拱的约束力。
Ｃ
MＣ
A
B
d
A
B
FA
FB
F
A FA
Ｃ
B
FB
Ｃ
A
F
B
FA
FB
三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。
ห้องสมุดไป่ตู้
三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。
5
问题3：试求图示双跨梁A端的约束反力。
解： 1）研究整体： 一般力系，3个方程，
4个未知量。不足以求解
FAy FAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFABAxxFFAACyy
FAACx x
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
7
问题讨论：试求图示A、B、C处的约束力。
研究对象 受力分析 平衡方程求解
可滑动的临 摩擦力沿滑动面 界情况分析 切向，指向与运 （此时F=Fmax） 动趋势相反。
加摩擦方程 Fmax=fFN
解有 一个 区间 范围
21
讨论一：摩擦角及自锁现象
Qf
全反力FR: 支承面法向反力 FN和摩擦力F之合力。
>r r
FA
滑动
FA
r
自锁
摩擦角r：临界状态(F=Fmax) 时，FR与法向间的夹角。 显然有: tgr=Fmax/FN=f
FT2 dFT = f
d
可见： FT1 FT
0
ln FT 2 = f
FT 1
FT 2 = FT1e f
1由)若平f=衡0，方即程光已滑得接到触：，有FT1=FT2，轮O不能传递扭矩。 2)摩擦存在时，有扭矩M作用在轮上，且
18
例3.6 图示悬臂可沿柱滑动, 摩擦系数为f。为保证 不卡住，试确定力F0的作用位置。
解：1) F0向下，悬臂下滑。
FA
xmax B
F0
临界状态 x=xmax；有： Fx=FND-FNA=0；
h AFNA C FND D dF
Fy=FA+FD-F0=0
D
悬臂不卡住，
MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0 及 FA=fFNA , FD= fFND 解得： FNA=FND=F0/2f, xmax=h/2f.
l
l
A l
B M=F l
FAy l
FBy
l
FAx A
B
D
C 第二种情形 考察BC杆的平衡:
FBx
分析BC 和ABD杆
FBy
B
FBx
受力
FCx= FBx; FCy= FBy
M=F l
C
MB ( F ) = 0 :
FCy= FBy=
FCylBC+Fl
-—22 F
=0
FCx FCy
再考察AB杆，
由
方 法
?A
l C
FFCxCx CFCy
BB
D
FBx
? M=F l M=F l
FAy= 0 MC ( F ) = 0 :
FAx= F
10
二、 静不定问题的概念
1)静定问题 由平衡方程即可确定的静力平衡问题
-- 未知量数=独立平衡方程数
完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一
般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n 个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。
MA ( F ) = 0 可求得FB9 x
FAy
l lFBy
ll
由ABD杆的平衡有：
A FAlx A
l CC
B
D
FBMBx =F l
第二种情形
MA ( F ) = 0
FBx=
—¯2 F 2
更 以整体为研l 究对象如何l ？
MB ( F ) = 0
简 单
FFAAx xFAAy
l B FBx l D
A FL A FT
WB G
B
FL FT
A
FA FNAM
FNA F F
C
B
O F FNB
F
Fmax
d
D
D
0 静止F5T1C2滑动 FT
15
返回主目录
F
Fmax
FT=0 , 静止，无运动趋势；F=0 0<FT<FTC , 静止，有运动趋势；F=FT
FT=FTc , 临界状态； F=FT=FTc=Fmax
D
D
FR
临界状态: tg=f (D+d)cos/2=256
512
解得：d34mm 25
讨论二：皮带传动的摩擦力
皮带在轮O上，包角。紧边
FT2，松边FT1，轮O逆时针转动。
o
FT2 M
FT1
研究皮带受力。 接触面法向分布
压力FN、摩擦力F都是的函数。
F=F()
FN=FN()
研究皮带微段。 法向压力dFN，摩
应有 xmax<h/2f 而与F0无关。
19
例3.6 图示悬臂可沿柱滑动, 摩擦系数为f。为保证不 卡住，试确定力Fo的作用位置。
解：2) F0向上，悬臂上滑。
xmax
F0
FNB B
临界状态 x=xmax；有：
h A FNCFA
Fx=FNB-FNC=0；
CD Fd
Fy=F0-FB-FC=0
C
悬臂不卡住，
MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0 及 FB=fFNB , FC= fFNC 同样解得： FNB=FNC=F0/2f
应有 xmax<h/2f， 而与F0无关； 与上下滑无关。
xmax=h/2f.
20
含摩擦的平衡问题的分析方法： 先回忆静力平衡问题的一般方法：
W
B A FT
T A
Fmax=f FN
FN
f是静滑动摩擦系数，FN是法向反力。
16
二、 含摩擦的平衡问 题的分析方法
特点：
FL FT
A
F FNA
FNA F
B
F FNB
1）问题中含有可能发生相对滑动的摩擦面。
2）受力图中应包括摩擦力，摩擦力沿滑动面切向， 指向与运动趋势相反。
3）二物体接触面间的摩擦力，也是相互作用的作 用力与反作用力。